Équation de Schrödinger • Est une équation de mouvement ) , ( ) , ( t r H t t r i i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces ) , ( ... x 2 ˆ 2 2 2 t r V m H
Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement
),( ),(
trHt
tri
i2= -1
Fonctionsd`onde complexes
Évolution Hamiltonien
dépend
du champ de forces
),( ...x2
ˆ 2
22
trVm
H
Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement• Se réduit à
pour des états « stationnaires » , d`énergie E bien déterminée, d`un système conservatif
)()( ˆEE rErH
)(),( E /
E retr tEi
État stationnaire
E(u.a)
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
0(R,t)|2
1(R,t)|2
R/a0
à tout temps t
?),( tRnonstat
Exercices
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
Exercices
) (2
1),( 01 tRnonstat
tEie 1 / tEie 0 /?),( tRnonstat
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
État stationnaire État non stationnaire
E(u.a)
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
0(R,t)|2
1(R,t)|2
R/a0
à tout temps t
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
1(R,t)+ 0(R,t)|2
t=0
t=T/4
t=T/2
R/a0
Mesures d’une propriété physique
Mesure de O
)0,( R 1
2
3
Postulat 4
t
Mesures d’une propriété physique
Mesure de O
)0,( R 1
2
3
Postulat 5
2
1 ),( )(1
tRP t
Mesures d’une propriété physique
Mesure de O
)0,( R 1
2
3
1
état après mesure
t
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
?),( 0 tEEP
Exercices
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
?),( 0 tEEP
Exercices
2 /2
000
2
1),( ),( tEi
nonstat etRtEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
?),( 0 tEEP
Exercices
2 /2
000
2
1),( ),( tEi
nonstat etRtEEP
t ,2
1),( 0 tEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
?),( 1 tEEP
Exercices
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
?),( 1 tEEP
Exercices
2
/2
101
2
1),( ),( tEi
nonstat etRtEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
?),( 1 tEEP
Exercices
t ,2
1),( 1 tEEP
2
/2
101
2
1),( ),( tEi
nonstat etRtEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
?),( 2 tEEP
Exercices
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
?),( 2 tEEP
Exercices
t ,0),( 2 tEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
État non stationnaire
E(u.a)
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
nonstat(R,t)|2
t=0
t=T/4
t=T/2
R/a0
1E 2E 0E
0.5
1.0
P(E,t)
Mesure simultanée de 2 propriétés physiques
Mesure de A
)0,( R 1a
2a
3a
1a
t
Mesure de B
1b
2b
3b
Mesure simultanée de 2 propriétés physiques
Mesure de A
)0,( R 1a
2a
3a
1a
t
Mesure de B
1b
2b
3b
1)|( 11 aAbP
A et B incompatibles
Mesure simultanée de 2 propriétés physiques
Mesure de A
)0,( R 1a
2a
3a
1a
t
Mesure de B
1b
2b
3b
11 111ˆ1)|( aa bBaAbP
A et B compatibles
Observables compatibles
A et B compatiblesii aka bB ˆ
AB ˆ ,ˆ ont des fonctions propres communes
0ˆ ,ˆ AB
Exemple
• Pour l’atome d’hydrogène
0ˆ ,ˆ ,0ˆ ,ˆ ,0ˆ ,ˆ 22 zz LLLHLH
E, L2, Lz compatibles
zLLH ˆ ,ˆ ,ˆ 2 E.C.O.C
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)– Modèle de polyènes.– Mouvements de translation.
• Oscillateur harmonique (1D,nD)– Vibrations moléculaires
• Rotateur rigide – Rotations moléculaires
• Atome hydrogénoïde
Particule dans une boîte 1D
Atkins,
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
Atkins, fig.12.1
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
Classiquement:
2000 v
2
1E v )( mtxtx
E=Ecin continue
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
Classiquement:
2000 v
2
1E v )( mtxtx
E=Ecin continue
Énergie cinétique pure
Particule dans une boîte 1D
)()(
2
- (x)ˆ
2
22
xEdx
xd
mH
En quantique, on résoud
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
Particule dans une boîte 1D
En quantique, on résoud
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) LOpérateur
d`énergie cinétique
)()(
2
- (x)ˆ
2
22
xEdx
xd
mH
Particule dans une boîte 1D
L
xn sin
L
2 (x)n
Solutions
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
Particule dans une boîte 1D
L
xn sin
L
2 (x)n
Solutions
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
2
22
n 8
Lm
hnE
Particule dans une boîte 1D
L
xn sin
L
2 (x)n
Solutions
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
2
22
n 8
Lm
hnE
,...)3,2,1,0( * nn N
Particule dans une boîte 1D
Atkins, figs 12.1+12.2
L
xn sin
L
2 (x)n
Solutions
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
2
22
n 8
Lm
hnE
,...)3,2,1,0( * nn N
• Propriétés des solutions– Propriétés nodales des
solutions
Particule dans une boîte 1D
(x) n2
n (x)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
Particule dans une boîte 1D
(x) n2
n (x)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
– Énergie cinétique précise, mais
Particule dans une boîte 1D
2
L
nkk
L
nhp nn
(x) n2
n (x)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
– Énergie cinétique précise, mais
ou
Particule dans une boîte 1D
2
L
nkk
L
nhp nn
2.
2
nLp
L
np
(x) n2
n (x)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
– Énergie cinétique précise, mais
Particule dans une boîte 1D
2
L
nkk
L
nhp nn
(x) n2
n (x)
L
kLdx
d
iLp
x
n
xx
x
nnn ikikik eee ˆ
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
– Énergie cinétique précise, mais
Particule dans une boîte 1D
2
L
nkk
L
nhp nn
(x) n2
n (x)
L
kLdx
d
iLp
x
n
xx
x
nnn ikikik eee ˆ
propre valeur propre fonction
Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions
2
L
nkk
L
nhp nnn
L
kLdx
d
iLp
x
n
xx
x
nnn ikikik eee ˆ
LLiL
xn xx nn -ikik
n
ee
2
1 sin
L
2 (x)
Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions
2
L
nkk
L
nhp nnn
L
kLdx
d
iLp
x
n
xx
x
nnn ikikik eee ˆ
LLiL
xn xx nn -ikik
n
ee
2
1 sin
L
2 (x)
2
1
2
1)(
2
i
kpP nx
proba. de trouver kn
Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions
2
L
nkk
L
nhp nnn
L
kLdx
d
iLp
x
n
xx
x
nnn ikikik eee ˆ
LLiL
xn xx nn -ikik
n
ee
2
1 sin
L
2 (x)
2
1
2
1)(
2
i
kpP nx
0) (2
1) (
2
1
nnx kkp
proba. de trouver kn
Moyenne de px
Exercices
?),( tx
L
xxtx
sin
L
2)()0,( 1
Exercices
L
xxtx
sin
L
2)()0,( 1
?),( tx )(),( 1 / xetx tEi n
Exercices
L
xxtx
sin
L
2)()0,( 1
?),( tx )(),( 1 / xetx tEi n
?)3
( 3 L
kpP x
Exercices
L
xxtx
sin
L
2)()0,( 1
?),( tx )(),( 1 / xetx tEi n
?)3
( 3 L
kpP x 0)3
( 3 L
kpP x
Exercices
L
xxtx
sin
L
2)()0,( 1
?)( bxaP
Exercices
L
xxtx
sin
L
2)()0,( 1
?)( bxaP
b
a
b
a L
xdx
LxdxbxaP
sin
2)( )( 22
1
Exercices
L
xxtx
sin
L
2)()0,( 1
?)( bxaP
b
a
b
a L
xdx
LxdxbxaP
sin
2)( )( 22
1
?)2
0( L
xP2
1 sin
2)
20(
2/
0
2
L
L
xdx
L
LxP
2
1 sin
2)
20(
2/
0
2
L
L
xdx
L
LxP