ELG3575 Modulation d’angle
Apr 04, 2015
ELG3575
Modulation d’angle
Introduction à la modulation d’angle
• Pour la modulation d’angle, l’amplitude de la porteuse est gardée fixe pendant que l’angle de l’onde porteuse varie en fonction du signal d’information.
• Pour la modulation d’angle, le processus qui transforme le signal d’information en signal modulé est un processus non-linéaire.
• Ceci rend difficile l’analyse des signaux employant ce type de modulation.
• Cependant, sa modulation et démodulation ne sont pas compliquées à réaliser.
Angle de la porteuse
• Supposons que i(t) représente l’angle instantanée du signal modulé.
• Nous exprimons le signal modulé par :
• où Ac est l’amplitude de la porteuse.
)(cos)( tAts ic
Fréquence instantanée
• Un cycle de l’onde arrive quand i(t) change par 2 radians, alors, la fréquence moyenne de l’onde s(t) sur l’intervalle t à t+t est :
• La fréquence instantanée, fi(t), du signal modulée est la fréquence moyenne dans la limite où t tend vers 0.
t
tttf iit
2
)()(
dt
tdtf i
i
)(
2
1)(
La modulation de phase et la modulation de fréquence
• Il y a deux techniques de modulation d’angle. • Le premier est la modulation de phase (« phase modulation » - PM) et
le deuxième est la modulation de fréquence (« frequency modulation » - FM).
• Pour la modulation de phase, la phase de la porteuse est une fonction linéaire du signal d’information, m(t). Alors le signal modulé, sPM(t), est :
• où kp est la sensibilité de phase et c est la phase de la porteuse non modulée.
• Pour simplifier l’expression, nous supposons que c = 0. Alors, l’angle instantanée du signal modulé est i(t) = 2fct + kpm(t).
cpccPM tmktfAts )(2cos)(
• Pour la modulation de fréquence, la fréquence instantanée varie en fonction linéaire du signal d’information. Alors pour un signal FM, la fréquence instantanée est donnée par :
• où kf est la sensibilité de fréquence.
)()( tmkftf fci
t
fc
t
ii dmktfdft )(22)(2)(
t
fccFM dmktfAts )(22cos)(
Fréquence instantanée d’un signal PM / Phase instantanée d’un signal FM
• De l’expression d’un signal PM, on trouve que
• De l’expression d’un signal FM
dt
tdmkftf
pcPMi
)(
2)(
t
fFMi dmkt )(2)(
m(t) d/dt kp/2kf ModFM
sPM(t)
m(t) ∫ 2kf/kp ModPM
sFM(t)
Exemple
• Trouvez les expressions des signaux PM et FM pour m(t) = Acos(2fmt).
– SOLUTION
tfAktfAts mpccPM 2cos2cos)(
tff
AdfA m
m
t
m
2sin2
2cos
tff
AktfAts m
m
fccFM 2sin2cos)(
• Les signaux PM et FM de l’exemple sont démontrés ci-dessous pour Ac = 5, A = 1, fc = 1 kHz, fm = 100 Hz, kp = 2 rads/V et kf = 500 Hz/V.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-6
-4
-2
0
2
4
6
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-6
-4
-2
0
2
4
6
sPM(t)
sFM(t)
t en secondes
t en secondes
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-6
-4
-2
0
2
4
6
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-6
-4
-2
0
2
4
6
sPM(t)
sFM(t)
t en secondes
t en secondes
Les caractéristiques des signaux modulés en angle
Signal modulé en phase
Signal modulé en fréquence
Phase instantanée
i(t)
Fréquence instantanée
Déviation maximum de phase max
où
Déviation maximum de frequence fmax
où
Puissance
)(tmk p t
f dmk0
)(2
dt
tdmkf
pc
)(
2 )(tmkf fc
max|)(| tmk pmax|)(|2 txk f
t
dmtx )()(
max|)(|2
txk p dt
tdmtx
)()( max|)(| tmk f
2
2cA
2
2cA
Les indices de modulation
• Supposons que m(t) = Amcos(2fmt). Les signaux PM et FM sont :
• Pour le signal PM, nous définissons
• Et pour le signal FM
)2sin(2cos)(
)2cos(2cos)(
tff
kAtfAts
tfAktfAts
mm
fmccFM
mmpccPM
max mpp Ak
mm
mfF f
f
f
Akmax
Les indices de modulation
• Pour n’importe quel signal m(t) qui a une largeur de bande Bm, nous définissons les indices de modulation comme :
maxmax|)(| tmk pp
mm
pF B
f
B
tmkmaxmax|)(|
Exemple
• Le signal m(t) = 5sinc2(10t). Trouvez l’indice de modulation si
1. Nous transmettons m(t) avec la modulation PM pour kp = 0.3 rads/V.
2. Nous transmettons m(t) avec la modulation FM pour kf = 20 Hz/V.– SOLUTION
• |m(t)|max = 5, alors p = 0.3×5 = 1.5 rads.
• Bm = 10Hz, alors F = 20×5/10 = 10.
La modulation FM à bande étroite
• Pour un signal FM donné par :
• nous disons que le signal sFM(t) est un signal FM à bande étroite (« Narrowband FM » - NBFM).
• Par exemple, considérons le cas où m(t) = Amcos(2fmt).
t
fccFM dmktfAts0
)(22cos)(
1)(20
t
f dmk où
)2sin(2cos)(
)2sin(2cos)(
tftfAts
tff
kAtfAts
mFccFM
mm
fmccFM
La modulation FM à bande étroite
• Alors, on dit que le signal FM est un signal NBFM si F << 1.
• L’identité cos(A+B) = cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B). Alors
tfdmkAtfA
dmktfAdmktfA
dmktfAts
c
t
fccc
t
fcc
t
fcc
t
fccFM
2sin)(22cos
)(2sin2sin)(2cos2cos
)(22cos)(
0
00
0
(si A << 1, cos(A) ≈ 1 et sin(A) ≈ A.)
Modulateur NBFM
Accos(2fct)
m(t) t
d0
)(
t
dm0
)(
2kf ×
Trans. Hilbert
++
-
sNBFM(t)
Acsin(2fct)
Accos(2fct)
m(t) t
d0
)(
t
dm0
)(
2kf ×
Trans. Hilbert
++
-
sNBFM(t)
Acsin(2fct)
Spectre d’un signal NBFM
• En supposant que M(0) = 0, le spectre d’un signal FM à bande étroite est :
• M(f-fc) = 0 à f=fc et M(f+fc) = 0 à f=-fc.
• La largeur de bande de sNBFM(t) est alors 2Bm où Bm est la largeur de bande de m(t).
)()()(2
)(2
)( cc
fcc
c
fcc
cc
cNBFM ffM
ff
kAffM
ff
kAff
Aff
AfS