Espaços Métricos & Fractais IFS - ime.unicamp.brbiloti/download/fractal-espmetr.pdf · Espaços Métricos & Fractais IFS Uma introdução expressa Ricardo Biloti Departamento de

Espaços Métricos & Fractais IFSUma introdução expressa

Ricardo Biloti

Departamento de Matematica Aplicad, IMECC / UNICAMP

(versao revisada em 2006)

Métrica

Métrica é a formalização matemática do conceitode distância

Métrica

Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .

Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.

Métrica

Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .

Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.

Métrica

Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .

Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.

Métrica

Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .

Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.

Métrica

Seja M 6= ∅.d : M × M → R+ é dita uma métrica em M se

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ M , e

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ M .

Ao par (M,d) damos o nome de espaço métrico.

Exemplos de espaços métricos

(R, d), d(x, y) = |x − y|

Exemplos de espaços métricos

(Rn, d1), d1(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi|

(Rn, d2), d2(x, y) =

(

n∑

i=1

|xi − yi|2

)1

2

(Rn, d∞), d∞(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|

Exemplos de espaços métricos

(Rn, d1), d1(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi|

(Rn, d2), d2(x, y) =

(

n∑

i=1

|xi − yi|2

)1

2

(Rn, d∞), d∞(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|

Exemplos de espaços métricos

(Rn, d1), d1(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi|

(Rn, d2), d2(x, y) =

(

n∑

i=1

|xi − yi|2

)1

2

(Rn, d∞), d∞(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|

Exemplos de espaços métricos

C[a, b] = {f : [a, b] → R | f é contínua em [a, b]}

(C[a, b], d), d(f, g) = maxa≤x≤b

|f(t) − g(t)|

(C[a, b], h), h(f, g) =

∫ b

a

|f(t) − g(t)|dt

Exemplos de espaços métricos

C[a, b] = {f : [a, b] → R | f é contínua em [a, b]}

(C[a, b], d), d(f, g) = maxa≤x≤b

|f(t) − g(t)|

(C[a, b], h), h(f, g) =

∫ b

a

|f(t) − g(t)|dt

Exemplos de espaços métricos

C[a, b] = {f : [a, b] → R | f é contínua em [a, b]}

(C[a, b], d), d(f, g) = maxa≤x≤b

|f(t) − g(t)|

(C[a, b], h), h(f, g) =

∫ b

a

|f(t) − g(t)|dt

Exemplos de espaços métricos

L2[a, b] =

{

f : [a, b] → R

∣

∣

∣

∫ b

a

|f(t)|2dt < ∞

}

(L2[a, b], d), d(f, g) =

(∫ b

a

|f(t) − g(t)|2dt

)

1

2

Exemplos de espaços métricos

L2[a, b] =

{

f : [a, b] → R

∣

∣

∣

∫ b

a

|f(t)|2dt < ∞

}

(L2[a, b], d), d(f, g) =

(∫ b

a

|f(t) − g(t)|2dt

)

1

2

Exemplos de espaços métricos

(M,d), M 6= ∅

d(u, v) =

{

0, se u = v

1, se u 6= v

Seqüências

Seja (an) uma seqüência no espaço métrico(M,d). Dizemos que (an) é convergente paraa ∈ M se, dado ε > 0, existe N tal que

n ≥ N =⇒ d(an, a) < ε

Seqüências de Cauchy

Uma seqüência (an) é dita de Cauchy se, dadoε > 0, existe N tal que

m,n ≥ N =⇒ d(an, am) < ε

Seqüências de Cauchy

Teorema:

Toda seqüência convergente é de Cauchy.

Será que toda seqüência de Cauchy éconvergente?

Seqüências de Cauchy

Teorema:

Toda seqüência convergente é de Cauchy.

Será que toda seqüência de Cauchy éconvergente?

Exemplo

M = C[0, 1], d(f, g) =

∫

1

0

|f(t) − g(t)|dt

fn(t) =

{

1 − nt, 0 ≤ x ≤ 1

n

0, 1

n< t ≤ 1

Exemplo

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

f2

f4

f8

f1

Exemplo

Suponha N ≤ n ≤ m

d(fn, fm) =

∫ 1

n

0

(1 − nt) − (1 − mt)dt

≤

∫ 1

n

0

(1 − nt)dt <1

n≤

1

N

Logo, (fn) é de Cauchy.

Exemplo

Suponha N ≤ n ≤ m

d(fn, fm) =

∫ 1

n

0

(1 − nt) − (1 − mt)dt

≤

∫ 1

n

0

(1 − nt)dt <1

n≤

1

N

Logo, (fn) é de Cauchy.

Contra-exemplo

No entanto

limn→∞

fn(t) =

{

0, t > 0

1, t = 0

Portanto, (fn) não é convergente em (C[0, 1], d)

Contra-exemplo

No entanto

limn→∞

fn(t) =

{

0, t > 0

1, t = 0

Portanto, (fn) não é convergente em (C[0, 1], d)

Espaço métrico completo

Um espaço métrico é dito completo se todaseqüência de Cauchy neste espaço for

convergente.

Contração

g : M → M dita é uma contração em (M,d) seexitir uma constante 0 ≤ s < 1 tal que

d(g(x), g(y)) ≤ s · d(x, y), ∀x, y ∈ M

Ponto Fixo

Seja f : M → M , dizemos que x ∈ M é pontofixo de f se

f(x) = x

Teorema do ponto fixo de Banach

Teorema:

Seja (M,d) um espaço métrico completo eg : M → M uma contração. Então existe umúnico ponto fixo x∗ de g. Além disso, para todox ∈ M ,

limn→∞

xn = x∗

onde x0 = x e xn = g(xn−1).

Até aqui...

Vimos o que é...

• Métrica

• Espaço métrico

• Seqüência de Cauchy

• Espaço métrico completo

• Contração

• Ponto Fixo

Até aqui...

Vimos o que é...

• Métrica

• Espaço métrico

• Seqüência de Cauchy

• Espaço métrico completo

• Contração

• Ponto Fixo

Até aqui...

Vimos o que é...

• Métrica

• Espaço métrico

• Seqüência de Cauchy

• Espaço métrico completo

• Contração

• Ponto Fixo

Até aqui...

Vimos o que é...

• Métrica

• Espaço métrico

• Seqüência de Cauchy

• Espaço métrico completo

• Contração

• Ponto Fixo

Até aqui...

Vimos o que é...

• Métrica

• Espaço métrico

• Seqüência de Cauchy

• Espaço métrico completo

• Contração

• Ponto Fixo

Até aqui...

Vimos o que é...

• Métrica

• Espaço métrico

• Seqüência de Cauchy

• Espaço métrico completo

• Contração

• Ponto Fixo

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Vimos o que é...

• Métrica

• Espaço métrico

• Seqüência de Cauchy

• Espaço métrico completo

• Contração

• Ponto Fixo

Fractais?

Um fractal IFS é o ponto fixo de uma contraçãonum espaço métrico completo

Espaços dos Fractais

Seja (M,d) é um espaço métrico completo.

H(M) = {A ⊂ M | ∅ 6= A é compacto}

A ⊂ M é compacto se toda seqüência deelemetos de A admite subseqüênciaconvergente em A.

Em espaços de dimensão finita:compacto ⇐⇒ fechado e limitado

Espaços dos Fractais

Seja (M,d) é um espaço métrico completo.

H(M) = {A ⊂ M | ∅ 6= A é compacto}

A ⊂ M é compacto se toda seqüência deelemetos de A admite subseqüênciaconvergente em A.

Em espaços de dimensão finita:compacto ⇐⇒ fechado e limitado

Espaços dos Fractais

Seja (M,d) é um espaço métrico completo.

H(M) = {A ⊂ M | ∅ 6= A é compacto}

A ⊂ M é compacto se toda seqüência deelemetos de A admite subseqüênciaconvergente em A.

Em espaços de dimensão finita:compacto ⇐⇒ fechado e limitado

Espaços dos Fractais

Seja (M,d) é um espaço métrico completo.

H(M) = {A ⊂ M | ∅ 6= A é compacto}

hd(A,B) = max{D(A,B), D(B,A)}

D(A,B) = maxx∈A

miny∈B

d(x, y)

Métrica de Haussdorf

D(A, B)

D(B,A)

A

B

Espaços dos Fractais

Teorema:

(H(M), hd) é um espaço métrico completo.

Portanto, vale o Teorema do Ponto Fixo deBanach.

Contrações em H(M)

Teorema:

Se wj : M → M , j = 1, 2, . . . , N , são contraçõesem (M,d), então W : H(M) → H(M), definidapor

W (A) = ∪Nj=1wj(A)

é contração em (H(M), hd).

(w(A) = {w(x) | x ∈ A})

Fractal

Um fractal IFS é o ponto fixo de W em(H(M), hd)

Exemplo

∈ H(M) Quem é M?

Exemplo

∈ H(M)

Quem é M?

Exemplo

∈ H(M) Quem é M?

Referências

Michael Barnsley, Fractals Everywhere, 2a. ed., AcademicPress, 2000.Hygino H. Domingues, Espaços Métricos e Introdução àTopologia, Ed. Atual, 1982.

www.ime.unicamp.br/˜biloti/fractal.html

ifsplot

savannah.nongnu.org/projects/ifsplot