DİZİLER - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/istem.koymen/DİZİLER_doc(2003)ek1.pdf · Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER Matematik I Geometrik Dizilerin Özellikleri: 1) Geometrik dizinin

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER Matematik I

DİZİLER

Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir

kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

terimleri denir. Eğer dizinin terimleri a harfi ile gösterilirse, bir dizi aşağıdaki gibi belirlenir:

a1, a2, …, an, …

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3, …, n, …

f(1)= a1 , f(2)=a2, ……, f(n)=an ise,

(a1, a2, a3, …, an reel sayılar olmak üzere)

S= (a1, a2, a3, …, an….) sıralanmış kümesine dizi denir.

Diziler sonlu yada sonsuz terimli(elemanlı) olabilir. Sonsuz terimli bir dizinin bütün terimlerini an

sembolü temsil eder ki buna dizinin genel terimi denir.

Örnek: f: N+ →IR

f(n) = (n-1)(n-2) +4n şeklindedir. Bu bir dizi midir?

an= (n-1)(n-2) +4n

Örneğin

a1=4, …, a3= 14, …, a5=32 olur.

Örnek: (4, 8, …….) bir dizi midir?

Bir dizi belirtmez, dizinin genel terimi yok, bu sebeple de diğer terimleri bulamıyoruz.

Örnek:

şeklindeki fonksiyon bir dizi belirtir mi?

bir reel sayı dizisi değildir, çünkü n=9 için f(9) tanımsızdır.

f(n)’in bir dizi belirtmesi için dizinin tüm terimlerinin elde edilebilmesi gerekir.

Tüm doğal sayılar için f(n) tanımlı değildir. 9.terim tanımlı değil.


SONUÇ OLARAK;

→Her dizi, sıralanmış bir kümedir.

→Dizinin tüm elemanları, verilen kuralla bulunur. Verilen bu kurala dizinin genel terimi denir.

→Birkaç elemanı verilmiş olsa bile, genel terimi verilmezse o bir dizi belirtmez.

BAZI TANIMLAR

A- SONLU DİZİ

Sınırlı sayıda terimi olan diziye sonlu dizi denir.

an= dizisinin 4 terimi var, bu bir sonlu dizi

B- SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir. Bir diğer deyişle, c IR ve her n N+ için an= c

ise, an dizisine sabit dizi denir.

an =

an=

Kural:

dizisi sabit ise

şeklindedir.

C- DİZİLERİN EŞİTLİĞİ

Her n pozitif tamsayısı için, an= bn ise an ve bn dizilerine eşit diziler denir. Bir diğer ifadeyle, her n N+

için an= bn ise, an dizisi bn dizisine eşittir.

Örneğin, an= 1+2+ … + n

bn =

ise bu iki dizi birbirine eşit olur.


D- DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

an ve bn birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere

→ an+bn = (an+bn) iki dizinin toplamı genel terimleri toplamı olur.

→ an-bn = (an-bn) iki dizinin farkı genel terimleri farkı olur.

→an . bn = (an . bn) iki dizinin çarpımı genel terimleri çarpımı olur.

→an : bn = (an : bn) iki dizinin bölümü genel terimleri bölümü olur.(bn ≠0)

→ c(an) = (can) dizinin bir sayı ile çarpımı genel teriminin bir sayı ile çarpımına eşit olur.

E – ALT DİZİ

Bir an dizisi verilmiş olsun. kn artan bir pozitif tamsayı dizisi olmak üzere, akn dizisine (an) dizisinin bir

alt dizisi denir ve

akn bn biçiminde gösterilir.

1 – ARİTMETİK DİZİLER

Tanım: Bir dizide eğer birbirini izleyen terimler arasındaki ortak fark sabit bir sayı ise bu diziye

“Aritmetik Dizi” denir. Genel olarak ,

an- an-1 = r ile gösterilir.

Bu tanıma göre ortak farkı r olan bir aritmetik dizi

S= şeklinde yazılabilir. Genel terim ise

an = şeklindedir.

Örnek:

1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …. a1= 2, r= 2

2) 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, …. a1= 1, r= 7

3) -1, -4, -7, -10, -13, -16, … a1= -1, r= -3

Eğer terimler arasındaki ortak fark pozitif ise (r>0) ise, artan bir aritmetik dizi sözkonusudur.


Eğer terimler arasındaki ortak fark negatif ise (r<0) ise, azalan bir aritmetik dizi sözkonusudur.

Aritmetik Dizilerin Özellikleri:

1) p< n olmak üzere an=ap+(n-p)r ve r=

şeklindedir.

2) Aritmetik dizinin ilk ve son terimlerinden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı 2a1+(n-1)r

şeklindedir.

Genel olarak uçlardan (ilk ve son terimlerden) eşit uzaklıktaki iki terimin toplamı

aj+an-j+1 = 2a1+(n-1)r şeklinde sabit bir sayıdır ve uçlardaki iki terimin toplamına eşittir.

3) Aritmetik dizinin her terimi kendisinden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik

ortalamasıdır.

k<p olmak üzere

ap =

4) Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı

Sn =

[a1+an] şeklindedir. an= a1+ (n-1)r yi Sn de yerine koyarsak,

Sn =

[a1+(n-1)r ] şeklinde de yazılabilir.

2- GEOMETRİK DİZİ

Bir dizide ardışık terimlerin birbirine oranı aynı kalıyorsa, bu terimlerin oluşturduğu diziye

Geometrik Dizi denir. Geometrik bir dizide her terim, bir önceki terimin sabit bir sayıyla

çarpılması sonucu elde edilir. Geometrik dizide

an = an-1 q veya

= q

eşitliği vardır. Burada sabit sayıyı gösteren q sembolü ortak çarpan adını alır.

Örnek: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256

7 terimli bir geometrik dizidir. Bu dizide

q =

=

=

=

=

dir.

Geometrik dizinin genel terimi an = a1 qn-1 şeklindedir.


Geometrik Dizilerin Özellikleri:

1) Geometrik dizinin ilk ve son terimlerinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımı sabit bir

sayıdır ve dizinin ilk ve son teriminin çarpımına eşittir. a1 an = ai an-i+1

2) Geometrik bir dizide herhangi bir terim kendinden önce gelen terim ile kendinden sonra

gelen terimin çarpımlarının kareköküne eşittir.

an =

3) n>p iken an= apqn-p şeklindedir.

4) Bir geometrik dizide ilk n terimin toplamı

Sn = a1

şeklindedir.

Benzer şekilde Sn =

şeklinde de elde edilebilir.

5) Geometrik bir dizide ilk n terimin çarpımı Tn = a1a2….an = şeklindedir.

MONOTON DİZİLER

Genel terimi an olan diziyi ele alalım:

Eğer her n N+ için

→ an < an+1 ise, an bir monoton artan dizidir.

→an > an+1 ise, an bir monoton azalan dizidir.

→an an+1 ise, an bir azalmayan dizidir.

→an ≥ an+1 ise, an bir artmayan dizidir.

→an = an+1 ise, an bir sabit dizidir.

NOT: → an+1 > an monoton artan →

> 1 monoton artan

→ an+1 < an monoton azalan →

< 1 monoton azalan

NOT: an =

dizisinde

1) Paydanın kökü 1 den büyük ise dizi monoton değildir.

2) Paydanın kökü 1 den küçük ise dizi monotondur,


a) ad-bc>0 → dizi monoton artandır.

b) ad-bc<0 → dizi monoton azalandır

c) ad-bc=0 → dizi sabittir.


DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

** Komşuluk**

a IR ve çok küçük bir pozitif sayı olmak üzere ( a - , a + ) açık aralığına a’nın komşuluğu denir.

(a- ) (a+ )

<------------------------|----------------------->

a

Not: *a' nın komşuluğundaki terimleri |an - a| < eşitsizliğini sağlar.

* an dizisinin a'nın komşuluğu dışındaki terimleri; |an - a | eşitsizliğini sağlar.

*** Yakınsak ve Iraksak Diziler ***

- an bir reel sayı dizisi ve a da sabit bir reel sayı olsun, her pozitif reel sayısı için an dizisinin hemen

hemen her terimi a'nın komşuluğunda bulunuyor ise an dizisi a'ya yakınsıyor denir ve an dizisi a'ya

yakınsıyor ise an dizisine yakınsak dizi denir.

- Yakınsak olmayan dizilere ıraksak dizi denir.

***Dizilerin Limiti***

1-Limitin Tanımı

- an bir reel sayı dizisi olsun, an dizisi sabit bir a reel sayısını yakınsıyor ise a sayısına an dizisinin limiti

denir.

lim(an)=a veya veya (an) a şeklinde gösterilir.

- Özetle |an- a |< olacak bir şekilde bir doğal sayısı var ise an dizisinin limiti a'dır. Bir diğer deyişle

bir dizinin limiti var ise dizi yakınsak aksi halde limiti yok ise ıraksaktır.


Kurallar:

* Bir an dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısını yakınsar. Bunun

karşıtı doğru değildir.

* Bir dizinin limiti var ise bir tanedir.

* c IR olmak üzere an = c ise lim(an) = lim c= c 'dir.Her sabit dizi yakınsaktır.

* Bir an dizisinin 2 alt dizisi farklı sayıları yakınsıyor ise an dizisi ıraksaktır.

* Bir dizinin yakınsak alt dizilerinin limitleri sonlu sayıda ise bu limitlerin en küçüğüne alt limit, en

büyüğüne üst limit denir. an dizisi ıraksaktır.

*Limitlerle İlgili Özellikler

Kural: an ve bn birer dizi; a, b ve c birer reel sayı olmak üzere,

Lim(an)=a ve lim(bn)=b ise;

1) lim(an+bn) =lim (an) +lim (bn) =a+b

2) lim(an-bn) =lim (an) -lim (bn) =a-b

3) lim(an.bn) =lim (an) .lim (bn) =a.b

4) lim(an/bn) =lim (an) /lim (bn) =a/b bn 0 ve b 0

5) lim(c an) =lim (c) .lim (an) =c.a

6) lim (an)n =an (n IN)

*Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesi

Reel sayılar kümesine, artı sonsuz ( ) ve eksi sonsuz (- kavramlarının katılmasıyla elde edilen

[- , + ] aralığına (kümesine) genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.

1- Iraksak Diziler

Kural: 1- Her K reel sayısı için , (an) dizisinin hemen hemen her terimi (+ ’un K komşuluğunda ise

(an) dizisinin limiti (+ )’dur veya (an) dizisi + ‘a ıraksar denir.

2-Her K reel sayısı için (an) dizisinin hemen hemen her terimi (- )’un K komşuluğunda ise (an) dizisinin

limiti (- ’dur veya (an) dizisi (- ’a ıraksar denir.


3-(+ veya (- ’a ıraksayan dizilere ıraksak diziler denir.

2- Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler

1- (+ +(+ = (+

(- +(- = (-

2- (+ .(+ = (+

(- .( = (+

(+ .(- = (-

3- a+(+ = (+ a IR

a+ (- = (- a IR

4- a. (+ = (+ a IR+

a. (+ = (- a IR-

a. (- = (- a IR+

a. (- = (+ a IR-

5-

= 0 a IR

= 0 a IR

6- (+ n = + n Z+

(- 2n = + n Z+

(- 2n-1 = - n Z+

Kural:

Dizinin limitleri bulunurken elde edilen

1- (+ )+(-

2- 0(+ )

3-

,

,

,

4-

İfadeleri belirsizdir.

Kural: an = rn olsun.

1- <1 ise lim(an) = 0

2- r >1 ise lim(an)= +

3- r=1 ise lim(an) = 1

4- r -1 ise lim(an) yoktur.



Kural: an bir dizi olmak üzere,

=

ise,

lim(an) =

=

şeklindedir.

Kural: an pozitif terimli bir dizi olsun.

= r ise.

NOT: Limiti olan her diziye yakınsak, olmayan dizilere de ıraksak denir.

an ve bn dizileri yakınsak ise an bn , an .bn , an / bn de yakınsaktır.

Yakınsak olan bir alt dizinin tüm alt dizileri de yakınsaktır ve limitleri dizinin

limitine eşittir.

ALT LİMİT VE ÜST LİMİT

Bir an dizisinin yakınsak alt dizilerinin limitleri sonlu sayıda ise , bunların içinde en küçüğüne alt limit,

en büyüğüne de üst limit denir.

Alt limit lim(an)


Üst limit lim(an)

İle gösterilir.

lim(an) = lim(an) = l şeklinde ise lim(an)= l şeklindedir.

SINIRLI DİZİLER

3- Üst Sınır : Her n IN+ için an M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (an) dizisine

üstten sınırlıdır denir. bir diğer deyişle bir dizinin tüm terimleri bir reel sayıdan daha küçük ise

bu dizi üstten sınırlıdır. M sayısı da bu dizinin üst sınırı adını alır. M den büyük her reel sayıda an

dizisinin üst sınırıdır. Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük

üst sınırı (Eküs)denir. an dizisinin Eküs’ü, Eküs(an) ile gösterilir.

4- Alt Sınır: Her n IN+ için m an olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (an) dizisine

alttan sınırlıdır denir. Bir diğer deyişle bir dizinin tüm terimleri bir reel sayıdan daha büyük ise

bu dizi alttan sınırlıdır. m sayısı da bu dizinin alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayıda an

dizisinin alt sınırıdır. Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük

üst sınırı (Ebas)denir. an dizisinin Eküs’ü, Ebas(an) ile gösterilir.

5- Hem alttan hem üstten sınırlı olan dizilere sınırlı diziler denir.

NOT:

*Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir.

*Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul sınırlı olmasıdır.

*Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir.

*Monoton ve yakınsak bir dizinin ilk terimi olan a1 ile limitinden büyük olan Eküs küçük olanı

Ebas’tır.

Teorem: lann )(lim ise lann )(lim şeklindedir. Bunun tersi sadece l=0 için geçerlidir.

Cauchy Yakınsaklık Teoremi

Bir an dizisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul:

Bazı N( ) vardır ki; n,m >N( ) için

mn aa kalır. Böyle dizilere Cauchy dizisi denir. bu teoremin üstünlüğü dizinin yakınsaklığının

ispatlanmasında dizinin limitinin bilinmesine gerek yoktur.

Belirsizlik Durumları


a.

Belirsizliği

b. 0 Belirsizliği

Bu tür belirsizlikler

belirsizliğine dönüştürülerek limit bulunur.

c. - Belirsizliği

Bu tip belirsizliklerde cebirsel işlemlerle giderilebilir.

Kural: nblim

nclim

an = nb - nc

lim (an) = - olur. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için payı ve paydası nb + nc ifadesiyle

genişletilebilir.

Kural: a>0 olmak üzere

))2

(lim(lim( 2

a

bnacbnan olur.

DİZİLER - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/istem.koymen/DİZİLER_doc(2003)ek1.pdf · Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER Matematik I Geometrik Dizilerin Özellikleri: 1) Geometrik dizinin

Documents