Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Sistemas Lineares – 2 a Parte Paulo Goldfeld Marco Cabral Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28
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Sist. Lin. II Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 2 Parte · Sist. Lin. II Sistemas Lineares Após Escalonamento Produto Matriz-Vetor Casos Especiais Existência de Solução
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares – 2a Parte
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
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Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 = r
x3 = s
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O vetor nulo 0 = (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistemahomogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
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Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 r 0 sx2 = 0 r −3 sx3 = 0 r 1 sx4 = 0 r 0 s
Conjunto-solução:{r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Ax = b
sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩ ⇒ Ax = 0
sol. =⟨xh1 , . . . , xhr
⟩
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Ax = b
sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩ou
sol. = { }
⇐ Ax = 0
sol. =⟨xh1 , . . . , xhr
⟩
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SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Ax = b
sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩ou
sol. = { }
⇐ Ax = 0
sol. =⟨xh1 , . . . , xhr
⟩
Se um sistema não-homogêneo é consistente, o subespaçoafim que forma o seu conjunto-solução é uma translação dosubspaço vetorial que forma o conjunto-solução do sistemahomogêneo associado.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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