Dynamika hmotného bodu
Dynamika hmotného bodu
Dynamika
• Dynamika – odvozeno od řeckého δύναμις – síla
• Část mechaniky, která se zabývá příčinami změnypohybového stavu tělesa
• Je založena na třech Newtonových zákonech pohybu
• Dynamika hmotného bodu
• Čím se budeme zabývat– Zavedeme pojem síly
– Definujeme pojem setrvačné hmotnosti
– Zformulujeme zákony pohybu (Newtonovy pohybové zákony)
Dynamika
• Příčinou pohybu je vzájemné působení (interakce) mezi
tělesy
• V přírodě známe čtyři základní druhy interakcí
Fyzikální interakce
Síla a setrvačná hmotnost
• Síla – vyjadřuje míruvzájemného působení
mezi dvěma tělesy
• Jednotkou síly je N = kg.m.s-2
• Tatáž síla F která působí na různá tělesa vyvolává u
těchto těles za stejných podmínek různá zrychlení
• Tato vlastnost se nazývá setrvačnost a mírou
setrvačnosti je tzv. setrvačná hmotnost
Setrvačná hmotnost, hmotnost
• Setrvačná hmotnost tedy vyjadřuje schopnost tělesasetrvávat v daném pohybovém stavu, tedy schopnosttělesa neměnit svůj pohybový stav
• Zjišťuje se za pomoci síly, kterou je třeba vynaložit nazměnu pohybového stavu tělesa
• Hmotnost tělesa – zjišťujeme ji vážením, tedy nazákladě přitažlivosti Země a daného tělesa, hmotnostbychom tedy měli nazývat gravitační hmotností
• Můžeme tedy říci, že gravitační hmotnost (hmotnost) jemírou schopnosti vzájemně se přitahovat s jinými tělesy
Newtonovy pohybové zákony
• Newtonovy pohybové zákony jsou základnímipohybovými zákony klasické mechaniky
• Udávají vztah mezi pojmy hmoty a síly
Newtonovy pohybové zákony
• 1. pohybový zákon
– Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendiuniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressiscogitur statum suum mutare
• 2. pohybový zákon
– Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae etfieri secundam lineam rectam qua vis illa imprimitur
• 3. pohybový zákon
– Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem; sive:corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequaleset in partes contrarias dirigi
1. NZ – zákon setrvačnosti
• Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém
pohybu, pokud není působením vnější síly nuceno tento
stav změnit
• Souřadnicové soustavy, ve kterých platí 1. NZ
nazýváme soustavami inerciálními (setrvačnými), viz.další výklad (např. heliocentrická soustava)
• Nepůsobí-li na hmotný bod vnější fyzikální vlivy, je
souřadná soustava, vůči které se hmotný bod pohybuje
rovnoměrně přímočaře nebo vůči které je v klidu,
soustavou inerciální
2. NZ – zákon síly
• Síla působící na těleso je přímo úměrná jeho hmotnosti a
zrychlení, které mu uděluje
• 2. NZ je možné vyjádřit i dalšími způsoby. Zavedeme-li
novou fyzikální veličinu hybnost, pak můžeme psát:
2. NZ – zákon síly
• Další ekvivalentní zápis 2.NZ dostaneme úpravou
předchozího vztahu a následnou integrací
• Změna hybnosti hmotného bodu je rovna impulzusíly, který změnu vyvolal
3. NZ – zákon akce a reakce
• Každá akce vyvolává stejně velkou reakci opačného
směru, aneb vzájemné silové působení dvou těles je
stejně veliké a opačně orientované
Některé síly v přírodě
• Tíhová síla (FG)
– Při studiu volného pádu těles zjistíme, že pohyb se děje skonstantním zrychlením, které se označuje jako tíhové zrychlení
• Tíha (G)
– Je síla která v důsledku tíhové síly tlačí např. těleso naklidnou podložku nebo táhne za klidný závěs
Některé síly v přírodě
• Normálová síla
• Třecí síly
– Statické tření
– Dynamické tření
Pohybové rovnice hmotného bodu
• Známe-li trajektorii pohybu hmotného bodu v inerciální
soustavě souřadné, můžeme z druhého Newtonova
zákona stanovit sílu, která na hmotný bod působí
• Známe-li silové pole v nějakém prostoru, můžeme
v tomto prostoru stanovit typ pohybu hmotného bodu.
Známe-li též počáteční podmínky pohybu (případně jiné
ekvivalentní údaje o pohybu), můžeme trajektorii
hmotného bodu určit jednoznačně
Pohybová rovnice pro pohyb
hmotného bodu v tíhovém poli
Síly působící na HB při různých
druzích pohybu
• Rovnoměrný přímočarý pohyb – pohyb se děje bezpůsobení síly
• Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb – síla působícína HB je konstantní
• Harmonický pohyb – na HB působí síla, jejíž velikost jeúměrná výchylce HB z rovnovážné polohy
• Obecný přímočarý pohyb – v tomto případě je zrychlenía tedy i síla obecnou funkcí času; síla je výslednicí všechsil, které na HB působí, tj. sil vazbových a tzv. silvtištěných (hybných)
Síly působící na HB při různých
druzích pohybu
• Rovnoměrný kruhový pohyb – síla působící na HB je sílamířící do středu kruhu – tzv. dostředivá síla
• Nerovnoměrný pohyb – máme zde nenulovou složkutečného zrychlení, proto síla nemíří do středu kruhu,proto se zrychlení a tím pádem i síla rozkládá na tečnoua normálovou složku
Inerciální vztažné soustavy
• Víme, že inerciální souřadná soustava je ta význačnásoustava, v které platí Newtonovy zákony
• Prvním zákonem je tato souřadná soustava definována,druhý a třetí zákon platí pouze, je-li jeho vztažnousoustavou soustava inerciální
• Pro většinu pohybů na povrchu Země je možnov dobrém přiblížení pokládat za inerciální i soustavusouřadnou spjatou se Zemí
• Přesná měření však ukazují, že soustava souřadnáspjatá se Zemí inerciální není – např. pokus s tzv.Foucaltovým kyvadlem
Neinerciální vztažné soustavy
• Vyšetřujeme-li pohyb hmotného bodu vůči neinerciální
soustavě souřadné takovou soustavou je přísně vzato i
soustava spjatá s naší Zemí, máme dvě možnosti:
– Vyšetřování provést v inerciální souřadné soustavě, tj.v soustavě souřadné spjaté s hvězdami a výsledky převést(transformovat) do uvažované neinerciální soustavy
– Formálně zachovat tvar rovnice 2. NZ a přidat síly, kterévykompenzují zrychlený pohyb neinerciální souřadné soustavyvůči soustavě inerciální
Neinerciální vztažné soustavy
• Druhý postup vyžaduje zavedení veličin, které
kompenzují zrychlený pohyb neinerciální soustavy vůči
soustavě inerciální. Tyto veličiny zavedeme do rovnice
• Velikost zdánlivých sil závisí na vzájemném pohybuvztažných soustav
– neinerciální soustava se vůči inerciální pohybuje se stálýmzrychlením (setrvačné síly)
– neinerciální soustava se vůči inerciální soustavě otáčí stálourychlostí (síla setrvačná a síla Coriolisova)
Zdánlivé síly
• V předchozí rovnici jsme zavedli sílu, jejíž původ nenímožné vysvětlit fyzikálně – tedy síly, které pouzekompenzují vliv zrychleného pohybu neinerciálnísoustavy vůči inerciální
• Takové síly se nazývají zdánlivé nebo setrvačné –zjednodušeně řečeno tyto síly nemají materiálníhonositele
• Mezi takové síly patří např. síla odstředivá nebo tzv. sílaCoriolisova, projevující se na rotujících tělesech, např.na zemském povrchu
Neinerciální soustava pohybující se
vůči inerciální se stálým zrychlením
Zdánlivé síly – vysvětlení
Soustava otáčející se vůči
inerciální s konstantní úhlovou
rychlostí
Coriolisova síla
Neinerciální vztažné soustavy
• V neinerciálních soustavách tedy neplatí 1. a 3. NZ, tzn.
platí, že těleso mění svůj pohybový stav i přesto, že na
něj nepůsobí žádná síla
• 2. NZ použít lze, ale musíme vzít v úvahu síly setrvačné
• Setrvačné síly jsou tedy síly neskutečné (fiktivní),
nicméně i tyto síly subjektivně pociťujeme
Je Země inerciální vztažnou
soustavou?• V běžné praxi (výpočtech) zdánlivé síly vůbec
neuvažujeme – jsou poměrně malé a jejich vlivy nazkoumané problémy můžeme zanedbat
• Při většině praktických aplikací Newtonovy mechanikytedy můžeme pokládat soustavu souřadnou spjatou seZemí za soustavu inerciální
• Ve skutečnosti ovšem Země inerciální soustavou není –jelikož Země společně s námi rotuje a pohybuje sekolem Slunce, existují zde síly setrvačné (odstředivé aCoriolisova)
• Důkazem toho, že soustava spjatá se Zemí jeneinerciální, je příklad tzv. Foucaltova kyvadla
Foucaltovo kyvadlo
• Foucoultovo kyvadlo je těžká koule zavěšená na
dlouhém závěsu, kterou necháme kývat s poměrně
velkou amplitudou
• Původní pokus konal Foucault roku 1851 v pařížském
Pantheonu s koulí hmotnosti 30 kg, kterou měl
zavěšenu na závěsu délky 67 m
Závěrečné poznámky• Dynamika hmotného bodu, kdy platí Newtonovy zákony a
kinematika, kdy platí Galileova transformace se označujíjako klasická mechanika
• Klasická mechanika dobře popisuje a vysvětluje pohybytěles, jejichž rozměry jsou podstatně větší než jsou rozměryatomů a rychlosti podstatně menší než je rychlost světla
• Pro popis objektů na atomární úrovni nahrazujemeklasickou mechaniku kvantovou mechanikou, objektypohybující se velkými rychlostmi popisujeme Einsteinovouspeciální teorií relativity
• Teorie relativity a kvantová mechanika nepopírají klasickoumechaniku – jsou pouze zvláštním případem, kdypopisujeme děje při malých rychlostech a v běžnýchrozměrech