Apresentação Fractais

Explorando o ensino da Explorando o ensino da Geometria Fractal com a Geometria Fractal com a

escala Cuisenaireescala CuisenaireMiriam Benedetti NarvazMiriam Benedetti Narvaz

Ana Maria Marques da SilvaAna Maria Marques da Silva

ResumoResumo

O trabalho trata de algumas atividades O trabalho trata de algumas atividades desenvolvidas com alunos do terceiro desenvolvidas com alunos do terceiro ciclo (12 – 14 anos) da E.M.E.F. Dolaimes ciclo (12 – 14 anos) da E.M.E.F. Dolaimes Stedile Angeli (Caxias do Sul, RS).Stedile Angeli (Caxias do Sul, RS).

A proposta enfocou a construção lúdica e A proposta enfocou a construção lúdica e a exploração de estruturas geométricas a exploração de estruturas geométricas denominadas fractais, utilizando o material denominadas fractais, utilizando o material da Escala Cuisenaireda Escala Cuisenaire

FractalFractal

Latim -adj. Latim -adj. fractus fractus (fragmentado);verbo (fragmentado);verbo frangere frangere (quebrar, fragmentar(quebrar, fragmentar ) )

Mandelbrot, em 1980, mostrou que tão Mandelbrot, em 1980, mostrou que tão complexos fenômenos podiam ser criados e complexos fenômenos podiam ser criados e descritos por simples regras repetidas, ele descritos por simples regras repetidas, ele orientou o estudo de uma completa geração de orientou o estudo de uma completa geração de matemáticos, cientistas da computação e até matemáticos, cientistas da computação e até artistas, no sentido de produzirem e estudarem artistas, no sentido de produzirem e estudarem as bonitas imagens que tinham sido criadas. as bonitas imagens que tinham sido criadas.

BenoîtBenoît Mandelbrot Mandelbrot

(nascido em 1924 na Polônia)(nascido em 1924 na Polônia)

““A geometria fractal A geometria fractal reflete uma natureza de reflete uma natureza de irregularidades, de irregularidades, de reentrâncias, saliências reentrâncias, saliências e depressões, de e depressões, de fragmentação”.fragmentação”.((BARBOSA, 2002 p. 12).BARBOSA, 2002 p. 12).

Formas emergentes de Formas emergentes de exploração dos fractaisexploração dos fractais

Realizada por meio do estudo das relações numéricas entre seus Realizada por meio do estudo das relações numéricas entre seus elementos à medida que ocorrem as iterações sucessivas; por elementos à medida que ocorrem as iterações sucessivas; por exemplo, a contagem do perímetro, da área e do volume exemplo, a contagem do perímetro, da área e do volume (BARBOSA, 2002);(BARBOSA, 2002);

Estímulo do senso estético, pela visualização da beleza das Estímulo do senso estético, pela visualização da beleza das estruturas, onde o professor faz a mediação no sentido de estruturas, onde o professor faz a mediação no sentido de evidenciar a harmonia da estrutura fractal;evidenciar a harmonia da estrutura fractal;

Explorar conceitos de potenciação, progressões, generalizações, Explorar conceitos de potenciação, progressões, generalizações, entre outros tópicos;entre outros tópicos;

Certas estruturas fractais também são construídas a partir da Certas estruturas fractais também são construídas a partir da repetição de uma mesma regra de construção, permitindo a repetição de uma mesma regra de construção, permitindo a exploração do conceito de algoritmo.exploração do conceito de algoritmo.

Escala CuisenaireEscala Cuisenaire É um material É um material

manipulativo criado pelo manipulativo criado pelo professor belga Georges professor belga Georges Cuisenaire, existente em Cuisenaire, existente em várias escolas públicas e várias escolas públicas e particulares, constituída particulares, constituída de pequenas barras de de pequenas barras de madeira de diversas madeira de diversas cores e tamanhos, cores e tamanhos, utilizada normalmente utilizada normalmente para explorar conceitos para explorar conceitos sobre frações, formas, sobre frações, formas, dimensões e escalas.dimensões e escalas.

Atividades propostasAtividades propostas

A primeira atividade proposta aos alunos A primeira atividade proposta aos alunos foi à construção de um fractal trinominó. foi à construção de um fractal trinominó. Os fractais são construídos em níveis Os fractais são construídos em níveis consecutivos por ampliação das escalas, consecutivos por ampliação das escalas, em um processo iterativo, a partir de uma em um processo iterativo, a partir de uma regra ou algoritmo de construção.regra ou algoritmo de construção.

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 1

Fig. 4

GeneralizandoGeneralizando

NívelNível ResoluçãoResolução Nº total de peçasNº total de peças

11 (3.1)(3.1) 33

22 (3.1)+(3.1)+3.1)=(3.1)+(3.1)+3.1)= 99

33 (9.1)+(9.1)+(9.1)=(9.1)+(9.1)+(9.1)= 2727

44 (27.1)+(27.1)+(27.1)=(27.1)+(27.1)+(27.1)= 8181

nn (m.1)+(m.1)+(m.1)=(m.1)+(m.1)+(m.1)= 3m3m

Onde m= 3 Onde m= 3 nn

Atividades criadas pelos alunosAtividades criadas pelos alunos

Os alunos foram estimulados a criarem outras estruturas, fazendo Os alunos foram estimulados a criarem outras estruturas, fazendo combinações com barras de diferentes tamanhos, a partir de uma combinações com barras de diferentes tamanhos, a partir de uma mesma regra de construção. mesma regra de construção.

Após a construção, as estruturas foram socializadas com os demais Após a construção, as estruturas foram socializadas com os demais colegas. A seguir, os alunos foram estimulados a verificarem se as colegas. A seguir, os alunos foram estimulados a verificarem se as estruturas construídas possuíam as características de um fractal. estruturas construídas possuíam as características de um fractal. Para tanto foi necessário analisar os seguintes aspectos:Para tanto foi necessário analisar os seguintes aspectos:

A estrutura apresenta uma característica auto-simular, ou seja, uma A estrutura apresenta uma característica auto-simular, ou seja, uma parte da estrutura é igual ao todo?parte da estrutura é igual ao todo?

A estrutura é construída a partir de uma mesma regra? Qual é a A estrutura é construída a partir de uma mesma regra? Qual é a regra de construção?regra de construção?

No caso da estrutura construída não apresentar as características No caso da estrutura construída não apresentar as características de um fractal, as construções foram retomadas. Os alunos foram de um fractal, as construções foram retomadas. Os alunos foram estimulados a determinarem o número de peças necessárias para a estimulados a determinarem o número de peças necessárias para a construção de suas estruturas. Foram estabelecidas as regras de construção de suas estruturas. Foram estabelecidas as regras de generalização de algumas das estruturas construídas.generalização de algumas das estruturas construídas.

Alunos executando a atividade:Alunos executando a atividade:

Sinara(14C);Vanderléia(14C);Ronaldo(14B);Marili(14B);MaiaraSinara(14C);Vanderléia(14C);Ronaldo(14B);Marili(14B);Maiara

(12B);Nilton(12B)(12B);Nilton(12B)

Alunos em atividadeAlunos em atividade

MaiaraMaiara

12 B12 B

NiltonNilton

12B12B

Sinara eSinara e

VanderléiaVanderléia

14 C14 C

Ronaldo Ronaldo ee

MariliMarili

14 B14 B

Fig.01

Fig.02 Fig.03

Fig.05

Fig.04Fig.04

Fractal Fractal construído construído por um por um aluno:aluno:

Conceitos que podem ser Conceitos que podem ser trabalhadostrabalhados

para o nível “n” peças para o nível “n” peças escreveremos por escreveremos por qual número as peças qual número as peças de cada cor deverão de cada cor deverão ser multiplicadas em ser multiplicadas em cada nível. cada nível. Representando: Representando:

Nível Resolução Nº total de

peças

1 (1.1) + (1.1) 2

2 (3.1) + (3.1) 6

3 (9.1) + (9.1) 18

4 (27.1)+ (27.1) 54

5 (81.1) + (81.1) 162

n (m .1) + (m.1) p total Onde m = 3 Onde m = 3 n-1n-1

Fig. 5. Fig. 5. Interface do programa para Interface do programa para construção de estruturas em ambiente construção de estruturas em ambiente virtual.virtual.

Fig. 5. Interface do programa para construção de estruturas em ambiente virtual.

Um Um appletapplet JAVA ( JAVA (http://arcytech.org/java/integers/integers.html))

http://escolovar.org/http://escolovar.org/mat_numero_cuisenaire1.swfmat_numero_cuisenaire1.swf

Análise da experiênciaAnálise da experiência

Os alunos mostraram-se extremamente Os alunos mostraram-se extremamente motivados, participando ativamente das motivados, participando ativamente das atividades, e ficaram empolgados sempre que a atividades, e ficaram empolgados sempre que a estrutura se mostrava visualmente harmoniosa.estrutura se mostrava visualmente harmoniosa. Salientaram a importância de um trabalho com Salientaram a importância de um trabalho com material manipulativo para envolver o grupo. material manipulativo para envolver o grupo. Observou-se que esta atividade pode ser Observou-se que esta atividade pode ser realizada com alunos de diferentes ciclos, sem realizada com alunos de diferentes ciclos, sem dificuldades, explorando diferentes conceitos e dificuldades, explorando diferentes conceitos e aspectos.aspectos.

Considerações finaisConsiderações finais

As atividades apresentadas basearam-se na teoria As atividades apresentadas basearam-se na teoria piagetiana, no momento em que se propôs a construção piagetiana, no momento em que se propôs a construção da atividade com o envolvimento da própria criação do da atividade com o envolvimento da própria criação do aluno. Esta apropriação do objeto, no caso a Escala aluno. Esta apropriação do objeto, no caso a Escala Cuisenaire, possibilitou a iteração necessária para que Cuisenaire, possibilitou a iteração necessária para que se formassem alguns conceitos sobre a geometria se formassem alguns conceitos sobre a geometria fractal. Esta apropriação do conhecimento pode ser fractal. Esta apropriação do conhecimento pode ser desenvolvida com a manipulação do material concreto, desenvolvida com a manipulação do material concreto, com o uso do computador, ou mesmo com a utilização com o uso do computador, ou mesmo com a utilização de papel quadriculado. A generalização, exercitada no de papel quadriculado. A generalização, exercitada no cálculo do número de peças necessárias para a cálculo do número de peças necessárias para a construção de estruturas maiores, permitiu ainda a construção de estruturas maiores, permitiu ainda a exploração de cálculos com potências e progressões exploração de cálculos com potências e progressões geométricas.geométricas.

REFERÊNCIASREFERÊNCIAS

BARBOSA, Ruy Madsen. BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Descobrindo a Geometria Fractal Fractal para a sala de aula. Coleção Tendências em para a sala de aula. Coleção Tendências em Educação Matemática, Autêntica, 2002.Educação Matemática, Autêntica, 2002.

D’ AMBROSIO, Ubiratan. EtnomatemáticaD’ AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática A Educação A Educação Matemática em Revista-SBEMMatemática em Revista-SBEM, RS, Ano I, nº 1, 2º , RS, Ano I, nº 1, 2º semestre 1993.semestre 1993.

MOREIRA, Éder Carlos; SILVA, Ardemírio de Barros. MOREIRA, Éder Carlos; SILVA, Ardemírio de Barros. Viabilidade para implementação da geometria fractal em Viabilidade para implementação da geometria fractal em SIG. SIG. Caderno de Informações GeoreferenciadasCaderno de Informações Georeferenciadas, vol. , vol. 1, no. 1. Disponível em: 1, no. 1. Disponível em: http://orion.cpa.unicamp.br/html/cignum1.html, 1993. , 1993.