Instituto Profesional AIEP
Mdulo: CalculoDocente Manuel A. Vsquez Concha
EJERCICIOS PRIMERA UNIDAD.
I. FUNCIONES1. El ingreso I (en dlares) de un cierto producto
como funcin de la demanda x , viene dado por la expresin: , si se
venden 50 unidades del producto , entonces el ingreso es de :
2. Segn estimaciones , el porcentaje de casa que tienen
reproductor DVD , est dado por
Donde t se mide en aos y t=0 corresponde al inicio de 1995 Qu
tanto por ciento de las casa tenan estos aparatos al inicio de
1995?3. Se estima que el porcentaje de que FALLE una cierta marca
de circuitos de computadoras despus de t aos de uso es Cul es el
porcentaje esperado de circuitos de esta marca que sern tiles
dentro de tres aos?
4. Si cierta marca de automvil se compra por C pesos, su valor
comercial al final de t aos, est dado por . Si el costo original es
de $6.500.000, calcule el valor del automvil despus de tres aos.5.
Debido a una depresin, cierta regin econmica tiene una poblacin que
decrece. En el ao 2000, su poblacin fue de 500.000 habitantes y de
ah en adelante su poblacin se rigi por la frmula: en donde t es el
tiempo en aos. Calcule la poblacin para el ao 2014
6. Si el valor de los bienes races se incrementan a razn del 10%
por ao, entonces despus de t aos, el valor de una casa comprada en
P pesos, est dada por . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en
el ao 2001. Cul ser su precio en el ao 2014?
7. Calcula los siguientes logaritmos:
8. La cantidad P en que un capital C se convierte despus de t
aos a una tasa de inters compuesto-anual i, se determina mediante
la expresin:
Se ha invertido un capital de $4.000.000 a una tasa de inters
anual de un 6% hasta alcanzar un valor de $5.353.535. Por cuantos
aos fue la inversin?9. El crecimiento del nmero de habitantes de
una poblacin viene dado por la expresin:
, donde es el nmero de habitantes de la poblacin en un instante
inicial, P es el nmero de habitantes de la poblacin en un instante
t y k es una constante de proporcionalidad.
El pueblo de Doigue en el ao 1990 tena 14.298 habitantes y en el
ao 2000 dicha poblacin haba aumentado a 16.414. Calcular:
a) Cul es el valor de la constante k de proporcionalidad?
b) Cul es la poblacin para el ao 2015?10. El valor de una mquina
adquirida hace 8 aos por 10.000 dlares viene dado por la expresin
(t) = 10.000 e-0,3 t, donde t mide los aos despus de su adquisicin.
En cunto tiempo la mquina tendr un valor de 2.231,30 dlares?11. Una
poblacin crece de acuerdo con la frmula: donde t es el tiempo en
aos. Cunto tiempo tardar la poblacin en aumentar 50%?
12. Se adquiere una mquina batidora industrial por $450.000 y se
deprecia continuamente desde la fecha de adquisicin. Su valor
despus de t aos est dado por la frmula: En cunto tiempo la mquina
tendr un valor de $200.000?
13. La ventas de un cierto bien, en una empresa, se pueden
aproximar mediante la funcin donde x es el nmero de unidades
producidas del bien .Si se producen 92 unidades, entonces las
ventas estimadas son de aproximadamente.
14. Dadas las siguientes funciones: Hallar: (f o g) (x) y (g o
f) (x)15. Sabiendo que f(x) = 3x2 y g(x) = 1 / (x + 2) que
composicin de funcin da como resultado:
16. Asociar cada grfico a su ecuacin
17. En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste
subir un 2% cada ao. Si el primer ao se pagan $4.200.000 pesos (en
12 recibos mensuales):
Cunto se pagar al final del siguiente ao? Y dentro de 2 aos?
Obtn la funcin que nos d el coste anual al cabo de x aos.18.
Evala la funcin en el valor indicado de x, sin usar calculadora
19. Condensar las siguientes expresiones al logaritmo de una
sola expresin
20. Resolver las siguientes ecuaciones:
21. Suponga una poblacin cuyo modelo de crecimiento est dado por
P(t) = 4e0,02t millones, a partir del ao 2000. Cuando la poblacin
tendr 5 millones de habitantes?
22. Un economista predice que el poder de compra P(t), de una
unidad monetaria a los t aos a partir de hoy, ser de P(t)=0,95t
Cundo ese poder de compra ser la mitad de lo que es hoy?23. La
poblacin de un pas P(t) en millones de habitantes, t aos despus de
2010, esta modelada por P(t) = P0e0,04t Cundo se duplicar la
poblacin?
24. Sean los siguientes pares ordenados A(2,5) y B(0,-2).
Determine:a) La pendiente de la funcin lineal.
b) La ecuacin de la funcin lineal
c) El valor de f(0), f(4) y f(-4). Grafique.
25. Sea A(-2,-8) y m= -0,03. Determine
a) La ecuacin de la funcin lineal.
b) Para qu valor de x, y = 0?25. Escribir la ecuacin de cada una
de las siguientes rectas:a) Pasa por los puntos A (4, 7) y B (5,
-1)
b) Es paralela a y = 3x y pasa por el punto P(2, 0)26. Halla la
ecuacin de cada una de las siguientes rectas:a) Tiene pendiente -2
y corta al eje Y en el punto (0, 3)b) Pasa por los puntos M (4, 5)
y N (2, -3)
26. Halla la ecuacin de cada una de estas rectas:a) Pasa por los
puntos A (15, 10) y B (8, -6)b) Paralela al eje X y que pasa por el
punto P (4, 5)
27. Un tcnico de reparaciones de electrodomsticos cobra $15.000
por la visita, ms 20.000 por cada hora de trabajo.a) Escribir la
funcin lineal que da el dinero que se debe pagar en total (y), en
funcin del tiempo que est trabajando (x).
b) Cunto se le pagara si hubiera estado 3 horas?28. Se le pide
determinar una funcin lineal, que determine la produccin de un
articulo P(x), donde x es el dinero invertido.Si se invierte
$10.000 dlares, se producen 92 artculos, si se invierten $50.500
dlares, se producen 497 artculos.
a) Desarrolle la funcin de produccin.
b) Calcule cuanto se produce con $8.000 dlares.
29. Una planta tiene la capacidad para producir desde 0 a 100
computadores por da.
El costo fijo diario de la planta son 5.000 dlares, y el costo
variable (mano de obra y materiales) para producir un computador es
805 dlares.
a) Escriba la funcin de costo total de producir x computadores
en un da.
b) Escriba la funcin de costo unitario (costo promedio por
computador) en un da.
c) Cul es el dominio de estas funciones?30. Envasamos 276 litros
de agua en botellas iguales. Escribe la funcin que relaciona el
nmero de botellas y su capacidad.
31. Un grifo con un caudal de 8 litros/min tarda 42 minutos en
llenar un depsito. Cunto tardara si el caudal fuera de 24
litros/min? Escribe la funcin caudal tiempo.
32. Determine la funcin cuadrtica si tiene por vrtice (4,-4) y
pasa por (3,1)
33. Una funcin cuadrtica tiene una expresin de la forma y = x +
ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a
34. Graficar las funciones siguientes:
a) f(x) = x2 8x + 3
b) f(x) = x2 6x + 4
c) f(x) = -x2 + 2x
35. La cotizacin de las acciones de una determinada sociedad,
suponiendo que la Bolsa funciona todos los das de un mes de 30 das,
responde a la siguiente ley:C = -0.01x2 + 0.45x + 300
Determinar la cotizacin mxima, as como el da en que ocurri.36.
Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de
una hora viene dado por: r = 300t (1t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
a) En qu momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b) Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cul es?
37. Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura
que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en funcin
del tiempo, medido en segundos, se calcula a travs de la siguiente
frmula: h (t) = -5t2 + 20t.a) Cul es la altura mxima que alcanza la
pelota y en qu momento lo hace?
b) Despus de cunto tiempo cae la pelota al suelo?38. En una
fbrica de automviles se comprob que para velocidades mayores a 10
km/ h y menores a 150 km/ h , el rendimiento r (en km/ l ) est
relacionado con la rapidez v mediante la funcin r(v) = 0,002v (180
-v)
a) Con que rapidez el rendimiento ser mximo?
b) Cul ser ese rendimiento mximo?39. Identifica la pendiente de
la funcin lineal
40. Cul es el valor mximo de la funcin
41. Cul es el valor de la funcin cuando x=2
42. Cul es el valor de X en la funcin cuando y=4
43. El porcentaje de rboles en una plantacin que se ha infectado
por cierta plaga est dado por
Donde t es el nmero se semanas despus que se Reporto la plaga.
Cul es el porcentaje despus de 20 semanas?
44. Si se agregan 20 gramos de sal a una cantidad de agua, la
cantidad q(t), de sal sin disolver luego de t segundos est dada
por:
Cunta cantidad de sal sin disolver hay luego de 10 segundos?
45. Suponga una poblacin cuyo modelo de crecimiento est dado por
millones a partir del ao 2000. Cundo la poblacin tendr 5 millones
de habitantes?
46. Sea la funcin del tipo exponencial, es decir f(x) = C ax,
cul es el valor de a y c, respectivamente?
II. LIMITE Y CONTINUIDAD1. El valor del kilo de acero se calcula
con la siguiente frmula:
Donde p(x) es el valor del kilo ($) y x es el tiempo medido en
das. Cul es el valor del acero a largo plazo?
2. Las ventas de una empresa se modelan de acuerdo a la
funcin
Donde V(x) son las ventas en miles de pesos y x es el tiempo en
das. Cul es el valor de las ventas a largo plazo?3. Calcular los
siguientes lmites:
Importante. APOYOPara explicar la divisin de polinomios nos
valdremos de un ejemplo prctico:
P(x) = x5 + 2x3 x 8 Q(x) = x2 2x + 1
P(x) : Q(x)A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio
no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el
primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.x5
: x2 = x3
Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el
primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el
divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor
y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.
4. Calcular los siguientes lmites:
5. Determine el lmite y grafique la funcin
6. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
7. Dada la funcin Calcule el lmite de la funcin en x = 2.
Utilice lmites laterales.
8. Estudie la continuidad de las siguientes funciones
9. Determine el valor de a para que la funcin sea continua
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Cuando X ( 3
Cuando X ( 2/3
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