EUCLIDEAN VECTOR SPACES - · PDF filechapter 4. euclidean vector spaces •euclidean n –space •linear transformation rn to rm •properties of linear transfromation rn to rm...

Chapter 4.

EUCLIDEAN VECTOR SPACES

•EUCLIDEAN n –SPACE•LINEAR TRANSFORMATION Rn to Rm

•PROPERTIES OF LINEAR TRANSFROMATION Rn to Rm

•LINEAR TRANSFORMATI ONS AND POLYNOMIALS

EUCLIDEAN n - SPACES

Vektor Dalam Ruang Berdimensi n : Rn

Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka ganda n berurutadalah sederet n bilangan real (a1, a2,…,an) . Himpunan semuaganda n berurut disebut ruang berdimensi n dan dinyatakan Rn .

Ex : R3 : (a1, a2, a3)

Pasangan tiga berurut bisa diintepretasikan secara geometris sebagai suatu titik atau vektor

coordinate

vector

Definisi

Dua vektor u=(u1 ,u2 ,…,un) dan v=(v1 ,v2 ,…, vn) dalam Rn disebut equal jika

Dimana:

dan jika k adalah sebuah skalar, perkalian skalar ku adalah

nn v u,..., v, uvu 2211

),...,, 2211 nn vuvuv(uvu

),...,,( 21 nkukukuku

Operasi penambahan dan perkalian skalar pada definisi ini disebutstandard operations pada Rn.


• Vektor nol (Zero vektor ) pada Rn dinyatakan oleh 0 dan merupakan vektor 0=(0,0,…,0)

• Jika u=(u1 ,u2 ,…,un) adalah sebarang vektor di Rn , maka negatif ( or kebalikan positif) dari u dinyatakan dgn –u;

-u=(-u1 ,-u2 ,…,-un)

• Beda vektor pada Rn dinyatakan sbb:

v-u=v+(-u)

v-u =(v1-u1 ,v2-u2 ,…,vn-un)


• Jika u=(u1 ,u2 ,…,un), v=(v1 ,v2 ,…, vn) , dan w=(w1 ,w2 ,…, wn) adalah vektor-vektor pada Rn dan k dan l adalah skalar, maka:

(a) u+v = v+u (b) u+(v+w) = (u+v)+w

(c) u+0 = 0+u = u (d) u+(-u) = 0; that is u-u = 0

(e) k(lu) = (kl)u (f) k(u+v) = ku+kv

(g) (k+l)u = ku+lu (h) 1u = u

Sifat-sifat Operasi Vektor pada Ruang Berdimensi n - Rn

• Jika u=(u1 ,u2 ,…,un), v=(v1 ,v2 ,…, vn) adalah vektor-vektor dalam Rn , maka Euclidean Inner Product u v dinyatakan oleh

nnvuvuvu ...2211vu

Hasil Kali dalam Euclidean

• Perkalian titik Euclidean pada vektor

u=(-1,3,5,7) dan v=(5,-4,7,0)

pada R4 adalah

• Jawab :

• u v=(-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0)=18

1. EUCLIDEAN n - SPACES

Contoh:

Hitung perkalian titik Euclidean berikut;

a.

b.

c.

Sifat-sifat dari Perkalian Titik Euclidean

• Jika u, v dan w are vektor in Rn dan k sebarang skalar, maka

(a) u v = v u

(b) (u+v) w = u w+ v w

(c) (k u) v = k(u v)

(d) lebih jauh , Jika dan hanya jika v=00vv 0vv

Contoh 2

(3u+2v) (4u+v) = (3u) (4u+v)+(2v) (4u+v)

= (3u) (4u)+(3u) v +(2v) (4u)+(2v) v

=12(u u)+11(u v)+2(v v)


Norma/Panjang dan Jarak pada Ruang berdimensi-n Euclidean

• Norma/Panjang Euclid dari suatu vektor u=(u1 ,u2 ,…,un) pada Rn

dengan

• Jarak Euclid antara dua titik u=(u1 ,u2 ,…,un) dan v=(v1 , v2 ,…,vn)

pada Rn dinyatakan oleh

22

2

2

12

1

...( nuuu)uuu

22

22

2

11 )(...)()(),( nn vuvuvud vuvu

• Jika u=(1,3,-2,7) dan v=(0,7,2,2), maka pada ruang berdimensi Euclidean R4

2222

2222

)27()22()73()01(),(

7363)7()2()3()1(

vu

u

d

dan


Contoh :

Hitung Euclidean Norm of the vector :

1. v= (3,4,0, -12)

2. u = (-2,1,1,-3,4)


Hitung Euclidean Distance between u and v:

1.

2.

3.

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz pada Rn

• Jika u=(u1 ,u2 ,…,un) dan v=(v1 , v2 ,…,vn)

adalah vektor in Rn, maka

vuvu

In each part, verify that the Cauchy–Schwarz inequality holds:

1.

2.

3.

Sifat-sifat panjang dan jarak pada Rn

• Jika u dan v adalah vektor pada Rn dan k adalah sebarang skalar, maka

Segitiga) an(Ketaksama vuvu (d)

ukuk (c)

0u jika hanya dan jika u (b)

u (a)

0

0

Sifat-sifat Jarak pada Rn

• Jika u, v, dan w adalah vektor pada Rn dan k sebarang skalar, maka:

segitiga)an (Ketaksama ),(),(),( (d)

),(),( (c)

jika hanyadan jika 0),( (b)

0),( (a)

vwwuvu

uvvu

vuvu

vu

ddd

dd

d

d

Teorema

• Jika u, v adalah vektor pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka

22

4

1

4

1vuvuvu


Definisi Keorthogonalan

• Dua vektor u dan v pada Rn disebut orthogonal Jika u v=0


0)1)(4()0)(1()2)(3()1)(2(

karena ,orthogonal

)1 ,0 ,2 ,1(dan )4 ,1 ,3 ,2(

vektor Euclidean ruang Pada 4

vu

vu

R

Teorema Pythagoras pada Rn

222

vuvu

maka Euclidean, dalam kali hasil dengan R

pada orthogonalvektor adalah v dan u Jika

n

Notasi Alternatif untuk vektor pada Rn

nnnnnn

n

n

n

n

ku

ku

ku

u

u

u

ku k ,

v u

v u

vu

v

v

v

u

u

u

vu

u ... u u uor

u

u

u

u

column matriks atau baris matriks sebagai matriks notasi

dalam ditulis bisa R di )u,...,u,u(uVektor

2

1

2

1

22

11

2

1

2

1

21

2

1

21

Notasi Alternatif untuk vektor pada Rn

)(

) ..., , ,(), ... , ,(

vektoroperasidengan sama yang nilaian menghasilk

...

... ...

atau

2211

2121

2121

1211

2121

nn

nn

nn

nn

nn

v, ..., uv, uvu

vvvuuu

... ku kukuuuukk

v ... uv uvu

vvvuuu

v

u

vu

u

Formula Matriks untuk perkalian titik

uvvu

vu

T

productinner Euclidean for the formula

following thehave enotation wmatrix column in sfor vector Thus,

and

vectorsfor thenotation matrix column use weIf

2

1

2

1

nn v

v

v

u

u

u

vuvu

uvT

2211

2

1

21 nn

n

n v u ...v uvu

u

u

u

... v vv

Formula Matriks untuk perkalian Titik

vuvu

vuvu

vuu)v)uvuv)vu

vuuv)uvuvvu

T

T

TTTTTT

TTTT

AA

AA

AAAAA

A

nnA

(((

A(A)()A(A

that

transpose theof properties then matrix, a is If

T

Contoh vuvuTAA

11)1(4)4(2)7)(1(

11)5(5)0(10)2(7

1

4

7

5

0

2

1 1 3

0 4 2

1 2 1

5

10

7

4

2

1

101

142

321

Maka

5

0

2

,

4

2

1

,

101

142

321

: bahwaMisalkan

vu

vu

v

u

vu

T

T

A

A

A

A

A

Formula Matriks untuk perkalian Titik

Pandangan hasil kali titik mengenai perkalianmatriks

rj

j

j

irii

rjirjiji

ijij

b

b

b

j

... a aa

i

bababa

ABij

nrbBrmaA

2

1

21

2211

.-ke kolom B dan vektor

. -ke bariA vektor dari titik kali hasilmerupakan yang

...

adalah dari -ke anggota maka

, matrikssebuah adalah dan matrikssebuah adalah Jika

brrr

xr

xr

xr

b x

crcrcr

crcrcr

crcrcr

ccc

rrr

of entries theare ,...,, and , of vectorsrow theare ..., where

(11)

as formproduct dot in expressed becan systemlinear A

(10)

as expressed becan product matrix then the,...,

are of torscolumn vec theand ..., are of vectorsrow theif Thus,

2121

2

1

2

1

21

22212

12111

21

21

mm

mm

nmmm

n

n

n

m

bbbA,,

b

b

b

A

AB

AB,,

B,,A


085

5472

143

321

321

321

xx x

xxx

xxx

0

5

1

),,()8,5,1(

),,()4,7,2(

),,()1,4,3(

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Sistem Bentuk Perkalian Titik


Contoh:

Transformasi Linier Rn to Rm

Fungsi berbentuk w = f(x) dimana:

• peubah bebas x : vektor dalam Rn

• peubah tak bebas w :vektor dalam Rm


b = f(a)

codomain

of fdomain of

f

Function is a rule f that associates with each element in a set A

one and only one element in a set B

Fungsi dari Rn ke RFormula Contoh Klasifikasi Deskripsi

Fungsi bernilai real dari suatu peubahreal

Fungsi dariR ke R

Fungsi bernilai real dari dua peubahreal

Fungsi dariR2 ke R

Fungsi bernilai real dari tiga peubahreal

Fungsi dariR3 ke R

Fungsi bernilai real dari n peubah real

Fungsi dariRn ke R

)(xf 2)( xxf

),( yxf22),( yxyxf

),,( zyxf22

2

),,(

zy

xzyxf

),...,,( 21 nxxxf22

2

2

1

21

...

),...,,(

n

n

xxx

xxxf


Fungsi-fungsi dari Rn ke Rm

• Jika domain dari suatu fungsi f adalah Rn dan kodomain adalah Rm, maka f disebut sebuah map atau transformasi dari Rn ke Rm , dan kita menyatakan bahwa fungsi f maps Rn ke Rm. Kita tuliskan dengan

f :

Pada kasus dimana m=n transformasi f :

adalah disebut suatu operator pada Rn

mn RR

mn RR


• Misalkan f1,f2,…,fm adalah fungsi bilangan riil dengan nvariabel, dimana;

w1=f1 (x1,x2,…,xn) d

w2=f2 (x1,x2,…,xn)

wm=fm (x1,x2,…,xn)

Persamaan-persamaan m diatas menempatkan suatu titik unik (w1,w2,…,wm) dalam Rm setiap titik (x1,x2,…,xn) dalam Rn dan dengan demikian mendefinisikan suatu transformasi dari Rn ke Rm. Jika kita menyatakan transformasi ini dengan T, maka dan

T(x1,x2,…,xn)= (w1,w2,…,wm)

mn RR


)3,6,1()2,1( example,for Thus,

),3,()

.ation transforma define

3

equations The

2

2

2

1212121

32

2

2

2

13

212

211

T

xxxxxx,xT(x

RT:R

xxw

xxw

xxw


Contoh 1:

nmnmmm

nn

nn

xaxaxaw

xaxaxaw

xaxaxaw

...

...

...

2211

22221212

12121111

Matriks A=[aij] disebut Matriks Standar untuktransformasi linier T, dan T disebut perkaliandengan A.

T : Rn Rm

w = Ax

if n = m : linier transformation


Suatu transformasi linier T : Rn Rm didefinisikan oleh persamaan berbentuk:

Beberapa masalah notasi

• Kita menyatakan transformasi linear dg

dimana,

Vektor dinyatakan dalam suatu matrik kolom.

Jika matrik standar utk T dinyatakan dengan simbol [T], maka

Kadangkala, dua notasi untuk matriks standar akan dicampur, dimana kita mempunyai hubungan :

mn RRTmn

A RRT

xx ATA )(

xx ][)( TT

ATA][

x



Geometry of Linear Transformations

T0(x) = 0x=0 zero transformation from Rn to Rm.

TI(x) = Ix=x identity operator on Rn.

Misal :

Operasi Linier yang penting pada R2 ke R3 : - Pencerminan- Proyeksi- Rotasi

Operator Pencerminan

• Secara umum R2 dan R3 yang memetakan setiapvektor bayangan simetrisnya terhadap suatu garisatau bidang disebut operators pencerminan.Operator-operator tersebut linear.



Operator R2 dan R3 yang memetakan setiap vektor ke bayangan

simetrisnya terhadap suatu garis atau bidang disebut operator

pencerminan yang bersifat linier



Use matrix multiplication to find the reflection of (1,3) about x –axis.

Find :

-Reflection on y-axis

-Reflection on the line y=x

So the reflection of (1,3) is (1,-3).

Use matrix multiplication to find the reflection of (2, −5, 3) about the xy -plane

so the reflection of (2, –5, 3) is (2, –5, –3).

Find :

-Reflection on xz-plane

-Reflection on yz-plane

Operator Proyeksi

Secara umum, sebuah operasi proyeksi (atau lebih tepatnya operator projeksiorthogonal) pada R2 atau R3 adalah sebarang operator yang memetakansetiap vektor ke proyeksi ortogonalnya pada suatu garis atau bidang yang melalui titik asal.


Tinjau Operator T : R2 R2yang memetakan setiap vektor ke proyeksi

orthogonalnya pada x-axis. Persamaan yang menghubungkan komponen x dan w=T(x) adalah;

T adalah operator linier dan matriks standard T :


Basic Projections Operators on R2


Basic Projections Operators on R2


Operator Rotasi

• Operasi yang merotasikan setiap vektor dalam R2 melalui sudut tetapdisebut operator rotasi pada R2.

• Untuk menunjukkan bagaimana hasil-hasil ini diturunkan, tinjau operator rotasi yg merotasikan setiap vektor berlawanan dgn jarum jam pd suatusudut tetap . Untuk mencari persamaan yang menghubungkan x dan w = T (x), Anggap adalah sudut sumbu-x positif ke x dan anggappanjang x dan w masing-masing adalah r.

θθ

θθT

T

θyθxw

θyθxw

θrθr w

θrθrw

) (θr), w(θrw

r, yrx

cos sin

sin cos][

adalah untuk standar Matriks

cossin

(16) sincosan menghasilk (14) simensubtitudan

sincoscossin

sinsincoscos

didapat, (15) pada etri trigoneomidentitasn menggunakadengan

(15) sincos

(14) sincos

dasar tri trigonomedari Maka

2

1

1

1

21


Rotation Operators


Rotation Operators

Vektor rotasi pada R3


Rotasi vektor pada R3 diuraikan sebagai sinar yang

berasal dari titik asal yang disebut sumbu rotasi.

Sudut rotasi diukur searah jarum jam atau

berlawanan arah dengan jarum jam .

Misal vektor w dihasilkan dengan merotasi vektor x

berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu l dengan

sudut .

Sudut positif jika rotasi berlawanan arah jarum jam

dan negatif jika searah dengan jarum jam.

• Operator Rotasi R3 merupakan operator linier yang merotasikan setiap vektor

dalam R3 terhadap beberapa sumbu rotasi dengan suatu sudut tetap



Gunakan perkalian matriks untuk mencari bayangan vektor (−2, 1, 2) jika

dirotasikan berlawanan arah jarum jam 45o terhadap sumbu y

• Standard matriks untuk suatu rotasi berlawanan arah jarum jam dengan sudut terhadap suatu sumbu R3, yang ditentukan oleh suatu vektor satuan yang memiliki titik pangkal di pusat, adalah:

),,( cbau



(simpelnya : tabel 7, dirotasikan thdp sumbu, bila dirotasikan terhadap

vektor u, maka persamaannya spt diatas.

Jika adalah suatu skalar non-negatif, maka operator pada R2

atau R3 disebut suatupenyempitan dengan faktor jika

dan suatupelebaran dengan faktor,jika .

10 k

1k

k

k

Operator Penyempitan dan Pelebaran






Komposisi Transformasi Linear

]T][T[]TT[

: dengan dituliskan jugadapat ini Rumus

TTT

)x BA(x)A(B))x(T(T)x)(TT(

karenalinear adalah TT Komposisi

))x(T(T)x)(TT(

Thus )."T lingkaran T" (baca TT dengan dinyatakan

dan T DENGAN T KOMPOSISIdisebut ini iTranformas .R

ke Rsitransforma anmenghasilk yang T oleh diikuti T

penerapan Jadi, .R dlmvektor merupakan yang,))x(T(T menghitung bisa kita kemudian

dan , Rdalamvektor merupakan yang ),x(T dulu menghitungdapat k ita R pd x setiap

untuk maka linear, sitransforma adalah RRT dan RR TJika

BAAB

ABAB

AB

ABAB

ABAB

AB

m

n

BA

m

AB

k

A

n

mk

B

kn

A

1212


Contoh : Komposisi 2 Rotasi


Let T1 : R2 R2 and T2 : R2 R2 be the linear

operators that rotate vectors through the angles

θ1 and θ2 respectively. Thus the operation

first rotates x through the angle θ1 , then

rotates through the angle θ2 . It follows that

the net effect of T2 0 T1 is to rotate

each vector in R2 through the angle θ1 + θ2


The standard matrices for these linear

operators are:

With the help of some basic trigonometric identities, we can show that this is so

as follows:

Contoh : Composition is not Comunicative


Jika T1 : R2R2 adalah operator pencerminan

terhadap y=x , dan T2: R2 R2 adalah proyeksi

orthogonal terhdap y-axis. Gambar disamping

menunjukkan T2 0 T1 dan T1 0 T2 mempunyai dampak

yang berbeda pada suatu vektor x. Artinya matriks –

matriks standar untuk T1 dan T2 tidak komunitatif.

Contoh : Composition of Two Reflection


Jika T1 : R2 R2 adalah pencerminan terhadap y-axis, dan T2 : R2

R2

pencerminan terhadap sumbu x. T1 oT2 and T2 o T1 sama, keduanya

memetakan setiap vektor x=(x,y) menjadi negatifnya –x=(-x.-y)

Kesamaan T1 oT2 dan T2 o T1 bisa juga didapatkan dengan menunjukkan

bahwa matriks-matriks standard untuk T1 dan T2 komunitatif:

Operator T(x)=-x pada R2 atau R3 disebut pencerminan terhadap

titik asal. Matriks standar untuk operator ini pada R2 adalah


Compositions of Three or More Linear Transformations


We define the composition by

If the standard matrices for T1, T2 , and T3 are denoted by A, B, and C

Contoh : Composition of Three Transformation


Find the standard matrix for the linear operator T: R3 R3 that first rotates a

vector counterclockwise about the z-axis through an angle θ, then reflects the

resulting vector about the yz-plane, and then projects that vector orthogonally

onto the xy- plane.

T1 is the rotation about the z-axis, T2 is the reflection about the yz-plane, and T3

is the orthogonal projection on the xy-plane


Find the standard matrix for the stated composition of linearoperators on R2 a rotation of 60°, followed by an orthogonalprojection on the x-axis, followed by a reflection about the liney=x .


Find the standard matrix for the stated composition of linear operators on R3:

- A rotation of 270° about the x-axis,

- Ffollowed by a rotation of 90° about the y-axis,

- Followed by a rotation of 180° about the z-axis.

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINIER DARI Rn ke Rm

Transformasi Linear Satu-SatuTransformasi linear T=Rn →Rm disebut satu satu jika T memetakanvektor-vektor (titik-titik) yang berbeda pada Rn ke vektor-vektor (titik-

titik) yang berbeda pada Rm

Untuk setiap vektor w dalam daerah hasil transformasi linear satu-

satu T, tepat ada satu vektor x sedemikian sehingga T(x)=w.

Figure 4.3.1

Distinct vectors u and v are rotated into

distinct vectors T(u)and T(v).Figure 4.3.2

The distinct points P and Q are mapped into the

same point M.

Jika A adalah nxn matrix dan TA: Rn→Rn adalahperkalian dengan A, maka pernyataan berikutini ekuivalen:

(a) A dapat dibalik (memiliki A-1)

(b) Daerah hasil dari TA adalah Rn

(c) TA adalah satu-satu ( untuk setiap vektor w dalam daerah

hasil transformasi linear satu-satu T, tepat ada satu vektor x sedemikiansehingga T(x)=w)

Properties of Linear Transformations from Rn to Rm

Jika TA: RnRn adalah operator linier satu-satu, maka matriks A

dapat diinvers. Jadi TA-1: Rn

Rn adalah sebuah operator linierdan disebut Invers dari TA; dimana :

Secara equivalen ; ,

Jika w adalah bayangan x dibawah TA, maka TA-1 memetakan kembali w ke

x karena :

Invers Operator Linier Satu Satu

Show that the linear operator T:R2 R2 defined by the equations

is one-to-one, and find


Standard Matrix for T-1

Transformasi T : RnRm adalah linier jika dan hanya

jika hubungan u dan v pada Rn dan setiap skalar c

a. T(u+v) = T(u) + T(v)

b. T (cu) = cT(u)



Jika T : Rn Rm adalah suatu transformasi linear, dan e1,

e2 , …,en adalah vektor basis standar untuk Rn, maka

matriks standart untuk T adalah:Digunakan untuk mencari

matriks-matriks standar dan

menganalisis dampak

geometris dari suatu operator

linear.

T: R3 R3 adalah proyeksi orthogonal pada bidang xy, dan terbukti

secara geometris bahwa :


Example

Interpretasi Geometris Vektor Eigen

Jika A(nxn) , λ = eigenvalue dari A dimana ;

Ax=λx (λ = skalar),

λx-Ax=0

by inserting identity matrix:

λx-Ax=0

(λI-A)x=0

Jika T: RnRn adalah suatu operator linier, maka suatu skalar

λ disebut eigenvalue dari T jika ada suatu x tidak nol pada Rn

sedemikian sehingga

T(x) = λx

Vektor-vektor tak nol x yang memenuhi persamaan ini disebut

vektor eigen dari T yang berpadanan dengan λ.

Interpretasi Geometris Vektor Eigen

Dimana:

1. Nilai eigen T tepat merupakan nilai eigen dari matrik standarnya A.

2. X adalah suatu vektor eigen dari T yang berpadanan dengan λ jika dan

hanya jika x adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan λ

.

Jika A adalah matriks standar untuk T, maka :

T(x) = λx A(x) = λx


Jika λ adalah nilai eigen dari A an x adalah vektor eigen , maka

A(x) = λx sehingga perkalian dengan A memetakan x kesuatu

penggandaan dirinya sendiri.

Pada R2 dan R3 perkalian dengan A memetakan setiap vektor

eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan

x.

Eigenvalues of a Linear Operator

T:R3 R3 be the orthogonal projection on the xy-plane

(λI-A)x=0

Contoh :

Persamaan Karakteristik dari A adalah:

:

λ=0 λ=1


Vektor Eigen dari matriks A yang bersepadanan dengan nilai eigen λ adalah

penyelesain tidak nol dari :

Jika λ=0

Jika λ=1

EUCLIDEAN VECTOR SPACES - · PDF filechapter 4. euclidean vector spaces •euclidean n –space •linear transformation rn to rm •properties of linear transfromation rn to rm...

Documents