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15 13 fév.
nov.mai
périhélie4 janv.
-10
-15
-5
janvier février mars avril
16 avril
21 mars 0
5
10
oct.sept.juin juillet août
3 nov.
3 sept.6 juil.13 juin
21 juin
aphélie
28 juil.
déc.
26 déc.
22 déc.
nov.maijanvier février mars avril oct.sept.juin juillet août déc.
ÉquationÉquationdu tempsdu temps
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La trajectoire de la TerreLa trajectoire de la Terreautour du Soleil estautour du Soleil est
une ellipse une ellipse
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Qu’est-ce- qu’une ellipse ?Qu’est-ce- qu’une ellipse ?
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Une ellipse a un grand axe [AUne ellipse a un grand axe [A′ A]′ A] et un petit axe [Bet un petit axe [B′ B]′ B]
A’ A
B
B’
Ces deux axes se coupent en O, centre de l’ellipse
O
OA = a OB = b
C’est une courbe qui a la forme d’un ovale plus ou moins aplati
a
b
[[A′ A] et [B′ BA′ A] et [B′ B] sont perpendiculaires] sont perpendiculaires
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Les deux points F et FLes deux points F et F'' sont appelés foyers de l’ellipse sont appelés foyers de l’ellipse
sa distance au centre, OM, varie
Mais il existe, sur l’axe [A' A], deux points particuliers
M
OF' F
Lorsque qu’un point M parcourt l’ellipse,
- la longueur (FM + MF‘)
- ils sont symétriques par rapport à OOF
F et F'
M
M
cc
reste constante quelque soit la position de M
A’ A
B
B’
= OF′ = c
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Quand M est en A
MF devient égale à AF
aF' FOA’ A
B
B’
MF’ devient égale à AF’
Mais AF = F’A’
a
M
OF' FA’ A
B
B’la longueur (FM + MF’) reste constante
M
AF + AF’ = F’A’ + AF’ = AA’ = 2 a
MF + MF’MF + MF’ = 2 a = 2 a
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a
M
OF' FA’ A
B
B’la longueur (FM + MF’) = 2 a
Quand M est en B
aF' FOA’ A
B
B’
M
MF devient égale à BFMF’ devient égale à BF’
BF + BF’ = 2 a
BF = BF’BF = BF’ = a = a
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Forme de l’ellipse ?Forme de l’ellipse ?
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O
si
B’
B
a
F' FA’ A
ac
L’ellipse a pratiquementla forme d’un cercle
si
F' FA’ A
ac
aB
B’
La forme est nettement aplatie
ca
1
1 00 1,
ca
9
1 00 9,
O
BF = aOù se trouve B ? Où se trouve B ?
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La forme de l’ellipse dépend du rapport ac
car il traduit l’excentricité du foyer F par rapport au centre 0 de l’ellipse
excentricité de l’ellipse
Ce rapport est appelé « excentricitéexcentricité »
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Quelques formules pour ceux qui ne peuvent vivre
sans théorèmes et formules mathématiques
A’ A
B
B’
OF' F
ab
c
a2 = c2 + b2 b2 = a2 - c2
Dans le triangle rectangle BOF,
b2 = a2 - e2 a2 = a2 (1 – e2)
FB2 = OF2 + OB2
le théorème de Pythagore
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Cas de l’orbite terrestreCas de l’orbite terrestre
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●
En un anla Terre décrit autour du Soleil
une ellipse d’excentricité
Le Soleil n’est pas au centre de l’ellipse
dont l’un de ses foyers est situé sur le Soleil
e = 0,01671
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b = 149 577 147 km
l’orbite de la Terre a pratiquementl’orbite de la Terre a pratiquementla forme d’un cerclela forme d’un cercle
le Soleil est situéle Soleil est situéà 2 500 000 km à 2 500 000 km
du centre de l’ellipsedu centre de l’ellipse
b = a 2e1 c = e a
c = 2 499 783 km
Le demi-grand axe de l’ellipse :
L’excentricité de l’ellipse : e = 0,01671
a = 149 598 034 km
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SO
2 500 000 km2 500 000 km
150 000 000 km
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Périhélie et aphélie de la TerrePérihélie et aphélie de la Terre
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●
a c
S+
Périhélieposition la plus proche du Soleil
SA = a - cSA = 147 098 251 km
A
Aphélieposition la plus éloignée du Soleil
SA' = a + cSA' = 152 097 817 km
SA' – SA = 4 999 566 km
A'
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Vitesse de la TerreVitesse de la Terresur son orbitesur son orbite
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Aphélie
●
La Terre graviteautour du Soleil
parce qu’elle est attirée par lui
Périhélie
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Entre l’aphélie et le périhélie
la Terre se rapproche du Soleil
PérihélieAphélie
elle est un peu moins attirée par luisa vitesse diminue
La vitesse de la Terre sur son orbite n’est pas constante
Entre le périhélie et l’aphéliela Terre s’éloigne du Soleil
●●
elle est un peu plus attirée par luisa vitesse accélère
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Vmoyenne = 29 829 m/s
La Terre parcourt sur sa trajectoire quasi circulaire
une longueur L = 2 150 000 000 =
942 477 796 km
Sa vitesse orbitale moyenne au cours d’une année
118 558 31796 477 942 v 29,8 km / s
La Terre fait un tour autour du Soleil en un an = 365,256 jours
31 558 118 secondes365,256 24 = 8 766 heures
●
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Vmoyenne = 29 829 m/s
Vpérihélie = 31 145 m/s
PérihélieAphélie
●
Vaphélie = 28 851 m/s
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Mouvement annuel du Soleil Mouvement annuel du Soleil vu de la Terrevu de la Terre
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écliptique
Par rapport aux étoiles
La Terre gravite autour du Soleil dans un plan
appelé « plan de l’écliptique »
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BalanceScorpion
Ophiucus
Sagittaire
CapricorneVerseau Poissons
BélierTaureau
Gémeaux
Cancer
LionVierge
écliptique
Les constellations du ZODIAQUE
Au voisinage du plan de l’écliptique 13 constellationspartagent la voûte céleste
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BalanceScorpion
Ophiucus
Sagittaire
CapricorneVerseau Poissons
BélierTaureau
Gémeaux
Cancer
LionVierge
écliptique
le Soleil est dans la direction de la constellation des Gémeaux
Fin juin, début juillet,pour un observateur terrestre,
le Soleil est dans la direction de la constellation de la BalanceDébut novembre
Au cours de l’année, le Soleil semble se déplacer dans le cielen parcourant les constellations du Zodiaque,
dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
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Au cours de l’année, le Soleil vu de la Terresemble se déplacer de jour en jour
par rapport aux étoiles
Il parcourt les constellations du Zodiaque, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
La vitesse de la Terre sur son orbite n’étant pas constantele déplacement journalier du Soleil n’est pas régulier
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écliptique
23° 27’
La Terre tourne sur elle-mêmeautour d’un axe qui fait avec la perpendiculaire au plan de l’écliptique
un angle de 23° 27’
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Au cours de l’année, le Soleil vu de la Terre semble se déplacer de jour en jour
par rapport aux étoiles
Il parcourt les constellations du Zodiaque, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
écliptique
Au cours du déplacement annuel de la Terre autour du Soleil
23° 27’
23° 27’
23° 27’
garde une direction fixe par rapport aux étoilesl’axe de rotation terrestre
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Le plan de l’équateur terrestreperpendiculaire à l’axe des pôles
Quand la Terre se déplace,
23° 27’
fait avec le plan de l’écliptique un angle de 23° 27’
ce plan reste parallèle à lui même
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23° 27’
Point La ligne d’intersection de ce plan avec celui de l’écliptique
Cette direction, dans le ciel, est celle d’un point appelé
garde une direction fixe dans l’espace
« Point »
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23° 27’
La hauteur du Soleilpar rapport au plan de l’équateur terrestre
+ 23° 27’
de + 23° 27' , au solstice d’été
0°
à 0° , à l’équinoxe d’automne
jusqu’à – 23° 27' au solstice d’hiver
- 23° 27’
et de nouveau à 0° , à l’équinoxe du printemps
solstice d’été
équinoxe d’automne
solsticed’hiver
équinoxe de printemps
varie au cours de l’année
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Quand la Terre se déplace,
La ligne d’intersection de ce plan avec celui de l’écliptique
Cette direction, dans le ciel, est celle du « Point »
garde donc une direction fixe dans l’espace
Point
23° 27’
son plan équatorial reste parallèle à lui même
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Déplacement annuel du SoleilDéplacement annuel du Soleilsur la « Sphère des Fixes »sur la « Sphère des Fixes »
point de vue géocentriquepoint de vue géocentrique
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O
Pôle céleste Nord
« Sphère des Fixes »sphère céleste sur la laquelle
les points directeurs des étoilessont fixes
Elle n’est pas liéeaux mouvements de la Terre
* *
*
*
*
*
*
Les pôles et l’équateur célestesont des éléments communs avec
la sphère céleste locale entraînée par la Terre
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O
Soleil
Pôle céleste Nord
Il est appelé « cercle écliptique »
la direction du Soleil,repérée par un point S,
se déplace de jour en joursur un grand cercle
Ce cercle est l’intersection de la sphère céleste
avec le plan de l’écliptique
À cause du déplacement annuelde la Terre autour du Soleil
S
* *
*
*
*
*
*
23° 27’
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O
Soleil
Pôle céleste Nord
S
Le point S parcourtle cercle écliptique
dans le sens directen un an
* *
*
*
*
*
*
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OS
Soleil
Point
Pôle céleste Nord
L’angle O Sest appelé
l
Elle est mesurée à partir du point
Ì
longitude écliptique l du Soleil
L’intersection du cercle écliptiqueavec l’équateur céleste
correspond à la direction du* *
*
*
*
*
*
point
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OS
Soleil
Point
Pôle céleste Nord
l
Comme la vitesse de déplacement de la Terre autour du Soleil varie au cours de l’année
le déplacement apparent du Soleilsur le cercle écliptique
au cours de l’annéen’est pas régulier
* *
*
*
*
*
*
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OS
Soleil
Point
Pôle céleste Nord
l
le déplacement journalierdu Soleil sur le cercle écliptique
est en moyenne égal à
jourpar 0,9856 25,365
360n
Cette vitesse angulaire moyenne du Soleilest appelé
« moyen mouvement du Soleil »
* *
*
*
*
*
*
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OS
Soleil
Point
Pôle céleste Nord
l
Le Soleil S esttantôt en avance, tantôt en retard
par rapport à un « mobile fictif » m
m +
qui parcourrait l’écliptiqueà vitesse constante égale au
« moyen mouvement » n
l = n t
La longitude écliptique lde ce mobile fictif
augmente régulièrement avec le tempssuivant l’équation
l
* *
*
*
*
*
*
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OS
Soleil
Point
Pôle céleste Nord
l m +
l = n t
l
* *
*
*
*
*
*
L’écart (l - l ) varie au cours de l’année
mais reprend la même valeurchaque année
à la même date
Si la variation de (l - l ) au cours d’une année
a pu être établieelle permettra de connaître
la valeur de l pour toute date désirée
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Comment établir la valeur prise par (l - l ) au cours d’une année ?
on peut mesurer chaque jourla longitude écliptique l du Soleil
on peut déterminer à chaque instantla longitude écliptique l du mobile fictif
l = n tPar le calcul
Par l’observation
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Vpérihélie = 31 145 m/s
PérihélieAphélie
●
Vaphélie = 28 851 m/s
1 - aux moments des passages de la Terre au périhélie et à l’aphélie(c’est à dire aux environs du 2 janvier et du 5 juillet)
l’écart entre le Soleil et le mobile fictif est nul
2 janvier5 juillet
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Vpérihélie = 31 145 m/s
PérihélieAphélie
●
Vaphélie = 28 851 m/s
2 - le 3 avril cet écart atteint son maximum, avec la valeur + 1° 55
2 janvier5 juillet
3 avril
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Vpérihélie = 31 145 m/s
PérihélieAphélie
●
Vaphélie = 28 851 m/s
3 avril
3 - le 1er octobre le Soleil, l’écart est égal à - 1° 55
1er octobre
2 janvier5 juillet
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2 - le 3 avril cet écart atteint son maximum, avec la valeur + 1° 55
3 - le 1er octobre le Soleil, l’écart est égal à - 1° 55
1° 55 ' = 115 ''
La fonction qui représente l’écart entre le Soleil et le mobile fictifa donc une amplitude de
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1 - aux moments des passages de la Terre au périhélie et à l’aphélie(c’est à dire aux environs du 2 janvier et du 5 juillet)
l’écart entre le Soleil et le mobile fictif est nul
2 - le 3 avril cet écart atteint son maximum, avec la valeur + 1° 55
3 - le 1er octobre le Soleil, l’écart est égal à - 1° 55
1° 55 ' = 115 ''
La distance angulaire entre le Soleil et le « mobile fictif »peut être représentée avec une bonne approximation
et d’amplitude égale àpar une fonction sinusoïdale de période annuelle
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15 13 fév.
avril
périhélie4 janv.
février
-10
-15
-5
janvier mars
0
5
10
aoûtjuilletjuinmai sept.
aphélie6 juil.
3 nov.
oct. nov. déc.
avrilfévrierjanvier mars aoûtjuilletjuinmai sept. oct. nov. déc.
2°30'
1°15'
- 1°15'
- 2°30'
0
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
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15 13 fév.
avril
périhélie4 janv.
février
-10
-15
-5
janvier mars
0
5
10
aoûtjuilletjuinmai sept.
aphélie6 juil.
3 nov.
oct. nov. déc.
avrilfévrierjanvier mars aoûtjuilletjuinmai sept. oct. nov. déc.
1 - aux moments des passages de la Terre au périhélie et à l’aphélie(c’est à dire aux environs du 2 janvier et du 5 juillet)
l’écart entre le Soleil et le mobile fictif est nul
2°30'
1°15'
- 1°15'
- 2°30'
0
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
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avril
périhélie4 janv.
février
-10
-15
-5
janvier mars
0
5
10
aoûtjuilletjuinmai sept.
aphélie6 juil.
3 nov.
oct. nov. déc.
avrilfévrierjanvier mars aoûtjuilletjuinmai sept. oct. nov. déc.
le Soleil se trouve donc, ce jour-là,en avance de 1° 55 sur le « mobile fictif »
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
expr
imée
en
min
utes
(15°
1
heu
re)
c’est approximativement son parcours en deux jours
2 - le 3 avril cet écart atteint son maximum, avec la valeur + 1° 55
2°30'
1°15'
- 1°15'
- 2°30'
0
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
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15 13 fév.
avril
périhélie4 janv.
février
-10
-15
-5
janvier mars
0
5
10
aoûtjuilletjuinmai sept.
aphélie6 juil.
3 nov.
oct. nov. déc.
avrilfévrierjanvier mars aoûtjuilletjuinmai sept. oct. nov. déc.
3 - le 1er octobre le Soleil est en retard de deux jours environl’écart est alors égal à - 1° 55
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
2°30'
1°15'
- 1°15'
- 2°30'
0
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
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15 13 fév.
avril
périhélie4 janv.
février
-10
-15
-5
janvier mars
0
5
10
aoûtjuilletjuinmai sept.
aphélie6 juil.
3 nov.
oct. nov. déc.
avrilfévrierjanvier mars aoûtjuilletjuinmai sept. oct. nov. déc.
150'
75'
- 75'
- 150'
0
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
La fonction l - lmobile fictif s’annule au 2 janvier
Son amplitude vaut 1° 55 ' = 115 '
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avril
périhélie4 janv.
février
-10
-15
-5
janvier mars
0
5
10
aoûtjuilletjuinmai sept.
aphélie6 juil.
3 nov.
oct. nov. déc.
avrilfévrierjanvier mars aoûtjuilletjuinmai sept. oct. nov. déc.
150'
75'
- 75'
- 150'
0
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
Expression de la fonction (l - lmobile fictif ) :
l - lmobile fictif = 115. sin n t
avec n = 0,9856°/jour et le temps mesuré à partir du 2 janvier
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-15
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janvier mars
0
5
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aoûtjuilletjuinmai sept.
aphélie6 juil.
3 nov.
oct. nov. déc.
avrilfévrierjanvier mars aoûtjuilletjuinmai sept. oct. nov. déc.
150'
75'
- 75'
- 150'
0
Écar
t ent
re le
Sol
eil e
t le
« m
obile
fict
if »
Cette distance angulaire (l - lmobile fictif ) est appelée :
équation du centre C
C = 115. sin n t
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0S
Soleil
Point
Pôle céleste Nord
l m +lmobile fictif
Valeur de la longitude écliptique du Soleil à l’instant t
lmobile fictif = 282° À la date du 2 janvier,
l = lmobile fictif + C
2 janvier+
À l’instant tmesuré à partir du 2 janvier
lmobile fictif = 282° + n t
l= 282° + n t + C
l= 282° + n t +115. sin n t
ou
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Variation deVariation del’ascension droite du Soleill’ascension droite du Soleil
au cours de l’annéeau cours de l’année
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SudSudNordNord
Pôle céleste NordPCN
Ex
PCS
ascension droite
déclinaison
γpoint point γγ
Coordonnées équatoriales d’un astreRappel :
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0Soleil
Point
Pôle céleste Nord
Sl
Ascension droite et Longitude écliptique du Soleil
IJ
I : projection de S sur le plan équatorial
J : projection de I sur la direction O
Dans le triangle OI J
Dans le triangle OSJ
tan = tan l . cos
OJcos.JS
OJIJ tan
OJSJtan l
Dans le triangle SI J
I J = JS . cos
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Étude des variations de et de - lavec tableur Excel
Pour 0° < l < 45°
augmente moins vite que l
Pour 45° < l < 90°
comble son retard sur l
tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
l degrés tan l tan degrés - l0 0 0 0 0
5 0.08748866 0.0802729 4.58945738 -0.41054262
10 0.17632698 0.16178413 9.18992085 -0.81007915
15 0.26794919 0.24584966 13.8122169 -1.18778312
20 0.36397023 0.33395121 18.4668047 -1.53319534
25 0.46630766 0.4278482 23.1635733 -1.83642672
30 0.57735027 0.52973239 27.9116181 -2.08838191
35 0.70020754 0.64245681 32.7189934 -2.28100656
40 0.83909963 0.76989356 37.5924425 -2.40755755
45 1 0.91752342 42.5371101 -2.46288991
50 1.19175359 1.09346183 47.5562515 -2.44374849
55 1.42814801 1.31035924 52.6509549 -2.34904507
60 1.73205081 1.58919718 57.819905 -2.18009499
65 2.14450692 1.96763532 63.0592181 -1.94078191
70 2.74747742 2.52087488 68.3623824 -1.6376176
75 3.73205081 3.42424402 73.720334 -1.27966603
80 5.67128182 5.20353389 79.1216892 -0.87831079
85 11.4300523 10.4873407 84.5531404 -0.44685962
90 1.6325E+16 1.4978E+16 90 0
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Étude des variations de et de - lavec tableur Excel
Pour 0° < l < 45°
augmente moins vite que l
Pour 45° < l < 90°
comble son retard sur l
tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
l degrés tan l tan degrés - l0 0 0 0 0
5 0.08748866 0.0802729 4.58945738 -0.41054262
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15 0.26794919 0.24584966 13.8122169 -1.18778312
20 0.36397023 0.33395121 18.4668047 -1.53319534
25 0.46630766 0.4278482 23.1635733 -1.83642672
30 0.57735027 0.52973239 27.9116181 -2.08838191
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60 1.73205081 1.58919718 57.819905 -2.18009499
65 2.14450692 1.96763532 63.0592181 -1.94078191
70 2.74747742 2.52087488 68.3623824 -1.6376176
75 3.73205081 3.42424402 73.720334 -1.27966603
80 5.67128182 5.20353389 79.1216892 -0.87831079
85 11.4300523 10.4873407 84.5531404 -0.44685962
90 1.6325E+16 1.4978E+16 90 0
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tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
l degrés tan l tan degrés - l0 0 0 0 0
5 0.08748866 0.0802729 4.58945738 -0.41054262
10 0.17632698 0.16178413 9.18992085 -0.81007915
15 0.26794919 0.24584966 13.8122169 -1.18778312
20 0.36397023 0.33395121 18.4668047 -1.53319534
25 0.46630766 0.4278482 23.1635733 -1.83642672
30 0.57735027 0.52973239 27.9116181 -2.08838191
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45 1 0.91752342 42.5371101 -2.46288991
50 1.19175359 1.09346183 47.5562515 -2.44374849
55 1.42814801 1.31035924 52.6509549 -2.34904507
60 1.73205081 1.58919718 57.819905 -2.18009499
65 2.14450692 1.96763532 63.0592181 -1.94078191
70 2.74747742 2.52087488 68.3623824 -1.6376176
75 3.73205081 3.42424402 73.720334 -1.27966603
80 5.67128182 5.20353389 79.1216892 -0.87831079
85 11.4300523 10.4873407 84.5531404 -0.44685962
90 1.6325E+16 1.4978E+16 90 0
L’écart ( - l) atteint sa valeur absolue maximale
2,463 ° = 148 ' lorsque l = 45 °
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
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Représentation graphique de l’écart - l
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 50 100 150 200 250 300 350 400
l Q
Q
lQ
Pour 0° < l < 90° ( - l) max = 2,463 ° = 148 ' lorsque l = 45 °
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
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tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
l degrés tan l tan degrés - l90 1.6325E+16 1.4978E+16 90 0
95 -11.4300523 -10.4873407 95.4468596 0.44685962
100 -5.67128182 -5.20353389 100.878311 0.87831079
105 -3.73205081 -3.42424402 106.279666 1.27966603
110 -2.74747742 -2.52087488 111.637618 1.6376176
115 -2.14450692 -1.96763532 116.940782 1.94078191
120 -1.73205081 -1.58919718 122.180095 2.18009499
125 -1.42814801 -1.31035924 127.349045 2.34904507
130 -1.19175359 -1.09346183 132.443748 2.44374849
135 -1 -0.91752342 137.46289 2.46288991
140 -0.83909963 -0.76989356 142.407558 2.40755755
145 -0.70020754 -0.64245681 147.281007 2.28100656
150 -0.57735027 -0.52973239 152.088382 2.08838191
155 -0.46630766 -0.4278482 156.836427 1.83642672
160 -0.36397023 -0.33395121 161.533195 1.53319534
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180 -1.2251E-16 -1.1241E-16 180 0
Pour 90° < l < 135°
augmente plus vite que l
Pour 135° < l < 180°
perd son avance sur l
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
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tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
l degrés tan l tan degrés - l90 1.6325E+16 1.4978E+16 90 0
95 -11.4300523 -10.4873407 95.4468596 0.44685962
100 -5.67128182 -5.20353389 100.878311 0.87831079
105 -3.73205081 -3.42424402 106.279666 1.27966603
110 -2.74747742 -2.52087488 111.637618 1.6376176
115 -2.14450692 -1.96763532 116.940782 1.94078191
120 -1.73205081 -1.58919718 122.180095 2.18009499
125 -1.42814801 -1.31035924 127.349045 2.34904507
130 -1.19175359 -1.09346183 132.443748 2.44374849
135 -1 -0.91752342 137.46289 2.46288991
140 -0.83909963 -0.76989356 142.407558 2.40755755
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160 -0.36397023 -0.33395121 161.533195 1.53319534
165 -0.26794919 -0.24584966 166.187783 1.18778312
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180 -1.2251E-16 -1.1241E-16 180 0
L’écart ( - l) atteint sa valeur maximale
2,463 ° = 148 ' lorsque l = 135 °
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
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-3
-2
-1
0
1
2
3
0 50 100 150 200 250 300 350 400
l Q
Q
lQ
( - l) max = 2,463 ° = 148 ' lorsque l = 135 °
Pour 90° < l < 180°
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
Représentation graphique de l’écart - l
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l degrés tan l tan degrés - l180 -1.2251E-16 -1.1241E-16 180 0
185 0.08748866 0.0802729 184.589457 -0.41054262
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200 0.36397023 0.33395121 198.466805 -1.53319534
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220 0.83909963 0.76989356 217.592442 -2.40755755
225 1 0.91752342 222.53711 -2.46288991
230 1.19175359 1.09346183 227.556252 -2.44374849
235 1.42814801 1.31035924 232.650955 -2.34904507
240 1.73205081 1.58919718 237.819905 -2.18009499
245 2.14450692 1.96763532 243.059218 -1.94078191
250 2.74747742 2.52087488 248.362382 -1.6376176
255 3.73205081 3.42424402 253.720334 -1.27966603
260 5.67128182 5.20353389 259.121689 -0.87831079
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270 5.4415E+15 4.9927E+15 270 0
tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
Pour 180° < l < 225°
augmente moins vite que l
Pour 225° < l < 270°
comble son retard sur l
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
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Club d’Astronomie Lycée Saint Exupéry Lyon
l degrés tan l tan degrés - l180 -1.2251E-16 -1.1241E-16 180 0
185 0.08748866 0.0802729 184.589457 -0.41054262
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230 1.19175359 1.09346183 227.556252 -2.44374849
235 1.42814801 1.31035924 232.650955 -2.34904507
240 1.73205081 1.58919718 237.819905 -2.18009499
245 2.14450692 1.96763532 243.059218 -1.94078191
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255 3.73205081 3.42424402 253.720334 -1.27966603
260 5.67128182 5.20353389 259.121689 -0.87831079
265 11.4300523 10.4873407 264.55314 -0.44685962
270 5.4415E+15 4.9927E+15 270 0
tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
L’écart ( - l) atteint sa valeur maximale
2,463 ° = 148 ' lorsque l = 225 °
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
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-3
-2
-1
0
1
2
3
0 50 100 150 200 250 300 350 400
l Q
Q
lQ
Pour 180° < l < 270° ( - l) max = 2,463 ° = 148 ' lorsque l = 225 °
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
Représentation graphique de l’écart - l
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Club d’Astronomie Lycée Saint Exupéry Lyon
l degrés tan l tan degrés - l270 5.4415E+15 4.9927E+15 270 0
275 -11.4300523 -10.4873407 275.44686 0.44685962
280 -5.67128182 -5.20353389 280.878311 0.87831079
285 -3.73205081 -3.42424402 286.279666 1.27966603
290 -2.74747742 -2.52087488 291.637618 1.6376176
295 -2.14450692 -1.96763532 296.940782 1.94078191
300 -1.73205081 -1.58919718 302.180095 2.18009499
305 -1.42814801 -1.31035924 307.349045 2.34904507
310 -1.19175359 -1.09346183 312.443748 2.44374849
315 -1 -0.91752342 317.46289 2.46288991
320 -0.83909963 -0.76989356 322.407558 2.40755755
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330 -0.57735027 -0.52973239 332.088382 2.08838191
335 -0.46630766 -0.4278482 336.836427 1.83642672
340 -0.36397023 -0.33395121 341.533195 1.53319534
345 -0.26794919 -0.24584966 346.187783 1.18778312
350 -0.17632698 -0.16178413 350.810079 0.81007915
355 -0.08748866 -0.0802729 355.410543 0.41054262
360 -2.4503E-16 -2.2482E-16 360 0
tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
Pour 270° < l < 315°
augmente plus vite que l
Pour 315° < l < 360°
perd son avance sur l
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
Page 71
Club d’Astronomie Lycée Saint Exupéry Lyon
l degrés tan l tan degrés - l270 5.4415E+15 4.9927E+15 270 0
275 -11.4300523 -10.4873407 275.44686 0.44685962
280 -5.67128182 -5.20353389 280.878311 -0.87831079
285 -3.73205081 -3.42424402 286.279666 -1.27966603
290 -2.74747742 -2.52087488 291.637618 -1.6376176
295 -2.14450692 -1.96763532 296.940782 -1.94078191
300 -1.73205081 -1.58919718 302.180095 -2.18009499
305 -1.42814801 -1.31035924 307.349045 -2.34904507
310 -1.19175359 -1.09346183 312.443748 -2.44374849
315 -1 -0.91752342 317.46289 -2.46288991
320 -0.83909963 -0.76989356 322.407558 -2.40755755
325 -0.70020754 -0.64245681 327.281007 -2.28100656
330 -0.57735027 -0.52973239 332.088382 -2.08838191
335 -0.46630766 -0.4278482 336.836427 -1.83642672
340 -0.36397023 -0.33395121 341.533195 -1.53319534
345 -0.26794919 -0.24584966 346.187783 -1.18778312
350 -0.17632698 -0.16178413 350.810079 -0.81007915
355 -0.08748866 -0.0802729 355.410543 -0.41054262
360 -2.4503E-16 -2.2482E-16 360 0
tan = tan l . cos et = 23 ° 26 '
L’écart ( - l) atteint sa valeur maximale
2,463 ° = 148 ' lorsque l = 315 °
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
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0
1
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0 50 100 150 200 250 300 350 400
l Q
Q
lQ
( - l) max = 2,463 ° = 148 ' lorsque l = 315 °
Pour 270° < l < 360°
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
Représentation graphique de l’écart - l
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0
1
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0 50 100 150 200 250 300 350 400
l Q
Q
lQ
La fonction ( - l) = f (l) a une période de 6 mois
Une révolution complète de la Terre autour du Soleil dure 12 mois
12 mois
6 mois
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
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l Q
Q
lQ
12 mois
6 mois
avec tableur Excel Étude des variations de et de - l
( - l ) = - 148 ' . sin 2 l
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Calcul de l’écart entre Ascension droite et Longitude écliptique du Soleil
2tan1
2tan1
cos2
2
tan = tan l . cos
tan = tan l .
2tan1
2tan1
2
2
tan - tan l = - 2
tan2 (tan + tan l)
ΘΘ
ΘΘΘΘ
ΘΘ
ΘΘΘΘ
lcoscoslsincoslcossin.
2tan
lcoscoslsincoslcossin 2
sin ( - l) = - tan2 sin ( + l)2
Mais cos peut s’écrire
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sin ( - l) = - tan2 sin ( + l)2
sin ( - l) ne peut excéder tan2
2
= 0,0432
( - l) a pour valeur maximale 2° 28 ' = 148 '
Il est légitime de confondre
sin ( - l) avec ( - l)
et ( - l) avec 2 l
( - l) = - 148 ' . sin 2 l
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-3
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0
1
2
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0 50 100 150 200 250 300 350 400
l Q
Q
lQ
12 mois
6 mois
( - l ) = - 148 ' . sin 2 l
et l sont mesurés à partir du point position du Soleil à l’instant de l’équinoxe de printemps, le 21 mars
21 mars 21 juin 22 décembre
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périhélie4 janv.
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janvier
0
5
10
juinfévrier mars avril mai juillet
21 mars 6 juil.
21 juin
aphélie
janvier juinfévrier mars avril mai juillet
3 nov.
août sept. oct. nov. déc.
22 déc.
23 sept.
août sept. oct. nov. déc.
150'
75'
- 75'
- 150'
0
Ecar
t (
- l
)
21 juin
( - l ) = - 148 ' . sin 2 l
l= 282° + n t +115 . sin n t
( - l ) = - 148 ' . sin 2 ( 282° + n t + 115 ' sin n t )
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périhélie4 janv.
-5
janvier
0
5
10
juinfévrier mars avril mai juillet
21 mars 6 juil.
21 juin
aphélie
janvier juinfévrier mars avril mai juillet
3 nov.
août sept. oct. nov. déc.
22 déc.
23 sept.
août sept. oct. nov. déc.
Réduction à l’équateur R
est appelée
150'
75'
- 75'
- 150'
0
Ecar
t (
- l
)
21 juin
( - l ) = - 148 ' . sin 2 l
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Expression de l’ascension droite du Soleil en fonction du temps
( - l) = - 148 ' . sin 2 l = R
l = 282° + n t + Cor
= l + R
avec n = 0,9856°/jour
et origine du temps au 2 janvier
= 282 ° + n t + C + R
R = - 148 ' . sin 2 ( 282° + n t + 115 ' sin n t )
C = 115. sin n t
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Les irrégularités de croissanceLes irrégularités de croissancede l’ascension droite du Soleilde l’ascension droite du Soleil
etetla mesure du tempsla mesure du temps
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Le « soleil moyen »qui sert à définir le « Temps Civil »
est un soleil fictif situé dans l’équateurdont ascension droite est égale
à celle du Soleil vrai, dépouillée des ses fluctuations
moyen = - (C + R)
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-10
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janvier
0
5
10
juinfévrier mars avril mai juillet
21 mars 6 juil.
21 juin
aphélie
janvier juinfévrier mars avril mai juillet
3 nov.
août sept. oct. nov. déc.
22 déc.
23 sept.
août sept. oct. nov. déc.
C + R = E
150'
75'
- 75'
- 150'
0
E = - m
Ecar
t (
-
m)
= Équation du temps
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Équation du tempsÉquation du tempsAngle horaire du Soleil vraiAngle horaire du Soleil vrai
Angle horaire du « soleil moyen »Angle horaire du « soleil moyen »
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PCN
Nord SudO
Soleil
+C
H = angle horairedu Soleil
zénith
SHm
H
m
H – Hm =
Point
= ascension droitedu Soleil
S
S = soleil moyen
m - = - ( - m)
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janvier
0
5
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juinfévrier mars avril mai juillet
21 mars 6 juil.
21 juin
aphélie
janvier juinfévrier mars avril mai juillet
3 nov.
août sept. oct. nov. déc.
22 déc.
23 sept.
août sept. oct. nov. déc.
150'
75'
- 75'
- 150'
0
H - Hm = - ( - m)
Hm - H = - m = E
Ecar
t (H
m -
H)
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-10
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janvier
0
5
10
juinfévrier mars avril mai juillet
21 mars 6 juil.
21 juin
aphélie
janvier juinfévrier mars avril mai juillet
3 nov.
août sept. oct. nov. déc.
22 déc.
23 sept.
août sept. oct. nov. déc.
150'
75'
- 75'
- 150'
0
Le « soleil moyen » passe au méridien avant le Soleil vrai
Il est en avance sur le Soleil vrai
Ecar
t (H
m -
H)
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janvier
0
5
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juinfévrier mars avril mai juillet
21 mars 6 juil.
21 juin
aphélie
janvier juinfévrier mars avril mai juillet
3 nov.
août sept. oct. nov. déc.
22 déc.
23 sept.
août sept. oct. nov. déc.
Ecar
t (H
m -
H)
expr
imé
en m
inut
eL’écart (Hm -H ) peut être exprimé en minutes
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0
S
Soleil
Point
Pôle céleste Nord
appelé « cercle écliptique »
Sur la sphère céleste
la direction du Soleil,repérée par un point S,
se déplace de jour en joursur un grand cercle ,
intersection de la sphère célesteavec le plan de l’écliptique
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Par rapport aux étoilesle déplacement journalier du Soleil
est en moyenne égal à
Cette vitesse angulaire moyenne du Soleil est appelé moyen mouvement du Soleil
jourpar 548,2" 325,365000 296 1
25,365360n
jourpar 0,9856 25,365
360n