This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
I
SADRŽAJ
1. PREDMET I ZADACI OTPORNOSTI MATERIJALA.......................................................1
1.2.FIZIČKE OSOBINE MATERIJALA.......................................................................3
1.3. OBLIK TELA.............................................................................................................4
1.4. SPOLJAŠNJE SILE...................................................................................................5
1.5 UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI...............................................................................7
9.2 Aksijalno naprezanje – Pretpostavka o naponima i pretpostavka o deformacijama (pretpostavka o ravnim poprečnim presecima).................................26
9.12 Aksijalno naprezanje – Statički određeni i statički neodređeni sistemi štapova, Plan pomeranja................................................................................................................45
10. ANALIZA STANJA NAPONA I DEFORMACIJA…………………………..………….47
10.1 Jednoosno naprezanje – Naponi u kosom preseku……………….……………..47
10.2 Ravansko stanje napona…………………………………………………………..53
10.3 Ekstremne vrednosti normalnih napona ?............................................................57
10.4 Tangencijalni naponi (naponi smicanja, smičući naponi) za ravni glavnih normalnih napona? .........................................................................................................60
10.5 Ekstremne vrednosti napona smicanja ? ……………...............………………..61
12.2 Aksijalni momenti inercije……………………………………………………..…92
12.3 Centrifugalni moment inercije................................................................................93
12.4 Polarni moment inercije..........................................................................................94
12.5 Opšti izraz za geometrijske karakteristike poprečnih preseka...........................94
12.6 Pravilo o sabiranju geometrijskih karakteristika ………………………….….95
12.7 Promena momenata inercije pri translaciji koordinatnog sistema…………….96
12.8 Promena momenata inercije pri rotaciji koordinatnog sistema………………100
12.9 Ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercijeIx iIy...............................102
12.10 Kojoj od ekstremnih vrednosti odgovara ϕ=α ? ..........................................102
12.11 Koje izraze koristiti za određivanje ekstremnih vrednosti aksijalnih momenata inercije ?.......................................................................................................104
12.12 Maksimalna vrednost centrifugalnog momenata inercijeIxy.........................105
12.13 Koji izraz koristiti za određivanje maksimalnog centrifugalnog momenta inercije ? .......................................................................................................................105
12.14 Morov krug inercije…………………………………………………………….107
13.5 Uvijanjem štapova kružnog poprečnog preseka – Veza između ugla klizanja i ugla uvijanja...................................................................................................................117
14.20 Deformisanje pri savijanju – Konzola opterećena silom na slobodnom kraju (A=const).........................................................................................................................179
14.21Deformisanje pri savijanja–Prosta greda opterećena koncentrisanom silom................................................................................................................................181
17.5 Deformacijski rad izražen preko presečnih sila..................................................239
17.6 Opšti izraz za deformacijski rad izražen preko presečnih sila.........................246
17.7 Deformacijski rad pri opštem slučaju opterećenja izražen preko presečnih sila....................................................................................................................................247
17.8 Teoremi o uzajamnosti..........................................................................................248
17.9 Deformacijski rad i dopunski rad........................................................................256
VII
17.10 Primena deformacijskog rada (Potencijalne energije deformacije)...............260
17.11 Primena dopunskog rada....................................................................................262
17.12 Koeficijenti elastičnosti i krutosti.......................................................................270
17.13 Primena energetskih metoda za određivanje pomeranja kod Statički određenih konstrukcija.................................................................................................272
17.14 Metod jediničnih opterećenja – Maksvel-Morov metod, Maksvel-Morovi integrali...........................................................................................................................276
17.15 Primena energetskih metoda za rešavanje statički neodređenih konstrukcija....................................................................................................................280
17.16 Princip minimuma potencijalne energije deformacije (deformacijskog rada)................................................................................................................................284
17.17 Kanonske jednačine metoda sila........................................................................285
17.18 Specifični deformacijski rad promene zapremine i promene oblika.............287
Otpornost materijala je posebna nauĉna disciplina kojom su obuhvaćeni inţenjerski metodi proraĉuna:
Ĉvrstoće,
Krutosti i
Stabilnosti
delova mašina i konstrukcija.
Ĉvrstoća je sposobnost konstrukcije da izdrţi zadato opterećenje, a da joj pri tome naponi ne preĊu odreĊenu granicu i da ne doĊe do njenog popuštanja.
Krutost je sposobnost konstrukcije da se odupre opterećenjima i da se ne deformiše iznad odreĊene granice.
Stabilnost je sposobnost konstrukcije da zadrţi ravnoteţni oblik pri deformacijama koje odgovaraju zadatom opterećenju.
Osim naziva OTPORNOST MATERIJALA koji je tradicionalan i ne odgovara stavrnosti, u literaturi se srećemo i sa nazivom NAUKA O ĈVRSTOĆI.
U svetskoj literaturi srećemo sljedeće nazive:
STRENGTH OF MATERIALS (na engleskom)
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИЯЛОВ (na ruskom)
FESTIGKEITSLEHRE (na nemaĉkom)
RESISTANCE DES MATERIAUX (na francuskom)
Otpornost materijala predstavlja osnovu za:
Proraĉun mašinskih elemenata i
Teoriju konstrukcija.
MeĊutim, kao što je Otpornost materijala neĉemu osnova, tako i ona ima svoje osnove.
Njene osnove su:
Matematika (u teorijskom smislu)
OTPORNOST MATERIJALA
2
Mehanika (u teorijskom smislu)
Fizika (u teorijskom i eksperimentalnom smislu)
Nauka o materijalima (u teorijskom i eksperimentalnom smislu)
Osvrnimo se na Mehaniku kao teorijsku osnovu, ito na njena dva dela:
Statiku i
Dinamiku.
Statika prouĉava zakone slaganja sila i uslove ravnoteţe materijalnih tela pod dejstvom sila.
Dinamika prouĉava kretanje materijalne taĉke i materijalnih tela pod dejstvom sila.
Materijalna tela koja su predmet statike i dinamike, posmatraju se kao kruta tela.
Kruto telo je telo koje se pri delovanju spoljašnjih sila ne menja oblik (ne deformiše se), tj. rastojanje mu se izmeĊu bilo koje dve taĉke ne menja.
Suprotno krutom telu je ĉvrsto ili deformabilno telo.
Ĉvrsto telo je telo koje pri delovanju spoljašnjih sila menja oblik (deformiše se) tako da mu se rastojanje izmeĊu bilo koje dve taĉke generalno razlikuje od rastojanja koje je bilo pre dejstva sila.
Otpornost materijala prouĉava ĉvrsta tela.
Svakom ĉvrstom telu mogu se pridruţiti sljedeća tri parametra:
Opterećenje (spoljašnje sile),
Geometrija (dimenzionisani oblik) i
Materijalnost (materijal sa svojim osobinama).
Iz “igre” sa ova tri parametra proizilaze zadaci Otpornosti materijala.
Prvi zadatak
Poznati su opterećenje i materijal od kojeg će se izraditi neka konstrukcija ili neki njen deo, zadatak je da se odredi geometrija sa kojom će biti zadovoljeni uslovi ĉvrstoće, krutosti i stabilnosti.
NAPOMENA: Ovaj zadatk se ĉesto sreće pri projektovanju novih mašina i ureĊaja i još se zove zadatkom dimenzionisanja.
OTPORNOST MATERIJALA
3
Drugi zadatak
Poznati su geometrija i opterećenje konstrukcije. Zadatak je da se odredi raspodela napona i deformacija i na sonovu toga odabere materijal potrebne ĉvrstoće.
Treći zadatak
Poznati su geometrija i materijal za izradu. Zadatak je da se sprovede analiza napona i deformacija i na osnovu toga odredi dozvoljeno opterećenje konstrukcije.
Glavni zadatak Otpornosti materijala je iznalaţ enje povoljne geometrije konstrukcija i delova koji ih ĉine, uz što je moguće manji utrošak materijala, a da uslovi ĉvrstoće, krutosti i stabilnosti pri zadatom opterećenju budu zadovoljeni.
1.2 FIZIĈKE OSOBINE MATERIJALA
Ako se sve taĉke ĉvrstog tela po rasterećenju vraćaju u prvobitane poloţaje kaţe se da je materijal od kojeg je telo napravljeno, elastiĉan.
Materijal moţe biti:
Idealno elastiĉan i
Delimiĉno elastiĉan.
Eksperimentima je pokazano da su do odreĊene granice elastiĉni:
Ĉelik,
Liveno gvoţĊe,
Drvo,
Kamen.
Materijal je neelastiĉan (plastiĉan) ako se sve taĉke ĉvrstog tela po rasterećenju ne vrate u prvobitne poloţaje, zbog ĉega telo ostaje trajno deformisano.
Viskoelastiĉani materijali su materijali kod kojih dolazi do puzanja (pri konstantnom opterećenju ĉvrstog tela imamo rast deformacija u vremenu) i relaksacije (u deformisanom ĉvrstom telu naponi opadaju u vremenu).
Materijal ĉvrstog tela je homogen ako su mu sve ĉestice iste. U suprotnom je nehomogen (ĉestice su mu meĊusobno razliĉite).
Materijal je izotropan ako su mu fiziĉke osobine svake ĉestice u svim proizvoljno izabranim pravcima iste. U suprotnom je anizotropan.
OTPORNOST MATERIJALA
4
Materijal je ortotropan (ortogonalno izotropan), tj. ima razliĉite fiziĉke osobine u dva ili tri ortogonalna pravca (npr. kompoziti)
1.3 OBLIK TELA
Većina rešenja Otpornosti materijala odnosi se na trodimenzionalna tela jednostavnijeg oblika kao što su:
Štapovi,
Grede,
Ploĉe i
Ljuske.
Štapovi i grede spadaju u linijske noseće elemente i kod njih je jedna dimenzija (duţina) znatno veća od druge dve (širine i visine).
Štap je kao linijski noseći element opterećen samo u jednom ito poduţnom pravcu, zateznom ili pritisnom silom ili momemtom uvijanja.
Greda moţe biti opterećena i upravno na poduţnu osu.
Zavisno od oblika osa štapovi (grede) mogu biti:
Pravi,
Blago zakrivljeni,
Krivi,
Prostorno savijeni.
Primer uvijenog štapa je burgija.
Površinski noseći elementi su ploĉe i ljuske. Kod njih je jedna dimenzija (debljina) znatno manja od druge dve (širine i duţine).
Ploĉe su ravni površinski noseći elementi, dok su ljuske zakrivljeni površinski noseći elementi sa srednjim površinama podjednako udaljenim od spoljnih površina.
Na ovom kursu Otpornosti materijala uglavnom će se razmatrati:
Pravi štapovi (grede) i
Ravanske ili prostorne konstrukcije sastavljene od više pravih štapova (greda).
OTPORNOST MATERIJALA
5
1.4 SPOLJAŠNJE SILE
Spoljašnje sile koje deluju na konkretno ĉvrsto telo mogu biti:
Površinske i
Zapreminske.
Površinske sile su posledica kontakta konkretnog ĉvrstog tela sa drugim telima i sredinom koja ga okruţuje.
OTPORNOST MATERIJALA
6
U zapreminske sile ubrajamo:
Teţinu (sile gravitacije),
Centrifugalne sile,
Inercijalne sile,
Sile magnetnog privlaĉenja (odbijanja).
Površinske sile se u proraĉunima inţenjerskih konstrukcija (u zadacima otpornosti materijala) prikazuju kao kontinualna (konstantna ili promenljiva) opterećenja.
Za primere nekih od površinskih sila mogu se uzeti:
Pritisak teĉnosti,
Pritisak gasa,
Teţina snega,
Pritisak vetra, ...
U poseban sluĉaj spoljašnjih sila spadaju koncentrisana opterećenja (koncentrisane sile i koncentrisani momenti) koja su rezultat uprošćavanja i svoĊenja na taĉku.
Zapreminske sile deluju na svaku ĉesticu ĉvrstog tela i srazmerne su njegovoj masi.
Prema naĉinu delovanja u vremenu spoljašnje sile mogu biti:
Statiĉke i
Dinamiĉke.
Statiĉke sile se ne menjaju u vremenu. Postepeno rastu do neke konaĉne (radne) vrednosti, a zatim ostaju konstantne, pa se zato pojave ubrzanja i inercijalnih sila moţe zanemariti.
Dinamiĉke sile mogu biti:
Udarne (trenutne, kratkotrajne) i
Promenljive u vremenu (stohastiĉki promenljive ili promenljive po odreĊenom zakonu).
OTPORNOST MATERIJALA
7
1.5 UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI
Unutar ĉvrstog tela opterećenog spoljašnjim silama, izmeĊu delića (kristala, molekula, atioma), pojavljuju se dodatne unutrašnje sile koje se protive delovanju spoljašnjih sila.
Za opisivanje unutrašnjih sila uveden je pojam napona.
Da bi opisali unutrašnje sile i objasnili pojam napona posluţićemo se metodom fiktivnog (zamišljenog) preseka.
OTPORNOST MATERIJALA
8
OTPORNOST MATERIJALA
9
Posmatrano na nivou Dekartovog koordinatnog sistema, moguće je generisati sliku napona u tom sistemu.
Kroz proizvoljnu taĉku opterećenog ĉvrstog tela moţe se posmatrati beskonaĉno mnogo zamišljenih preseka sa beskonaĉno mnogo normala n i napona pn.
Dokazano je kako je dovoljno je pznavati komponente ukupnih napona pni (i=1,2,3) za 3 meĊusobno ortogonalna preseka da bi se odredili komponentni naponi za bilo koji proizvoljni presek.
Za ĉvrsto telo u Dekartovom koordinatnom sistemu tri meĊusobno ortogonalna preseka treba posmatrati kao preseke dobijene ravnima paralelnim ravnima tog sistema.
Devet (3x3=9) komponenti napona vezanih za ravni xy, yz, i zx Dekartovog koordinatnog sistema jesu komponente tenzora napona.
Tenzorom napona se definiše naponsko stanje u proizvoljnoj taĉki opterećenog ĉvrstog tela.
OTPORNOST MATERIJALA
10
OTPORNOST MATERIJALA
11
2. DEFORMACIJE
Ĉvrsta tela opterećena spoljašnjim silama menjaju oblik i dimenzije (deformišu se).
Za opisivanje promene oblika i dimenzija uveden je pojam deformacija.
U opštem sluĉaju razlikujemo:
Duţinsku i
Ugaonu deformaciju.
OTPORNOST MATERIJALA
12
Duţinska deformacija (dilatacija e)
OTPORNOST MATERIJALA
13
Ugaona, smiĉuća deformacija, deformacija klizanja
Ugaona deformacija je vezana za taĉku i ravan.
Za taĉku T(x,y,z) i ravni xy, yz, zx Dekartovog koordinatnog sistema, ugaone deformacije oznaĉavamo sa
Kao što tenzor napona definiše naponsko stanje u proizvoljnoj taĉki opterećenog ĉvrstog tela, tako tenzor deformacija definiše deformaciono stanje.
zxyzxy γ, γ,γ
OTPORNOST MATERIJALA
14
3. PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA
Pretpostavke o materijalu:
Materijal je neprekidan,
Materijal je homogen i izotropan
Materijal je linearno elastiĉan
Pretpostavke o deformacijama:
Deformacije su male u poreĊenju sa dimenzijama tela
ε 0.001 (0.1 %)
Pretpostavke o silama:
Spoljašnje sile su statiĉke.
Pretpostavka o nezavisnosti delovanja opterećenja (princip superpozicije):
Ukupan rezultat uticaja svih opterećenja jednak je algebarskom zbiru uticaja svih pojedinaĉnih opterećenja.
Pretpostavka o uslovima ravnoteţe:
Uslovi ravnoteţe se definišu uvek u odnosu na oblik i dimenzije konstrukcije pre njene deformacije.
OTPORNOST MATERIJALA
15
NEKE JEDINICE SI SISTEMA
SI Koristi se
Duţina m cm
Površina m2 cm2
Sila N kN
Moment Nm kNcm
Napon Pa* kN/cm2
Linijsko pomeranje
m cm
Ugaono pomeranje rad rad, stepen
4. VEZA NAPONA I DEFORMACIJE – HUKOV ZAKON
Naponi i deformacije su posledica delovanja opterećenja (spoljašnjih sila) na konkretnu konstrukciju.
U kakvoj su vezi napon i deformacija?
Robert Huk (Robert Hook, 1635-1703) je prvi eksperimentalno dokazao linearnu zavisnost sile F i izduţenja opruge Dl. On je 1660. objavio rad pod naslovom “Ut tensio sic vis” (“Onakva deformacija kakva sila”).
Huk je ovu zakonitost formulisao 1676., a zvaniĉno ju je objavio 1678.
2mN 1Pa 1
OTPORNOST MATERIJALA
16
• Linearna zavisnost izmeĊu sile i odgovarajuće deformacije koja vaţi za idealno elastiĉno telo (do granice proporcionalnosti) poznata je kao Hukov zakon.
• Na osnovu slike zatezanja štapa silom F
σ - Normalni napon
E – Modul elastiĉnosti uveden od strane Tomasa Junga 1807.
OTPORNOST MATERIJALA
17
- Duţinska deformacija (dilatacija)
5. POASONOV KOEFICIJENT
Posmatrajmo deo zategnutog štapa kruţnog popreĉnog preseka.
Neka je materijal štapa:
Homogen,
Izotropan i
Idealno elastiĉan (do granice proporcionalnosti).
• Za izotropne materijale koji podleţu Hukovom zakonu, eksperimentalno je ustanovljena veza popreĉne i poduţne dilatacije
• Koeficijent proporcionalnosti n u gornjem izrazu naziva se Poasonov koeficijent (uveo ga Simon Dany Poisson 1828.).
.. podužpopreč
OTPORNOST MATERIJALA
18
6. ZAPREMINSKA – KUBNA DILATACIJA
Posmatrajmo ponovo deo zategnutog štapa kruţnog popreĉnog preseka.
Neka je štap opterećen na zatezanje.
OTPORNOST MATERIJALA
19
ZADATAK
Na osnovu donje slike izvesti izraz za zapreminsku deformaciju.
OTPORNOST MATERIJALA
20
7. DOZVOLJENI NAPON I STEPEN SIGURNOSTI
Zavisnost napona σ i specifiĉnog izduţenja ε, moţe se predstaviti monotonom naponsko-deformacionom krivom (inţenjerskom krivom).
Monotona naponsko-deformaciona kriva (inţenjerska kriva) dobija se ispitivanjem materijala.
Obiĉno se u tu svrhu koriste glatke cilindriĉne epruvete koje se izlaţu zatezanju ili pritisku.
Pri dobijanju monotone naponsko-deformacione krive zanemaruje se promena popreĉnog preseka epruvete.
Napon je jednak odnosu sile F i površine poĉetnog popreĉnog preseka A0 , tj.
Pri rešavanju problema ĉvrstoće konstrukcija, za materijale koji nemaju izraţenu granicu teĉenja, koristi se konvencionalna granica teĉenja Rp0,2 , kojoj odgovara napon pri deformaciji ε = 0,2%
U sluĉaju opterećenja na pritisak koristi se pritisna ĉvrstoća Rcm .
0AF
OTPORNOST MATERIJALA
21
Konvencionalnoj granica gnjeĉenja Rcp odgovara napon pri deformaciji ε = -0,2%.
Doizvoljeni napon σd predstavlja graniĉnu vrednost napona sa kojom se garantuje nosivost konkretne konstrukcije.
Ovaj napon je uveden zbog:
Sluĉajnog prekoraĉenja proraĉunskog opterećenja,
Realne nehomogenosti meterijala,
Korozije koja izaziva smanjenje popreĉnih preseka.
Dozvoljeni napon se izraĉunava korišćenjem sljedećih izraza:
• U prethodnom izrazu S (S>1) je stepen ili koeficijent sigurnosti (S nema dimenziju).
• Proraĉunski napon uporeĊen sa dozvoljenim naponom:
SRe
d S
Rmd
dprorač .
OTPORNOST MATERIJALA
22
8. OPŠTI SLUĈAJ OPTEREĆENJA LINIJSKIH NOSEĆIH ELEMENATA
Posmatraćemo linijski noseći element proizvoljno opterećen koncentrisanim silama.
Koristeći metod zamišljenog preseka, linijski noseći element podelimo na dva dela (deo I i deo II).
Zamišljeni popreĉni presek je normalan na poduţnu osu koja je prava i prolazi kroz teţišta svih popreĉnih preseka.
OTPORNOST MATERIJALA
23
Iz prethodnog zakljuĉujemo da se opšti sluĉaj opterećenja (naprezanja) linijskih nosećih elmenata moţe posmatrati kao zbir pojedinaĉnih naprezanja:
Poduţnog (aksijalnog) naprezanja,
Uvijanja i
Savijanja.
OTPORNOST MATERIJALA
24
Sile u popreĉnom preseku (preseĉne sile) moţemo izraziti pomoću napona.
Na taj naĉin se dobija 6 uslova (jednaĉina) ravnoteţe.
9. NAPREZANJE U PODUŢNOM PRAVCU
Naprezanje u poduţnom pravcu (aksijalno naprezanje) imamo kod štapova opterećenih poduţnim silama.
9.1 Aksijalno naprezanje – Preseĉne sile
Samo je poduţna sila razliĉita od nule, a sve ostale sile jednake su nuli.
Preseĉne sile N(z) – Primer 1
0
00
tyX
yx
MMMTT
N
OTPORNOST MATERIJALA
25
Preseĉne sile N(z) – Primer 2
Preseĉne sile N(z) – Primer 3
FFFzN A
FFA
FFFzN A
FFA
OTPORNOST MATERIJALA
26
9.2 Aksijalno naprezanje – Pretpostavka o naponima i pretpostavka o deformacijama (pretpostavka o ravnim popreĉnim presecima)
Normalni napon je razliĉit od nule, a tangencijalni naponi su jednaki nuli.
Popreĉni preseci su pre deformisanja upravni na osu linijskog nosećeg elementa.
Posle deformisanja, popreĉni preseci i dalje ostaju upravni na osu.
Generalno se za deformacije moţe pretpostaviti:
FFA 2
FFFFFzNFFFzN
ABC
AAB
222
0 zzz
0 zyzx
OTPORNOST MATERIJALA
27
9.3 Aksijalno naprezanje – Hukov zakon
Huhov zakon za sluĉaj aksijalnog naprezanja, definisan je na sljedeći naĉin:
Normalna preseĉna sila N(z) = N = const i popreĉni presek A(z) = A = const
9.5 Sen Venanov princip
U sluĉaju aksijalno napregnutih štapova, izrazi za napone σz
vaţe za mesta dovoljno udaljena od mesta delovanja opterećenja.
Za primer ćemo posmatrati stvarne noseće elemente.
OTPORNOST MATERIJALA
30
Raspodela napona u stvarnom nosećem element
OTPORNOST MATERIJALA
31
Dva statiĉki ekvivalentna opterećenja ĉija su delovanja ograniĉena na mali deo konture, u taĉki dovoljno udaljenoj od mesta delovanja, izazivaju identiĉne napone.
Ovo razmatranje, bez teorijskog dokaza, a eksperimentalno potvrĊeno, naziva se Sen-Venanov princip (Saint-Venant, 1797-1886).
Sen-Venanov princip za štap glasi:
Dva statiĉki ekvivalentna opterećenja konkretnog štapa, u dovoljno udaljenim presecima od mesta delovanja izazivaju iste napone.
9.6 Koncentracija napona
Pri nagloj promeni dimenzija popreĉnih preseka štapova, treba voditi raĉuna o pojavi koja se zove koncentarcija napona.
Teorijski i eksperimentalno je dokazano da na mestima nagle promene dimenzija popreĉnih preseka, zbog raznih zareza, prelaznih zaobljenja, otvora i sl., dolazi do lokalnog povećanja napona.
Posmatrajmo aksijalno napregnut štap sa jednim prelaznim zaobljenjem radijusa r i izraţenom koncentracijom napona.
OTPORNOST MATERIJALA
32
9.7 Dimenzionisanje aksijalno napregnutih štapova
Dimenzionisanje aksijalno napregnutih štapova (odreĊivanje površina popreĉnih preseka) vrši se prema dozvoljenom naponu σd.
OTPORNOST MATERIJALA
33
Ako su nam poznate sile N(z) za preseke štapa A(z) treba proveriti:
9.8 Uticaj temperature
Fiziĉka karakteristika kojom se opisuje osetljivost materijala na promene temperature naziva se koeficijent linearnog širenja α [K-1] (u literaturi se kod štapova naziva i koeficijent temperaturskog izduţenja).
Primera radi, koeficijent linearnog širenja za ĉelik iznosi:
Izraz za poduţnu deformacija T , štapa u homogenom temperaturnom polju, kojem je sa sobne temperature T, dignuta temperatura na (T+T), glasi
1610512 - K,α
TT
OTPORNOST MATERIJALA
34
Razmotrimo sada situaciju kad izduţenje zagrijanog štapa ima ograniĉenje:
• Ograniĉenje dovoljno udaljeno i
• Ograniĉenje nije dovoljno udaljeno.
Ako ograniĉenje nije dovoljno udaljeno onda će se štap osloniti na ograniĉenje (oslonac) i u njemu će se zbog reakcija u osloncima pojaviti i naponi.
Zbog ovog se uticaj temperature, pri projektovanju konstrukcija, mora uzeti u obzir.
OTPORNOST MATERIJALA
35
Sluĉaj ΔT≠0, N(z)≠0
9.9 Uticaj sopstvene teţ ine
Sopstvena teţina spada u grupu zapreminskih sila.
Razmotrimo uticaj sopstvene teţine na štap popreĉnog preseka, A const.
OTPORNOST MATERIJALA
36
U razmatranje uvedimo sljedeće veliĉine:
Specifiĉnu masu .................. ρ
Ubrzanje zemljine teţe ........ g
Specifiĉnu teţinu .................. γ=ρ∙g
OTPORNOST MATERIJALA
37
OTPORNOST MATERIJALA
38
9.10 Uticaj centrifugalnih sila
OTPORNOST MATERIJALA
39
OTPORNOST MATERIJALA
40
Sluĉaj A(r) = A
SR
rC drrArF 2
sR
rC
rArF2
22
22
22 rRArF SC
22
12 S
SC R
rRArF
OTPORNOST MATERIJALA
41
Sluĉaj štapa popreĉnog preseka A i duţine RS
ZADATAK 1
Štap prikazan na slici, aksijalno je napregnut.
OTPORNOST MATERIJALA
42
1. Skicirati dijagram normalnih preseĉnih sila N(z).
2. Odrediti pomeranje taĉaka A, B, C, D, E i F.
3. Odrediti napon i deformaciju za presek definisan kordinatom zF = 2,5a .
ZADATAK 2
Štap prikazan na slici, opterećen je sopstvenom teţinom.
1. Skicirati raspodele napona, deformacija i izduţenja .
2. Napisati izraze na osnovu kojih su skicirane traţene raspodele.
9.11 Aksijalno naprezanje – Statiĉka neodreĊenost
Konstrukcija je statiĉki odreĊena ako joj se sve nepoznate veliĉine (reakcije veza, i sve preseĉne sile) mogu odrediti iz raspoloţivih uslova ravnoteţe.
Ako je broj nepoznatih veliĉina n, a broj raspoloţivih statiĉkih uslova ravnoteţe s tada k=n-s predstavlja stepen statiĉke neodreĊenosti koji je jednak broju prekobrojnih veza.
Stepen statiĉke neodreĊenosti k=n-s pokazuje koliko je puta posmatrana konstrukcija neodreĊena.
Ovaj stepen ukazuje na broj dopunskih uslova koje treba postaviti da bi odredili n nepoznatih veliĉina za posmatranu konstrukciju.
Dopunski uslovi proizilaze iz uslova deformacija .
Za n=s imamo da je k=0 (u ovom sluĉaju konstrukcija je statiĉki odreĊena).
OTPORNOST MATERIJALA
43
Pri rešavanju statiĉki neodreĊenih konstrukcija koristimo dva metoda, ito:
Metod sila i
Metod pomeranja.
Princip nezavisnosti opterećenja je osnova za oba navedena metoda.
Metod sila koji će se ovde koristiti objasnićemo na dva primera.
Posmatraćemo:
Statiĉki neodreĊen štap opterećen silom F i
Statiĉki neodreĊen štap u homogenom temperaturnom polju.
Statiĉki neodreĊen štap opterećen silom F
OTPORNOST MATERIJALA
44
Statiĉki neodreĊen štap u homogenom temperaturnom polju
OTPORNOST MATERIJALA
45
9.12 Aksijalno naprezanje – Statiĉki odreĊeni i statiĉki neodreĊeni sistemi štapova, Plan pomeranja
Rešavanje problema sistema štapova, obiĉno se svodi se na iznalaţenje sila u štapovima kao i iznalaţenje pomeranja zajedniĉkih ĉvorova.
U postupak rešavanja uvodi se plan pomeranja.
Plan pomeranja objasnićemo na primeru sistema od dva štapa.
OTPORNOST MATERIJALA
46
ZADATAK 1
Na slici je prikazan sistem štapova opterećen silom F.
Odrediti:
1. Preseĉne sile.
2. Napone i deformacije.
3. Pomeranje ĉvora C.
AElSl
cos1lCCC
OTPORNOST MATERIJALA
47
ZADATAK 2
Na slici je prikazan vezan sistem štapova , preko krute grede opterećen silom F.
Odrediti:
1. Preseĉne sile.
2. Napone i deformacije.
3. Pomeranje taĉaka A, B i C.
10. ANALIZA STANJA NAPONA I DEFORMACIJA
Razmatranja u ovom delu odnosiće se na:
Jednoosno naprezanje (naprezanje u 1 pravcu),
Ravansko stanje napona,
Ravansko stanje deformacija,
Dvoosno naprezanje (naprezanje u 2 pravca),
Ĉisto smicanje,
Prostorno stanje napona i deformacija,
Troosno naprezanje (naprezanje u 3 pravca)
Elipse, elipsoide i Morove krugove napona i deformacija.
10.1 Jednoosno naprezanje – Naponi u kosom preseku
Jednoosno naprezanje odnosi se na aksijalno (poduţno) napregnute (opterećene) štapove.
Da bi smo odredili naponsko stanje u nekoj taĉki aksijalno (poduţno) napregnutog štapa potrebno je poznavati sve vektore napona u svim mogućim pravcima vezanim za tu taĉku.
Za poĉetak posmatrajmo prizmatiĉni štap.
OTPORNOST MATERIJALA
48
Štap presecimo zamišljenom kosom ravni koja je odreĊena normalom n.
Rezultat takvog presecanja je zamišljeni kosi presek koji prizmatiĉni štap deli na levi i desni deo.
Normala n zamišljene kose ravni sa osom z zaklapa ugao .
Radi jednostavnosti prikaţimo samo glavni pogled prizmatiĉnog štapa .
Ako levi i desni deo štapa zamišljeno razdvojimo, onda njihov meĊusobni uticaj nademeštamo suprotno usmerenim unutrašnjim silama sa kojima će razdvojeni delovi štapa biti u stanju ravnoteţe.
Ove unutrašnje sile mogu se posmatrati kao zamišljene (fiktivne) spoljašnje sile, kako za levi tako i za desni deo štapa.
Uoĉimo sada jedan elementarni deo na levom delu našeg štapa.
OTPORNOST MATERIJALA
49
Ovaj elementarni deo se zahvaljujući metodu preseka, moţe izdvojiti i zasebno posmatrati.
Prouĉimo uslove pod kojima će izdvojeni elementarni deo štapa biti u stanju ravnoteţe.
Kao prvo, izdvojeni elementarni deo moţe biti u stanju ravnoteţe ako je pravac napona pn kolinearan sa osom z.
OTPORNOST MATERIJALA
50
Kada će naponi σn i τn imati maksimalne vrednost i?
U svrhu daljih analiza posmatraćemo aksijalno napregnut pljosnati štap.
OTPORNOST MATERIJALA
51
Opet radi jednostavnosti, prikaţimo glavni pogled ovog štapa sa uoĉenim i izdvojenim kvadratnim elementarnim delom kojem su 4 strane definisane normalama n1 , n2 , n3 i n4 .
Na stranama kvadratnog elementarnog dela definisanim pomenutim normalama imamo:
Analizirajmo stanje ravnoteţe tankog elementarnog dela na ovoj slici.
PoĊimo od onog što već znamo, a to su izrazi za napone u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa (kosi presek je odreĊen normalom n koja sa osom z zaklapa ugao ).
OTPORNOST MATERIJALA
52
2sin21
2cos121
zn
zn
2cos121
zn
23
2
4
3
2
1
2cos32cos2
32cos2cos
2cos22cos2cos2cos
2cos2cos2
2cos2cos
2cos2cos
4
3
2
1
42
31
nn
nn
????
4
3
2
1
n
n
n
n
OTPORNOST MATERIJALA
53
10.2 Ravansko stanje napona
Dobar deo mašinskih i graĊevinskih konstrukcija, kao što su
Rezervoari teĉnosti i gasa,
Brodske i avionske konstrukcje,
Mostovi,
Oplata mašina alatki i ţeljezniĉkih vagona, ...
napravljeni su i od površinskih nosećih elemenata (tankih ploĉa ili ljuski).
Zbog male debljine ovih nosećih elemenata moţe se pretpostaviti da im je raspodela napona po debljini ravnomerna.
Posmatrajmo tanku pravougaonu ploĉu u kojoj je zbog opterećenja, izazvano ravansko stanje napona.
Naponi σx , σy i τ ove ploĉe, svedeni su na srednju površinu.
OTPORNOST MATERIJALA
54
I ovde ćemo radi jednostavnosti posmatrati glavni pogled ploĉe sa uoĉenim i izdvojenim elementarnim delom.
OTPORNOST MATERIJALA
55
OTPORNOST MATERIJALA
56
Odavde proizilazi logiĉan zakljuĉak da je zbir normalnih napona, za bilo koji par meĊusobno upravnih osa koje prolaze kroz jednu taĉku, isti.
OTPORNOST MATERIJALA
57
10.3 Ekstremne vrednosti normalnih napona ?
OTPORNOST MATERIJALA
58
Ekstremne vrednosti normalnih napona nazivaju se glavni normalni naponi.
Ravni u kojima ti naponi deluju nazivaju se glavne ravni ili ravni glavnih normalnih napona.
Odgovarajući pravci nazivaju se glavni pravci ili pravci glavnih normalnih napona.
OTPORNOST MATERIJALA
59
NAPOMENE
OTPORNOST MATERIJALA
60
10.4 Tangencijalni naponi (naponi smicanja, smiĉući naponi) za ravni glavnih normalnih napona?
OTPORNOST MATERIJALA
61
10.5 Ekstremne vrednosti napona smicanja ?
OTPORNOST MATERIJALA
62
Ravni u kojima deluju ekstremni naponi smicanja nazivaju se ravnima ekstremnih napona smicanja.
U kom meĊusobnom poloţaju stoje ravni glavnih normalnih napona i ravni ekstremnih napona smicanja?
yx
xytg
22
xy
yxtg
22
122 tgtg
4
OTPORNOST MATERIJALA
63
Veza izmeĊu max,min i 1,2 kod ravanskog stanja napona definisana je dakle izrazom
Pošto predznak tangencijalnog napona nema fiziĉkog znaĉenja (za izotropne materijale) obe njegove ekstremne vrednosti moţemo oznaĉiti sa max
221
minmax,
22max 4
21
xyyx 2
21max
OTPORNOST MATERIJALA
64
Ravansko stanje napona moţemo posmatrati kao jedno sloţeno naprezanje kod kojeg se stanje napona definiše tenzorom
OTPORNOST MATERIJALA
65
10.6 Dvoosno naprezanje
Dvoosno naprezanje ili naprezanje u dva pravca srećemo kod površinskih nosećih elemenata (npr. ploĉa).
Posmatrajmo tanku ploĉu napregnutu u x i y pravcu.
yxy
yxx
y
x
00
00
xy
yx
OTPORNOST MATERIJALA
66
Razmotrimo sada deformisanje izdvojenog elementarnog dela na bazi principa superpozicije.
x Ex
Ey
y Ex
E
y
OTPORNOST MATERIJALA
67
Iz razmatranja deformisanja izdvojenog elementarnog dela, dvoosno napregnute tanke ploĉe, slede veze deformacija i napona
10.7 Specijalni sluĉajevi dvoosnog naprezanja
OTPORNOST MATERIJALA
68
10.8 Dvoosno naprezanje – Transformacija napona
2sin21
2cos21
21
yxxy
yxyxx
OTPORNOST MATERIJALA
69
10.9 Ĉisto smicanje
Podsetimo se na ĉinjenicu da smo saglasno principu superpozicije ravansko stanje napona, posmatrano kao sloţeno naprezanje, razloţili na:
Naprezanje u dva pravca i
Ĉisto smicanje (naprezanje na ĉisto smicanje).
Sada se pozabavimo problemom ĉistog smicanja.
10.10 Ĉisto smicanje – Transformacija napona
10.11 Ĉisto smicanje – Glavni normalni naponi
OTPORNOST MATERIJALA
70
10.12 Ĉisto smicanje – Deformacije
Osvrnimo se na kvadratni elementarni deo ploĉe izloţen ĉistom smicanju.
Promenom pravog ugla izmeĊu meĊusobno normalni strana, za ugao klizanja γ i
Promenom duţina dijagonala d za Δd.
OTPORNOST MATERIJALA
71
Pri ĉistom smicanju u ravnima zaokrenutim za =±/4 u odnosu na uoĉeni poduţni pravac, pojaviće se samo normalni naponi intenziteta .
U jednom pravcu je zatezanje, a u drugom pritisak (ovo jednu dijagonalu izduţuje, a drugu skraćuje).
U ravnima najvećeg napona smicanja nema normalnih napona. Ovakvo stanje naprezanja naziva se ĉisto smicanje.
Prisetimo se sada specijalnog sluĉaja dvoosnog naprezanja
Hukov zakon koji povezuje deformacije i napone za ovaj sluĉaj dvoosnog naprezanja glasi
yx
OTPORNOST MATERIJALA
72
Na osnovu ove
slike i ovako
definisnog
Hukovog zakona
moţemo zakljuĉiti
da kod ĉistog
smicanja vaţi
Modul klizanja G je fiziĉka karakteristika materijala koja povezuje napon smicanja i odgovarajuću ugaonu deformaciju.
Isti se izraţava u MPa ili drugim jedinicama kao i modul elastiĉnosti E.
Zavisnost napona smicanja od ugaone deformacije moţe se dobiti eksperimentalno.
-γ kriva koja se pri tome dobije, sliĉna je - krivoj (inţenjerskoj naonsko-deformacionoj krivoj) sa kojom smo se ranije upoznali.
Za dobijanje -γ krive konkretnog metalnog materijala koriste se tanke cevi koja se izlaţu uvijanju momentom Mt .
0
1
xy
yx E
1E
OTPORNOST MATERIJALA
73
10.13 Deformacije i Hukov zakon pri ravanskom stanju napona
Deformacije pri ravanskom stanju napona odredićemo na odnovu saznanja o deformacijama pri dvoosnom naprezanju i ĉistom smicanju.
To isto vaţi i za Hukov zakon.
Ravansko stanje napona – Poduţna deformacija x
x Ex
Ey
0
0y Ex
E
y
OTPORNOST MATERIJALA
74
Ravansko stanje napona – Poduţna deformacija y
Ravansko stanje napona – Ugaona deformacija γ
Iz prethodnog proizilazi da Hukov zakon koji povezuje deformacije i napone kod ravanskog stanja napona, ima oblik
Hukov zakon koji povezuje napone i deformacije kod ravanskog stanja napona.
G 0 0
G
E
E
xy
xyy
yxx
2
2
1
1
G
E
E
xy
yxy
yxx
1
1
OTPORNOST MATERIJALA
75
10.14 Ravansko stanje napona – Transformacija deformacija pri rotaciji koordinatnog sistema
Sabiranjem prva dva izraza dobijamo prvu invarijantu deformacija
Izrazi su napisani na osnovu sliĉnosti sa transformacionim izrazima za napone.
Ako prva dva izraza pomnoţimo, a treći kvadriramo i rezultate tih operacija oduzmemo, dobićemo drugu invarijantu deformacija
I ovi izrazi su napisani na osnovu sliĉnosti sa transformacionim izrazima za napone.
1Iyxyx
2
22
21
21 Ixyyxxyyx
222,1 2
121
xyyxyx
yx
xytg
2
OTPORNOST MATERIJALA
76
10.15 Prostorno stanje napona i deformacija
U najvećem broju sluĉajeva imamo posla sa prostornim stanjem napona i deformacija.
Prostorno stanje napona i deformacija za Dekartov koordinatni sistem definišu odgovarajući tenzori,
Tenzor napona
Tenzor deformacija
Hukov zakon sluĉaju prostornog stanja napona i deformacija, na osnovu onoga što smo spoznali kod ravanskog stanja napona, glasi
Ovaj oblik Hukovog zakona povezuje
deformacije i napone.
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
21
21
21
21
21
21
G
G
G
E
E
E
zxzx
yzyz
xyxy
yxzz
xzyy
zyxx
1
1
1
OTPORNOST MATERIJALA
77
Hukov zakon koji povezuje napone i deformacije (temperatura nije uzeta u obzir)
Hukov zakon u sluĉaju troosnog naprezanja (tri ose su pravci glavnih normalnih napona)
zxzx
yzyz
xyxy
yxzz
xzyy
zyxx
GGG
E
E
E
121 1
121 1
121 1
G
G
G
E
E
E
zxzx
yzyz
xyxy
yxzz
xzyy
zyxx
1
1
1
000
1211
1211
1211
31
23
12
2133
1322
3211
E
E
E
OTPORNOST MATERIJALA
78
10.16 Prostorno stanje napona i deformacija – Uticaj temperature
Za odreĊivanje glavnih normalnih napona 1 , 2 i 3 , za sluĉaj troosnog stanja napona, koristi se kubna jednaĉina
Invarijante napona
Glavni tangencijalni naponi
10.17 Ravansko stanje deformacija
Ravansko stanje deformacija se javlja kod tela sa velikom dimenzijom u pravcu jedne ose.
Primer su kontinualno opterećeni gredni nosaĉi.
Ravansko stanje deformacija imamo na mestima dovoljno uidaljenim od oslonaca.
G
G
G
TE
TE
TE
zxzx
yzyz
xyxy
yxzz
xzyy
zyxx
1
1
1
zxzx
yzyz
xyxy
yxzz
xzyy
zyxx
GGG
TEE
TEE
TEE
21
121 1
21
121 1
21
121 1
0322
13 III
2223
2222
1
2 xyzzxyyzxzxyzxyzyx
zxyzxyxzzyyx
zyx
I
I
I
232
23
2
3113
221
12
OTPORNOST MATERIJALA
79
Hukov zakon za ravansko stanje deformacija:
Hukov zakon za prostorno stanje deformacija:
G
E
E
xyxy
xzyy
zyxx
1
1
OTPORNOST MATERIJALA
80
10.18 Elipse, elipsoidi i Morovi krugovi napona i deformacija
Grafiĉko predstavljanje stanja napona i stanja deformacija u proizvoljnoj taĉki opterećenog deformabilnog tela, vrši se elipsama, elipsoidima i Morovim krugovima.
Morovim krugovima moguće je predstaviti jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i trodimenzionalne sluĉajeve.
10.19 Morov krug napona u sluĉaju ravanskog stanja napona
Poći ćemo od izraza za transformaciju napona pri rotaciji koordinatnog sistema:
2cos2sin21
2sin2cos21
21
xyyxxy
xyyxyxx
2
2cos2cos2sin2sin21
2sin2cos2sin2cos21
21
2222
2
22222
xyxyyxyxxy
xyxyyxyxyxx
2222
21
21
xyyxxyyxx
OTPORNOST MATERIJALA
81
10.20 O predznacima napona
O predznacima napona postoji dogovor (konvencija).
Razlikovaćemo dve konvencije o predznacima.
Jednu koja se odnosi na analitiĉki i drugu koja se odnosi na grafiĉki metod prikazivanja napona.
OTPORNOST MATERIJALA
82
Sada za primer, grafiĉki, pomoću Morovog kruga, predstavimo naponsko stanje stanje u nekoj taĉki središnje površine ploĉe.
Neka su za kvadratni elementarni deo poznati normalni i tangencijalni naponi σx , σy i τ.
OTPORNOST MATERIJALA
83
Za odreĊivanje pravaca glavnih normalnih napona σ1 i σ2 koristimo pol P.
OTPORNOST MATERIJALA
84
Pravci glavnih normalnih napona σ1 i σ2 ?
Ugao 21 i 1 ?
OTPORNOST MATERIJALA
85
Izaberimo sada proi-zvoljnu taĉku H.
Pravac napona σH ? Naponi σH i H ?
OTPORNOST MATERIJALA
86
Sliĉan Morovom krugu napona je Morov krug deformacija.
Kod Morovog kruga napona u σ-τ koordinatnom sistemu, ispod σ ose se crtaju tangencijalni naponi koji obrću suprotno kazaljci na ĉasovniku, a iznad tangencijalni naponi koji obrću u smeru kazaljke na ĉasovniku.
Kod Morovog kruga deformacija u ε-(1/2) sistemu, pozitivna ugaona deformacija se nanosi iznad ε ose, a negativna ispod.
Glavni naponi kod ravanskog stanja napona su ose elipse definisane jednaĉinom
Glavni naponi kod prostornog stanja napona su ose elipsoida definisanog jednaĉinom
11. TEHNIĈKO SMICANJE
Ĉisto smicanje je u praksi vrlo tešo ostvariti.
Isto je skoro uvek je povezano sa savijanjem.
U većini sluĉajeva savijanje je dominantno.
Ponekad je situacija obrnuta.
Pri seĉenju štapa, osim smicanja, javlja se i savijanje momentom M, stim što je smicanje jaĉe izraţeno.
122
2
21
2
123
2
22
2
21
2
OTPORNOST MATERIJALA
87
Sliĉnu situaciju imamo i u sluĉaju probijanja otvora na limovima.
Probleme tehniĉkog smicanja imamo kod:
Zakovanih veza (sa jednoseĉnim ili višeseĉnm zakivcima),
Zavarenih veza,
Osovinica preko kojih se prenosi vuĉna sila,
Zavrtnjeva preko kojih se prenosi obrtni moment.
11.1 Zakovane veze
OTPORNOST MATERIJALA
88
11.2 Zavarene veze
OTPORNOST MATERIJALA
89
11.3 Osovinice preko kojih se prenosi vuĉna sila
11.4 Zavrtnjevi preko kojih se prenosi obrtni moment
OTPORNOST MATERIJALA
90
12. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POPREĈNIH PRESEKA
Popreĉni presek je geometrijska figura (slika) u preseĉnoj ravni koja je normalna na osu štapa ili grede, odnosno srednju površinu ploĉe ili ljuske.
U svrhu analize razliĉitih vidova naprezanja linijskih i površinskih nosećih elemenata, potrebno je poznavati geometrijske karakteristike popreĉnih preseka.
Što se tiĉe geometrijskih karakteristika popreĉnih preseka obradićemo:
Površinu,
Statiĉki moment,
Aksijalni moment inercije (tromosti),
Centrifugalni moment inercije i
Polarni moment inercije,
Posmatraćemo proizvoljni popreĉni presek u xy ravni Dekartovog koordinatnog sistema.
Površina popreĉnih preseka
Površina proizvoljnog popreĉnog preseka definisana je izrazom
Dimenzija površine je
NAPOMENA: Površine popreĉnih preseka se koriste pri rešavanju problema aksijalnog naprezanja i tehniĉkog smicanja.
A
dAA
OTPORNOST MATERIJALA
91
12.1 Statiĉki momenti
Statiĉki momenti proizvoljnog popreĉnog preseka, za ose x i y, definisani su izrazima
Dimenzija ovih momenata je
Vezu statiĉkih momenata popreĉnog preseka i koordinata njegovog teţišta xT i yT definišu izrazi
Za sluĉaj da su ose x i y ujedno i teţišne ose
Ay
Ax
dAxS
dAyS
OTPORNOST MATERIJALA
92
Statiĉki moment popreĉnog preseka, za posmatranu osu, predstavlja geometrijsku karakteristiku jednaku proizvodu veliĉine površine popreĉnog preseka i rastojanja njegovog teţišta od posmatrane ose.
12.2 Aksijalni momenti inercije
Aksijalni momenti inercije proizvoljnog popreĉnog preseka, za ose x i y, definisani su izrazima
Dimenzija ovih momenata je
Aksijalni moment inercije popreĉnog preseka, za posmatranu osu, predstavlja geometrijsku karakteristiku jednaku proizvodu površine popreĉnog preseka i kvadrata rastojanja njegovog teţišta od posmatrane ose.
Ay
Ax
dAxI
dAyI
2
2
OTPORNOST MATERIJALA
93
12.3 Centrifugalni moment inercije
Centrifugalni moment inercije proizvoljnog poprečnog
preseka, za par upravnih osa x i y, definisan je izrazom
Dimenzija ovog momenata je
Centrifugalni moment inercije popreĉnog preseka, za par posmatranih upravnih osa, predstavlja geometrijsku karakteristiku jednaku proizvodu površine popreĉnog preseka i rastojanja njegovog teţišta od para posmatranih upravnih osa.
Centrifugalni moment inercije za presek sa makar jednom osom simetrije, jednak je nuli.
A
xy dAxyI
A
xy dAxyI
][][ 42 LLLL
000
xyI
21
21
21
xxyy
dAdAdA
0 xyxy dII
0222111 dAyxdAyxdI xy
OTPORNOST MATERIJALA
94
12.4 Polarni moment inercije
Polarni moment inercije površine proizvoljnog popreĉnog preseka (moment inercije za pol O) definisan je izrazom
Polarni moment inercije površine popreĉnog preseka, za posmatrani pol, predstavlja geometrijsku karakteristiku jednaku zbiru aksijalnih momenata inercije za ose kojima je posmatrani pol koordinatni poĉetak (ishodište).
12.5 Opšti izraz za geometrijske karakteristike popreĉnih preseka
Geometrijske karakteristike koje smo razmatrali generalno moţemo definisati momentom (m+n)-tog reda datog u obliku:
OTPORNOST MATERIJALA
95
12.6 Pravilo o sabiranju geometrijskih karakteristika
Pravilo o sabiranju geometrijskih karakteristika odnosi se na sloţene popreĉne preseke.
Za primer ćemo posmatrati jedan sloţeni presek.
OTPORNOST MATERIJALA
96
Ako se sloţeni popreĉni presek sastoji od n pojedinaĉnih delova onda oznaka za sabiranje u izrazima sa prethodnog slajda dobija oblik
Za oslabljen popreĉni presek, nekad je prikladnije geometrijske karakteristike izraziti kao razliku geometrijskih karakteristika pojedinih delova.
12.7 Promena momenata inercije pri translaciji koordinatnog sistema
Neka su u xy koordinatnmom sistemu poznati momenti inercije Ix , Iy , Ixy .
Potraţimo momente inercije I , I , I u krdinatnom sistemu kojem su ose paralelne sa osama xy koordinatnog sistema (koji je nastao translacijom xy koordinatnog sistema).
n
i 1
OTPORNOST MATERIJALA
97
Izrazi za momente inercije I, I i I proizvoljnog popreĉnog preseka, u koordinatnom sistemu, po definiciji glase
OTPORNOST MATERIJALA
98
Izraz za polarni moment inercije I01, proizvoljnog popreĉnog preseka u koordinatnom sistemu, po definiciji glasi
Do izraza kojim je definisana promena polarnog momenta inercije pri translaciji koordinatnog sistema
xy SbSaArII 22001
xy
xyyx
yyxx
SbSaArI
SbSaAbaII
SaAaISbAbII
2
2
22
20
22
2201
OTPORNOST MATERIJALA
99
Ako se saglasno ovoj slici koordinatni poĉetak O podudara sa teţištem T, onda vaţi:
Momenti inercije popreĉnog preseka, za osu koja ne prolazi kroz njegovo teţište, jednaki su zbiru momenata inercije za paralelnu teţišnu osu i poloţajnih momenta inercije.
Ovo pravilo o raĉunanju momenta inercije, po autoru Štajneru, zove se Štajnerovo pravilo ili Štajnerov teorem.
OTPORNOST MATERIJALA
100
12.8 Promena momenata inercije pri rotaciji koordinatnog sistema
Neka su u xy koordinatnmom sistemu poznati momenti inercije Ix , Iy , Ixy .
Potraţimo momente inercije Ix ,Iy ,Ixy uxy krdinatnom sistemu kojem su ose paralelne sa osama xy koordinatnog sistema (koji je nastao translacijom xy koordinatnog sistema).
Veza koordinata taĉaka, uxy i xy kordinatnim sistemima, prema slici levo, definisana je izrazima
OTPORNOST MATERIJALA
101
Sliĉno kao kod napona, sabiranjem prva dva izraza dobijamo prvu invarijantu momemata inercije
Ponov, sliĉno kao kod napona, ako prva dva izraza pomnoţimo, a treći izraz kvadriramo i rezultate tih operecija oduzmemo, dobićemo drugu invarijantu momenata inercije
10 IIIII yxyx
222 xyyxxyyx IIIIII
OTPORNOST MATERIJALA
102
12.9 Ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercijeIx iIy
Ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercijeIx iIy odredićemo iz uslova da je prvi izvod po υ funkcija
jednak nuli (0).
proizilazi da se ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercije (max i min) odnose na koordinatni sistem koji je u odnosu na xy koordinatni sistem zarotiran za ugao .
12.10 Kojoj od ekstremnih vrednosti odgovara = ?
Odgovor na ovo pitanje dobićemo na osnovu analize drugih izvoda po , ovih funkcija
2sin2cos21
21
2sin2cos21
21
xyyxyxy
xyyxyxx
IIIIII
IIIIII
2sin2cos21
21
2sin2cos21
21
xyyxyxy
xyyxyxx
IIIIII
IIIIII
dd
02cos22sin
xyyxyx III
dId
dId
yx
xy
III
tg
2
2
2sin2cos21
21
2sin2cos21
21
xyyxyxy
xyyxyxx
IIIIII
IIIIII
OTPORNOST MATERIJALA
103
PoĊimo od ovog što već imamo
U ovom izrazu ćemo razlikovati dva sluĉaja:
Rotacijom x ose za ugao dobija se osax za koju aksijalni moment inercije Ix ima maximalnu (max) vrednost.
2cos22sin xyyxyx III
dId
dId
dd
02cos42sin22
2
2
2
xyyxyx III
dId
dId
yx
xyyxyx
IIIII
dId
dId
2cos42 22
2
2
2
xy
yx
IIII
)2
)1
OTPORNOST MATERIJALA
104
Rotacijom y ose za ugao dobija se osay za koju aksijalni moment inercije Iy ima maximalnu (max) vrednost.
12.11 Koje izraze koristiti za odreĊivanje ekstremnih vrednosti aksijalnih momenata inercije ?
Ovo su izrazi za odreĊivanje ekstremnih vrednosti aksijalnih momenata inercije.
OTPORNOST MATERIJALA
105
12.12 Maksimalna vrednost centrifugalnog momenata inercijeIxy
Maksimalnu verednost centrifugalnog momenta inercijeIxy odredićemo iz uslova da je prvi izvod po υ , funkcije
jednak nuli (0).
Odavde zakljuĉujemo da ćemo maksimalnu vrednost momenta inercije Ixy imati za neki ugao =.
12.13 Koji izraz koristiti za odreĊivanje maksimalnog centrifugalnog momenta inercije ?
2cos2sin21
xyyxxy IIII
2sin22cos221
xyyxxy III
dId
xy
yx
III
tg2
2
2cos2sin21
xyyxxy IIII
dd
02sin22cos
xyyxxy III
dId
OTPORNOST MATERIJALA
106
Ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercije jesu vrednosti glavnih momenata inercije I1,2 kojima odgovaraju glavne ose inercije (1) i (2).
Ako su ose x i y težišne ose, onda se moţe govoriti i o glavnim težišnim momentima inercije i odgovarajućim glavnim težišnim osama inercije i tada imamo:
Za par glavnih teţišnih osa inercije centrifugalni moment inercije jednak je nuli (0).
222,1minmax, 4
21
21
xyyxyx IIIIIII
22max, 4
21| xyyxxyxy IIIII
yx II )1
012
2min
1max
II
III
III
xy
y
x
xy II )2
012
1max
2min
II
III
III
xy
y
x
OTPORNOST MATERIJALA
107
12.14 Morov krug inercije
Promenu momenata inercije pri rotaciji koordinatnog sistema moguće je predstaviti grafiĉki korišćenjem Morovog kruga inercije (tromosti).
Morov krug inercije sliĉan je Morovom krugu napona i Morovom krugu deformacija.
Tvrdnju o sliĉnosti pozkrepićemo sliĉnošću odgovarajućih izraza za napone i momente inercije.
222
221
421
21
421
21
xyyxyx
xyyxyx
IIIIII
IIIIII
222
221
421
21
421
21
xyyxyx
xyyxyx
22max 4
21
xyyx
22max , '' 4
21
xyyxyx IIII
121 Iyx
121 I yx IIII
OTPORNOST MATERIJALA
108
ZAPAŢANJE:
PotvrĊuje se sliĉnost izraza za glavne napone i glavne momenata inercije !
Morovog kruga inercije se crta u Ix/Iy – Ixy koordinatnom sistemu.
Iznad Ix/Iy ose nanose se pozitivne vrednosti momenta Ixy , a ispod negativne.
Glavne teţišne momente inercije i glavne teţišne ose inercije odreĊujemo na potpuno identiĉan naĉin kao što odreĊujemo glavne napone i pravce glavnih napona.
12.15 Polupreĉnici inercije
Polupreĉnik inercije je veliĉina koja se odreĊuje pomoću izraza
Dimenzija polupreĉnika inercije je: 𝑳
Za teţišne ose x i y: Za glavne teţišne ose (1) i (2):
12.16 Elipsa inercije
Elipsa inercije prostire se u pravcu prostiranja površine popreĉnog preseka.
Ostalo nam je još da obradimo dodatne geometrijske karakteristike popreĉnih preseka, ito:
Aksijalni otprni moment (otporni moment za osu) i
Polarni otporni moment.
12.18 Aksijalni otporni momenti za ose x i y
Aksijalni otporni momenti Wx i Wy za ose x i y koriste se pri rešavanju problema savijanja.
maxyIw x
x maxxI
w yy
OTPORNOST MATERIJALA
110
12.19 Polarni otporni moment za pol O
Polarni otporni moment W0 koiste se pri rešavanju problema uvijanja.
ZADATAK 1
Odrediti geometrijske karakteristike popreĉnih preseka datih na slici.
max
00
Iw
OTPORNOST MATERIJALA
111
ZADATAK 2
Na slici je prikazana je geometrijska fugura.
1. Odrediti vrednosti momenata inercije Ix , Iy i Ixy za teţišne ose x i y.
2. Odrediti vrednosti i pravce glavnih teţišnih momenta inercije.
3. Nacrtati pravce glavnih teţišnih momenata inercije i elipsu inercije.
OTPORNOST MATERIJALA
112
13. UVIJANJE
Problem uvijanja se javlja kod mašinskih elemanata koji prenose snagu obrtanjem.
Element oblika štapa koji prenosi snagu obrtanjem zove se vratilo.
Dakle, vratila su opterećen na uvijanje.
Element oblika štapa, koji se obrće a na prenosi snagu, već je napregnut na savijanje, zove se osovina.
Izraz za snagu koja se prenosi obrtanjem glasi:
P – Snaga u [W]
Mt – Obrtni (torzioni) moment (moment uvijanja) u [Nm]
- Ugaona brzina u [rad∙s-1]
Ugaona brzina ω zavisi od uĉestanosti obrtanja n i iznosi:
n – Uĉestanost obrtanja u [s-1]
13.1 Konvencija o predznaku momenta uvijanja
Moment uvijanja (torzije) Mt je pozitivan (+) ako mu je smer suprotan smeru kazaljke na ĉasovniku.
Moment uvijanja Mt je negativan (-) ako mu se smer podudara sa smerom kazaljke na ĉasovniku.
Predznak o momentu uvijanja UvoĊenjem ovakvih oznaka moguće je uspostaviti sliĉnost sa predznacima normalnih preseĉnih sila kod aksijalno napregnutih štapova.
U popreĉnom preseku štapa napregnutog na uvijanje, pojaviće se samo moment uvijanja (torzije), a sve ostale preseĉne sile biće jednake su nuli
tMP
n 2
OTPORNOST MATERIJALA
113
Moment uvijanja moţe biti:
1) Koncentricani Mt (deluje u ravni
upravnoj na poduţnu osu štapa) i
2) Kontinualni m (konstantan po duţini
štapa ili je u funkciji od koordinate z)
13.2 Uvijanje štapova kruţnog popreĉnog preseka
Da bi se problem uvijanja štapova kruţnog popreĉnog preseka lakše shvatio, za primer ćemo uzeti štap sa uoĉenom izvodnicom AA’.
Štap kruţnog popreĉnog preseka sa uoĉenom izvodnicom AA’
000
000
t
y
x
y
x
MMMNTT
OTPORNOST MATERIJALA
114
Ako posmatrani štap napregnemo na uvijanje on će se deformisati.
Izvodnica AA’ će zauzeti poloţaj AA”.
Deformacija štapa je definisana uglom klizanja (za izvodnicu AA’ ugao klizanja je R jer se ista nalazi na omotaĉu valjka polupreĉnika R).
Ugao klizanja izaziva rotaciju kraja štapa definisanu priraštajem d, ugla uvijanja .
Da bi se rešili problemi uvijanja štapova kruţnog popreĉnog preseka, uvedene su sljedeće pretpostavke:
Pretpostavka o naponima,
Pretpostavka o deformacijama i
Pretpostavka o proširenom Hukovom zakonu.
Pretpostavka o naponima
U popreĉnom preseku štapa izloţenog samo uvijanju imamo napone smicanja.
Svi ostali naponi jednaki su nuli (0).
00
00
z
z
zy
zx
OTPORNOST MATERIJALA
115
Na štapu sa kruţnim popreĉnim presekom, izloţenom uvijanju uoĉimo zamišljeni element duţine dz.
Iz uoĉenog zamišljenog elementa, na udaljenosti od ose, izdvojimo zamišljeni cevni element debljine d, a zatim iz njega izdvojimo zamišljeni elementarni deo.
OTPORNOST MATERIJALA
116
Iz pretpostavke da se na popreĉnom preseku štapa, pri delovanju momenta uvijanja, pojavljuju samo naponi smicanja, na udaljenosti veliĉina ovih napona jednaka .
Pretpostavka o deformacijama
Popreĉni preseci štapa kruţnog popreĉnog preseka, ravni i upravni na osu štapa pre delovanja momenta uvijanja, ostaju ravni i upravni na osu štapa i posle delovanja momenta uvijanja.
Promena duţina svih izvodnica štapa pri delovanju momenta uvijanja moţe se zanemariti (izvodnice ostaju pribliţno iste i posle delovanja momenta uvijanja).
Pretpostavka o proširenom Hukovom zakonu
Ako za aksijalno napregnut štap vaţi Hukov zakon u obliku
onda za štap izloţen uvijanju vaţi prošireni Hukov zakon formulisan na naĉin
13.11 Uštede u materijalu korišćenjem šupljih vratila
Podsetomo se da je napon smicanja z(z), pri uvijanju vratila, linearna funkcija od polupreĉnika njegovog kruţnog popreĉnog preseka.
Raspodela napona smicanja pri uvijanju vratila kruţnog popreĉnog preseka prikazana je grafiĉki.
Grafiĉki prikaz raspodele napona smicanja smicanja pri uvijanju vratila kruţnog popreĉnog preseka
ZAPAŢANJE: Unutrašnji deo vratila je manje napregnut na uvijanje od spoljašnjeg dela.
IDEJA: Uz malo povećanje spoljašnjeg preĉnika i primenu kruţno-prstenastog popreĉnoh preseka ostvariti uštedu u materijalu.
Posmatrajmo dva vratila od istog materijala, kruţnog i kruţno-prstenastog popreĉnog preseka !
zIzMz t
z0
R 0
OTPORNOST MATERIJALA
126
Kružni i kružno-prstenasti poprečni presek vratila
Zone (oblasti) iskorišćenosti materijala kod punih vratila ?
Razmotrimo sluĉaj vratila V1 kruţnog i vratila V2 kruţno-prstenastog popreĉnog preseka koja su od istog materijala, iste duţine i istog momenta uvijanja Mt.
OTPORNOST MATERIJALA
127
Da bi vratila V1 i V2 imala istu nosivost, potrebno je da im maksimalni naponi smicanja imaju istu vrednost.
Koristeći oznake na slici sa prethodnog slajda odredimo odnose:
Preĉnika: Teţina: Uglova uvijanja:
Odnos preĉnika (kriterijum dozvoljenog napona smocanja d !
Odnos teţina (prema izrazima za izraĉunavanje teţina)!
21 maxmax VV
2
1
dd
2
1
QQ
2
1
3 4
3 4d
3
d
2
1 1
1 16
16
t
t
M
M
dd
21 dd
3
2
dd
222
111
2
1
lAlA
QQ
222
21
23
22
21
23
22
21
2
1
2
1
144
4
d
ddd
ddd
d
AA
QQ
21
21
ll
OTPORNOST MATERIJALA
128
1 , 2 – Specifiĉne teţine vratila V1 i V2
l1 , l2 – Duţine vratila V1 i V2
A1 , A2 – Površine popreĉnih preseka vratila V1 i V2
ZAKLJUĈAK: Sa šupljim vratilom je ostvarena ušteda u materijalu.
Odnos uglova uvijanja (prema izrazima za izraĉunavanje uglova uvijanja) !
2
221
2
1
1
ddQQ
3
2
22
332
2222
2
3 24
2
1
11
111
11
QQ
3 4
2
1 1 dd
21 QQ
2'2
1'
1
2
1
ll
1,0
2,0
2,0
1,0
2
1
II
IGMIG
M
t
t
32
132
41
442
2
1
d
d
21
2,0
'1
1,0
'1
llIG
MIG
M
t
t
442
2,0
41
1,0
132
32
dI
dI
1
2
3 42
1
11
dd
OTPORNOST MATERIJALA
129
ZAKLJUĈAK: Uz uštedu materijala, kod šupljeg vratila imamo i veću krutost.
13.12 Problemi uvijanja štapova
Problemi uvijanja koje ćemo rešavati odnose se na:
Štapove kruţnog i kruţno-prstenastog popreĉnog preseka (površina preseka A=const),
Štapove kruţnog i kruţno-prstenastog popreĉnog preseka (površina preseka A≠const).
Sliĉno kao i problemi aksijalnog naprezanja štapova i problemi uvijanja štapova mogu biti:
Statiĉki odreĊeni i
Statiĉki neodreĊeni.
Primer statiĉki odreĊenog i statiĉki neodreĊenog štapa opterećenog na uvijanje
2. Prema dozvoljenom naponu na uvijanje d = 5 kN/cm2 i prema dozvoljenom relativnom uglu uvijanja ’d= 1,5 /m, odrediti potrebne preĉnike štapa na delovima i (usvojene vrednosti preĉnika zaokruţiti na cele mm).
OTPORNOST MATERIJALA
132
14. SAVIJANJE
U posebnu grupu mašinskih elemenata opterećenih na savijanje spadaju:
Vratla i
Osovine.
Vratila su u opštem sluĉaju, osim na savijanje, opterećena još na zatezanje (pritisak) i na uvijanje.
Prema principu nezavisnosti, svako od opterećenja, moţe se razmatrati odvojeno.
Sa zatezanjem (pritiskom), odnosno sa aksijalnim ili poduţnim opterećenjem (naprezanjem) već smo se upoznali.
Upoznali smo se i sa naprezanjem na uvijanje.
Aksijalno naprezanje i naprezanje na uvijanje odnosili su se na štapove kao linijske noseće elemente.
Naprezanje na savijanje ili samo, savijanje, odnosi se na linijske noseće elemente koji se zovu grede (gredni nosaĉi).
Poduţne ose štapova su pri aksijalnom naprezanju ili pri naprezanju na uvijanje ostajale nepromenjene.
Ravne grede sa svojim poduţnim osama, pri savijanju se zakrivljuju.
Savijanje se moţe podeliti na:
Ĉisto savijanje i
Savijanje silama.
OTPORNOST MATERIJALA
133
14.1 Ĉisto savijanje
U svrhu razumevanja ovog problema, poći ćemo od opšteg sluĉaja opterećenja grede.
Izabraćemo jedan popreĉni presek grede (izabrani popreĉni presek).
Iz grede ćemo izdvojiti deo koji sadrţi izabrani popreĉni presek, a zatim ćemo posmatrati napone na tom preseku.
Naponi na izabranom popreĉnom preseku grede pri opštem sluĉaju opterećenja
Na izabranom popreĉnom preseku grede, pri opštem sluĉaju opterećenja , imamo napone:
Normalni napon tangencijalne napone
14.2 Ĉisto savijanje – Pretpostavke
U svrhu rešavanja problema ĉistog savijanja, kao i kod drugih vidova naprezanja, usvojene su izvesne pretpostavke, ito:
Pretpostavka o naponima,
Pretpostavka o deformacijama i
Pretpostavka o vezi napona i deformacija.
Čisto savijanje – Pretpostavka o naponima
U sluĉaju ĉistog savijanja grede, normalni napon je razliĉit od nule, dok su tangencijalni naponi jednaki nuli.
z zzyzx , ,
OTPORNOST MATERIJALA
134
Na osnovu pretpostavke o naponima, jednaĉine ravnoteţe za izabrani popreĉni presek izdvojenog grednog dela, glase:
Zamislimo da sve strane grede sadrţe ortogonalnu mreţu linija.
Greda se, kako je već reĉeno, pri savijanju zakrivljuje, pa joj se na jednoj strani poduţna vlakna izduţuju, a na drugoj skraćuju.
Ak se poduţna vlakna na jednoj strani savijene grede izduţuju, a na drugoj skraćuju, logiĉno je zakljuĉiti da u savijenoj gredi postoje vlakna koja nisu promenila svoju duţinu.
Ova vlakna ze sovu neutralna vlakna, a odgovarajuća površina koja ih sadrţi, neutralna površina (neutralna ravan pre savijanja).
Trag neutalne površine na yz ravni predstavlja neutralnu liniju n-n.
Vratimo se na gredu sa ortogonalnom mreţom linija i pogledajmo šta se dešava sa popreĉnim presecima.
0z 0 zzyzx
A Azxzyz
Az
Azy
Axz
Azx
ydAxdAdA
xdAdA
MydAdA
0 )6 0 )3
0 )5 0 )2
0 )4 0 )1
OTPORNOST MATERIJALA
135
Popreĉni preseci grede opterećene na ĉisto savijanje ostaju ravni !!!
Popreĉni preseci grede pre (gore) i posle ĉistog savijanja (dole)
Iz ĉinjenice da popreĉni preseci grede izloţene ĉistom savijanju, ostaju ravni, sledi
Na izolovanm grednom delu duţine dz, u ravni yz, posmatrajmo vlakno a-a na gornoj strani grede, vlakno b-b na donjoj strani grede, neutralno vlakno n-n i vlakno c-c na udaljenost y.
Izolovani gredni
element posle ĉistog savijanja
0z 0 zyzx
dddy
dzdz
z
yKyz
OTPORNOST MATERIJALA
136
- Radijus krivine (zakrivljenosti)
K – Krivina (zakrivljenost) jednaka reciproĉnoj vrednosti radijusa krivine (zakrivljenosti)
Čisto savijanje – Pretpostavka o vezi napona i deformacija
Vezu napona i deformacija u sluĉaju ĉistog savijanja grednih nosaĉa, definiše Hukovog zakona
Kod ĉistog savijanja
Normalni napon σz zavisi samo od koordinate y
Vratimo se ponovo na jednaĉine ravnoteţe
Normalni napon σz srećemo u trećoj, ĉetvrtoj i petoj jednaĉini.
Pod kojim će uslovima pomenute jednačine biti zadovoljene?
zz E
zyy zKEσ zz ,
yzKyz
constKzK
yzz
A Azxzyz
Az
Azy
Axz
Azx
ydAxdAdA
xdAdA
MydAdA
0 )6 0 )3
0 )5 0 )2
0 )4 0 )1
OTPORNOST MATERIJALA
137
Da bi treća jednaĉina ravnoteţe bila zadovoljena potrebno je da osa x popreĉnog preseka, oko koje se greda savija, bude teţišna osa, jer tada je statĉki moment Sx za tu osu jednak nuli (0).
Da bi peta jednaĉina ravnoteţe bila zadovoljena potrebno je da ose x i y popreĉnog preseka, budu glavne teţišne ose, jer tada je centrifugalni moment inercije Ixy jednak nuli (0).
Do sada smo pretpostavili da su površina popreĉnog preseka grede kao i aksijalni moment inercije za osu x, konstante (A=const i Ix=const).
OTPORNOST MATERIJALA
138
Sada uzmimo da su Aconst i Ixconst .
I u ovom sluĉaju, ako su ose x i y glavne teţišne ose, biće Sx = 0 i Ixy = 0.
Samim tim biće zadovljene treća i peta jednaĉina ravnoteţe o kojima je već bilo reĉi.
Ovakvo savijanje se zove savijanje oko glavne teţišne ose inercije.
OTPORNOST MATERIJALA
139
Ako se gredni nosaĉ savija oko ose x koja je i teţišna i simetralna osa popreĉnog preseka, onda u najudaljenijim suprotnim taĉkama preseka, od te ose, imamo maksimalne vrednosti normalnih napona koje su u apsolutnom smislu jednake.
Kod preseka kojima osa x jeste teţišna, ali nije simetralna osa, u najudaljenijim taĉkama od te ose, u apsolutnom smislu imamo maksimalne vrednosti normalnih napona koje nisu jednake.
Pozitivne vrednosti normalnog napona odnose se na vlakna koja se izdužuju, a negativne na vlakna koja se skraćuju.
Prikaţimo to na primerima.
Primer 1: Rasodela normalnog napona po visini T-profilnog popreĉnog poreseka grednog nosaĉa
OTPORNOST MATERIJALA
140
Primer 2: Rasodela normalnog napona po visini I-profilnog popreĉnog poreseka grednog nosaĉa
Primer 3: Rasodela normalnog napona po visini pravougaonog popreĉnog poreseka grednog nosaĉa
OTPORNOST MATERIJALA
141
Iz raspodela napona na prethodnim slikama zakljuĉujemo sljedeće:
Sva vlakna koja leţe u ravni xz ostaj nepromenjene duţine.
Ravan xz je neutralna ravan.
Teţišna osa z koja leţi u neutralnoj ravni naziva se neutralna linija ili elastiĉna linija.
Napomena: Zakljuĉci i izrazi do kojih smo došli vaţe i u sluĉaju ĉistog savijanja grede oko ose y, momentima My.
14.3 Savijanje silama
Savijanje grednih nosaĉa popreĉnim silama znatno je sloţenije od ĉistog savijanja.
Naponi smicanja izazvani delovanjem popreĉnih sila, pojavljuju se u:
Ravnima upravnim na osu z i
Ravnima u pravcu ose z.
Zato za posledicu imamo krivljenje (vitoperenje) popreĉnih preseka.
Krivljenje (vitoperenje) popreĉnih preseka grednog nosaĉa opterećenog na savijanje popreĉnim silama oko ose x
Pri savijanju grednih nosaĉa silama, oko x ose, za preseseĉne sile vaţi:
0
00
tyx
yy
xx
MMTNzTT
zMM
OTPORNOST MATERIJALA
142
14.4 Savijanje silama – Pretpostavke
I kod problema savijanja silama, kao i kod problema ĉistog savijanja, uvodimo:
Pretpostavku o naponima,
Pretpostavku o deformacijama i
Pretpostavku o vezi napona i deformacija.
Savijanje silama – Pretpostavka o naponima
Pri savijanju silama oko ose x (silama u ravni yz), u proizvoljnom popreĉnom preseku upravnom na osu z, postoje moment savijanja Mx i popreĉne sile Ty i logiĉno je pretpostaviti da su normalni napon i tanencijalni naponi u tom popreĉnom preseku, generalno razliĉiti od nule.
Savijanje silama – Pretpostavka o deformacijama
Zbog krivljenja (vitoperenja) popreĉnih preseka, a na osnovu pretpostavke o naponima, da se zakljuĉiti da vaţi sljedeće:
Za materijale koji se najĉešće koriste u tehnici eksperimentalno je utvrĊeno da vitoperenje (izuzev kod tankozidnih greda) zanemarljivo malo utiĉe na poduţne deformacije vlakana i raspodelu normalnih napona.
Zbog ovoga se kod savijanja silama pretpostavlja da su:
Savijanje silama – Pretpostavka o vezi napona i deformacija
Vezu normalnog napona i poduţne deformacije (dilatacije) u sluĉaju savijanja grednih nosaĉa silama, kao i u sluĉaju ĉistog savijanja, definiše Hukov zakon
0zσ00
zy
zx
0z 00
zy
zx
zz E
OTPORNOST MATERIJALA
143
Pretpostavlja se da u sluĉaju savijanja grednih nosaĉa silama, kao i kod uvijanja, za tangencijalne napone vaţi prošireni Hukov zakon
Savijanje silama – Normalni naponi
U sluĉaju savijanja grednih nosaĉa silama moment savijanja oko x ose
Pošto se uticaj popreĉnih sila na poduţne deformacije vlakana zanemaruje, normalni naponi se kao i u sluĉaju ĉistog savijanja, mogu izraziti na naĉin:
Za Ix=const duţ cele grede, imamo da je
Kao kod ĉistog savijanja, i kod savijanja silama, za y = ymax , imamo maksimalnu vrednost normalnog napona
Za Ix=Ix(z)const vaţi:
NAPOMENA: Sliĉni izrazi vaţe i u sluĉaju savijanja oko ose y, momentima savijanja My.
zyzy
zxzx
GG
constzMM xx
yzKEzσ zz
y
IzMzσ
x
xzz
x
x
IzMzKE
y
IzMz
x
xz
maxmaxmax, W
zMyI
zMz x
x
xz
yzIzMzy
x
xzz ,
zWzMy
zIzMz
x
x
x
xz maxmax,
maxmax
zWzM
x
x
OTPORNOST MATERIJALA
144
14.5 Savijanje silama – Naponi smicanja
Uzmimo u razmatranje gredni element duţine dz.
Neka je greda izloţena savijanju oko ose x pri ĉemu je Mx=Mx(z)const.
Gredni element duţine dz prikazan je na narednoj slici.
Glavne teţišne ose izabranog popreĉnog preseka koji pripada tom grednom elementu, jesu ose x i y.
Raspodela napona smicanja za pravougaoni popreĉni presek
Ovo se zasniva na ĉinjenici da su
vitoperenja popreĉnih preseka
zanemarivo mala.
Sprovedimo sada analizu napona smicanja za gredu sa jednostruko simetriĉnim popreĉnim presekom (osa y je simetralna osa).
Na jednostruko simetriĉnom preseku posmatraćemo duţ AB na udaljenosti y od ose x.
Pravci napona smicanja se seku u taĉki O.
Primer jednostruko simetriĉnog preseka
sa raspodelom napona smicanja
za posmatranu duţ AB
0zy
zx
OTPORNOST MATERIJALA
146
14.6 Savijanje silama – Dokaz o postojanju naponi smicanja
Posmatraćemo jednostruku konzolu sa pravougaonim popreĉnim presekom površine bh, na kraju opterećenu silo F, i dvostruku konzolu sa pravougaonim popreĉnim presecima površine 2[b(h/2)], na isti naĉin opterećenu.
Kod dvostruke konzole će se pojaviti klizanje na dodirnim površinama.
Kod jednostruke konzole neće se pojaviti klizanje, ali će se zato pojaviti naponi smicanja.
Uz dokaz o postojanju napona smicanja pri savijanju silama
14.7 Savijanje silama – Napon smicanja za proizvoljnu taĉku
Posmatrajmo sada gredni element duţine dz sa simetriĉnim popreĉnim presecima koji ga ograniĉavaju.
Na udaljenosti y od ose x uoĉimo površinu dz koja će gredni element podeliti na gornji donji deo.
Na gornjem delu popreĉnih preseka uoĉimo elementarne površine.
Na jednu elementarnu površinu deluje napon z a na drugu (z+dz).
Na gornjoj površini popreĉnog preseka deluje napon smicanja zy .
Na osnovu stava o konjugovanosti napona smicanja, na površini dz delovaće naponi smicanja yz.
OTPORNOST MATERIJALA
147
Uz odreĊivanje napona smicanja za proizvoljnu taĉku, pri savijanju silama
OTPORNOST MATERIJALA
148
ZAKLJUĈAK: Za odreĊivanje napona smicanja u proizvoljnoj taĉki popreĉnog preseka grede, izloţene savijanju silama, koristi se Formula Ţuravskog.
max(z) za konkretno z grede konstantnog popreĉnog preseka (Ix=const), izraĉunava se pomoću izraza
max u celoj gredi konstantnog popreĉnog preseka (Ix=const), izraĉunava se pomoću izraza
Formula Ţuravskog za grede promenljivog popreĉnog preseka (Ix = Ix(z) const) glasi
max(z) za konkretno z grede promenljivog popreĉnog preseka (Ix = Ix(z) const), izraĉunava se pomoću izraza
max u gredi promenljivog popreĉnog preseka (Ix = Ix(z) const), izraĉunava se pomoću izraza
S
max
xmax
yI
zTz
x
y
S
max
xmax,max
x
y
IT
,,S, x
zyzy
zIzT
zyx
yzy
S
max
xmax
zz
zIzT
zx
y
,,S
max
xmax
zyzy
zIzT
x
y
OTPORNOST MATERIJALA
149
ZADATAK 1
Greda na Slici 1 opterećena je na savijanje silama F.
Pretpostaviti da je prosta greda izloţena savijanju silama i definisati raspodelu napona smicanja po visini:
1. Kruţnog,
2. I-profilnog i
3. T-profilnog popreĉnog preseka.
14.9 Savijanje silama – Glavni naponi
Pri savijanju silama izrazi za normalne napone i napone smicanja glase:
• Neka su primera radi, za bilo koji popreĉni presek kontinualno opterećene grede, poznate raspodele raspodele normalnih napona i napona smicanja.
36
3bhI x
x
x
y SIT
22
3 93227
36hy
hyh
bhTy
22
93227 h
yhyhSx
2
93232
hy
hy
ATy
yI
M
x
xz
x
x
y SIT
OTPORNOST MATERIJALA
155
Kontinualno opterećena greda
Normalni naponi i naponi smicanja po središnjem preseku kontinualno opterećene grede i naponski elemenati
Glavni normalni naponi:
Pravci glavnih normalnih napona:
222,1 4
21
2
z
z
z
tg
22
OTPORNOST MATERIJALA
156
Normalni naponi i naponi smicanja po središnjem preseku kontinualno opterećene grede i glavni naponski elemenati
Dvije familije linija kojima se tangente poklapaju sa pravcima glavnih napona zovu se trajektorije glavnih napona.
Trajektorije glavnih napona se retko primenjuju.
Praktiĉnije u praksi, za slikovit prikaz 1D, 2D i 3D naponskog stanja, jesu izonaponske linije (linije duţ kojih izabrani napon ima istu vrednost).
Primer trajektorija glavnih normalnih napona, kontinualno opterećene konzole
Primer izonaponskih linija grede izloţene ĉistom savijanju
OTPORNOST MATERIJALA
157
NE PRIPADA PROBLEMIMA SAVIJANJA, A MOŢE BITI OD KORISTI !!!
Korišćenjem izonaponskih linija lako otkrivamo lokalnu koncentraciju napona.
14.10 Savijanje – Dimenzionisanje grednih nosaĉa
U sluĉaju ĉistog savijanja grednih nosaĉa, proraĉunski napon ne sme preći vrednost dozvoljenog napona na savijanje, tj. treba da vaţi
U sluĉaju savijanja greda silama, osim normalnih napona imamo i napone smicanja, i strogo posmatrano, radi se o sloţenom opterećenju.
Inţenjerski posmatrano, u većini sluĉajeva uticaj napona smicanja moţe se zanemariti.
Npr. za odnose:
naponi smicanja se zanemaruju i usvoja se kriterijum dimenzionisanja prihvaćen kod ĉistog savijanja.
dz max,
10hl
OTPORNOST MATERIJALA
158
Ako je osa x oko koje se vrši savijanje glavna težišna osa i osa simetrije onda generalno za proraĉunski napon vaţi:
Kada je osa x oko koje se vrši savijanje glavna težišna osa, ali nije i osa simetrije onda generalno za proraĉunski napon vaţi:
de / dp ..... Dozvoljeni napon na zatezanje / pritisak
NAPOMENA: Ovo se mora imati u vidu jer neki materijali ne podnose podjednako dobro istovremeno naprezanje na pritisak i zatezanje (liveno gvoţĊe, beton, ...)
Greda konstantnog popreĉnog preseka:
NAPOMENA: Pri usvajanju dimenzija treba voditi raĉuna o stepenima sigurnosti, standardima, propisima i sl.
14.11 Savijanje silama – Lokalni naponi
PoĊimo od izraza za raspodelu normalnog napona po visini popreĉnih preseka grednog nosaĉa
d
x
x
x
xyy zW
zMyzIzMzy
maxmax
,
de
x
x yzIzM
max,2
dp
x
x yzIzM
max,1
dx
x
WM
max,
d
xx
MW
max,
yzIzMzy
x
xzz ,
OTPORNOST MATERIJALA
159
Saglasno Sen Venanovom principu ovaj izraz daje dosta dobre rezultate na mestima dovoljno udaljenim od mesta delovanja opterećenja.
Pri izvoĊenju izraza za normalni napon pretpostavka je da se vlakna grednog nosaĉa ne izlaţu meĊusobnom pritisku.
Ova pretpostavka je pri ĉistom savijanju potpuno prihvatljiva.
Kod npr. kontinualno opterećenih grada u gornjim vlaknima bi se pojavio i normalni napon y .
Kontinualno opterećena greda
Iz inţenjerske prakse se zna da normalni napon y iznosi 1-2 % od vrednosti normalnog napona z , pa se moţe zanemariti.
14.12 Savijanje – Stepen korišćenja popreĉnih preseka
Izraz za raspodelu normalnog napona z , savijanju izloţenih greda je linearna funkcija koja za konkretan popreĉni presek zavisi od y koordinate.
Podsetimo se raspodele normalnog napona za pravougaoni popreĉni presek grede izloţene savijanju.
OTPORNOST MATERIJALA
160
Kontinualno opterećena greda
Zona slabog iskorišćenja materijala
Raspodela normalnog napona za pravougaoni popreĉni presek grede (z=z0)
yI
zM
x
xzzz
00
OTPORNOST MATERIJALA
161
Raspodela normalnog napona za
pravougaoni popreĉni presek grede (z=z0)
IDEJA: Središnji slabo iskorišćeni deo pravougaonog popreĉnog preseka izbaciti.
Novo rešenje sa boljim stepenom
iskorišdenjem materijala
Upotrebom I profila obezbeĊujemo veći stepen iskorišćenosti materijala.
Za 100 % iskorišćen I profil stepen iskorišćenost nekog drugog profila, za iste površine A, moţe se odrediti pomoću
:100:, xIx WW
100,
Ix
x
WW
OTPORNOST MATERIJALA
162
ZADATAK 2
Uzeti profil I30, pravougaoni profil h=3b i kruţno-prstenasti profil, i za 100 % iskorišćen profila I30, odrediti stepene iskorišćenosti ostalih profila iz uslova jednakosti površina.
14.13 Savijanje – Idealni oblik grednih nosaĉa
U svrhu boljeg iskorišćenja materijala inţenjeri su se odavno zanimali oblicima popreĉnih preseka grednih nosaĉa.
Zanimali su ih idealni oblici popreĉnih preseka sa kojima će grede, uz najmanji utrošak materijala, imati zahtevanu ĉvrstoću, krutost i stabilnost.
Od ovoga se otišlo i dalje. Postavilo se pitanje idealnog oblika grede u celini.
Uzmimo za primer vratilo koje je u praksi sloţeno opterećeno.
Na osnovu principa nezavisnosti opterećenja, savijanje vratila posmatraćemo odvojeno.
Neka je vratilo konstantnog, kruţnog popreĉnog preseka.
Primer vratila opterećenog na savijanje
OTPORNOST MATERIJALA
163
ZAPAŢANJE: Levo i desno od mesta maksimalnog momenta savijanja, greda ima slabo iskorišćenje materijala.
Kriterijum dimenzionisanja:
Proraĉunski model vratila sa dijagramom momenata savijanja (vratilo svedeno na prostu gredu)
Kod idealnog oblika vratila, svedenog na prostu gredu, popreĉni preseci su u funkciji od z i saglasno tome vaţi:
Najudaljenija vlakna od neutralne površine, pri savijanju su najbolje iskorišćena.
Na osnovu ovoga da se zakljuĉiti da bi optimalni oblik grede ĉinila dva tanka lima podjednako udaljena od neutralne ravan.
Idealni oblik grede
d
xx
MW
max,
zfzMW
d
xx
OTPORNOST MATERIJALA
164
NEDOSTATAK:Cena ovakve grede je mnogo veća od cene prekomerno upotrebljenog materijala, pa se ista ne primenjuje.
Primer odreĎivanja idealnog oblika grede
U prvom koraku ćemo definisati proraĉunski model prikazanog nosaĉa.
Gredni nosač kojem treba odrediti idealni oblik
OTPORNOST MATERIJALA
165
Levo i desno od preseka delovanja sile F.
Proraĉunski model nosaĉa sa dijagramom momenata savijanja
d ... Potreban preĉnik na mestu delovanja sile F.
Iz uslova
lbaFMzM xazx
max,
d
xx
MW
max, 3
32
dlbaFd
32
3dWx
332 z
lbFzdd
d
xx
zMW
OTPORNOST MATERIJALA
166
Levi podraspon grede
Desni podraspon grede
14.14 Savijanje – Ojaĉavanje nosaĉa lamelama
Pravljenje grednih nosaĉa idealnog oblika moţe se rešiti korišćenjem standardnih profila koji se mogu ojaĉati limovima (lamelama).
Ovi limovi se postavljaju na pojaseve profila, na gornju i donju stranu.
Ojaĉavanje grednog nosaĉa lamelama, prikazano je na narednoj slici.
332
dlbaFd
3
azdzd
3bzdzd
OTPORNOST MATERIJALA
167
Ojaĉavanje grednog nosaĉa lamelama
Primer ojačavanja lamelama
Vrednost maksimalnog normalnog napona treba smanjiti za 50%, ojaĉanjem grede prikazane na narednoj slici.
Ojaĉanje izvršiti sa dve lamele, sa gornje i donje strane (širina jednaka širini pojasa profila).
Greda koju treba ojaĉati (dijagram momenata savijanja poznat)
PoĊimo od uslova zadatka da maksimalni napon treba smanjiti za 50% (za polovinu) i još poĊimo od izraza za maksimalni napon kod grede konstantnog popreĉnog preseka.
Treba potražiti preseke sa duplo manjim momentima savijanja.
x
x
WM max,
max x
x
x
x
WM
WM 1
222max,max,max
OTPORNOST MATERIJALA
168
Moment savijanja je za 50% (duplo) manji od maksimalnog je za preseke koji sadrţe taĉku K levo i taĉku K desno od oslonca B.
Potrebnu vrednost otpornog moment I profila u taĉkama K:
Preseci kod kojih je moment savijanja za 50% manji od maksimalnog
Potrebna duţina nosaĉa za ojaĉanje zbog simetrija iznosi:
2max 4
121 aqMM K
d
Kx
MW
azal K 59,020
22, 4
12
aqzqzYzM KKAlevoK az 0
aazK 707,022
OTPORNOST MATERIJALA
169
Dodavanjem lamela menje se površina popreĉnog preseka I profila.
Za
23
,0 22122
hbbII prxx 2,0 2
1 bhbII prxx
012
3
b
2,0 21 bhbII prxx
max
00 y
IW xx
22
max
hy
22
21 2
,
0
h
hbIW
prx
x
OTPORNOST MATERIJALA
170
Za h>> iz
Debljina lima
14.15 Savijanje – Provere
U nekim praktiĉnim sluĉajevima savijanja, potrebno je izvršiti provere, ito:
Proveru ĉvrstoće,
Proveru nosivosti i
Proveru krutosti.
Provera ĉvrstoće, A=A(z)
Provera nosivosti, A=A(z)
Provera krutosti je vezana za deformacije i biće obraĊena posle analize deformisanja greda izloţenih savijanju.
2
21 2
,
max
00
h
hbI
yIW
prxx
x hbWW prxx 21
,0
dprx
aqW2
2
,
d
Kx
MW
dprx
aqhbW
22
1 2
,
hb
Waqprx
d
,
2
22
d
x
x
zWzM
maxmax
d
x
x
y
zyzyS
zIzT
maxmax ,
,
dxx zWzM
OTPORNOST MATERIJALA
171
ZADATAK 3
Greda na Slici 1 je opterećena na savijanje.
1. Dimenzionisati kritiĉni popreĉni presek i preseke na udaljenosti l/4 od oslonca A i oslonca B.
2. Odrediti I i U profile koji će osigurati nosivost grede.
14.16 Deformisanje greda pri savijanju
Pri savijanju grede dolazi do promene njenog pravolinijskog oblika.
Greda se deformiše (pojavljuju se ugibi i nagibi).
Promena oblika greda opisuje se elastičnim linijama.
Primer elastiĉne linije
Elastiĉna linija je kriva ĉiji je krivina (zakrivljenost) definisana izrazom:
m 3lcmkN 15σ 2d
23 2 '
"
1 zu
zuzK
OTPORNOST MATERIJALA
172
Ovo je taĉna diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije iz koje se direktnim integraljenjem dolazi do ugiba u=u(z).
Osim što se pomere za u=u(z), teţišne taĉke popreĉnih preseka greda doţive i rotaciju za izvestan ugao (translacija i rotacija).
Pomeranje i rotacija teţišnih taĉaka popreĉnih preseka grede i konzole
14.20 Deformisanje pri savijanju – Konzola opterećena silom na slobodnom kraju (A=const)
Konzola opterećena silom na slobodnom kraju (A=const)
Reakcije u osloncima:
Moment savijanja oko ose x:
Diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije:
2' 31
6
lz
IElMzu
x0z
xzA IE
lMzu 6
0
'
2' 31
6
lz
IElMzu
x
lz x
lzB IElMzu
3 '
FYA
AAx MzYzM lFzFzM x
zMzuIE xx " lFzFzuIE x "
lFzFzM x 1
2' 2
CzFlzFzuIE x
2123
26 CzCzlFzFzuIE x
OTPORNOST MATERIJALA
180
Graniĉni uslovi:
0
0
0
0
'
z
z
zu
zu
213
12'
26
2
CzCzFlzFzuIE
CzFlzFzuIE
x
x
0002
06
0002
213"
12'
CCFlFzuIE
CFlFzuIE
x
x
021 CC
021 CC
213
12'
26
2
CzCzFlzFzuIE
CzFlzFzuIE
x
x
322
22'
3 6
2 2
lz
lz
IElFzu
lz
lz
IElFzu
x
x
lz
322
22'
3 6
2 2
lz
lz
IElFzu
lz
lz
IElFzu
x
x
x
lz
xlz
IElFfzu
IElFzu
3
2
3
max
2
max'
OTPORNOST MATERIJALA
181
14.21Deformisanje pri savijanja–Prosta greda opterećena koncentrisanom silom
Prosta greda opterećena koncentrisanom silom
Reakcije u osloncima:
MOMENTI SAVIJANJA NA PODRASPONIMA
FlbYA
FlaYB
FlbYA
zFlbzM x
1,
azFzFlbzM x
2,
OTPORNOST MATERIJALA
182
14.22 DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ELASTIČNIH LINIJA
14.23 REŠENJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA ELASTIČNIH LINIJA
Podraspon 0 z a :
14.24 REŠENJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA ELASTIČNIH LINIJA
Podraspon a z a+b :
12'
1 2CzF
lbzuEI x
zFlbzuEI x
"
1
213
1 6CzCzF
lbzuEI x
azFzFlbzuEI x
"
2
3
22'
2 22CazFzF
lbzuEI x
43
33
2 66CzCazFzF
lbzuEI x
OTPORNOST MATERIJALA
183
Graniĉni uslovi:
azaz
lz
azaz
z
zuzuzu
zuzuzu
||0|
||
0|
21
2
'2
'1
01
azaz
lz
azaz
z
zuzuzu
zuzuzu
||0|
||
0|
21
2
'2
'1
01 213
1 6CzCzF
lbzuEI x
0006
| 213
01
CCF
lbzuEI zx
02 C
azaz
lz
azaz
z
zuzuzu
zuzuzu
||0|
||
0|
21
2
'2
'1
01 12'
1 2CzF
lbzuEI x
3
22'
2 22CazFzF
lbzuEI x
12'
1 2| CaF
lbzuEI azx
3
22'
2 22| CaaFaF
lbzuEI azx
31 CC
azaz
lz
azaz
z
zuzuzu
zuzuzu
||0|
||
0|
21
2
'2
'1
01 213
1 6CzCzF
lbzuEI x
43
33
2 66CzCazFzF
lbzuEI x
OTPORNOST MATERIJALA
184
Sloţeni postupak integracije diferencijalnih jednaĉina elastiĉnih linija za dva podraspona o kojem je bilo reĉi, pojednostavio je KLEBŠ (njegov postupak sintegracije izuĉava se kao KLEPŠOV postupak).
06
| 13
1
aCaF
lbzuEI azx
41
33
2 66| CaCaaFaF
lbzuEI azx
04 C
azaz
lz
azaz
z
zuzuzu
zuzuzu
||0|
||
0|
21
2
'2
'1
01
43
33
2 66CzCazFzF
lbzuEI x
00
66| 3
33
2
lCalFlF
lbzuEI lzx
lb
lbFlCC
32
31 6
222
1 16 l
zlb
lz
lb
EIFlzu
x
3223
2 16 l
azlz
lb
lz
lb
EIFlzu
x
223
6|
l
bla
EIFlzu
xaz
OTPORNOST MATERIJALA
185
14.25 KLEPŠOV POSTUPAK
N osnovu ĉinjenice da kod integracionih konstanti u diferencijalnim jednaĉinama elestiĉne linije, u dva polja (podraspona) vaţe jednakosti
dolazimo do zakljuĉka da se dve diferencijalne jednaĉine mogu svesti na jednu
Integracione konstante C1 i C2 odreĊujemo iz graniĉnih uslova
Sa aspekta STATIKE vrednost momenata savijanja u Gerberovim zglobovima neprekidnih grednih nosaĉa, jednaka je nuli (0).
Sa aspekata OTPORNOSTI MATERIJALA zglobna veza se ponaša kao elastiĉni oslonac.
Problemi u vezi sa proraĉunom deformacija nosaĉa sa zglobnim vezama, najlakše se rešavaju zamišljenim rastavljanjem nosaĉa na osnovne podraspone tipa:
Proste grede,
Grede sa prepustima i
lz
2222' 3| 31
6 laz
lz
lb
lb
EIFlzu
x
l
alb
la
EIFlzu
xlzB 1
6|
2'
az
3223
| 16 l
azlz
lb
lz
lb
EIFlzu
x
223
6|
l
bla
EIFlzu
xaz
OTPORNOST MATERIJALA
189
Konzole.
Da bi se rešio problem grednih nosaĉa sa Gerberovim zglobovima, potrebno je:
Nosaĉ rastaviti na podraspone (proste grede, grede sa prepustima i konzole),
Zglobnoj popreĉnoj sili YG kod jednog od podraspona dodeliti ulogu reakcije u elastiĉnom osloncu.
Kod drugog , odgovarajućeg podraspona, popreĉnoj sili YG dodeliti ulogu koncentrisane sile.
Statiĉki odreĊen gredni nosaĉ sa zglobom G
PROSTA GREDA
Popreĉnoj sili YG dodeljena uloga reakcije u elastiĉnom osloncu.
Ppopreĉnoj sili YG dodeljena uloga koncentrisane sile.
GREDA SA PREPUSTOM
Primer nosaĉa sa zglobovima G1 i G2
GREDA SA PREPUSTOM
PROSTA GREDA
OTPORNOST MATERIJALA
190
Prosta greda G2D
Greda sa prepustom G1CG2
Greda sa prepustom ABG1
Sa poznatim statiĉkim veliĉinama neprekidnih nosaĉa sa zglobovima, svedenih na proste grede, grede sa prepustima i konzole, moţemo odrediti veliĉine deformacija koje nas interesuju.
U tablicama OTPORNOSTI MATERIJALA moguće je naći mnoštvo podataka o ugibima i nagibima prostih greda i konzola.
Od interesa je da još vidimo šta je sa gredama sa prepustima, ito gredama sa:
0DM
i
iY 0 2G
D
YY
0CM
i
iY 0 1G
C
YY
0AM
i
iY 0 B
A
YY
OTPORNOST MATERIJALA
191
Levim prepustom,
Desnim prepustom i
Sa dva prepusta.
LEVI PREPUST
Na vertikalno pomeranje i rotaciju prepusta utiĉe savijanje raspona AB.
Savijanje prepusta se posmatra kao savijanje konzole.
Rotacija prepusta oko bliţeg oslonca (oslonca A) definisana je nagibom A proste grede za taj oslonac.
Ako bi raspona AB imao beskonaĉno veliku krutost, deformisanje prepusta KA bi se posmatralo kao deformisanje konzole.
Konzolni ugib fk , krajnje taĉke K prepusta, tada bi predstavljao sumu konzolnih ugiba fki od svakog i-tog opterećenja.
Rotacija prepusta duţine a nastaje usled savijanja raspona AB, izazvanog od svih opterećenja (ukljuĉujući i opterećenja prepusta koja su redukovana na bliţi oslonac).
Kad bi prepust KA bio neopterećen, on bi se zarotirao oko oslonca A za ugao A
i
KiK ff KonzolnoKonzolno
OTPORNOST MATERIJALA
192
Ukupan nagib A , za oslonac A grede sa levim prepustom, jednak je sumi i-tih nagiba Ai izavanih i-tim opterećenjima grede AB.
Pomeranje fk krajnje taĉke K prepusta (pomeranje usled rotacije) je u funkciji od nagiba A i iznosi.
Ukupno pomeranje fk krajnje taĉke K prepusta iznosi:
Ugib ( fz ) proizvoljne taĉke na rasponu AB jednak je zbiru i-tih (pojedinaĉnih) ugiba ( fzi ) izavanih i-tim (pojedinaĉnim) opterećenjima koja deluju na raspon AB, ukljuĉujući i opterećenja koja su u vidu momenta savijanja MA , redukovana sa prepusta na bliţi oslonac A.
aafi
AiAK
rotacije Usled
affffi
Aii
KiKKK
Konzolnorotacije UsledKonzolno
Azi
ziz Mfff
OTPORNOST MATERIJALA
193
PRIMER GREDE SA LEVIM PREPUSTOM
Pomeranje krajnje taĉke K:
Na osnovu odgovarajućih tabliĉnih podataka izraz
Prelazi u oblik
Na osnovu opšteg izraza za sraĉunavanje ugiba fz proizvoljne taĉke na rasponu AB
sledi ugib za središnju taĉku C raspona AB
4
q KonzolnoF Konzolno lfff AMA
MA
qAKKK
4
q KonzolnoF Konzolno lfff AMA
MA
qAKKK
43324
6244843
2
343 l
EI
llqlFl
EIMl
EIql
EIql
EIFf
xxxxxK
Azi
ziz Mfff
AMC
MC
qCClzz fffff
2
OTPORNOST MATERIJALA
194
DESNI PREPUST
Sliĉno gredi sa levim prepustom, ukupno pomeranje krajnje taĉke K, desnog prepusta, iznosi:
GREDA SA DVA PREPUSTA
Uticaj desnog prepusta sa krajnjom taĉkom D, na pomeranje krajnje taĉke L levog prepusta, uzima se u obzir preko opterećenja desnog prepusta redukovanih na moment savijanja MB.
Je sabirak u
39
22
24
2317
16324
163845 l
EIF
EI
llqlFl
EIMl
EIqf
xxxxC
affffi
Bii
KiKKK
Konzolnorotacije UsledKonzolno
BMA
affffi
Aii
LiLLL
Konzolnorotacije UsledKonzolno
OTPORNOST MATERIJALA
195
• Vaţi i suprotno: Uticaj levog prepusta sa krajnjom taĉkom L, na pomeranje krajnje taĉke D desnog prepusta, uzima se u obzir preko opterećenja levog prepusta redukovanih na moment savijanja MA.
je sabirak u
GREDA SA ELASTIĈNIM OSLONCEM
Kod greda sa Gerberovim zglobovima proraĉun deformacija je sliĉan prethodnim objašnjenjima.
MeĊutim, kod ovakvih greda imamo još rotaciju podraspona na kojem se nalazi elastiĉni oslonac.
Vratimo se sada na nosaĉ sa dva zgloba i razmotrimo jedan njegov podraspon sa elastiĉnim osloncem.
AMB
affffi
Bii
DiDDD
Konzolnorotacije UsledKonzolno
OTPORNOST MATERIJALA
196
Pomeranje od svih spoljašnjih sila koje deluju na gredu G1CG2 .
ZADATAK 1
Na Slici 1 je prikazana kontinualno opterećena greda.
1. Odrediti q pri kojem će maksimalni ugib I20 profilne grede iznositi fmax=2 mm ako je duţina grede l=5 m.
2. Odrediti napon σz na mestu maksimalnog ugiba.
affi i
CiGG
Konzolno
2'2
12"2 GG fkf
lak 2
"2
'22 GGG fff
11 Gi
ziz fkff
lzk 1
OTPORNOST MATERIJALA
197
14.27 Savijanje – Statiĉki neodreĊeni problemi
Sve što smo do sada u vezi sa savijanjem izuĉavali odnosilo se na statiĉki odreĊene probleme.
Ovoga puta prelazimo na statiĉki neodreĊene probleme grednih nosaĉa izloţenih ĉistom savijanju ili savijanju silama.
Sva opterećenja će i dalje pripadati jenoj ravni.
U okviru ovog izlaganja srešćemo se sa grednim nosaĉima:
Sa jednim rasponom i dopuštenim poduţnim pomeranjem,
Sa jednim rasponom i spreĉenim poduţnim pomeranjem i sa
Neprekidnim nosaĉima sa više raspona.
Gredni nosač sa jednim rasponom i dopuštenim podužnim pomeranjem
Ovaj neodreĊeni problem moţe rešiti uklanjanjem suvišnih oslonaca.
Ovde je uklonjen oslonac B i za suvišnu nepoznatu veliĉinu uzeta reakcija
Suvišnu nepoznatu veliĉinu
odredićemo iz uslova pomeranja kraja konzole
SFB
SFB
0B
OTPORNOST MATERIJALA
198
Umetanje zgloba je drugi naĉin rešavanja neodreĊenosti ovog grednog nosaĉa
Na mestu ukleštenja umetnut je zglob, a za suvišnu nepoznatu veliĉinu uzet reaktivni moment u ukleštenju A
koji se odreĊuje iz uslova da je nagib na mestu ukleštenja jednak nuli (0)
Zgloba se moţe umetnuti na bilo koje mesto i tako se na mnogo naĉina ovaj neodreĊen nosaĉ moţe pretvoriti u odreĊen.
Prema ovoj slici, za ovako umetnuti zglob, suvišna nepoznata je moment S koji kod statiĉki neodreĊenog nosaĉa stvarno postoji i koji bi se odredio iz uslova da da na mestu umetnutog zgloba imamo nagibe
Gredni nosač sa jednim rasponom i sprečenim podužnim pomeranjem
Ovakav gredni nosaĉ, realno je 1x statiĉki neodreĊen, meĊutim, zbog toga što su poduţne komponente reakcija zanemarivo male u odnosu na popreĉne, nosaĉ se bez njih pretvara u statiĉki odreĊen.
Zanemarivanjem horizontalnih komponenti reakcija sa satiĉki neodreĊenog problema, prelazi se na statiĉki odreĊen problem.
SM A
0A
desnolevo 0ukuno
OTPORNOST MATERIJALA
199
U ovom sluĉaju poduţne komponente reakcija ne smemo zanemariti.
Suvišna nepoznata veliĉina je
Suvišnu nepoznatu veliĉinu, horizontalnu komponentu reakcije u osloncu B,
odredićemo iz uslova da je poduţno pomeranja oslonca B
Gredni nosači sa više raspona (neprekidni gredni nosači)
Problem se moţe rešiti uklanjanjem suvišnih oslonaca.
321 // SSS
000
3
2
1
OTPORNOST MATERIJALA
201
Suvišne nepoznate veliĉine odredićemo iz uslova pomeranja
U sluĉaju opruţnih elastiĉnih oslonaca i-to pomeranje iznosi
ci ... Krutost odgovarajuće opruge
Ovaj problem se moţe rešiti i umetanjem zglobova
Momente kao suvišne nepoznate veliĉine
odredićemo iz uslova jednakosti nagiba sa obe strane zgloba
Ako se iz posmatranog neprekidnog nosaĉa izdvoje dva susedna raspona koja se zatim razdvoje na zajedniĉkom osloncu, onda se moţe primeniti uslov
KSSS ,...,, 21Ki
i
,...,10
iii Sc
KSS ,...,1
Kkkk
,...,2,1
OTPORNOST MATERIJALA
202
Ako se iz posmatranog neprekidnog nosaĉa izdvoje dva susedna raspona koja se zatim razdvoje na zajedniĉkom osloncu, onda se moţe primeniti uslov
Ovo je obrazac tri momenta (Klapejronov obrazac) koji se ispisuje za sve k=1,...,K (K=N-2), što daje N-2 jednaĉine sa po tri nepoznata momenta po ĉemu je i obrazac dobio ime.
ZADATAK 1
Na Slici 1 je prikazan gredni nosaĉ opterećen sa q=5 kN/m i F=10 kN. Sila F je pod uglom 60 prema z osi. Popreĉni presek grede je pravougaonik bxh=5 cm x 10 cm. Duţina nosaĉa je l=4 m.
1. Odrediti statiĉke veliĉine grednog nosaĉa.
aopterecenjzadatihodMM
aopterecenjzadatihodMMqkkkkk
qkkkkk
,
,
1
1
qk
k
kk
k
kkk
qk
k
kk
k
kkk
IElM
IElM
IElM
IElM
66
66
1
1
1
1
11
qk
qk
k
kk
k
k
k
kk
k
kk
IElM
IEl
IElM
IElM
63336
1
1
1
1
11
OTPORNOST MATERIJALA
203
14.28Koso savijanje
U prethodnim izlaganjima u vezi sa savijanjem grednih nosaĉa, razmatrani su problemi:
Ĉistog savijanja i
Savijanja silama.
Razmatrani su samo sluĉajevi savijanja oko jedne od glavnih teţišnih osa inercija.
Druga teţišna osa inercije leţala je u ravni dejstva opterećenja.
Pri savijanju silama oko ose x, u popreĉnim presecima smo imali:
Popreĉne (transverzalne) sile Ty(z) i
Momente savijanja Mx(z).
Pri savijanju silama oko ose y, u popreĉnim presecima smo imali:
Popreĉne (transverzalne) sile Tx(z) i
Momente savijanja My(z).
U sluĉaju ĉistog savijanja, popreĉne sile bile su jednake nuli (0), a momenti savijanja bili su konstantni.
Normalni naponi pri ĉistom savijanju odreĊivani su pomoću izraza
U opštem sluĉaju savijanja, ravan dejstva opterećenja moţe zaklapati proizvoljan ugao sa glavnim teţišnim osama inercije.
Takav sluĉaj savijanja zovemo koso savijanje.
Pri razmatranju kosog savijanja ostajemo na istim pretpostavkama koje su vaţile i u sluĉaju savijanja oko glavnih teţišnih osa inercije.
Ovde ćemo se se ukratko prisetiti tih pretpostavki i prikazati tri primera kosog savijanja.
constM x constM y
yyI
Mz
x
xz xx
IM
zy
yz
OTPORNOST MATERIJALA
204
14.29 PRETPOSTAVKE ZA SLUĈAJ ĈISTOG SAVIJANJA
Pretpostavka o naponima:
Pretpostavka o deformacijama:
Veza napona i deformacija:
14.30 PRETPOSTAVKE ZA SLUĈAJ SAVIJANJE SILAMA
Pretpostavka o naponima:
Pretpostavka o deformacijama:
Veza napona i deformacija:
Za napone smicanja koristili smo Formule Ţuravskog
0z 0zx 0zy
0z 0zx 0zy
yI
MyzKEEx
xzz
0z 0zx 0zy
0z 0zx 0zy
yI
MyzKEEx
xzz
zxzx G
zyzy G
ySzIzT x
x
yzy
xSzIzT y
y
xzx
OTPORNOST MATERIJALA
205
Koso savijanje (Primer 1)
Koso savijanje (Primer 2)
OTPORNOST MATERIJALA
206
Koso savijanje (Primer 3)
Sada se zadrţimo na ĉistom kosom savijanju grede proizvoljnog popreĉnog preseka.
Glavne teţišne ose (1) i (2) oznaĉićemo sa (u) i (v).
Ugao koji trag ravni opterećenja s-s zaklapa sa teţišnom osom 1, odnosno u, oznaĉićemo sa .
Odgovarajući vektor momenta savijanja M mora biti upravan na trag ravni opterećenja.
Odrediti popreĉni presek sa najvećim momentom savijanja.
U tom preseku odrediti poloţaj neutralne ose.
Odrediti taĉke koje su najudaljenije od neutralne linije i nacrtati dijagram raspodele napona po popreĉnom preseku.
15 EKSCENTRIĈNO ZATEGNUTI ILI PRITISNUTI ŠTAPOVI
U poglavlju koje se odnosilo na poduţno ili aksijalno naprezanje štapova razmatrali smo štapove kod kojih su opterećenja delovala duţ teţišne linije popreĉnih preseka.
Ovo nam je dozvolilo da usvojimo pretpostavku o ravnomernoj raspodeli normalnih napona po celom popreĉnom preseku.
U praksi se mogu sresti delovi konstrukcija kod kojih je opterećenje paralelno poduţnoj osi i u odnosu na nju ekscentriĉno pomereno.
15.1 Ekscentriĉno opterećena stubna bušilica
OTPORNOST MATERIJALA
209
Ekscentriĉno opterećeni elementi poluţnih mehanizama
15.2 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Normalni naponi
Štap proizvoljnog popreĉnog preseka štapa moţe biti opterećen zateznom ili pritisnom silom F.
Glavne teţišne ose popreĉnog preseka oznaĉimo sa u i v.
Napadnu taĉku zatezne, odnosno pritisne sile oznaĉimo sa N0 (u0 , v0).
Sluĉaj ekscentriĉnog zatezanja
Da bi se rešio problem ekscentriĉnog zatezanja ili
ekscentriĉnog pritiska sila F se redukuje na teţište
popreĉnog preseka.
Pri redukovanju sile na teţište popreĉnog preseka dobija se poduţna sila i spreg koji izaziva ĉisto koso savijanje.
OTPORNOST MATERIJALA
210
Pogodno je moment sprega razloţiti na dve komponente, Mu i Mv , koje savijaju oko glavnih teţišnih osa.
Ekscentriĉno zatezanje:
Ekscentriĉni pritisak:
Redukcijom ekscentriĉne zatezne ili pritisne sile iz napadne taĉke u teţište popreĉnog preseka dobijamo sloţeno naprezanje koje se sastoji od:
Poduţnog (aksijalnog) naprezanja i
Dva savijanja oko glavnih teţišnih osa.
Prema principu nezavisnosti opterećenja, moţe se napisati da poduţna sila u štapu izaziva napon
Napon od momenata savijanja iznosi:
0vFMu
0uFM v
AFF
uI
MvI
MMMv
v
u
uvu ,
0
0
uFMvFM
v
u
u
IuFv
IvFMM
vuvu
00,
OTPORNOST MATERIJALA
211
Napon od sloţenog naprezanja, jednak je zbiru napona (F) i napona (Mu , Mv)
A ................ Površina popreĉnog preseka
iu , iv .......... Glavni polupreĉnici inercije
F ................ Zatezna (pritisna) sila
N(u0 , v0) .... Napadna taĉka sile
(u,v) ........... Koordinate zaĉke u kojoj se
traţi napon.
15.3 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Neutralna osa
Linija koja spaja taĉke u kojima je vrednost normalnog napona jednaka nuli (0)
je neutralna osa.
Normalni napon je jednak nuli (0) za
Jednaĉina neutralne ose
vu MMF , AFF
uI
uFvI
vFMMvu
vu
00,u
IuFv
IvF
AF
vu
00
uI
uFvI
vFAF
vu
00
v
ivu
iu
AF
uv20
201
AiIAiI
vv
uu
2
2
01 20
20
v
ivu
iu
AF
uv
01 20
20 v
ivu
iu
uv
120
20 v
ivu
iu
uv
OTPORNOST MATERIJALA
212
Jednaĉina neutralne ose (segmentni oblik)
Poloţaj neutralne ose u odnosu na napodnu taĉku sile
Neutralna osa deli popreĉni presek na dva dela, na zategnuti i pritisnuti deo.
Neutralna osa uvek prolazi kroz kvadrant suprotan kvadrantu u kojem je napadna taĉka zatezne (pritisne) sile.
Zavisno od poloţaja napadne taĉke, dijagram raspodele normalnih napona u popreĉnom preseku moţe imati razliĉite oblike.
Poloţaji neutralnih osa u odnosu na napadnu taĉku sile, sa raspodelom napona, dati su na narednim slikama.
120
20 v
ivu
iu
uv
100
bv
au
0
2
0 uia v
0
2
0 vib u
OTPORNOST MATERIJALA
213
Poloţaj neutralne ose i dijagram raspodele napona
Poloţaj napadne taĉke N0 proizvoljan.
Napadna taĉka N0 na glavnoj teţišnoj osi v.
OTPORNOST MATERIJALA
214
Poloţaj neutralne ose i dijagram raspodele napona
Poloţaj neutralne ose i dijagram raspodele napona
OTPORNOST MATERIJALA
215
Poloţaj neutralne ose i dijagram raspodele napona
N0 i teţište se podudaraju.
15.4 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Dimenzionisanje
Maksimalni normalni napon je u najudaljenijim taĉkama od neutralne ose i isti se koristi za dimenzionisanje ekscentriĉno zategnutih (pritisnutih) štapova.
Dozvoljeni napon na zatezanje jednak dozvoljenom naponu na pritisak:
Kod krtih ili krto-plastiĉnih materijala dozvoljeni naponi na zatezanje d,z i pritisak d,p se razlikuju
Obiĉno je
Zbog ovoga se moraju proveriti naponi u najudaljenijim taĉkama od neutralne linije, tj. treba da naponi u najudaljenijim taĉkama zadovolje uslove:
d max
pdzd ,,
zdpd ,,
pdp
zdz
,max,
,max,
OTPORNOST MATERIJALA
216
15.5 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Jezgro preseka
Pitanje: Gde se nalaze napadne taĉke za koje bi napon po celom preseku imao isti znak?
U traganju za odgovorom dovoljno se zadrţati na graniĉnom sluĉaju jer tada problem postaje inverzan problemu odreĊivanja neutralne ose za poznatu napadnu taĉku.
Povuĉemo nj (j=1,2,3,...) tangenti popreĉnog preseka sa odseĉcima na glavnim teţišnim osama, aj i bj .
Jednaĉina neutralne ose (segmentni oblik)
Uz odreĊivanje jezgra preseka
Uzima se onoliko tangenti koliko je potrebno da taĉke Nj (j=1,2,3,...) ĉine vrhove zatvorenog poligona koji se zove jezgro preseka (najmanje 3 tangente).
ZADATAK 2
Na Slici 1 je prikazan popreĉni presek ekscentriĉno zategnutog kratkog štapa.
1. Definisati jednaĉinu neutralne ose za poznatu napadnu taĉku sile.
2. Odrediti jezgro preseka.
100
bv
au
j
uj
j
vj
biv
aiu
2
2
OTPORNOST MATERIJALA
217
16. STABILNOST LINIJSKIH NOSEĆIH ELEMENATA
U poĉetku smo rekli da je Otpornost materijala posebna nauĉna disiplina kojom su obuhvaćeni metodi proraĉuna:
Ĉvrstoće,
Krutosti i
Stabilnosti
delova mašina i konstrukcija.
Do sada smo prouĉavali napone i deformacije kod:
Aksijalno opterećenih štapova (zategnutih i pritisnutih),
Smicanja (ĉistog i tehniĉkog),
Štapova opterećenih na uvijanje,
Savijanja grednih nosaĉa i konzola( ukljuĉujući i Gerberove gredne nosaĉe)
Pri tome su nas interesovale ĉvrtoća i krutost.
U ovom delu ćemo se upoznati sa stabilnošću štapova kao linijskih nosećih elemenata.
Razmotrićemo uslove pod kojima dolazi do gubitka elastiĉne stabilnosti štapova konstantnog popreĉnog preseka.
Štap sa poduţnom osom kao idealno pravom linijom i pravcem dejstva pritisne sile podudarnim sa tom osom, predstavlja prosti štap.
Sila pri kojoj dolazi do savijanja, odnosno izvijanja konkretnog štapa, naziva se kritiĉna sila izvijanja, a odgovarajuće naprezanje (opterećenje) naprezanje (opterećenje) na izvijanje.
Na naredni slikama su primeri konstrukcija kod kojih moţe doći do izvijanja kad opterećenje dostigne kritiĉnu vrednost.
OTPORNOST MATERIJALA
218
Hidrocilindar
Izvijanje nastupa kada sila F dostigne kritiĉnu vrednost Fkr , tj. kada je F = Fkr .
Ravna rešetka
Izvijanje nastupa kad pritisna sila u nekom od štapova dostigne kritiĉnu vrednost F = Fkr .
NAPOMENA: Primenom metoda Statike potrebno je otkriti pritisnute štapove.
Ram
Izvijanje vertikalnih štapova će nastupiti pri F = Fkr .
Eksperimentalnim ispitivanjem je dokazano da se savijanje štapa u sluĉaju izvijanja vrši oko ose sa najmanjim momentom inercija I2 = Imin.
Pre nego što uĊemo dublje u problem izvijanja, na dva primera krutih tela, objasnićemo pojamove:
OTPORNOST MATERIJALA
219
Stabilne,
Labilne i
Indiferentne ravnoteţe.
Stabilna ravnoteţa: Po prestanku dejstva poremećajne sile telo se vraća u prvobitan ravnoteţni poloţaj.
Labilna ravnoteţa: Po prestanku dejstva poremećajne sile telo se udaljava od prvobitnog ravnoteţnog poloţaja dok se ne umiri u novom ravnoteţnom poloţaju.
Indiferentna ravnoteţa: Po prestanku dejstva poremećajne sile telo zauzima novi ravnoteţni poloţaj blizak prvobitnom ravnoteţnom poloţaju.
Mogući sluĉajevi ravnoteţe valjka
Mogući sliĉajevi ravnoteţe štapa
OTPORNOST MATERIJALA
220
16.1 Izvijanje u elastiĉnoj oblasti
U ovom sluĉaju, kad pritisna sila F dostigne kritiĉnu vrednost Fkr , moguće je da štap ostane prav ili da se izvije (iz pravog preĊe u izvijeni oblik).
Iz pravog u izvijeni oblik štap prelazi pri uvoĊenju malog popreĉnog poremećaja.
Tada mu osa kao idealno prava linija prelazi u krivu liniju u = u(z).
Zavisno od naĉina oslanjanja štapa razlikujemo ĉetiri osnovna sluĉaja izvijanja.
Prvi slučaj izvijanja
Posmatrajmo štap koji je zglobno oslonjen na oba kraja pre i posle dostizanja kritiĉne sile F = Fkr .
Izvijanje štapa pre (gore) i posle dostizanje kritiĉne sile (dole)
Opšte rešenje homogene diferencijalne jednaĉine ĉetvrtog reda sa konstantnim koeficijentima je oblika:
Integracione konstante u ovoj jednaĉini odredićemo iz graniĉnih uslova:
zYzuFzuEI A "min
AYzuFzTdz
zdMzuEI '"'min
dzd
dzd
zuFdz
zdTzuEI IV "min
0"2 zukzu IV
0"2 zukzu IV
min
2
IEFk
4321 cossin CzCkzCkzCzu
0
0
)0( 0
0
'
0
"
0
lz
lz
Az
z
zu
zu
Mzu
zu
4321 cossin CzCkzCkzCzu
0
0
)0( 0
0
'
0
"
0
lz
lz
Az
z
zu
zu
Mzu
zu
321' sincos CkzkCkzkCzu
kzkCkzkCzu cossin 22
21
"
OTPORNOST MATERIJALA
225
Da bi postojao ugib, integracione konstante u ovom sistemu moraju biti razliĉitte od nule
Ovo je transcedentna jednaĉina kojoj je najmanji koren
kzkCkzkCzuCzCkzCkzCzu
cossin
cossin2
22
1"
4321
00 cos0 sin
000 cos0 sin2
22
10
"
43210
kkCkkCzu
CkCkCkCzu
z
z
0z
00
22
42
kCCC
00
4
2
CC
lz
321'
4321
sincos
cossin
CkzkCkzkCzuCzCkzCkzCzu
0cos
0 sin
31'
31
CklkCzu
lCklCzu
lz
lz
0
0
0
01cos
sin
klklkl
D kltgkl
00
3
1
CC
kltgkl 493,4kl
min
2
IEFk
22 191,20
lk
2min
19,20 lIEF
2min 19,20
lIEFkr
2min
2
7,0 lEIFkr
OTPORNOST MATERIJALA
226
Redukovane duţine za ĉetiri osnovna sluĉaja izvijanja
16.2 Ojlerova hiperbola
Koristeći pojam redukovane duţine, lr , moţemo napisati opšti izraz za kritiĉnu silu izvijanja.
Ovde uvedimo pojam vitkost štapa r :
Minimalni polupreĉnik inercije
2min
2
rkr l
IEF
2min
2
rkr l
IEF
minilr
r
AIi min
min
OTPORNOST MATERIJALA
227
Izraza za kritiĉni napon σkr pri kojem dolazi do izvijanja
štapova
U teoriji izvijanja ovaj izraz predstavlja Ojlerovu hiperbolu.
Granicu do koje vaţi izraz za kritiĉni napon izvijanja
σP ... Granica proporcionalnosti
P ... Vitkost na granici proporcionalnosti
ZAKLJUĈAK:
Izvijanje u neelestiĉnoj oblasti imamo za
Izvijanje u neelastiĉnoj oblasti
Za štapove kod kojih je
izraz za kritiĉnu silu izvijanja
jer neupotrebljiv jer smo tada u neelastiĉnoj oblasti.
Rešiti problem izvijanja u neelastiĉnoj oblasti, znaĉi primeniti teoriju elasto-plastiĉnosti.
Zbog komplikovanosti matematiĉkog aparata, za izvijanje štapova u neelastiĉnoj oblasti koristimo empirijske izraze za izraĉunavanje vrednosti kritiĉnog napona.
Na osnovu eksperimenata, Tetmajer je definisao linearnu zavisnost izmeĊu kritiĉnog napona izvijanja σkr i vitkosti .
2min
2
rkr l
IEF
minilr
r 2min
22 il rr
AIi min2
min
AIl rr
min22 2
2 A
rkr
EF
2
2
r
kr EA
F
2
2
r
krkr
EA
F
2
2
rkr
E
P
Pkr
E
2
2
Pr
PP
E
Pr
pr
2min
2
rkr l
IEF
OTPORNOST MATERIJALA
228
Linearna zavisnost kritiĉnog napona izvijanja , prema TETMAJERU, glasi
B , C ... Konstante koje zavise od vrste materijala.
Bolja aproksimacija se dobija ako se koristi nelinearna zavisnost kritiĉnog napona izvijanja i vitkosti
Dţonson-Ostenfeldova (Johnson-Ostenfeld) parabola
16.3 Izvijanje – Omega postupak
Jedan od najjednostavnijih postupaka za izraĉunavanje vrednosti kritiĉnog napona izvijanja, zasnovan na stvarnoj pritisnoj sili, je omega postupak.
Podaci o koeficijentu , za razne materi-jale, mogu se naći u tablicama (priruĉni-cima).
dc ... Dozvoljeni napon na pritisak
dk ... Dozvoljeni napon na izvijanje
Stabilnost nosećih ĉeliĉnih konstrukcija
Stabilnost nosećih ĉeliĉnih konstrukcije se proverava i za to postoje odgovarajući standardi.
Najveća pritisna za noseće ĉeliĉne konstrukcije izraĉunava se iz uslova:
CBkr
mkr CB 2m
2 CBkr
dckr AF
1dk
dc
N
AN i
dikr ,
krkr AFF
1
OTPORNOST MATERIJALA
229
Koeficijenti N se za linije iz dijagrama , takoĊe mogu naći u tablicama (priruĉnicima).
N
AN i
dikr ,
NN
E
EE
OTPORNOST MATERIJALA
230
ZADATAK 1
Na Slici 1 je prikazan U20 profilni stub.
1. Odrediti kritiĉnu silu izvijanja stuba sa slike za h = 2 m i h = 1 m, ako su:
E= 2105 MPa
σP = 180 MPa
σT = 220 MPa
σ0 = 310 MPa
17. ENERGETSKI METODI
U prethodnim tematskim jedinicama sreli smo se sa statiĉki neodreĊenim problemima kod:
Poduţno (aksijalno) opterećenih štapova,
Štapova opterećenih na uvijanje i
Grednih nosaĉa opterećenih na savijanje.
Za rešavanje ovih problema korišćen je metod sila, a dopunski uslovi su se odnosili na pomeranja.
MeĊutim, postoji niz neodreĊenih problema koji se na taj naĉin ne mogu rešiti.
U delu koji sledi, pokazaćemo da se većina problema, kod koji se traţe pomeranja, najlakše rešava primenom energetskih metoda, bilo da isti pripadaju grupi statički odreĎenih ili grupi statički neodreĎenih problema.
Osim za odreĊivanje pomeranja i sila u konstrukcijama, energetski metodi su osnova za prouĉavanje stabilnosti konstrukcija.
Pribliţna rešenja u vezi sa analizom deformacija, stabilnosti i oscilacija (vibracija) elastiĉnih tela, takoĊe se baziraju na energetskim metodima.
OTPORNOST MATERIJALA
231
U svrhu rešavanja izvesnih tehniĉkih problema, ostalo nam je da se upoznamo sa pristupima zasnovanim na energetskim metodima.
Ovo podrazumeva i upoznavanje sa bitnim i veoma korisnim teoremima.
17.1 Deforrmacijski rad – Potencijalna energija deformacije
Delovi mašina i konstrukcija, usled opterećenja kojima su izloţeni, menjaju oblik (deformišu se).
Napadne taĉke sila će se pomeriti, i na tim pomeranjima, sile će izvršiti odreĊeni rad.
To će u posmatranom mašinskom delu izazvati promenu energije (potencijalne, kinetiĉke, toplotne).
Ako napadne sile, svoje pune vrednosti dostiţu postepeno, i ako se za vreme odrţavanja ravnoteţe mogu zanemariti ubrzanja taĉaka posmatranog mašinskog dela (ili konstrukcije), onda se moţe reći da je ukupna promena energije deformisane konstrukcije jednaka ukupnoj promeni potencijalne energije.
Pod pretpostavkom da je konstrukcija izraĊena od idealno elastičnog materijala, moţe se govoriti o unutrašnjoj ili potencijalnoj energiji elastiĉne deformacije.
Umesto pojma potencijalne energije elastiĉne deformacije, u tehnici se koristi i pojam deformacijskog rada.
Ako sa rad spoljašnjih sila oznaĉimo sa R, a potencijalnu energiju elastiĉne deformacije - deformacijski rad, sa Ad, onda na osnovu zakona o oĉuvanju energije moţemo napisati da je
Predstavlja zapis Klapejronovog teorema definisanog na sljedeći naĉin. Rad izvršen od strane spoljašnjih sila na elastičnom telu (konstrukciji) za vreme njegovog deformisanja, jednak je deformacijskom radu (potencijalnoj energiji deformacije) akumuliranom u posmatranom elastičnom telu.
17.2 Deformacijski rad izraţen pomoću spoljašnjih sila
Jednostavnosti radi, poći ćemo od poduţno opterećene opruge i poduţno opterećenog štapa.
dAR
OTPORNOST MATERIJALA
232
Pomeranje napadne taĉke sile F, oznaĉeno sa , u oba sluĉaja je jednako.
Za krutost opruge k i proizvoljno pomeranje napadne taĉke sile,
U krajnjem poloţaju imaćemo
Zavisnost sile i pomeranja je linearna !!!
Na celom pomeranju , od poĉetka delovanja sile (F=0), do njene krajnje vrednosti F, izvršeni rad će iznositi
Ako se iz proizvoljnog poloţaja z , napadna taĉka sile pomerila za dz sila će na tom pomeranju izvršiti rad koji će iznositi
z0 zz kF
zz Fk
1
kF Fk
1
0
dFAR d
dFdAdR d
OTPORNOST MATERIJALA
233
Linearna zavisnost sile i pomeranja
Za ĉvrsto telo (konstrukciju), kojem se materijal ponaša po Hukovom zakonu (linearno elastiĉno se ponaša), rad koji izvrši spoljašnja sila F na pomeranju iznosi
i isti jednak je površini trougla u dijagramu
0
dFAR d
FAR d 21
OTPORNOST MATERIJALA
234
Ovo predstavlja Klapejronovog stav.
Rad spoljašnje sile pri statičkom opterećenju konstrukcije sa linearno elastičnim ponašanjem, jednak je polovini proizvoda krajnjih vrednosti sile i pomeranja njene napadne tačke, tj., polovini vrednosti koju bi imao, kada bi sila od početka delovala u punom iznosu
Deformacijski rad je kvadratna funkcija pomeranja.
Deformacijski rad je kvadratna funkcija spoljašnje sile.
FAR d 21
FAR d 21
kF 2
2kAd
FAR d 21
Fk1
k
FAd 2
2
OTPORNOST MATERIJALA
235
17.3 Deformacijski rad izraţen pomoću unutrašnjih sila – Napona
Ĉvrsto telo (konstrukcija) usled delovanja spoljašnjih sila menja oblik i dimenzije i u svim njegovim delovima se akumulira potencijalna energija jednaka deformacijskom radu.
U svrhu izvoĊenja izraza za deformacijski rad, kod najopštijeg sluĉaja naprezanja, najpre ćemo izvesti odgovarajuće izraze za jednostavne sluĉajeve.
Deformacijski rad usled normalnih napona
Posmatraćemo zapreminski element izolovan iz opterećenog ĉvrstog tela (konstrukcije), kojem je zapremina dV = dx dy dz i na koji deluje normalni napon u jednom (z) pravcu.
Izolovani zapreminski element na koji deluje normalni napon jednom (z) pravcu
Proizvod normalnog napona z i površine dxdy , moţe se posmatrati kao spoljašja sila koja pri postepenom poratu opterećenja ĉvrstog tela (konstrukcije), raste od nule (0) do vrednosti zdxdy .
Duţina elementa dz će se usled delovanja sile zdxdy uvećati za (dz)
zdz
dz
dzdz z
OTPORNOST MATERIJALA
236
Izraz za deformacijski rad izraţen preko normalnog napona z i deformacije εz.
Deformacijski rad usled napona smicanja
I ovde ćemo posmatrati zapreminski element izolovan iz opterećenog ĉvrstog tela (konstrukcije), kojem je zapremina dV = dx dy dz i na koji deluju samo naponi smicanja.
Izolovani zapreminski element na koji deluju samo naponi smicanja
Ako na stranicama zapreminskog elementa deluju samo naponi smicanja, koji pripadaju istoj ravni (ravni koja je paralelna sa ravni yz), moţe se prihvatiti da na stranici dxdz postoji smiĉuća sila koja raste od nule (0) do yzdxdz
dzdz z dzdxdydA zd 21
dzdxdydA zzd 21
dxdydzdA zzd 21
dxdydzdV dVdA zzd 21
OTPORNOST MATERIJALA
237
Usled delovanja ove sile, pravi uga izmeĊu y i z pravca će se promeniti za ugao klizanja yz i napadna taĉka te iste sile će se pomeriti za
Izraz za deformacijski rad izraţen preko napona smicanja yz i deformacije klizanja yz .
Deformacijski rad pri složenom opterećenju
Generalno se moţe reći da na stranama zapreminskog elementa, izolovanog iz opterećenog ĉvrstog tela (konstrukcije), postoje sve komponente tenzora napona [σ]
Izolovani zapreminski element na koji deluju sve komponente tenzora napona [σ]
dytg yzyz
dyyz
dxdzdA yzd 21 dydxdzdA yzyzd
21 dxdydzdA yzyzd
21
dVdA yzyzd 21
zzyzx
yzyyx
xzxyx
OTPORNOST MATERIJALA
238
Na osnovu izraz za deformacijski rad izraţen preko normalnog napona z i deformacije εz
i na osnovu izraza za deformacijski rad izraţen preko napona smicanja yz i deformacije klizanja yz
moţe se doći do izraza za deformacijske radove izraţene preko ostalih komponenti tenzora napona i odgovarajućih deformacija, a zatim uz podršku principa superpozicije i do izraza za deformacijski rad pri sloţenom opterećenju
17.4 Specifiĉni deformacijski rad
Specifiĉni deformacijski rad (Ad’) predstavlja deformacijski rad (dAd) sveden na jedinicu zapremine i saglasno ovome moţemo napisati da je.
Za sluĉaj u kojem se pojavljuje normalni naponi u jednom pravcu, specifiĉni deformacijski rad iznosi
dVdA zzd 21
dVdA yzyzd 21
dVdA zxzxyzyzxyxyzzyyxxd 21
dVdAdA d
d '
dV
dA
zxzxyzyzxyxy
zzyyxxd
) 21
(
) 21'
zxzxyzyzxyxy
zzyyxxdA
(
21' dA
OTPORNOST MATERIJALA
239
Za sluĉaj u kojem se pojavljuju naponi smicanja u jednoj ravni, specifiĉni deformacijski rad iznosi
Ovim se ustvari proširuje Klapejronov stav izraţen u obliku
Od ranije su nam poznati izrazi kojima je definisan izvorni Hukov zakon
17.5 Deformacijski rad izraţen preko preseĉnih sila
Razmatrajući sluĉaj opšteg opterećenja linijskih nosećih elemenata pokazali smo da ima šest (6) preseĉnih sila:
Normalna preseĉna sila N,
Preseĉni moment uvijanja (torzije) Mt ,
Preseĉni moment savijanja Mx ,
Preseĉni moment savijanja My ,
21' dA
FAR d 21
OTPORNOST MATERIJALA
240
Popreĉna preseĉna sila Tx i
Popreĉna preseĉna sila Ty .
Specifični deformacijski rad izražen preko presečne normalne sile N
U popreĉnim presecima poduţno napregnutog štapa pojavljuje se samo preseĉna sila N(z) i odgovarajući normalni napon z(z).
Napona smicanja jednak je nuli (0).
Uz analizu deformacijskog rada izraţenog preko preseĉne normalne sile
OTPORNOST MATERIJALA
241
Deformacijski rad izražen preko presečnog momenta uvijanja
U popreĉnim presecima štapa napregnutog na uvijanje pojavlju se samo preseĉni momenti uvijanja Mt(z) i odgovarajući napon smicanja z(,z).
Normalni napon z jednak je nuli (0).
Uz analizu deformacijskog rada izraţenog preko preseĉnog momenta uvijanja
constFzN
constEA
dzzAEzNA
l
Nd 2
1
0
2
,
EAlFAd 2
2
GzA z
Md t 2
2'
,
zIzMz t
z0
,
220
2'
, 2
zIGzMA t
Md t
zA
dAdzdV V
'd,MMd dVAA
tt
21
,
l
zA
tMd dzdA
zIGzMA
t0
220
2
, 2
1
dzzIGzMA
lt
Md t
21
0 0
2
,
OTPORNOST MATERIJALA
242
Deformacijski rad izražen preko presečnog momenta savijanja
Kod greda izloţenih ĉistom savijanju kao i savijanju silama, u popreĉnim presecima je pojavljuju preseĉni momenti savijanja Mx(z) ili My(z) i dogovarajući naponi z(y,z).
Uz analizu deformacijskog rada izraţenog preko preseĉnih momenata savijanja
Deformacijski rad usled momenta savijanja Mx
Deformacijski rad usled momenta savijanja My
constMzM t
constGI 0
dzzIGzMA
lt
Md t
21
0 0
2
, 0
2
, 2GIlMA
tMd
EzA z
Md x 2
2'
,
yzIzMzy
x
xz ,
22
2'
, 2y
zIEzMA
x
xMd x
zA
dAdzdV V
'd,MMd dVAA
xx
21
,
l
zAx
xMd dzdAy
zIEzMA
x0
22
2
, 2
1
dzzIEzMA
l
x
xMd x
2
1
0
2
,
dz
zIEzM
Al
y
yMd y
2
1
0
2
,
OTPORNOST MATERIJALA
243
Deformacijski rad izražen preko presečnih poprečnih sila
Kod greda izloţenih savijanju silama, u popreĉnim presecima je pojavljuju preseĉni momenti savijanja Mx(z) ili My(z) i odgovarajuće popreĉne sile Ty(z) i Tx(z).
Usled pojave popreĉnih sila u popreĉnim presecima se pojavljuju naponi smicanja Tzy(z) ili Tzx(z).
Uz deformacijski rad izraţen preko preseĉnih popreĉnih sila
GzA z
Td y 2
2'
,
x
x
yzy
SzIzT
z
2
2
2'
, 2
x
x
yTd
SzIG
zTA
y
zA
dAdzdV V
'd,MMd dVAA
tt
21
,
OTPORNOST MATERIJALA
244
Kx i Ky su koeficijenti oblika popreĉnog preseka.
OTPORNOST MATERIJALA
245
ZADATAK 1
Odrditi koeficijente oblika Kx pravougaonog i kruţnog popreĉnog preseka
Slika 1 – Pravougaoni i kruţni popreĉni presek
OTPORNOST MATERIJALA
246
17.6 Opšti izraz za deformacijski rad izraţen preko preseĉnih sila
Na osnovu napred izloţenog moţe se napisati i opšti izraz za deformacijski rad izražen preko bilo koje od pesečnih sila, a izvršen na elementarnom delu štapa (grede) duţine ds
s ... Koordinata duţ štapa,
am/bm ... Granice intervala u kojima se menja
bilo koja od veliĉina F(s)/(s)/J(s),
F(s) ... Bilo koja od 6 preseĉnih sila,
(s) ... Odgovarajuća fiziĉka karaktristika,
J(s) ... Odgovarajuća geometrijska
F(s)
N(z)
Mt(z)
Mx(z)
My(z)
Ty(z) Tx(z)
(s) E G E E G G
J(s) A(z)
I0(z) Ix(z) Iy(z) A(z)/Kx
A(z)/Ky
dssJs
sFdAd
2
21
n
m
b
ad
m
m
dssJs
sFA1
2
21
n
m
b
ad
m
m
dssJs
sFA1
2
21
n
m
b
ad
m
m
dssJs
sFA1
2
21
OTPORNOST MATERIJALA
247
17.7 Deformacijski rad pri opštem sluĉaju opterećenja izraţen preko preseĉnih sila
U izvesnim sluĉajevima se na popreĉnom preseku linijskog nosećeg elmenta mogu pojaviti sve preseĉne sile koje deluju na elementarnom delu dužine dz.
Tada će na osnovu nezavisnosti opterećenja (principa superpozicije) deformacijski rad biti jednak zbiru deformacijskih radova od svih presečnih sila, na elementarnom delu duţine dz.
dAd ... Elementarni deformacijski rad u jednom zapreminskom elementu
Ad ... Ukupni deformacijski rad na celoj duţini linijskog nosećeg elementa.
Za konstrukciju sastavljenu od n delova (štapova i greda) vaţi
)()()( )()()(
xdydyd
xdtddd
TdATdAMdAMdAMdANdAdA
dzGATdz
GAT
dzEI
M
dzEI
MdzGIMdz
EANdA
y
x
x
y
y
y
x
ttd
222
222222
2
0
22
l
y
xl
x
yl
y
y
l
x
xl
tl
d
dzGA
zTdzGA
zTdz
EIzM
dzEI
zMdzGI
zMdzEA
zNA
0
2
0
2
0
20
2
0 0
2
0
2
221
221
221
221
21
21
n
m
b
a y
xn
m
b
a x
yn
m
b
a y
y
n
m
b
a x
xn
m
b
a
tn
m
b
ad
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
dzGA
zTdzGA
zTdz
EIzM
dzEI
zMdzGI
zMdzEA
zNA
1
2
1
2
1
2
1
2
1 0
2
1
2
221
221
221
221
21
21
OTPORNOST MATERIJALA
248
ZADATAK 2
Na donjoj slici imamo štap i gredu pravougaonog popreĉnog peseka i iste duţine.
Odrediti ukupne deformacijske radove
štapa i grede za l=3m, F=25 kN, M=25
kNm i popreĉni presek (10 cm ×18 cm).
Slika 2 – Štap i greda
17.8 Teoremi o uzajamnosti
Dva su teorema o uzajamnosti koji se primenjuju pri rešavanju velikog broja problema Otpornosti materijala i Teorije elastiĉnosti, i to:
Teorem o uzajamnosti radova i
Teorem o uzajamnosti pomeranja.
Teorem o uzajamnosti radova
Naslovni teorem je opšti teorem otpornosti materijala i primenjuje se na sve sisteme opterećenja za koje se moţe primeniti princip nezavisnosti opterećenja (princip superpozicije).
Za primer uzmimo gredu opterećenu sa dve koncentrisane sile.
OTPORNOST MATERIJALA
249
Uz teorem o uzajamnosti radova
Uopštenja radi, taĉke u kojima deluju dve sile pratićemo pod onakama i i j.
U tom sluĉaju ćemo koncentrisane sile pratiti pod oznakama Si i Sj.
Prema principu nezavisnosti opterećenja posmatraćemo prvo delovanje sile Si u taĉki i , koja postepenim rastom nule (0) do pune vrednosti, pomeri taĉku i za i(Si).
Usled delovanja sile Si pomeriće se i taĉka j za j(Si).
Sluĉaj grede na koju deluje samo sila Si
Na pomeranju i(Si), sila Si će pri porastu od nule do svoje pune vrednosti izvršiti rad
koji je jednak površini trougla
Sada zamislimo da smo gredi dodali silu Sj koja će takoĊe rasti od nule (0) do svoje pune vrednosti.
Sila Sj će taĉku j pomeriti za j(Sj), a taĉku i za i(Sj).
iii SS 21
OTPORNOST MATERIJALA
250
Sila Si će u svom punom iznosu, posle dodavanja sile Sj , nastaviti da vrši rad na pomeranju i(Sj).
Greda sa punom vrednošću sile Si i dodatom silom Sj koja je porasla do svoje pune vrednosti
Na pomeranju i(Sj), sila Si će sa svojom punom vrednošću izvršiti rad
koji je jednak površini pravougaonika.
Na pomeranju j(Sj), sila Sj će pri porastu od nule do svoje pune vrednosti izvršiti rad
koji je jednak površini trougla.
Sile Si i Sj, zajedno će izvršiti rad
jii SS
jjj SS 21
jjjjiiiiid SSSSSSA 21
21
OTPORNOST MATERIJALA
251
Prema principu nezavisnosti opterećenja moţemo redosled sila promeniti i prvo posmatrati delovanje sile Sj u taĉki j, koja će postepenim rastom nule (0) do pune vrednosti, pomeriti taĉku j za j(Sj).
Usled delovanja sile Sj pomeriće se i tačka i za i(Sj).
Slučaj grede na koju deluje samo sila Sj
Na pomeranju j(Sj), sila Sj će pri porastu od nule do svoje pune vrednosti izvršiti rad koji je, sliĉno kao i u prethodnom sluĉaju, jednak površini trougla.
Sada zamislimo da smo gredi dodali silu Si koja će takoĊe rasti od nule (0) do svoje pune vrednosti.
Sila Si će taĉku i pomeriti za i(Si), a taĉku j za j(Si).
Sila Sj će u svom punom iznosu, posle dodavanja sile Si , nastaviti da vrši rad na pomeranju j (Si).
Greda sa punom vrednošću sile Sj i dodatom silom Si koja je porasla do svoje pune vrednosti
Na pomeranju j(Si), sila Sj će sa svojom punom vrednošću izvršiti rad koji je jednak površini pravougaonika.
jjj SS 21
ijj SS
OTPORNOST MATERIJALA
252
Sile Sj i Si, zajedno će izvršiti rad
Sile Si i Sj, zajedno će izvršiti rad
Zbog nezavisnosti od redosleda sledi
Ovo predstavlja Beti-Rejlijev teorem o uzajamnosti radova.
Ovo je proširenje Beti-Rejlijev teorema o uzajamnosti radova na sistem.
Teorem o uzajamnosti radova – Primer
Koristeći izraz
jiiijjjjjd SSSSSSA 21
21
jjjjiiiiid SSSSSSA 21
21
ijjjii SSSS
m
jijj
m
jjii SSSS
11
jjjjiiiiid SSSSSSA 21
21
OTPORNOST MATERIJALA
253
odrediti deformacijski rad grede
REŠENJE
Teorem o uzajamnosti pomeranja
Teorem o uzajamnosti pomeranja moţe se na sliĉan naĉin izvesti kao i teorem o uzajamnosti radova.
S’ druge strane, teorem o uzajamnosti pomeranja moţe se posmatrati i kao poseban sluĉaj teorema o uzajamnosti radova kod kojeg su sile Si i Sj imaju jedinične vrednosti.
U svrhu izvoĊenja teorema o uzajamnosti pomeranja uvešćemo pojam uticajnih (Maksvelovih) koeficijenata elastiĉnosti ij.
EI
FlS48
3
11 EI
MlS16
2
21
EI
MlS322 222211111
21
21 SSSSSSAd
EIMlM
EIMlF
EIFlFAd 32
1 16482
1 23
EIFlS
16
2
12
EIlM
EIFMl
EIlFAd 6
1696
2232
OTPORNOST MATERIJALA
254
Uz izvoĊenje teorema o uzajamnosti pomeranja
Uticajni koeficijent elastiĉnosti ij predstavlja pomeranje proizvoljne taĉke i u pravcu delovanja sile Si , usled delovanja jediniĉne sile Sj =1.
Vaţi i obrnuto - Uticajni koeficijent elastiĉnosti ji predstavlja pomeranje proizvoljne taĉke j u pravcu delovanja sile Sj , usled delovanja jediniĉne sile Si =1.
Imajući u vidu šta uticajni koeficijenti elastiĉnosti predstavljaju, za pomeranja na slici moţemo napisati da iznose
Izraz za teorem o uzajamnosti radova
Jednakost uticajnih koeficijenata predstavlja teorem o uzajamnosti pomeranja (poznat i kao Maksvelov teorem o uzajamnosti ).
U linearno elstičnom telu (konstrukciji), pomeranje proizvoljne tačke i u pravcu delovanja sile Si , izazvano jediničnim koncentrisanim opterećenjem (silom ili momentom) Sj koje deluje u tački j, jednako je pomeranju tačke j u pravcu delovanja sile Sj, izazvanom jediničnim koncentrisanim opterećenjem Si = 1 koje deluje u tački i.
Na osnovu ovoga, moţe se reći da uticajni koeficijenti elastiĉnosti imaju osobinu simetriĉnosti.
Korišćenjem uticajnih koeficijenata elastiĉnosti, pomeranje i, proizvoljne taĉke i, izazvano delovanjem sila S1, S2, ..., Sj, ..., Sn, iznosi
Teorem o uzajamnosti pomeranja – Primer
Koristeći izraz
ijiij
jijji
SSSS
ijjjii SSSS ijji SSSS jiij jiij
nji SSSS inij2i21i1
n
jji S
1ij
ijjjii SSSS
OTPORNOST MATERIJALA
255
dokazati teorem o uzajamnosti pomeranja i odrediti uticajne koeficijente elastiĉnosti za gredu
REŠENJE
Ovim je dokazan teorem o uzajamnosti pomeranja za gredu na slici.
Uvedimo sada jediniĉne sile
Ovim je dokazana simetriĉnost uticajnih elestiĉnih koeficijenata za gredu na slici.
EI
MlS
EIFlS
3
48
22
3
11
EI
FlS
EIMlS
16
162
12
2
21
122211 SSSS
16
16
22
EIFlM
EIMlF
16
16
22
EIFlM
EIMlF
11
2
1
SMSF
EI
FlS
EIMlS
16
162
12
2
21
EI
lS
EIlS
161
161
2
12
2
21
11
1221
2112
SS
EIl
16
2
2112
OTPORNOST MATERIJALA
256
17.9 Deformacijski rad i dopunski rad
Pre svega, prisetimo se osnovnih sluĉajeva naprezanja sa poznatim izrazima kojima se definiše meĊusobna zavisnost sila i pomeranja njihovih napadnih taĉaka.
Aksijalno naprezanje štapa
Uvijanje štapa
Savijanje konzole
Savjanje grede
U svim navedenim sluĉajevima naprezanja, sreli smo se sa koncentrisanim opterećenjima S (silama ili momentima).
Zavisnost izmeĊu sila i pomeranja njihovih napadnih taĉaka i obrnuto je linearna.
U nekim sluĉajevima ova veza moţe biti i nelinearna.
EAlFl
lEAlF
0GIlM
lGIM 0
EIlFf
3
3
3
3lEIfF
EIlM
3
lEIM 3
OTPORNOST MATERIJALA
257
PRIMER NELINEARNE ZAVISNOSTI
Odrediti pomeranje srednjeg zgloba 2-štapnog sistema
REŠENJE
Plan pomeranja
Sile u štapovima
222 lll
cos221FFF
cos21
EAFl
EAlFl
lll
cos EAFll
2
2
OTPORNOST MATERIJALA
258
Ovo je primer geometrijske nelinearnosti.
U nekim sluĉajevima se moţe pojaviti i fiziĉka nelinearnost (materijal se ponaša nelinearno elastiĉno).
U bilo kojem sluĉaju nelinearnosti govorimo o nelinearnom elastiĉnom ponašanju i meĊusobna zavisnost sile i pomeranje njene napadne taĉke je nelinearna.
Dijagramski prikaz nelinearnog ponašanja
Šrafirane površine na slici predstavljaju deformacijski rad Ad (levo) i dopunski rad A*d (desno).
Deformacijski rad
Zanemarivanjem kinetiĉke i toplotne energije, prihvatamo da se ukupan rad spoljašnjih sila pretvara u potencijalnu energiju deformacije – deformacijski rad.
Priraštaj rada spoljašnjih sila, jednak priraštaju deformacijskog rada, za telo (konstrukciju) sa nelinearno elastiĉnim ponašanjem, dat je izrazom
222 lll
llllllllll
22 2 2222
EAFll
2
2
ll 22 EAFl33 3
3 lEAF 3
EAFl
dSdAdR d
OTPORNOST MATERIJALA
259
Priraštaj deformacijskog rada:
Ukupni deformacijski rad iznosiće
Dopunski rad
Za telo (konstrukciju) sa nelinearnim elastiĉnim ponašanjem i zavisnošću izmeĊu pomeranja i sile, moţemo definisati priraštaj tzv. dopunskog rada
Priraštaj dopunskog rada:
Ukupni dopunski rad iznosiće
Dopunski rad nma jasan fiziĉki smisao, ali je prema slici levo jasno, da zbir ova dva rada iznosi
dSdAd
0
dSAd
dSSdAd *
dSSdAd *
S
d dSSA0
*
SAA dd *
OTPORNOST MATERIJALA
260
Deformacijski i dpunski rad u sluĉaju nelinearnog (levo) i linearnog elastiĉnog ponašanja ponašanja tela (desno)
Deformacijski i dopunski rad su u sluĉaju linearnog elastiĉnog ponašanja jenaki i iznose
17.10 Primena deformacijskog rada (Potencijalne energije deformacije)
Posmatraćemo proizvoljno opterećen deo konstrukcije sastavljene od linijskih nosećih elemenata (štapova, greda).
Proizvoljno opterećen deo konstrukcije
Na deo konstrukcije deluju koncentrisanih opterećenja (sila ili momenata)
SAA dd 21*
),...,2,1( niSi
OTPORNOST MATERIJALA
261
Ponašanje je nelinearno elastiĉno
Neka je za svaku od sila
Ukupan deformacijski rad dela konstrukcije iznosi
Pod pretpostavkom da jedino pomeranje i proizvoljne taĉke i u kojoj deluje sila Si , doţivi promenu pomeranja di u pravcu delovanja sile Si, a sva ostala pomeranja ostanu nepromenjena, tj. imamo da je
Promena ukupnog deformacijskog rada
Ovo predstavlja Prvi Kastiljanov teorem (ili Lagranţov ili Lagranţ-Kastiljanov teorem)
iii SS
nniidd SSSSAA ,,,,, 2211
nidd AA ,...,,...,, 21
0......0
1121
nii
i
dddddd
iid dSdA
nidd AA ,...,,...,, 21
n
ii
i
dd dAdA
1
0......0
1121
nii
i
dddddd
ii
dd dAdA
iid dSdA
niSAi
i
d ,...,2,1
OTPORNOST MATERIJALA
262
Prvi kastiljanov teorem glasi: Ako se potencijalna enrgija deformacije , deformacijski rad, akumuliran u elastiĉnoj konstrukciji, izrazi kao funkija pomeranja (linijskih ili ugaonih) i(i=1,2,...,n), onda je parcijalni izvod deformacijskog rada Ad po i-tom pomeranju i-te taĉke jednak odgovarajućem i-tom koncentrisanom opterećenju (sili ili momentu) Si koje deluje u i-toj taĉki, a u smeru tog pomeranja.
Prvi kastiljanov teorem predstavlja osnovu za metod pomeranja.
17.11 Primena dopunskog rada
Sada ćemopretpostaviti da se iz poznate veze
Moţe uspostaviti veza
Ponašanje je nelinearno elastiĉno
Ukupan dopunski rad iznosi
iii SS
iii S
iii S
nniidd SSSSAA ,,,,, 2211**
nidd SSSSAA ,...,,...,, 21**
OTPORNOST MATERIJALA
263
Za sluĉaj
promena ukupnog dopunskog rada će iznositi
Ovo predstavlja Groti-Engeserov teorem koji vaţi za bilo kakvu elastiĉnu konstrukciju.
Groti-Engeserov teorem glasi: Ako se dopunski rad A*d izrazi ka funkcija koncentrisanih opterećenja Si(i=1,2,...,n) onda je parcijalni izvod tog rada po i-tom koncentrisanom opterećenju (sili ili momentu) koje deluje u i-toj taĉki, jednak i-tom pomeranju i u pravcu i smeru sile Si koja u i-toj taĉki deluje.
Ovaj teorem predstavlja osnovu za metod sila.
Ako je u pitanju linearno elastiĉno ponašanje konstrukcije onda su dopunski i deformacjski rad jednaki
Ovo predstavlja Drugi Kastiljanov teorem koji vaţi samo za linearno elastiĉnu konstrukciju.
0......0
1121
nii
i
dSdSdSdSdSdS
iid dSdA *
nidd SSSSAA ,...,,...,, 21**
n
ii
i
dd dS
SAdA
1
**
0......0
1121
nii
i
dSdSdSdSdSdS
ii
dd dS
SAdA
**
iid dSdA *
niSA
ii
d ,...,2,1 *
dd AA *
niSA
SA
ii
d
i
d ,...,2,1 *
OTPORNOST MATERIJALA
264
Drugi Kastiljanov teorem glasi: Ako se u linearno elastiĉnoj konstrukciji deformacijski rad Ad izrazi kao funkcija sila, koje deluju na konstrukciju, onda je parcijalni izvod tog rada po i-tom koncentrisanom opterećenju Si koje deluje u i-toj taĉki, jednak i-tom pomeranju i , a u smeru delovanja tog opterećenja.
U sluĉaju linearno elastiĉnog ponašanja konstrukcije moguće je primeniti oba Kastiljanova teorema.
Jedan naĉin izvoĊenja ovih teorema već je izloţen.
Sada ćemo oba Kastiljanova teorema izvesti na jedan drugi naĉin.
U svrhu izvoĊenja drugog Kastiljanovog teorema posmatraćemo prostu gredu opterećenu sa tri (3) koncentrisane sile.
Uz izvoĊenje drugog Kastiljanovog teorema
Usled sila Fi (i=1,2,3) nastaju pomeranja i(Fj) (i,j=1,2,3) za koja vaţi
Sada, kako smo to i ranije radili, zamislimo da na gredu prvo deluje sila F1 od nule do svoje krajnje vrednosti, zatim sila F2 od nule do svoje krajnje vrednosti i na kraju sila F3 od nule do svoje krajnje vrednosti.
Saglasno ovakvom posmatranju delovanja napadnih sila grede, definisaćemo izraz za deformacijski rad Ad.
3332321313
3232221212
3132121111
F F F F F F
F F F
3,2,1 F 3
1ij
ij
ji
OTPORNOST MATERIJALA
265
Deformacijski rad za gredu na slici iznosi
Deformacijski rad izraţen
kao kvadratna forma sila
333
322222
311211111
21
21
21
FF
FFFF
FFFFFFAd
3,2,1 F 3
1ij
ij
ji
333
322222
311211111
21
21
21
FF
FFFF
FFFFFFAd
2333
32232
222
311321122
111
21
21
21
F
FFF
FFFFFAd
OTPORNOST MATERIJALA
266
Iz
Deformacijski rad je funkcija sila.
Ovim je izveden drugi Kastiljanov teorem koji vaţi samo za sisteme sa linearnim elastiĉnim ponašanjem.
U svrhu izvoĊenja prvog Kastiljanovog teorema posmatraćemo prostu gredu opterećenu sa dve (2) koncentrisane sile.
2333
32232
222
311321122
111
21
21
21
F
FFF
FFFFFAd
3,2,1 iFAA idd
2333
32232
222
311321122
111
21
21
21
F
FFF
FFFFFAd
3332321313
3232221212
3132121111
FFFFA
FFFFA
FFFFA
d
d
d
3332321313
3232221212
3132121111
FFFFA
FFFFA
FFFFA
d
d
d
3332321313
3232221212
3132121111
F F F F F F
F F F
33
22
11
FAFAFA
d
d
d
3,2,1
iFA
ii
d
OTPORNOST MATERIJALA
267
Uz izvoĊenje prvog Kastiljanovog teorema
Izrazi za pomeranja: odnosno
Uticajni koeficijenti krutosti
2221212
2121111
F F F F
2222121
1212111
F F F F
2222121
1212111
F F F F
2221
1211
D 2
122211 D
222
1211
D
221
1112
D
2121221 D
1212112 D
DDF
DDF
22
11
2121221 D
1212112 D
211
121
2
212
122
1
DDF
DDF
2221212
2121111
kkFkkF
2,1 2
1
ikF jj
iji
2122211 D
jiijk k
OTPORNOST MATERIJALA
268
Deformacijski rad za gredu na slici iznosi
22222112
2111 2
121 FFFFAd
22222112
2111 2
121 FFFFAd
2
2
22
1
12
1
2
21
1
11
FFAF
FAA
FFAF
FAA
ddd
ddd
2
2222121
2
1212111
2
1
2222121
1
1212111
1
FFFFFFA
FFFFFFA
d
d
2221212
2121111
kkFkkF
21
1
211
1
1 kFkF
222
212
2
1 kFkF
2221212
2121111
F F F F
2
2222121
2
1212111
2
1
2222121
1
1212111
1
FFFFFFA
FFFFFFA
d
d
2221212
2121111
kkA
kkA
d
d
OTPORNOST MATERIJALA
269
Ovim je izveden prvi Kastiljanov teorem.
Primer primene prvog Kastiljanovog teorema i Groti-Engeserovog teorema
Za dvoštapni sistem
odrediti deformacijski i dopunski rad, a zatim primeniti prvi Kastiljanov teorem i Groti-Engeserov teorem.
Klasiĉanim pristupom, za ovaj problem smo dobili meĊusobne zavisnosti sile F i pomeranja njene napadne taĉke
Deformacijski rad:
2221212
2121111
kkFkkF
2221212
2121111
kkA
kkA
d
d
22
11
FA
FA
d
d
2,1
iFAi
i
d
3 EAFlF
33
lEAFF
dFAd 0
dlEAAd
0
33
434
lEAAd
OTPORNOST MATERIJALA
270
Prvi Kastiljanov teorem:
Dopunski rad:
Groti-Engeserov teorem
NAPOMENA: Drugi Kastiljanov teorem, ovde se ne moţe primeniti jer je meĎusobna veza sile i pomeranja, nelinearna.
17.12 Koeficijenti elastiĉnosti i krutosti
Uopštavanjem posmatranih primera moguće je doći do još nekih zakljuĉaka.
Uopštavanje pomeranja:
Uopštavanje uticajnih koeficijenata elastiĉnosti:
434
lEAAd
33
lEAAd
FAd
33
lEAF
dFFAF
d 0
* 3
EAFlF
34
* 43
EAFlAd
dFEAFlA
F
d 0
3*
34
* 43
EAFlAd
FAd
*
3*
EAFl
FAd
3
EAFl
nin
jji ,...,2,1 F
1ij
njiS j
i ,...,2,1, ij
OTPORNOST MATERIJALA
271
Uopštavanje sila:
Uopštavanje uticajnih koeficijenata krutosti:
Fiziĉko znaĉenje uticajnih koeficijenata krutosti: Uticajni koeficijenti krutosti kij predstavljaju koncentrisano opterećenje (silu ili momemt) koje mora da deluje u tački i da bi izazvalo odgovarajuće jedinično pomeranje (linijsko ili ugaono) u tački j , pri čemu su pomeranja ostalih tačaka jednaka nuli (0).
Ilustracija uticajnih koeficijenata elastiĉnosti
niSA
i
d ,...,2,1 i
nji
S j
i ,...,2,1, ij
nji
SSA
ji
d ,...,2,1, 2
ij
nikS j
n
jiji ,...,2,1
1
njikij ,...,2,1, S
j
i
njikij ,...,2,1, S
j
i
niSA
i
d ,...,2,1 i
njik
iij ,...,2,1,
A
j
d2
OTPORNOST MATERIJALA
272
Ilustracija uticajnih koeficijenata krutoski
17.13 Primena energetskih metoda za odreĊivanje pomeranja kod Statiĉki odreĊenih konstrukcija
Primena drugog Kastiljanovog teorema
Kod jednostavnijih sluĉajeva, sa do dva opterećenja, drugi Kastiljanov teorem je moguće direktno primeniti.
Primena prvog Kastiljanovog teorema i Groti-Engeserovog teorema
Primeniti naslovne teoreme na dvoštapni sistem
Prvi Kastiljanov teorem:
Groti-Engeserov teorem:
Kod sloţenijih konstrukcija, ili pri postojanju više opterećenja, izraĉunavanje deformacijskog rada se usloţnjava i traje.
Ako je npr. treba naći pomeranje proizvoljne taĉke, jednostavnije je naći izvod izraza kojim je definisan deformacijski rad.
Objasnimo ovo korišćenjem opšteg izraza za deformacijski rad.
EAlFAd 2
2
0
2
2GIlMAd
)2
2
lzEAFl
EAlF
FFAd
)2 00
2
lzGIMl
GIlM
MMAd
434
lEAAd
34
* 43
EAFlAd
FlEA
lEAAd
33
434
33
4*
43
EAFl
EAFl
FFAd
OTPORNOST MATERIJALA
274
Opšti izraz za deformacijski rad:
Za opšti sluĉaj opterećenja moţe se napisati:
Ovde je pretpostavljeno da preseĉne sile zavise od z.
Ako se poduţne i popreĉne sile zanemare dobiće se:
Savijanje oko x ose - Proizvoljno promenljivog popreĉnog preseka:
Savijanje oko x ose – Savojna krutost nije ista za celu gredu:
Savijanje oko x ose – Isti materijal i isti popreĉni presek grede:
dssJs
sFAn
md
21
1
b
a
2m
m
m
b
a ii
di
m
m
dsS
sFsJs
sFSA
m
b
a i
x
my
x
m
b
a i
y
mx
y
m
b
a i
y
my
y
m
b
a i
x
mx
x
m
b
a i
t
m
t
m
b
a imi
di
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
dzST
GATdz
ST
GAT
dzS
MEIM
dzS
MEIM
dzSM
GIMdz
SN
EAN
SA
0
m
b
a i
y
my
y
m
b
a i
x
mx
x
m
b
a i
t
m
t
i
di
m
m
m
m
m
m
dzS
MEIM
dzS
MEIM
dzSM
GIM
SA
0
m
b
a i
x
mx
xi
m
m
dzS
MEIM
m
b
a i
xx
mxi
m
m
dzS
MMEI
1
m
b
a i
xx
xi
m
m
dzS
MMEI
1
OTPORNOST MATERIJALA
275
Ako je potrebno odrediti pomeranje taĉke i u kojoj ne deluje odgovarajuće koncentrisano opterećenje, u toj taĉki treba dodati fiktivno (zamišljeno) nulto koncentrisano opterećenje Si.
Nakon toga primeniti odgovarajuće izraze.
Objasnimo to na jednom primeru.
PRIMER: Primenom Kastiljanovog teorema odrediti nagib na mestu levog oslonca grede sa prepustom
Reakcije:
lMFaFY
lMFaY
AB
AA
m
b
a AmA
dA
m
m
dzMM
EIzM
MA 0
OTPORNOST MATERIJALA
276
m zm (EI)m M(zm) M(zm)/MA
1 0, l 2EI MA- (Fa+MA)z1/l 1-z1/l
2 0, a EI - Fz2 0
17.14 Metod jediniĉnih opterećenja – Maksvel-Morov metod, Maksvel-Morovi integrali
Izraĉunati deformacijski rad izraţen preko preseĉnih veliĉina, preseĉne veliĉine (sile i momente) treba poznavati.
Osvrnimo se sada na deo neke konstrukcije koji je izloţen savijanju.
Moment u naznaĉenom preseku iznosi
dzlzz
lFa
EI
l
A 1 2
1 1
01
EIFal
A 12
2222111 MzaFzaaFMzM
OTPORNOST MATERIJALA
277
Moment savijanja M(z) koji potiĉe od jediniĉne sile Si=1.
2222111 MzaFzaaFMzM
1 1 1
1
MzazMM
zM
1 121
1
FzazMzaaF
zM
1 22
2
FzazMzaF
zM
1 1 2
2
MzazMM
zM
zMSzazM
SzM
ii
1
OTPORNOST MATERIJALA
278
Zanemarene poduţne i popreĉne sile:
Ovo je metod jediniĉnih opterećenja ili Maksvel-Morov metod.
Redosled primene Maksvel-Morovog metoda:
1. Sa konstrukcije ukloniti opterećenja i u taĉki ĉije se pomeranje traţi dodati jediniĉno opterećenje (silu ili moment),
2. Ustanoviti broj polja u kojima se menjaju vrednosti preseĉnih veliĉina (moment savijanja kod savijanja),
3. Odrediti reakcije u osloncima od zadatih opterećenja i dodatog jediniĉnog opterećenja,
4. U svim poljima ispisati izraze za preseĉne sile (momente savijanja kod savijanja) usled zadatih opterećenja,
5. U svim poljima ispisati izraze za preseĉne sile (momente savijanja kod savijanja) usled jediniĉnog opterećenja.
m
b
ayi
my
qy
m
b
axi
mx
qx
m
b
ati
m
qt
i
m
m
m
m
m
m
dzMEIM
dzMEIM
dzMGIM
0
OTPORNOST MATERIJALA
279
PRIMER: Primenom Maksvel-Morovog metoda odrediti ugib kraja grede sa prepustom
m zm (EI)m Mq(zm) MC(zm)
1 0, l 2EI M- Mz1/l -az1/l
2 0, a EI 0 -1 z2
lMYY q
Bq
A
laYY BA
1
10
1 12
1 dzla
lzM
EIf
l
C
EIMlafC 12
OTPORNOST MATERIJALA
280
17.15 Primena energetskih metoda za rešavanje statiĉki neodreĊenih konstrukcija
Najpre smo upoznali sa statiĉki nodreĊenim štapovima opterećenim na zatezanje/pritisak i na uvijanje.
Posle toga smo se upoznali sa statiĉki neodreĊenim grednim nosaĉima.
Ovoga puta ćemo se upoznati sa sloţenijim statiĉki neodreĊenim konstrukcijama – Okvirima (ramovima).
Stepen neodreĊenosti okvira (1) iznosi
Ravanski okvir 1 sluĉaj
Pretvaranje 1 statiĉki neodreĊenog okvira (1) u statiĉki odreĊen okvir:
(1.1) Desni zglobni nepomiĉni oslonac pretvoren u pomiĉni.
(1.2) Levi zglobni nepomiĉni oslonac pretvoren u pomiĉni.
(1.3) Umetnut zglob.
Stepen neodreĊenosti okvira (2) iznosi
Ravanski okvir 2 sluĉaj
Pretvaranje 2 statiĉki neodreĊenog okvira (2) u statiĉki odreĊen okvir:
(2.1) Uklonjen desni zglobni nepomiĉni oslonac.
(2.2) Ukleštenje pretvoreno u zglobnim nepomiĉnim oslonac , a desni zglobni nepomiĉni oslonac pretvoren u pomiĉni.
(2.3) Ukleštenje pretvoreno u zglobni pomiĉni oslonac.
134 snk
235 snk
OTPORNOST MATERIJALA
281
Stepen neodreĊenosti okvira (3) iznosi
Ravanski okvir 3 sluĉaj
Pretvaranje 3 statiĉki neodreĊenog okvira (3) u statiĉki odreĊen okvir:
(3.1) Uklonjeno desno ukleštenje.
(3.2) Levo ukleštenje pretvoreno u zglobni nepomiĉnim oslonac, a desno zglobni pomiĉni oslonac.
(3.3) Izvršeno presecanje i dobijena dva statiĉki odreĊena sklopa.
Sve reakcije okvira sa zatvorenom konturom (4) mogu se odrediti iz uslova ravnoteţe.
’Ravanski okvir 4 sluĉaj
U zatvorenoj konturi postoje tri nepoznate preseĉne veliĉine pa je okvir (4) spoljašnje statiĉki odreĊen
i 3 unutrašnje statiĉki neodreĊen
(4.1) i (4.2) Okvir se presecanjem pretvara u unutrašnje statiĉki odreĊen okvir.
Ravanski okvir – 5. Sluĉaj
336 snk
3spn3unn
OTPORNOST MATERIJALA
282
Pretvaranje 3 spoljašnje i 3 unutrašnje statiĉki neodreĊenog okvira (5) u statiĉki odreĊen okvir:
(5.1) Uklonjeno desno ukleštenje i izvršeno presecanje zatvorene konture.
(5.2) Sa dva presecanja dobili smo dva statiĉki odreĊena sklopa.
Napomene:
Kod statiĉki neodreĊenih grednih nosaĉa pri primeni metoda sila dovoljno je bilo ukloniti suvišne veze i time se statiĉki neodreĊeni gredni nosaĉi pretvarali u statiĉki odreĊene (dopunski uslovi su definisani preko pomeranja).
Pomeranje proizvoljne taĉke statiĉki neodreĊene konstrukcije moguće je odrediti direktnom primenom drugog Kastiljanovog teorema i Maksvel-Morovog metoda.
Na primeru statiĉki neodreĊene konstrukcije, proširićemo dosad steĉena saznanja.
Broj spoljašnjih nepoznatih nsp , broj unutrašnjih nepoznatih nun i ukupan broj nepoznatih n, broj uslova ravnoteţe s i stepen neodreĊenosti k jednak broju suvišnih nepoznatih, za konstrukciju (6):
OTPORNOST MATERIJALA
283
Deset suvišnih veza ovde je uklonjeno na naĉin (6.1) i saglasno ovom dopunski uslovi definisani preko pomeranja, glase
Uopšten zapis dopunskih uslova definisani preko pomeranja:
Broj elastiĉnih oslonaca je:
Drugi Kastiljanovog teorem:
103133
133103
1011332
snks
nnnnn
usp
un
sp
10 9,...,2,1 0
0 izaiza
ii
kppizapiza
ii ,...,2,1
,...,2,1 0
0
pk
kiSA
i
di ,...,2,1
OTPORNOST MATERIJALA
284
Drugi Kastiljanovog teorem za konstrukciju (6), prema (6.1):
Uopšteno, za sve nepomiĉne oslonce imali bi:
17.16 Princip minimuma potencijalne energije deformacije (deformacijskog rada)
Uopšteni dopunski uslovi definisani, za sve nepomiĉne oslonce:
predstavljaju i uslove potrebne da potencijalna energija deformacije (deformacijski rad) ima stacionarnu vrednost (koja je minimalna kada se konstrukcija nalazi u stanju ravnoteže).
Ovo je princip minimuma deformacijskog rada (princip Manabrea i Kastiljana).
Iz principa minimuma deformacijskog rada (principa Manabrea i Kastiljana), izvodi se zakljuĉak:
Ako su u posmatranoj konstrukciji sa linearnim ponašanjem, pomeranja koja odgovaraju suvišnim nepoznatim veličinama jednaka nuli (0), onda suvišne nepoznate Si,Sj,...,Sk imaju vrednosti za koje je potencijalna energija deformacije minimalna.
Princip minimuma deformacijskog rada je samo specijalan sluĉaj opštijeg principa minimuma dopunskog rada iz kojeg se izvodi se zakljuĉak:
Ako su pomeranja koja odgovaraju suvišnim nepoznatim veličinama jednaka nuli (0), onda za konstrukciju sa proizvoljnim elastičnim ponašanjem suvišne nepoznate Si,Sj,...,Sk imaju vrednosti za koje je dopunski rad minimalan.
10,...,2,1
i
SA
i
di
10 9,...,2,1 0
0 izaiza
SA
ii
di
kiSA
i
d ,...,2,1 0
kiSA
i
d ,...,2,1 0
OTPORNOST MATERIJALA
285
17.17 Kanonske jednaĉine metoda sila
Saglasno pomeranju proizvoljne taĉke konstrukcije u funciji od uticajnih koeficijenata elastiĉnosti i koncentrisanih opterećenja, dopunske uslove napišimo u obliku
Ovo je sistem kanonskih jednaĉina metoda sila.
ij i i (i=1,2,...,k), u navedenom sistemu, moţemo odrediti primenom Maksvel-Morovog metoda (primenom Maksvel-Morovih integrala).
Primena Maksvel-Morovog metoda za odreĎivanje uticajnih koeficijenata elstičnosti
Na osnovu, od ranije poznate uopštene formulacije Maksvel-Morovog metoda, za pomeranja od zadatih opterećenja moţemo napisati
Za ij jednako pomeranju i-te taĉke usled delovanja jediniĉne sile Sj=1, Fq u ovom izrazu moţemo zameniti preseĉnom veliĉinom usled jediniĉne sile Sj=1 i dobiti:
kiiliS iij
k
jiji ,...,2,1 0 0
1
kppizapiza
Si
ij
k
jiji ,...,2,1
,...,2,1 0
01
kkkkkjkjkk
iikikjijii
kkjj
kkjj
SSSS
SSSS
SSSSSSSS
02211
02211
02222222121
01111212111
,0......
,0......
,0...... ,0......
dsF
JF
im
b
a m
qqii
m
m
jijm
b
a m
ii
m
b
a m
jij dsF
JFdsF
JF m
m
m
m
OTPORNOST MATERIJALA
286
Opšti sluĉaj opterećenja:
Savijanje sa uvijanjem (zanemarene normalne i popreĉne preseĉne veliĉine ):
Savijanje oko jedne ose:
Proizvoljno promenljiv popreĉni presek.
Savojna krutost nije ista.
Isti materijal i isti popreĉni presek.
NAPOMENA:
Kanonske jednačine metoda sila sa Maksvel-Morovoim metodom za odreĎivanje ij i i (i=1,2,...,k) u njima, doživele su primenu kod ravanskih linijskih konstrukcija (sa proizvoljnim opterećenjima, opterećenjima u ravni konstrukcije i opterećenjima ravni koja je normalna na ravan konstrukcije (pogledati preporučenu literaturu).
dzT
GTdzT
GT
dzMEM
dzMEM
dzMGMdzN
EN
xjm
b
a m
xiyj
m
b
a m
yi
yjm
b
a m
yixj
m
b
a m
xi
tjm
b
a m
tij
m
b
a m
iij
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
A
A
I
I
I
A
yx
yx
0
zTT
zTT
zMMzMMzMM
zNN
xx
yy
yy
xx
tt
dzM
GM
dzMEM
dzMEM
tjm
b
a m
ti
yjm
b
a m
yixj
m
b
a m
xiij
m
m
m
m
m
m
I
I
I
0
yx
zMM
zMMzMM
tt
yy
xx
dzM
EM
jm
b
a m
iij
m
m
I
dzMM
E jm
b
ai
mij
m
m
I 1
dzMME j
m
b
aiij
m
m
I
1
zMM
OTPORNOST MATERIJALA
287
17.18 Specifiĉni deformacijski rad promene zapremine i promene oblika
Proizvoljni zapreminski element ĉvrstog opterećenog tela
posle deformisanja imaće zapreminu
Ovo se dobije posle zanemarivanja malih veliĉina višeg reda !!!
U sluĉaju koordinatnog sistema kojem su ose pravci glavnih dilatacija vaţi
dxdydzdV
)()()( dzdzdydydxdxdVdV
dz(dz)dz
dy(dy)dy
dx(dx)dxdVdV ΔΔΔ 1 1 1
dxdydzdVdV zyx 1 1 1 dxdydzdV
dV 1 1 1 zyxdVdV
zyxdV
dV
1 1 11
zyxdV
dV
1 1 11
VdV
dV
zyxV
321 V
2133
1322
3211
1
1
1
E
E
E
OTPORNOST MATERIJALA
288
Srednji napon σs:
Modul zapreminske deformacije ili modul kompresije.
Srednja deformacija εs
Specifiĉni deformacijski rad
Sa poznatim glavnim normalnim naponima izraz za specifiĉni deformacijski rad glasi
3321
s 32121
EV
sV E
213
213
EK Vs K
s
s
s
s
s
s
3
2
1
3
2
1
000000
000000
000000
3321
s 321 V sV 3
s
s
s
s
s
s
3
2
1
3
2
1
000000
000000
000000
zxzxyzyzxyxyzzyyxxdA 21'
332211'
21
dA
OTPORNOST MATERIJALA
289
Specifiĉni deformacijski rad moţemo predstaviti kao zbir dva dela
Koristeći srednji napon i zapreminsku deformaciju , rad utrošen na promenu zapremine moţemo izarziti u obliku
2133
1322
3211
1
1
1
E
E
E
13322123
22
21
' 221
E
Ad
13322123
22
21
' 221
E
Ad
21323
13222
32121
1 1
1 1
1 1
E
E
E
133221
23
22
21
' 12
21 1 21
EAd
VsV
dA 21)('
OTPORNOST MATERIJALA
290
3-osno stanje napona
2-osno stanje napona
1-osno stanje napona
3-osno stanje napona
2-osno stanje napona
1-osno stanje napona
3321
s
32121
EV
VsV
dA 21)(' 2321
)('
621
E
A Vd
VsV
dA 21)('
321213
EK vs
2321
)('
216
EA Vd
13322123
22
21
' 221
E
Ad
2321)('
621
E
A Vd
)(')('' Od
Vdd AAA
)('')(' Vdd
Od AAA
213
232
221
)('
61
E
A Od
13322123
22
21
' 221
E
Ad
2122
21
' 221
E
Ad
2'
21
EAd
2321)('
621
E
A Vd
221)('
621
E
A Vd
2)('
621
EA V
d
OTPORNOST MATERIJALA
291
3-osno stanje napona
2-osno stanje napona
1-osno stanje napona
Hidrostatiĉko stanje napona:
ZAPAŢANJE: Ukupan specifični deformacijski rad jednak je specifičnom deformacijskom radu utrošenom na promenu zapremine i pri hidrostatiĉkom stanju napona nema promene oblika.
213
232
221
)('
61
E
A Od
2122
21
)('
31
E
A Od 21
22
21
)('
61
G
A Od
2)('
31
EA O
d
2)('
61
GA O
d GE 12
321 s
13322123
22
21
' 221
E
Ad
2'
2213
sd EA
2'
2213
sVd
EA
2321
)('
621
E
A Vd
OTPORNOST MATERIJALA
292
19 SLOŢENA NAPREZANJA
Na poĉetku kursa OTPORNOSTI MATERIJALA upoznali smo se sa pojmom napona i deformacija.
Napone i deformacije prouĉavali smo kod:
Aksijalnog naprezanja,
Smicanja,
Uvijanja,
Savijanja i
Izvijanja.
U svakom od sluĉajeva nabrojanih naprezanja postavljalo se pitanje nosivosti konstrukcija.
Kod aksijalno napregnutih štapova dovoljno jebilo uporediti stvarni napona sa nekom graniĉnom vrednošću.
Traţilo se da stvarni napon bude manji ili jednak graniĉnoj vrednost (da je ne prekoraĉi).
Zavisno od toga šta uzimamo za graniĉnu vrednost, kod aksijalno napregnutih štapova moguće je definisati nekoliko kriterijuma.
Graniĉna vrednost je zatezna ćvrstoća Rm– Kriterijum zatezne ĉvrstoće
Graniĉna vrednost je granica teĉenja ReH ili konvencionalna granica teĉenja Rp0.2 – Kriterijum teĉenja
Graniĉna vrednost je dozvoljeni napon d definisan na osnovu zatezne ĉvrstoće ili granice teĉenja i stepena sigurnosti - Kriterijum dozvoljenog napona
U oblasti do garnice proporcionalnosti P , gde vaţi Hukov zakon, moţe se definisati graniĉna vrednost deformacija
Graniĉna vrednost napona smicanja je
mRmax
2.0max
max
p
eH
RR
d max
Emax
max
2maxz
OTPORNOST MATERIJALA
293
Graniĉna vrednost ukupnog specifiĉnog deformacijskog rada
Monotona naponsko-deformaciona kriva
Specifiĉni deformacijski rad jednak je površini osenĉenog trougla.
Graniĉna vrednost specifiĉnog deformacijskog rada za promenu oblika, pri aksijalnom naprezanju štapova iznosi
Kod aksijalno napregnutih štapova normalni napon sz jednak je glavnom normalnom naponu s1.
Kod dvoosnog naprezanja (ravnog stanja napona) imamo dva glavna normalna napona.
U opštem sluĉaju srećemo se sa problemima 3-osnog stanja napona.
Troosno stanje napona: Naponi na pozitivnim stranama zapreminskog elementa
2' zzdA
2' dA
22
'
31
6 zzO
d EGA
1 z
222,1 4
21
21
yxyx
OTPORNOST MATERIJALA
294
Troosno stanje napoana - Tenzor napona
Troosno stanje napoana - Tenzor deformacija
Za odreĊivanje glavnih normalnih napona 1 , 2 i 3 , za sluĉaj 3-osnog stanja napona, koristi se kubna jednaĉina
Invarijante napona
Glavni tangencijalni naponi:
U sluĉaju 2-osnog ili 3-osnog stanja napona problem odreĊivanja graniĉnog stanja sa kojim bi se poredili naponi je znatno sloţeniji.
Pri 2-osnom i 3-osnom stanju napona graniĉno stanje definišu funkcije
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
21
21
21
21
21
21
0322
13 III
2223
2222
1
2 xyzzxyyzxzxyzxyzyx
zxyzxyxzzyyx
zyx
I
I
I
232
23
2
1331
221
12
0, 21 F 0,, 321 F
OTPORNOST MATERIJALA
295
Graniĉno stanje kod 2-osnog stanja napona
ZAPAŢANJE: Dozvoljeno stanje napona je u sluĉaju kad se taĉka nalazi unutar graniĉne krive ili na graniĉnoj krivoj.
Graniĉno stanje kod 3-osnog stanja napona
ZAPAŢANJE: Dozvoljeno stanje napona je u sluĉaju kad se taĉka nalazi unutar graniĉne površine ili na graniĉnoj površini.
Da bi se odredio najpovoljniji odnos glavnih normalnih napona pri 2-osnom i 3-osnom stanju napona, do zatezne ĉvrstoće ili do granice teĉenja, trebalo bi izvesti mnogo eksperimenata.
Zbog ovog se postavilo pitanje korišćenja rezultata strandardnih ispitivanja materijala na zatezanje, u svrhu procene razaranja konstrukcija.
Neki od mogućih vidova razaranja su:
OTPORNOST MATERIJALA
296
Razaranje materijala ili konstrukcije usled loma (pojave novih ili proširenja postojećih naprslina).
Razaranje materijala ili konstrukcije usled teĉenja materijala (teĉenje moţe da izazove brzo iscrpljivanje konstrukcije nekad praćeno i promenom oblika preko prihvatljivih granica).
Razaranje usled izvijanja (gubitak stabilnosti delova moţe da izazove povećanje elastiĉnih i plastiĉnih deformacija iznad prihvatljivih granica).
Razaranje usled prkoraĉenja dozvoljenih napona i deformacija.
Za nas je interesantno razaranje usled prekoraĉenja dozvoljenih napona i deformacija.
Kod sloţenih naprezanja treba odrediti idealni napon i (u literaturi se umesto pojma idealni napon može sresti i pojam ekvivalentni napon) koji bi se uporeĊivao sa dozvoljenim naponom pri aksijalnom naprezanju.
Ovaj problem se rešava primenom hipoteza o razaranju materijala meĊu kojima su:
Hipoteza najvećeg normalnog napona,
Hipoteza najveće deformacije,
Hipoteza najvećeg napona smicanja,
Hipoteza graničnog elastičnog stanja – Morova hipoteza,
Hipoteza najvećeg specifičnog deformacijskog rada utrošenog na promenu oblika.
Hipoteza najvećeg normalnog napona
Ova hipoteza smatra se najstarijom i retko se primenjuje (potiĉe od Galileja, a dpunili su je Lame, Navije i Rankin).
Prema hipotezi najvećeg normalnog napona, granično stanje u materijalu pri složenom naprezanju nastupa, kada najveći glavni normalni napon dostigne vrednost dozvoljenog napona pri aksijanom naprezanju.
OTPORNOST MATERIJALA
297
Za napone zatezanja 1>2>3 koristimo
Za napone pritiska 3<2<1 koristimo
Za napon zatezanja 1>0 i napon pritiska 3<0 koristimo
ZAPAŢANJA:
1. Kod hipoteze najvećeg glavnog normalnog napona koriste se samo dva glavna napona, a treći se ne koristi.
2. Eksperimentima je dokazano da stanje materijala zavisi od svih napona.
3. Ova hipoteza daje dobre rezultate kod krtih materijala i to kad je jedan glavni napon po apsolutnoj vrednosti znatno veći od druga dva.
U sluĉaju ravanskog stanja napona (savijanja silama) koristimo sljedeće izraze
Kod ĉistog smicanja koristimo
Hipoteza najveće linearne deformacije
Hipotezu je postavio Mariot, a dopunili su je Sen-Venan, Ponsle i Grashof.
Hipoteza glasi: Granično stanje materijala, pri složenom naprezanju nastupa, kada linijska deformacija dostigne vrednost granične deformacije pri aksijalnom naprezanju.
3-osno stanje napona
edei ,1max,
cdci ,3max,
cdci
edei
,3max,
,1max,
cdci
edei
,22
2max,
,22
1max,
421
21
421
21
cdci
edei
,2max,
,1max,
EEE
EEEcd
cdci
ci
eded
eiei
,,2133min
,,
,,3211max
,,
1
1
OTPORNOST MATERIJALA
298
2-osno stanje napona
Sen-Venanovi izrazi
Ĉisto smicanje:
=0,3
1 = - 2 =
Hipoteza najvećeg napona smicanja
Hipotezu je definisao Kulon i ista glasi: Granično stanje materijala pri složenom naprezanju nastupa kada najveći napon smicanja dostigne vrednost najvećeg napona smicanja pri aksijalnom naprezanju.
EEE
EEEcd
cdci
ci
eded
eiei
,,122min
,,
,,211max
,,
1
1
EEE
EEE
cdcd
cici
eded
eiei
,,
222min
,,
,,
221max
,,
42
12
11
42
12
11
cdci
edei
,22
,
,22
,
42
12
1
42
12
1
3,0
cdci
edei
,22
,
,22
,
4 65,0 35,0
4 65,0 35,0
cdci
edei
,,
,,
3,11
3,11
3,1
3,1
,,
,,
cdci
edei
ei max,max
OTPORNOST MATERIJALA
299
2-osno stanje napona:
Savijanje silama (x = , y = 0):
2
421
22
24
21
22,
max,2221
max,
,
,max,
2221max
,,
cdcyx
cici
edeyx
eiei
2
421
22
24
21
22,
max,2221
max,
,
,max,
2221max
,,
cdcyx
cici
edeyx
eiei
cdyxci
edyxei
,22
21,
,22
21,
4
4
cdci
edei
,22
21,
,22
21,
4
4
OTPORNOST MATERIJALA
300
ZAPAŢANJE: Hipoteza najvećeg napona smicanja kod plastičnih materijala ima dobru saglasnost sa eksperimentima.
Morova hipoteza
Morova hipoteza glasi: Granično stanje materijala pri složenom naprezanju nastupa onda kada Morov krug napona, koji odgovara konkretnom tenzoru napona, dodirne graničnu krivu.
Pri sloţenom stanju napona napon 2 malo utiĉe na graniĉne vrednosti napona pri kojima dolazi do razaranja.
Sa dovoljnom taĉnošću smatramo da granicu razaranja odreĊuju naponi 1 i 3.
Ovim se se odreĊivanje graniĉnog stanja kod troosnog stanja napona svodi na ravansko stanje napona.
Morov krug, pri kojem za odreĊenu kombinaciju napona 1 i 3 , nastupa graniĉno stanje u materijalu, zovemo graniĉni Morov krug.
Familija ovih krugova je izmeĊu dveju envelopa, koje predstavljaju graniĉne krive.
Morova hipoteza – Graniĉno stanje
OTPORNOST MATERIJALA
301
Hipoteza najvećeg specifičnog deformacijskog rada
Ovu hipotezu je postavio Beltrami i ista glasi: Granično stanje materijala pri složenom naprezanju nastupa kada specifični deformacijski rad dostigne vrednost specifičnog rada pri aksijalnom naprezanju.
3-osno stanje napona:
2-osno stanje napona:
ZAPAŢANJE: Hipoteza najvećeg specifiĉnog deformacijskog rada nije potvrĊena eksperimentima pa se skoro i ne primenjuje.
Hipoteza najvećeg specifičnog deformacijskog rada utrošenog na promenu oblika
Ovu hipotezu je postavio Huber, a razradili su je fon Mizes i Henki i ista glasi: Granično stanje materijala pri složenom naprezanju nastupa kada specifični deformacijski rad utrošen na promenu oblika, dostigne vrednost specifičnog rada utrošenog na promenu oblika pri aksijalnom naprezanju.
',
'edd AA
EEE
A did 2
221
2
2
13322123
22
21
2'
cdci
edei
,13322123
22
21,
,13322123
22
21,
2
2
cdci
edei
,2122
21,
,2122
21,
2
2
Oed
Od AA '
,'
OTPORNOST MATERIJALA
302
3-osno stanje napona:
1-osno stanje napona:
2-osno stanje napona:
Ĉisto smicanje:
ZAPAŢANJE: Hipoteza najvećeg specifiĉnog deformacijskog rada utrošenog na promenu oblika ima dobru saglasnost sa eksperimentima i praktiĉno je potisnula hipotezu najvećeg specifiĉnog rada (uključena su sva tri glavna normalna napona).
Savijanje sa uvijanjem
Problem savijanja sa uvijanjem je tipiĉan za vratila (elemente koji sluţe za prenos snage obrtanjem).
MeĊutim uz savijanje i uvijanja, vratila su u najopštijem sluĉaju, izloţena zatezanju i pritisku izazvanom dejstvom aksijalnih sila.
U kritiĉnom preseku vratila opterećenih na svijanje i uvijanje imamo
213
232
221
'
61
E
A Od
221
'
31
31
dO
d EEA
2213
232
221
2
31
61
61
di EEE
cdci
edei
,2
132
322
21,
,2
132
322
21,
22
22
cdci
edei
,2221
21,
,2221
21,
cdci
edei
,,
,,
3
3
OTPORNOST MATERIJALA
303
Da bi odredili rezultirajući idealni (ekvivalentni) napon za kritiĉni presek, treba primeniti neku od izloţenih hipoteza o razaranju materijala.