Ejercicios: GRUPO 4 1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P (3, -4) y por A(x, -2) y B (-7, y). Hallar la abscisa de A y la ordenada de B. Solución X Y P (3,-4) B(-7,y ) C(x,-2) m AP = −4+2 3−X → −2 3− X = 2 5 2(3-x)= -10 6-2x = -10 -2x = -16 X= 8 m PB = y+4 −7−3 → y +4 −10 = 2 5 y+4= 2 5 (-10) y+4 = -4 y = -8
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Ejercicios: GRUPO 4
1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P (3, -4) y por A(x, -2) y B (-7, y). Hallar la abscisa de A y la ordenada de B.
Solución
X
Y
P (3,-4)
B(-7,y )
C(x,-2)
mAP= −4+23−X → −2
3−X=25
2(3-x)= -10 6-2x = -10 -2x = -16 X= 8 mPB=
y+4−7−3→
y+4−10=
25
y+4= 25 (-10)
y+4 = -4
y = -8
∎ A (8,-2)
∎ B (-7,-8)
2. Una recta de pendiente -3/2 pasa por el punto P (6, -2) y por los puntos A(x, x + 2) y B(x + 6, y). Hallar la distancia entre A y B.
Solución
X
Y
P (6,-2)
A (x,x+2)
B (x+6,y)
mAP= −2−(X+2)6−X
→ −4−X6−X =−32
2(-4-x)= -3(6-x)
-8-2x = -18+3x
-8+18 = 3x+2x
10=5x
x = 2
mPB= y+2
(x+6)6−X→ y+2x =−3
2
2(y+2) = -3x
2y+4 =-3(2)
2y = -10
y = -5
A (2,4); B (8,-5); P (6,-2)
Hallamos la distancia AB
d (AB) = √¿¿ = √36+81 = √117 = 3√13
3. Un punto P(x, y) equidista de los puntos A (-3, 2) y B (5, -2) y la pendiente de la recta que une dicho punto a C (-1, -2) es -1/2. Halle sus coordenadas.
Solución
X
Y
A (-3,2)
B (5,-2)C (-1,-2)
P (x,y)
mCP= y+2
(x+1)
−12 =
y+2x+1
2(y+2) = -1(x+1)2y+4 = -x-1
2y= -5-x
d (AP) = √¿¿ d (AP)2= x2+6 x+9+ y2−4 y+4d (AP)2= x2+ y2+6x−4 y+13-----------------------(I)
d (BP) = √¿¿ d (AP)2= x2−10 x+25+ y2+4 y+4d (AP)2= x2+ y2−10 x+4 y+29-----------------------(II)
14. Sean P(x, y) un punto equidista de los puntos A (-3,2) y B (3,2). Si la pendiente de la recta que pasa por P y el origen es 3/5, halle las coordenadas de P.
Solución
X
Y
B (3,2)
A (-3,4)
P (x,y)
Y = 3K
X = 5K
Además:
d (A,P) = d (B,P)
√¿¿ = √¿¿
x2 + 6x + 9 +y2 -8y + 16 =x2- 6x + 9 +y2- 4y+4
12x – 4y + 12 =0
3x – y +3 = 0
3(5k) -3k +3 = 0
15k -.3k= -3
12k = -3
K = −14
Luego:
Y= -3/4
X= -5/4
» P(x,y) = P (-5/4, -3/4)
15. Sean A (3,1) y B (-2 ,-6) los vértices de un triángulo , sabiendo que las alturas se cortan en el punto P (4,-4) ,hallar las coordenadas del tercer vértice.
Solución
X
Y
A (3,1)
P (4,-4)
B (-2,-6)
C (x,y)
Si: BP AC M BP . MBC = -1
(−4+64+2 ).( Y−1X−3 )=-1 ¿
26 (Y−1X−3 )=-1
Y−1X−Y =-3
Y-1=-3(X-3)
Y-1=-3X+9
3X+Y=10 …………….(1)
Además:
Si AP ¿ BC M AP . MBC=-1
(−4−14−3 )(Y−6X+2 )=-1 -5( Y+6
X−3 )=-1
5 (Y +6 )=X+2
5Y+30=X+2
X-5Y=28………..(2)
Luego ∑ m.a.m (1 ) (2 )
15x+5y=50
x-5y=28
16x = 50 +28
8x = 25 +14
16. Los puntos A, B y C dados, son tres vértices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto vértice.
d (DP) = √¿¿ = √81+36 = 3√13 d (D´P) = √¿¿ = √25+0 = 5 d (D´´P) = √¿¿ = √9+64 = √73
18. Se tiene un triángulo de vértices A (-4,-3), B (1,4) y C (7,10). Por el punto E cuya ordenada es 8 y está sobre BC, se traza se traza una paralela al lado AB. Hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela corta AC.
Solución
X
Y
A (-4,-3)
B (1,4)
C (7,10)
D (3,-3)
E (X,8)
P (X,Y)
mAB = mPE
4+31+4 = 8− y5−X
75 =
8− y5−X
37 – 7x = 40 – 5y 5y – 7x – 5 = 0
y = 7 x+55
y = 103
(7)+5
5
y = 173
19. Dados el triángulo de vértices A(1,2), B(5,3), C(4,4); calcular la coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el vértice B a la mediana trazada desde el punto C.
Solución
X
Y
A (1,2)B (5,3)
C (4,4)P (x,y)
MMP = MNC Bp nc
y−12
x−2 =
4−0.54−2 MMC = -
1M BP
2 y−12(x−2) =
74
4−12
4−2 = -
Y−3X−5
8y – 4 = 14x – 28 74 =
(Y−3 )X−5
8y-14x = -24 7x -35 = -4y + 12
4x – 7x= -12 ……….(1) 7x +4y = 47…………..(2)
(1) y (2) en (1)
8y = 35 4( 358 )- 7x = - 12
y = 358
352 – 12 = 7x
112 = 7x
X = 1114
20. Los puntos A (-2,5), B (1,-1), C (7,1) y D son vértices de un paralelogramo ABCD,
siendo B y D vértices opuestos, sean M€ AB tal que AM = 13AB y N punto medio
de BC. Hallar la intersección de los segmentos MC y DN .