Exercícios sobre Sistemas Lineares

PROFESSOR DIONISIO SÁ

MATEMÁTICA

EXERCÍCIOS DE

SISTEMAS LINEARES

(Puccamp 2005) Nos circuitos de corrente contínua, constituídos por baterias, resistores e capacitores, diversamente combinados, os valores de tensão e corrente elétricas nos ramos podem ser calculados de acordo com as Regras de Kirchhoff: Quando se percorre uma malha fechada de um circuito, as variações de potencial têm uma soma algébrica que é igual a zero. Em qualquer nó do circuito, onde a corrente se divide, a soma das correntes que fluem para o nó é igual à soma das correntes que saem do nó. (Adaptado de Paul Tipler. Física. v. 3. Rio de Janeiro: LTC. p. 145) Continua =>

EXERCÍCIO 01

As Leis de Kirchhoff, aplicadas a um determinado circuito com três malhas interiores, resulta no sistema de três equações lineares seguintes, cujas incógnitas, 𝒊𝟏, 𝒊𝟐 𝒆 𝒊𝟑, são as intensidades das correntes no circuito.

𝟑𝒊𝟏 + 𝟐𝒊𝟐 + 𝟑𝒊𝟑 = 𝟑 𝟖𝒊𝟏 − 𝟑𝒊𝟐 − 𝟐𝒊𝟑 = 𝟐𝟑𝟐𝒊𝟏 − 𝟓𝒊𝟑 = −𝟏

É verdade que 𝒊𝟏 + 𝒊𝟑 é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

EXERCÍCIO 02

(Pucsp 2005) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenços, dois bonés e três camisetas gasta-se um total de R$ 127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco camisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, custam juntos R$ 241,00, a quantia a ser desembolsada na compra de apenas três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo, será a) R$ 72,00 c) R$ 60,00 e) R$ 49,00 b) R$ 65,00 d) R$ 57,00

EXERCÍCIO 02

(FGV-2005) Um motorista abasteceu seu carro Flex num posto com 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina pagando R$90,00. Na semana seguinte, no mesmo posto, abasteceu com 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina pagando R$102,00. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool nesse posto?

EXERCÍCIO 03

Em uma pastelaria, dois pastéis mais três caldos de cana custam R$5,40. Cinco pastéis mais dois caldos custam R$9,10. Qual o preço de quatro pastéis e quatro caldos?

EXERCÍCIO 04

Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. A) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima. B) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

EXERCÍCIO 05

Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme a planta, com uma ponte para atravessá-lo. Em um certo dia, ele deu uma volta com- pleta no muro externo, atravessou a pon- te e deu uma volta completa no muro in- terno. Esse trajeto foi completado em 5320 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 8120 passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso, em passos, é a) 36 b) 40 c) 44 d) 48 e) 50

EXERCÍCIO 06

(UENF-RJ) João contou os coelhos, os patos e os bois que havia em sua fazenda, obtendo um total de 340 animais. A seguir, verificou que o número de coelhos era o triplo do de patos e que o número de bois excedia em 20 unidades o total de coelhos e patos. A) Determine o número de patos que há na fazenda. B) Suponha que, após contar os 340 animais, João escreva todos os números, de 1 a 340, lado a lado, conforme a representação abaixo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12... 339 340 Após escrever o número 340, calcule o total de algarismos que ele terá escrito.

EXERCÍCIO 07

(Ufscar 2005) No dia do pagamento, Rita e Luís compraram, cada um, x CDs e y DVDs em uma loja (x ≠ 0 e y ≠ 0). Cada CD comprado por Rita custou R$ 20,00, e cada DVD comprado por ela custou R$ 30,00. Cada CD comprado por Luís custou R$ 15,00, e cada DVD custou P reais (P · 0). Sabe-se que essa foi a única compra que Rita e Luís fizeram na loja, gastando R$ 150,00 e Q reais (Q ≠ 0), respectivamente. a) Determine o par ordenado (x,y) da solução do problema quando x ≠ y.

b) Se o preço de cada DVD comprado por Luís corresponde a 20% do seu gasto total na loja, determine P e Q quando a solução do problema é x = y.

EXERCÍCIO 08

(Fuvest 2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital João? a) R$ 20.000,00 b) R$ 22.000,00 c) R$ 24.000,00 d) R$ 26.000,00 d) R$ 28.000,00

EXERCÍCIO 09

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