Ejercicios de Cálculo Vectorial
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Ejercicios de Cálculo
Vectorial
Vectores en el plano
1. Encuentre las componentes de ; en donde, y . Ilustre geométricamente las operaciones vectoriales indicadas.
𝑣=72𝑖−12𝑗
3. Demuestre la desigualdad del triángulo usando los vectores y .
𝑢−𝑣=(−4 , 4 )
5. Encuentre las componentes del vector si forma un ángulo de con la parte positiva del eje y tiene magnitud .
𝑣1=0.7 𝑣2=0.7
Coordenadas y vectores
en el espacio
1. Encuentre las longitudes del triángulo con vértices y determine si se trata de un triángulo rectángulo, un triángulo isósceles o ninguno de los dos.
1. Encuentre las longitudes del triángulo con vértices y determine si se trata de un triángulo rectángulo, un triángulo isósceles o ninguno de los dos.
𝑑𝐴𝐵=3
𝑑𝐴𝐶=3𝑑𝐵𝐶=5.65
Se trata de un triángulo isósceles; debido que, dos de sus lados son iguales.
3. Encuentre , donde , , y .
𝑧=(−3 ,4 ,20 )
5. Encuentre un vector unitario:a) En la dirección de b) En la dirección opuesta a
�̂�=⟨ 3√38 , 2√38 , −5√38 ⟩−�̂�=⟨− 3
√38,−
2
√38,5
√38 ⟩
5. Encuentre un vector unitario:a) En la dirección de b) En la dirección opuesta a
COMPROBACIÓN:
‖�̂�‖=1
7. Escriba las componentes del vector que se encuentra en el plano , tiene magnitud 5 y forma un ángulo de con el lado positivo del eje . Bosqueje el vector.
Producto Escalar
1. Dado los vectores y , encuentre:a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
a) 𝑢 ∙𝑣=9
b)
c)
d)
e)
𝑢 ∙𝑢=169
‖𝑢‖2=169
(𝑢 ∙𝑣 )𝑣=(−27 ,18 )
𝑢 ∙ (2𝑣 )=(−30+48 )𝑢 ∙ (2𝑣 )=18
3. Encuentre el ángulo entre y .
𝜃=10.89
5. Determine si y son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos.
𝜃=90 y son ortogonales; debido que forman un ángulo de .
7. Para los vectores y , encuentre:a) La componente del vector a lo largo de .b) La componente del vector ortogonal a .
a)
b)
Producto Vectorial
1. Si y , encuentre y demuestre que es ortogonal tanto a como a .
1. Si y , encuentre y demuestre que es ortogonal tanto a como a .
Demostración
Para :
y son ortogonales.
1. Si y , encuentre y demuestre que es ortogonal tanto a como a .
Demostración
Para :
y son ortogonales.
3. Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son .
3. Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son .
5. Encuentre el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes y .
Rectas y Planos en el
Espacio
1. Encuentre un conjunto de a) Ecuaciones paramétricas b) Ecuaciones simétricas De la recta que pasa por el punto y es paralela a . Exprese los números directores como enteros.
a) Ecuaciones Paramétricas
𝑧=3
𝑦=3 𝑡
𝑥=6 𝑡+2
1. Encuentre un conjunto de a) Ecuaciones paramétricas b) Ecuaciones simétricas De la recta que pasa por el punto y es paralela a . Exprese los números directores como enteros.
a) Ecuaciones Simétricas
0=𝑧−3
𝑡=𝑦3
𝑡=𝑥+26
3. Determine si las rectas
Se intersectan, si es así, encuentre el punto de intersección y el coseno del ángulo de intersección.
5. Encuentre una ecuación para el plano que pasa por el punto y contiene la recta dada por:
𝑃 (2 ,2 ,1)
𝑡=𝑥2
𝑥=2 𝑡+0
𝑡=𝑦−4−1 𝑦=−𝑡+4
𝑡=𝑧 𝑧=𝑡+0
�⃗�=(2 ,−1 ,1)
𝑃1=(0 ,4 ,0)
�⃗�=�⃗� 𝑃1=(0−2 ,4−2 ,0−1 )
5. Encuentre una ecuación para el plano que pasa por el punto y contiene la recta dada por:
�⃗� 𝑥 �⃗�=�⃗�=| 𝑖 𝑗 𝑘2 −1 1−2 2 −1|= (1−2 )𝑖− (−2+2 ) 𝑗+(4−2 )𝑘
= (-1, 0, 2)
Ecuación del Plano
𝑎1 (𝑥−𝑥1 )+𝑎2 ( 𝑦−𝑦1 )+𝑎3 (𝑧−𝑧1 )=0−1 (𝑥−2 )+0 (𝑦−2 )+2 (𝑧−1 )=0
−𝑥+2+2 𝑧−2=0
−𝑥+2 𝑧=0
7. Encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos y .
𝑥−3 𝑦+6 𝑧=4 �⃗�= (1 ,−3 ,6 )
5 𝑥+𝑦−𝑧=4 �⃗�=(5 ,1 ,−1 )
�⃗� 𝑥 �⃗�=�⃗�=|𝑖 𝑗 𝑘1 −3 65 1 −1|=(3−6 )𝑖− (−1−30 ) 𝑗+(1+15 )𝑘
𝑣=(−3 𝑖+31 𝑗+16𝑘 )
𝑆𝑖 𝑧=0
𝑥−3 𝑦=45 𝑥+𝑦=4
𝑥−3 𝑦=043 (5 𝑥+𝑦=0 4 )
15 𝑥+3 𝑦=12𝑥−3 𝑦=0416 𝑥=16𝑥=1
𝑦=4−𝑥−3
𝑦=4−(1)−3
𝑦=−1
∴𝑃 (1 ,−1,0 )
7. Encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos y .
𝑣=(−3 𝑖+31 𝑗+16𝑘 )
𝑃 (1,−1 ,0 )
Ecuaciones Paramétricas
𝑥−𝑥1=𝑡 𝑎1
𝑦− 𝑦1=𝑡 𝑎2
𝑧−𝑧 1=𝑡 𝑎3
𝑥−1=𝑡 (−3 )
𝑦+1=𝑡 (31 )
𝑧−0=𝑡(16)
𝑥=−3 𝑡+1
𝑦=31 𝑡−1
𝑧=16 𝑡
9. Encuentre la distancia entre las dos rectas
�⃗�= ⟨3 ,−1 ,1 ⟩𝑃1(0 ,2 ,−1)
�⃗�=⟨4 ,1 ,−3 ⟩𝑃2(1 ,−2 ,−3)
�⃗�1𝑃2=(1−0 ) 𝑖+(−2−2 ) 𝑗+(−3+1 )𝑘=𝑖−4 𝑗−2𝑘
�⃗�1𝑃2 𝑥�⃗�=|𝑖 𝑗 𝑘1 −4 −23 −1 1 |=−6 𝑖−7 𝑗+11𝑘
�⃗�1𝑃2 𝑥�⃗�=−6 𝑖−7 𝑗+11𝑘
9. Encuentre la distancia entre las dos rectas
𝑑=‖⃗𝑃1𝑃2 𝑥�⃗�‖
‖�⃗�‖=√(−6)2+(−7)2+(11)2
√(3)2+(−1)2+(1)2=√36+49+121
√9+1+1=√206
√11
𝑑=√206√11
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