ELG3575 5. Signaux en bande passante
ELG3575
5. Signaux en bande passante
Pré-enveloppe positive
• Soit x(t) un signal réel avec une transformée de Fourier X(f).
• Nous définissons x+(t) comme la pré-enveloppe positive du signal x(t).
• Le spectre de la pré-enveloppe positive est nulle pour les fréquences négatives et proportionnel au spectre de x(t) pour les fréquences positives.
• Le spectre de la pré-enveloppe positive est :
0 ,00),0(0),(2
)(ffXffX
fX
Pré-enveloppe positive
• Nous pouvons démontrer que X+(f) = X(f) + sgn(f)X(f) = X(f) + j(-jsgn(f)X(f)) = X(f) + jXh(f) où Xh(f) = F{xh(t)}.
• Alors )()()( tjxtxtx h
Exemples
• Trouvez la pré-enveloppe positive de x(t) = cos(2fct).• Trouvez la pré-enveloppe de y(t) = sinc(t).
– SOLUTION
• On sait que xh(t) = sin(2fct), alors x+(t) = cos(2fct)+jsin(2fct).
• Alors x+(t) = ej2fct.
• Pour y+(t) il faudra trouver Y+(f).
• Y(f) = (f), alors Y+(f) = 2(2(f-¼)). Alors y+(t) = F-1{Y+(f)} = sinc(t/2)ej(/2)t.
Pré-enveloppe négative
• La pré-enveloppe négative du signal x(t) est le signal dont son contenu spectral est le spectre négatif de x(t).
• On voit que X+(f)+X-(f) = 2X(f), alors x+(t)+x-(t) = 2x(t).
• Alors x-(t) = x(t)-jxh(t).
0 ,0
0),0(
0),(2
)(
f
fX
ffX
fX
Signaux en bande passante
• Le signal x(t) est un signal en bande passante si son spectre est non-zéro dans la gamme de fréquences fc - (B/2) ≤ |f| ≤ fc + B/2 où B est la largeur de bande de x(t) et B < fc.
|X(f)|
-fc-B/2 -fc -fc+B/2 fc-B/2 fc fc+B/2 f
|Xm|
Pré-enveloppe d’un signal en bande passante
• Prenons la pré-enveloppe du signal en bande passante x(t).
• |X+(f)| est démontré ci-dessous.
• La pré-enveloppe x+(t) = x(t)+jxh(t).
|X+(f)|
fc-B/2 fc fc+B/2 f
2|Xm|
L’enveloppe complexe
• L’enveloppe complexe de x(t), , est son équivalent en bande de basse.
• C'est-à-dire que le spectre de a la même forme que celui de x+(t), mais centré à f = 0.
• Alors,
)(~ tx
)(~ tx
-B/2 B/2 f
|F{x+(t) }|
2|Xm|
tfj ce 2
-B/2 B/2 f
|F{x+(t) }|
2|Xm|
tfj ce 2|F{x+(t) }|
2|Xm|
tfj ce 2
tfj cetxtx 2)()(~
L’enveloppe complexe
• Alors, nous définissons comme l’enveloppe complexe du signal en bande passante x(t).
• Nous voyons du spectre de que la largeur de bande de l’enveloppe complexe est B/2 pour un signal en bande passante avec largeur de bande B.
tfj cetxtx 2)()(~
)(~ tx
La forme en quadrature d’un signal en bande passante
• Si• Alors• Aussi
• Alors
• Un signal en bande passante peut être exprimé dans la forme
• Où et
tfj cetxtx 2)()(~
tfj cetxtx 2)(~)(
)}(Re{)( txtx
tftxtftxetxtx cctfj c 2sin)}(~Im{2cos)}(~Re{})(~Re{)( 2
tftxtftxtx cQcI 2sin)(2cos)()(
)}(~Re{)( txtx I )}(~Im{)( txtxQ
Exemple 1
• x(t) = Acos(2fct+).
• Trouvez son enveloppe complexe ainsi que sa forme en quadrature.– SOLUTION
• X(f) = (1/2)ej(f-fc)+(1/2)e-j(f+fc)
• X+(f) = ej(f-fc)
• Alors x(t) = xI(t)cos(2fct)-xQ(t)sin(2fct) = cos()cos(2fct)- sin()sin(2fct).
)sin()cos()(~)()()(
~
jetx
feffXfXj
jc
Exemple 2
• y(t) = 100sin(2(fc-f1)t)+500cos2fct+100sin(2(fc+f1)t).
• Y(f) = -j50(f-fc+f1)+j50(f+fc-f1)+250(f-fc)+250(f+fc)-j50(f-fc-f1)+j50(f+fc+f1).
• Y+(f) = -j100(f-fc+f1) +500(f-fc)-j100(f-fc-f1)
• y(t) = 500cos(2pfct)+200cos(2f1t)sin(2fct)
)2cos(200500)(~)()(500)(100)()(
~
1
11
tfjty
ffjfffjffYfY c