mechanika dynamika statika Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika. I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších sil nebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních sil neboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost). Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu. Dynamika se zabývá působením sil na pohybující se tělesa a vyšetřováním pohybu těles v závislosti na působících silách. Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
78
Embed
mechanika statika dynamika - VŠB-TUO · PDF filedynamika kinematika dynamika jen pohyb pohyb a síly Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami, pak je...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
mechanika
dynamikastatika
Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika.I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších silnebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních silneboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost).
Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu.
Dynamika se zabývá působením silna pohybující se tělesaa vyšetřováním pohybu tělesv závislosti na působících silách.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
mechanika
dynamikastatika
Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika.I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších silnebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních silneboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost).
Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém,jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit.
2. Newtonův zákon - zákon síly.
Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle,přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa.
Famrr =⋅
hmotnost · zrychlení = síla
3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce.
Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu,na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.
Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727)ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687).Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů.
Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice :
tedy
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Newtonův gravitační zákon.
Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou tělesa nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy.
m1 m2
r
Gr
Gr
V matematické podobě pak :
221
r
mmG
⋅⋅κ=
κκκκ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,m1 - hmotnost jednoho tělesa,m2 - hmotnost druhého tělesa,r - vzdálenost mezi tělesy.
221 sm 819
rm
g −⋅=⋅κ= ,
gmG ⋅=
m1 = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,r = 6 378 km - poloměr Země.
Na povrchu Země pak je :
Přitažlivá (tíhová) síla pak je :
kde g je gravitační zrychlení :
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů.
Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem.Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesalze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu.
V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa.To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná.Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu.
Soustavu těles nazýváme mechanismem.
Bod - je objekt, jenž nemá žádné rozměry (ale má jistou hmotnost).
Těleso - je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný.
Soustava těles - je objekt, složený z několika těles, jejichž vzájemná poloha se může měnit.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
dynamika
dynamikakinematika
jen pohyb pohyb a síly
Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami,pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybua teprve pak se ptát na závislost na silách.
Kinematikase zabývá zákonitostmi pohybu.Vztahem mezi základními kinematickými veličinami,t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením.
Dynamikase zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky,t.j. hmotou, pohybem a silami.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Kinematika - nauka o pohybu
Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu,tělesa nebo soustavy těles.
Pohybem rozumíme změnu polohy v čase.
Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází.Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu).
Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů.Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha.Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka.
V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi.Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi.V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí.
Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá,plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesaa pro všechny pozorovatele společný.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti.Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti.
„Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane.Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání).
„Nezávislý pohyb“- mezi dvěma pohyby,jež představují dva stupně volnosti,nesmí platit žádný explicitní vztah,daný vnějšími okolnostmi.
z
y
x
{ }zyx ,,
x
y
222 Ryx =+22 xRy −±=
φ⋅=φ⋅=
cos
sin
Ry
Rx{ }φ
{ }x
Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb.
Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii.Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y.Pohyb v jednom směru (např. y) však je určenpohybem v jiném směru (x).Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý,bod má jeden stupeň volnosti.
φ
Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů.Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech(třeba kdyby zafoukal vítr).Můžetedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti.
{nezávislá souřadnice}
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
až 3° volnostipohyb ve třech směrech
v prostoru(3 rozměrný prostor)
až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu
až 2° volnostipohyb ve dvou směrech
v rovin ě(na ploše)(2 rozměrný prostor)
1° volnostipohyb určitým směrem
na křivce(1 rozměrný prostor)
tělesobod
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
6 sou řadnicx, y, z a tři úhly natočení, např. α, β, γ
3 sou řadnicex, y, z
v prostoru(3 rozměrný prostor)
3 sou řadnicex, y
a úhel natočení φ
2 sou řadnicex, y
v rovin ě(na ploše)(2 rozměrný prostor)
1 sou řadnicedráha s
na křivce(1 rozměrný prostor)
tělesobod
Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi,kolik stupňů volnosti objekt má.
Objekt má tolik stupňů volnosti,kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Pohyb boduPohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny.
čas značíme t z anglického slova timezákladní jednotkou je [s] {sekunda}dalšími jednotkami jsou [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...}
dráha, sou řadnice značíme s, x, y, ...základní jednotkou je [m] {metr}dalšími jednotkami jsou [cm, km, ...] {centimetr, kilometr, ...}
rychlost značíme v z anglického slova velocityzákladní jednotkou je [m/s, m·s-1] {metr za sekundu}dalšími jednotkami jsou [km/hod] {kilometr za hodinu}
zrychlení značíme a z anglického slova accelerationzákladní jednotkou je [m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
s t
sv
∆∆=
⋅ −1secmsecm
,
t
svs ∆
∆=Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí.
Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času.
sdt
ds
t
sv
0t&==
∆∆=
→∆lim
Tuto limitu definuje matematika jako derivaci.
Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.
Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost,zavádíme pojem orientovaná souřadnice.
A(t) A(t+∆t)
s(t) s(t+∆t)
∆s
∆t
vstř počátek
s
v +
v -
t
svs ∆
∆=
Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice),proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas.
s
v v+∆v t
va
∆∆=
⋅ −22 secm
secm
,
Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední.t
vas ∆
∆=
vdt
dv
t
va
0t&==
∆∆=
→∆lim
Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost,tedy ve směru nárůstu souřadnice.
A(t) A(t+∆t) ∆t
počátek
s
v(t) v(t+∆t)
a +
a -
( )t1fs = ( )t2fv = ( )t3fa =
( )s4fv = ( )s5fa =
( )v6fa =Úplné kinematické řešení.
dráha, rychlost a zrychleníjsou funkcíčasu
rychlost a zrychleníjsou funkcí dráhy
zrychlení je funkcí rychlosti
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Shrnutí
sdt
dsv &==
vdt
dva &==
sdt
sda
2
2
&&==
ds
dvva ⋅=
( )ds
vd
2
1a
2
⋅=
zrychlení je derivace rychlosti podle času
zrychlení je druhá derivace dráhy podle času
zrychlení je rovno rychlosti,násobené derivací rychlosti podle dráhy
zrychlení je rovno jedné poloviněderivace kvadrátu rychlosti podle dráhy
rychlost je derivace dráhy podle času
toto jsou obecně platnévztahymezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Shrnutí
sdt
dsv &==
vdt
dva &==
sdt
sda
2
2
&&==
ds
dvva ⋅=
( )ds
vd
2
1a
2
⋅=
podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlenímění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu :
toto jsou obecně platnévztahymezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením
A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní.
B) Pohyb rovnoměrně zrychlený- zrychlení je konstantní.
C) Pohyb nerovnoměrný.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst.
0dt
dva ==
s
t
s0
t
sv
∆∆= 0sss −=∆
0ttt −=∆tvs ∆⋅=∆
( )00 ttvss −⋅=−
0stvs +⋅=
rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová
s - okamžitá dráhas0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě
souřadného systému může být nulová)t - okamžitý čast0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0
toto jsou vztahy, platné pouzepro rovnoměrný pohyb (v=konst).
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
shrnutí
0vtav +⋅=
( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=
002
21 stvtas +⋅+⋅⋅=
s
t
s0
v
t
v0
v
s
v0
a
vvt 0−=
toto jsou vztahy, platné pouzeprorovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
tav ⋅=
Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s)za čas t = 5 s .
Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2.
221 tas ⋅⋅= Dráha rozjezdu pak je s = 70 m .
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
φ
v
ry
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.
( )0try φ+⋅ω⋅= sin
π⋅ω=
2f
ωπ⋅== 2
f
1T
r
v=ω
r amplituda [m]
frekvence [Hz]
kruhová frekvence [s-1]
perioda [s]
φ počáteční úhel φ, fázový posuv [-]
r
tT
T
y
φ0
ω
počet cyklů za sekundu
doba jednoho cyklu
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
φ
v
ry
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.
( )0try φ+⋅ω⋅= sin
( )0tryv φ+⋅ω⋅ω⋅== cos&
( )ya
trva2
02
⋅ω−=
φ+⋅ω⋅ω⋅−== sin&
r amplituda [m]
max. rychlost [m/s]ω⋅r2r ω⋅ max. zrychlení [m/s2]
t
y
φ0
ω
Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení.
r
T
T
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
vga ⋅β−=
vgdt
dv ⋅β−=
dtvg
dv =⋅β−
∫∫ =⋅β−
t
0
v
0
dtvg
dv
( )[ ] t
0
v0 tvg
1 =⋅β−⋅β−
ln
Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.
( ) ( )[ ] tgvg1 =−⋅β−⋅β−
lnln
( )te1g
v ⋅β−−⋅β
=
tvg
11 =
⋅β−⋅
β−ln
tg
vg1 =⋅β−⋅β−
ln
y, v, a
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
vga ⋅β−=
vgdt
dv ⋅β−=
dtvg
dv =⋅β−
( )te1g
v ⋅β−−⋅β
=Pro čas, narůstající nade všechny meze,se průběh blíží ustálené hodnotě :
( ) ( )
( )β
=−⋅β
=
−⋅β
=
=−⋅β
=−⋅β
=
∞⋅β
∞⋅β−⋅β−
∞→
g01
g
e
11
g
e1g
e1g
v t
tustálená lim
β= g
vustálená
( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=
y, v, a
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
vga ⋅β−=
vgdt
dv ⋅β−=
dtvg
dv =⋅β−
( )te1g
v ⋅β−−⋅β
=
β= g
vustálená
( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=
V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit,bude konstantní (v = vustálená = konst).Zrychlení tedy bude nulové.
0vga ustálená=⋅β−=
β= g
vustálená
y, v, a
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
vga ⋅β−=
vgdt
dv ⋅β−=
dtvg
dv =⋅β−
( )te1g
v ⋅β−−⋅β
=
β= g
vustálená
( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=
v
t
vustálená T
63% vust 95% vust
( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=
t=2·T t=4·T t=3·T t=5·T t=T
tečna
β= 1
T časová konstanta [s]y, v, a
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
( )tustálená e1v
dt
dyv ⋅β−−⋅==
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
( ) ( )2
2
22 hR
Rgm
hR
mM
r
mMG
+⋅⋅=
+⋅⋅κ=⋅⋅κ=
κκκκ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,R = 6 378 km - poloměr Země.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Gm
Země R
h
na povrchu Země (y=0) :
gmR
mMG
2⋅=⋅⋅κ=
2RgM ⋅=⋅κ
22 sm 819g
R
M,==⋅κ
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Gm
Země R
y
v, a
( )2
2
yhR
Rg
dy
dvva
−+⋅=⋅=
( )2
2
yhR
RgmG
−+⋅⋅=
h
volný pád z výšky h
( )∫∫ ⋅−+
⋅=⋅y
02
2v
0
dyyhR
Rgdvv
y
0
2221
yhR
1Rgv
−+⋅⋅=⋅
+−
−+⋅⋅=⋅
hR
1
yhR
1Rgv 22
21
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Gm
Země R
y
v, a
( )2
2
yhR
Rg
dy
dvva
−+⋅=⋅=
( ) ( ) ( )hRyhR
Ryg2v
2
y +⋅−+⋅⋅⋅=
( ) hg2v hy ⋅⋅≅=Rh <<
( )2
2
yhR
RgmG
−+⋅⋅=
( ) hR
Rhg2v hy +
⋅⋅⋅==
h
volný pád z výšky h
rychlost dopadu na Zemi :
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
v, a
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
G
m
Země R
y
( )2
2
yR
Rga
+⋅−=
( )2
2
yR
RgmG
+⋅⋅=
v0
( )2
2
yR
Rg
dy
dvv
+⋅−=⋅
( ) ( )∫∫∫ ⋅+⋅⋅−=⋅+⋅−=⋅ −
y
0
22y
02
2v
0v
dyyRRgdyyR
Rgdvv
[ ] ( ) y
0
2
y
0
12v
0v2
21
yR
1Rg
1
yRRgv
+⋅⋅=
−+⋅⋅−=⋅
−
svislý vrh vzhůru
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
v, a
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Gm
Země R
y
v0 ( )yR
yRg
R
1
yR
1Rgvv 22
02
21
+−⋅⋅=
−
+⋅⋅=−⋅
yR
yRg2vv 2
0 +⋅⋅⋅−=
20
20
vRg2
Rvh
−⋅⋅⋅=
skm 11Rg2v0 /≅⋅⋅< skm 11Rg2v0 /≅⋅⋅>
( ) Rg2vvv 20y
yustálená ⋅⋅−==
∞→lim( ) 0v hy ==
svislý vrh vzhůru
těleso se zastaví ve výšce h těleso se neustále vzdaluje od Země
( )2
2
yR
RgmG
+⋅⋅=
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m – hmotnost [kg]
m a Fi⋅ =∑v r
a – zrychlení [m/s2]
F – síla [N]
základní pohybová rovnice
mF
m = 2 kg
a = 1,5 m/s2
F = 3 N
Dynamika hmotného bodu
a
Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.
m·a = F
Základní pohybová rovniceurčuje vztah mezi silami,působícími na hmotný objekt,a pohybem, těmito silami způsobeným.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m a Fi⋅ =∑v r
základní pohybová rovnice
Dynamika hmotného boduZákladem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.
α
fm
G
F
N
Ty
xa
TNFGFam i
rrrrrv +++==⋅ ∑
G, F - akční sílyN - normálová reakceT = f·N - třecí síla
TFGFam xix −α⋅−α⋅==⋅ ∑ cossin
fNFGam ⋅−α⋅−α⋅=⋅ cossin
0FGNFam yiy =α⋅−α⋅−==⋅ ∑ sincosay = 0
ax = a
α⋅+α⋅= sincos FGN
( )α⋅+α⋅⋅−α⋅−α⋅=⋅ sincoscossin FGfFGam
( ) ( )α⋅+α⋅−α⋅−α⋅=⋅ sincoscossin fFfGam
vlastní pohybová rovnice vznikne ze základní vyloučením reakcí
Základní pohybová rovnicemá na pravé straně všechny působící síly.
Vektorovou rovnici rozložíme na složky dle zvoleného souřadného systému.
Vyloučením reakcí získámetzv. vlastní pohybovou rovnici.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m a Fi⋅ =∑v r
Dynamika hmotného boduZákladem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.
přímý (Newtonův) způsob sestavenípohybové rovnice
mF
m = 2 kg
a = 1,5 m/s2
F = 3 N
a
m·a = F
Tomuto způsobu sestavení pohybové rovnice,kdy na levé straně rovniceje součin hmotnosti a zrychlení,a ten je na pravé straněroven součtu působících vnějších sil,říkáme přímý, nebo též Newtonůvzpůsob sestavení pohybové rovnice.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Dynamika hmotného boduAlternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).
m a Fi⋅ =∑v r
0amFi
rvr=⋅−∑
Damrv =⋅−
0DFi
rrr=+∑
d’Alembertův princip
amDvr
⋅−=
0DFi
rrr=+∑amD ⋅=
rovnice rovnováhy
1.
2.
a
mF D
F - D = 0 D = m·am·a = F
Součin hmotnosti a zrychlenípřevedeme na opačnou stranu rovnice.
Zavedeme substituci.
Takto vzniklá rovnicemá formálně charakter rovnice rovnováhy.
Tomuto postupu říkáme d’Alembertův princip.Můžeme jej rozložit do dvou kroků :1. Zavedeme tzv. d’Alembertovu sílu.
Její velikost je rovna součinuhmotnosti a zrychlení.Její směr je opačný než je směr zrychlení.
2. Silová soustava vnějších sil, doplněná od’Alembertovu sílu, je v rovnováze.Rovnováhu vyjádříme rovnicemi rovnováhy.Po dosazeníD=m·apak dostáváme pohybovou rovnici.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Dynamika hmotného boduAlternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).
Úpravy pohybové rovnice nás přivedouk definování dalších fyzikálních veličin.
Je-li síla konstantní,lze ji z integrálu vytknouta vyjádřit impuls sílyjednodušeji : tFI ⋅=
rr
01 ppprrr
−=∆Změna hybnostiznamená změnu velikosti,změnu směru nebo obojí.
Zde p0 je hybnost na začátku vyšetřovaného děje,p1 je hybnost na konci vyšetřovaného děje.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
r r rL r p= ×
( )∫ ⋅=t
0
tM dtMIrr
r r rM r F= ×
moment hybnosti (točivost) [kg·m2·s-1]
impuls momentu [N·m·s ≈ kg·m2·s-1]
moment síly [N·m]
M01 ILLLrrrr
=−=∆ zákon o změně momentu hybnosti
Zákony o změně
rr
polohový vektor [m]
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m a F⋅ =r r ( )ds
vd
2
1a
2
⋅=
( )F
ds
vd
2
1m
2
=⋅⋅
( )F
ds
vmd 221
=⋅⋅
( ) dsFvmd 221 ⋅=⋅⋅
( ) ∫∫ ⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅ s
202
1212
1
vm
vm
221 dsFvmvmvmd
212
1
202
1
221
K vmE ⋅⋅=
∫ ⋅=s
dsFAr
kinetická energie
práce
[J ≈ kg·m2·s-2]
[N·m ≈ kg·m2·s-2]
AEEE 0K1KK =−=∆
zákon o změně kinetické energie
Zákony o změně
Úpravy pohybové rovnice nás přivedouk definování dalších fyzikálních veličin.
Zde EK0 je kinetická energie na začátku vyšetřovaného děje,EK1 je kinetická energie na konci vyšetřovaného děje.
Je-li síla konstantní,lze ji z integrálu vytknouta vyjádřit prácijednodušeji : sFA
rr⋅=
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
∫ ⋅=s
dsFAr
skalární součin
δ⋅⋅=⋅= cossFsFArr
Fr
δ sr
NFr
PFr
Fr
δ sr
δ⋅= cosFFP δ⋅= sinFFN
pracovní složka síly nepracovní složka síly
sFsFA P ⋅δ⋅=⋅= cos
°>δ 90
°<δ 90
kladná práce – práce vykonaná
záporná práce – práce spotřebovaná
Zákony o změně
0=δ
°=δ 90
10 =cos
090 =°cos práce se nevykonává
( ) 090 <°>δcos
°=δ 180 1180 −=°cos
práce Práce je skalární součin síly a dráhy, je tedy třeba vzít v úvahu rovněž úhel mezi směrem dráhy a směrem síly :
K vyjádření práce můžeme přistoupit i jinak. Sílu rozložíme na složky ve směru dráhy (pracovní) a kolmo ke směru dráhy (nepracovní) :
0sFA >⋅=→0sFA >δ⋅⋅=→ cos
0A =→0sFA <δ⋅⋅=→ cos
sFA ⋅−=→
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
PdA
dt
F ds
dtF v= = ⋅ = ⋅
r rr r
výkon
[N·m·s-1 ≈ W]
Zákony o změně
∫ ⋅=s
dsFAr
práce [N·m ≈ kg·m2·s-2]
δ
δ
PFr
NFr
Fr
Fr
vr
vr
δ⋅⋅=⋅= cosvFvFPrr
δ⋅= cosFFP δ⋅= sinFFN
vFvFP P ⋅δ⋅=⋅= cos
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
potenciální energieAsdFEs
P =⋅= ∫rr
hgmdygmdygmdyFAh
0
h
0
h
0
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫
gmGF ⋅==y 2 31
0EP =zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“
Zákony o změně
hgmEP ⋅⋅= potenciální energie (polohová)
G
F=Gm
Potenciální energie je rovna práci,kterou musíme vykonat,abychom těleso přemístiliz jedné polohy do druhé.
K přemístění může dojít po různých trajektoriích - integračních cestách. Obecně platí,že hodnota křivkového integrálu závisí na integrační cestě. V případě pohybu v gravitačním polipráce síly F nezávisí na integrační cestě. Při přemístění po jakékoliv trajektorii je práce síly Fvždy stejná. Potenciální energie je rovna této práci.Silové pole, které má tuto vlastnost (práce nezávisí na integrační cestě)nazýváme konzervativní silové pole.
Potenciální energie je spojenas polohou tělesa nad povrchem Země.
G
F=Gm
G
F=Gm
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
G
F=Gm
Země R
y( ) ( )2
2
22 yR
Rgm
yR
mM
r
mMG
+⋅⋅=
+⋅⋅κ=⋅⋅κ=
κκκκ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,R = 6 378 km - poloměr Země,r - vzdálenost od středu Země,y - výška nad povrchem Země.
0EP =
potenciální energieAsdFEs
P =⋅= ∫rr
Zákony o změně
na povrchu Země platí :
22
RgM gmR
mMG ⋅=⋅κ⇒⋅=⋅⋅κ=
Ve skutečnosti tíhová síla G, a tedy ani tažná síla F=G,nejsou konstantní.
( )∫ ⋅=h
0
y dyFA
Práci je tedy třeba určit integrálem.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Země R
y
( ) ( )∫∫ ⋅+⋅⋅κ=⋅=
h
02
h
0
y dyyR
mMdyFA
( ) hR
Rhgm
hRR
hmMA
+⋅⋅⋅=
+⋅⋅⋅⋅κ=0EP =
potenciální energieAsdFEs
P =⋅= ∫rr
Zákony o změně
+−⋅⋅⋅κ=
+−⋅⋅⋅κ=
hR
1
R
1mM
yR
1mMA
h
0
E m g hR
R hP = ⋅ ⋅ ⋅+
pro h«R 1hR
R ≅+
hgmEP ⋅⋅≅
potenciální energie (polohová)
AEP =potenciální energie je rovna této práci
Pro malou výšku nad Zemí pak přibližně platí :
G
F=Gm
2RgM ⋅=⋅κ
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
potenciální energieAsdFEs
P =⋅= ∫rr
Zákony o změně
y
F
F = k·y
yFykdyykdyFA 212
21
y
0
y
0
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫
yFykE 212
21
P ⋅⋅=⋅⋅=
k - tuhost
potenciální energie (deformační)
JE3
Fy
3
⋅⋅⋅= l llll - délka nosníku,
E - modul pružnosti v tahuJ - moment setrvačnosti
3
JE3k
l
⋅⋅=
Potenciální energie nemusí být spojena vždy jens polohou hmotného objektu nad povrchem Země.
Působíme-li na vetknutý nosník silou F, nosník se prohne o průhyb y.Působiště síly se posune a síla F tedy koná práci.
Pro výpočet práce je však třeba mít na paměti, že síla F=k·ynení konstantní.Pro průhyb o první milimetr stačí pouze malá síla F. Na druhý milimetr je již síla F větší.Teprve při úplném prohnutí dosahuje síla F své konečné hodnoty.Práci je tedy třeba určit integrováním :
AEP =Potenciální energie je spojenas deformací poddajného objektu (nosníku).
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
zákon o zachování celkové mechanické energie
konst=+= PKC EEE
m
h
v0 = 0
EK0 = 0
EP0 = m·g·h
EP1 = 0
EK1 = ½·m·v12
konst=+= PKC EEE
1P1K0P0K EEEE +=+
0vmhgm0 212
1 +⋅⋅=⋅⋅+
hg2v1 ⋅⋅=
v1 ≠ 0
0EP =
Celková mechanická energie se zachovává.
Součet kinetické a potenciální energieje celková mechanická energie.Soustavu, jejíž celková mechanická energie se zachovává, nazýváme konzervativní soustava.
zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
zákon o změně celkové mechanické energie
α
v
AEE 0C1C +=
h
s
m
G
F
T N
EP1 = m·g·h
EK1 = ½·m·v12
EP0 = 0
EK0 = ½·m·v02
sTsFvm0vmhgm 202
1212
1 ⋅−⋅α⋅+⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅ cos
hgmsTsFvm0vm 202
1212
1 ⋅⋅−⋅−⋅α⋅+⋅⋅+=⋅⋅ cos
m
hgmsTsFvmv
21
202
1
1 ⋅⋅⋅−⋅−⋅α⋅+⋅⋅= cos
konst≠+= PKC EEE
EC1 EC0 A
α⋅= sinsh
Změna celkové mechanické energie je rovna práci nekonzervativních sil.
Soustavu, jejíž celková mechanická energie se mění, nazýváme nekonzervativní soustava.
(to jest sil, které nevytvářejí potenciální energii)
α⋅+α⋅= sincos FGN
NfT ⋅=
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
α
v h
s
m
G
F
T N
m
h
Způsob výpočtu dynamiky,založený na rozboru celkové mechanické energie,se nazývá energetická bilance.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Pohyb bodu v prostoru
Vyšetřujeme-li pohyb bodu po křivočaré trajektorii, musíme se zabývatnejen velikostí ale i směrem kinematických veličin - rychlosti v a zrychlenía.
Rychlost v a zrychlenía jsou vektorové veličiny(podobně jako např. síla nebo intenzita elektrostatického pole).To znamená že mají velikost a směr.
vr
ar
Poloha bodu v prostoru je určena polohový vektorem r.Počáteční bod polohového vektoru leží v počátku souřadného systému(je pevný, nehybný), koncový bod leží v bodě, jehož polohu určuje (pohybuje se).
rr
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
s - dráha
r – polohový vektor
( ) ( ) rrr ttt
rrr∆+=∆+
Okamžitá rychlost má směr tečny k trajektorii.
rychlost vr
( )ttr ∆+r( )trr
rr
∆
polohový vektor v čase t („teď“)
polohový vektor v čase t+∆∆∆∆t („za chvíli“)
změna polohového vektoru
A(t) bod A v čase t („teď“)
A(t+∆t) bod A v čase t+∆∆∆∆t („za chvíli“)
Dva body na křivce určují sečnu.Jsou-li tyto body nekonečně blízko u sebe („soumezné body“), sečna přechází v tečnu.
Pohyb bodu v prostoru
A(t)
trajektorie( )ttr ∆+r
( )trr
rr
∆
O
s
A(t+∆t)
∆s
rdt
rd
t
rv
0t
&rrr
r ==∆∆=
→∆lim
sdt
dsv &==
rs0t0t
r∆=∆
→∆→∆limlim
velikost rychlosti
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
zrychlení ar
( ) ( ) vvv ttt ∆+=∆+rr
vdt
dv
t
va
0t
&rr==
∆∆=
→∆lim
( )ttv ∆+r ( )tvr
vr∆
rychlost v čase t („teď“)
rychlost v čase t+∆∆∆∆t („za chvíli“)
změna rychlosti
Pohyb bodu v prostoru
vr
∆( )tv
r
( )ttv ∆+
r
A(t)
trajektorie( )ttr ∆+r
( )trr
rr
∆
O
A(t+∆t) ( )tvv ∆+r
( )tvr
Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti.Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
zrychlení ar
( ) ( ) vvv ttt ∆+=∆+rr
vdt
dv
t
va
0t
&rr==
∆∆=
→∆lim
( )ttv ∆+r ( )tvr
vr∆
rychlost v čase t („teď“)
rychlost v čase t+∆∆∆∆t („za chvíli“)
změna rychlosti
Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti.Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti.Obě složky vektoru změny rychlosti ∆∆∆∆v probereme zvlášť.
smvel vvv ∆+∆=∆smv∆velv∆ změna velikostirychlosti
změna směru rychlosti
Pohyb bodu v prostoru
A(t)
trajektorie( )ttr ∆+r
( )trr
rr
∆
O
A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+
r
vr∆
( )tvr
( )ttv ∆+
r
velvr∆
smvr∆
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
zrychlení ar
( ) ( ) vvv ttt ∆+=∆+rr
vdt
dv
t
va
0t
&rr==
∆∆=
→∆lim
Pozn. Je třeba mít na paměti, že úhel, který spolu svírají vektory v(t) a v(t+∆∆∆∆t), je nekonečněmalý.
Pohyb bodu v prostoru
( )tvr
( )ttv ∆+
r
velvr
∆Mění se pouze velikost rychlosti, směr zůstává beze změny.Zrychlení má stejný směr jako rychlost - směr tečny.
•
•
( )tvr
( )ttv ∆+
r
smvr
∆Mění se pouze směr rychlosti, velikost zůstává beze změny.Zrychlení má směr kolmý k rychlosti - směr normály.
t
va sm
0tn ∆
∆=→∆
lim
r r ra a at n= +
dt
dv
t
va vel
0tt =
∆∆=
→∆limVelikost tečného zrychlení je :
Velikost normálového zrychleníbude určena zvlášť.
A(t)
trajektorie( )ttr ∆+r
( )trr
rr
∆
O
A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+
rta
r
t
nnar
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
zrychlení ar
Pohyb bodu v prostoru
αααα
Rllll
[ ]st360
R2 α⋅⋅π⋅=l
[ ] α⋅=α⋅= )l RR rad
1 rad = (180/π)º ≅ 57,3 º
V kinematice budeme často používat vyjádření délkyllllkruhového oblouku o poloměru R a vrcholovém úhlu ααααjako součinu poloměru a úhlu, vyjádřeného v radiánech (tzv. „v obloukové míře“).
A(t)
trajektorie( )ttr ∆+r
( )trr
rr
∆
O
A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+
rta
r
t
nnar
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
A(t)
A(t+∆t)
∆s
trajektorie
n
∆φ
R
S
n
zrychlení ar
Pohyb bodu v prostoru
•
•
( )tvr
( )ttv ∆+
r
smvr
∆∆φ
φ∆⋅=∆ vvsm
φ∆⋅=∆ Rs
R
v
R
1
t
sv
t
1
R
sv
t
va
2sm
n =⋅∆∆⋅=
∆⋅∆⋅=
∆∆=
„délka oblouku“„poloměr“
úhel
R
s∆=φ∆
R
s∆=φ∆v
A(t)
trajektorie( )ttr ∆+r
( )trr
rr
∆
O
A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+
rta
r
t
nnar
poloměrkřivosti
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
zrychlení ar
( ) ( ) vvv ttt ∆+=∆+rr
vdt
dv
t
va
0t
&rr==
∆∆=
→∆lim
Pohyb bodu v prostoru
( )tvr
( )ttv ∆+
r
velvr
∆
•
•
( )tvr
( )ttv ∆+
r
smvr
∆
r r ra a at n= +
dt
dvat =
R
va
2
n =
⋅=R
vmF
2
odstř
odstředivá síla Fodstř = m·an
A(t)
trajektorie( )ttr ∆+r
( )trr
rr
∆
O
A(t+∆t)( )tvr ( )tvv ∆+
rta
r
t
nnar
tečné zrychlení má směr tečnyk trajektorii,vyjadřuje změnu velikosti rychlosti
normálové zrychlení má směr normályk trajektorii,vyjadřuje změnusměru rychlosti
R - poloměr křivosti trajektorie
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
trajektorie
t
n
t
n oskulační kružnice
S trajektorie
R
tečna, normála, binormála – přirozený souřadný systém
střed oskulační kružnice S je střed křivosti trajektorie
poloměr oskulační kružnice R je poloměr křivosti trajektorie
Oskulační kružnice je dána třemi soumeznými body trajektorie.
tečna - normála oskulační rovina
normála - binormála normálová rovina
tečna - binormála rektifikační rovina
Tečna t je přímka, daná dvěma soumeznými body trajektorie.
Normála n je kolmice k tečně, ležící v oskulační rovině.
Oskulační rovina je dána třemi soumeznými body trajektorie.
Binormála b je přímka, kolmá k tečně a normále.
tečna
, nor
mála a
binor
mála
tvoří
tzv. „
prův
odní
trojhr
an“
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Souřadné systémy
x
y
z
xy
zxrr yr
r
zrr
rr
ir
jr
kr
vr
zvr
yvr
xvr
ar
A
kzjyixrrrr zyx
rrrrrrr⋅+⋅+⋅=++=
( )txx = ( )tyy = ( )tzz =
( )kzjyixdt
dr
dt
rdv
rrr&r
rr ⋅+⋅+⋅===
kvjvivvvvv zyxzyx
rrrrrrr ⋅+⋅+⋅=++=
kzjyixvr
&r
&r
&r ⋅+⋅+⋅=
xdt
dxv x &== y
dt
dyv y &== z
dt
dzvz &== 2
z2
y2
x vvvvv ++==r
kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z
v
vx=αcosv
vy=βcosv
vz=γcos
směrové úhly, směrové cosiny :
úhel vektoru od osy x úhel vektoru od osy zúhel vektoru od osy y
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Souřadné systémy
x
y
z
xy
zxrr yr
r
zrr
rr
ir
jr
kr
vr
zvr
yvr
xvr
ar
A
kzjyixrrrr zyx
rrrrrrr⋅+⋅+⋅=++=
( )txx = ( )tyy = ( )tzz =
( )kzjyixdt
dr
dt
rdv
rrr&r
rr ⋅+⋅+⋅===
kvjvivvvvv zyxzyx
rrrrrrr ⋅+⋅+⋅=++=
kzjyixvr
&r
&r
&r ⋅+⋅+⋅=
xdt
dxv x &== y
dt
dyv y &== z
dt
dzvz &== 2
z2
y2
x vvvvv ++==r
kajaiaaaaa zyxzyx
rrrrrrr⋅+⋅+⋅=++=
( ) kvjvivkvjvivdt
dv
dt
vda zyxzyx
r&
r&
r&
rrr&r
rr
⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅===
xva xx &&& == yva yy &&& == zva zz &&& == 2z
2y
2x aaaaa ++==
r
kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Souřadné systémy
x
y
z
z
ρrr
rr
ir
jr
kr
A zrr
ρ
φ
A’
x
y
ρ
φ
A≡A’
kzirrr z
rrrrr⋅+⋅ρ=+= ρ
cylindrický (válcový) souřadný systém, ρρρρ, φφφφ, z
( )tρ=ρ ( )tφ=φ ( )tzz =
φ⋅ρ= cosx φ⋅ρ= siny
22 yx +=ρx
yarctan=φ
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Souřadné systémy
x
y
z
z
ρrr
rr
ir
jr
kr
A zrr
ρ
φ
A’
x
y
ρ
φ
A≡A’
kzirrr z
rrrrr⋅+⋅ρ=+= ρ
x
y
z
z
zvr
φvr
ρvr
A
ρ
φ
A’
ρvr
φvr
kvjvivvvvv zz
rrrrrrr ⋅+⋅+⋅=++= φρφρ
ρ=ρ &v φ⋅ρ=φ&v zvz &=
2z
22 vvvvv ++== φρr
kajaiaaaaa zz
rrrrrrr⋅+⋅+⋅=++= φρφρ
2a φ⋅ρ−ρ=ρ&&&
φ⋅ρ⋅+φ⋅ρ=φ&&&& 2a
zaz &&=2
z22 aaaaa ++== φρ
r
cylindrický (válcový) souřadný systém, ρρρρ, φφφφ, z
( )tρ=ρ ( )tφ=φ ( )tzz =
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Souřadné systémy
sférický (kulový) souřadný systém, ρρρρ, φφφφ, ϑϑϑϑ
x
y
z
rr
irj
r
kr
A
A’
φ
ϑ
ρ
irrrrr
⋅ρ== ρ
( )tρ=ρ ( )tφ=φ ( )tϑ=ϑ
φ⋅ϑ⋅ρ= cossinx ϑ⋅ρ= coszφ⋅ϑ⋅ρ= sinsiny
222 zyx ++=ρx
yarctan=φ
z
yx 22 +=ϑ arctan
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Souřadné systémy
sférický (kulový) souřadný systém, ρρρρ, φφφφ, ϑϑϑϑ
x
y
z
rr
irj
r
kr
A
A’
φ
ϑ
ρ
x
y
z
rr
φ
ϑA
ϑvr
φvr
ρvr
A’ ( )φvr
irrrrr
⋅ρ== ρ
( )tρ=ρ ( )tφ=φ ( )tϑ=ϑ
kvjvivvvvvrrrrrrr ⋅+⋅+⋅=++= ϑφρϑφρ
ρ=ρ &v φ⋅ϑ⋅ρ=φ&sinv ϑ⋅ρ=ϑ
&v
222 vvvvv ϑφρ ++==r
kajaiaaaaarrrrrrr
⋅+⋅+⋅=++= ϑφρϑφρ
ϑ⋅ϑ⋅φ⋅ρ⋅+ϑ⋅φ⋅ρ⋅+ϑ⋅φ⋅ρ=φ cossinsin &&&&&& 22a
222 aaaaa ϑφρ ++==r
ϑ⋅ϑ⋅φ⋅ρ−ϑ⋅ρ⋅+ϑ⋅ρ=ϑ cossin22a &&&&&
ϑ⋅φ⋅ρ−ρ=ρ22a sin&&&
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Pohyb bodu po kružnici
φ
ρ vρ, aρ
vφ, aφ
R
A
x
y
polární souřadný systém, ρρρρ, φφφφ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému)
RRx ,−∈ RRy ,−∈
222 Ryx =+
22 xRy −±=
konst==ρ R ( )tφ=φ
0v =ρ=ρ & φ⋅=φ⋅ρ==φ&& Rvv
222 Ra φ⋅−=φ⋅ρ−=φ⋅ρ−ρ=ρ&&&&& φ⋅=φ⋅ρ⋅+φ⋅ρ=φ
&&&&&& R2a
2Ra φ⋅−=ρ& φ⋅=φ
&&Ra0v =ρ φ⋅==φ&Rvv
Kartézský souřadný systém x-y není pro řešení pohybu po kružnici moc vhodný.
Vhodnější je polární souřadný systém ρρρρ-φφφφ.
Kartézské souřadnice x-y nabývají hodnot v omezeném rozsahu (intervalu).
Kartézské souřadnice x-y nejsou na sobě nezávislé. Musí vždy splňovat rovnici kružnice.
Jedné hodnotě x odpovídají vždy dvě možné hodnoty y.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
polární souřadný systém, ρρρρ, φφφφ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému)
φ
φ=φ=ω &
dt
d
( )φ
ω⋅=φω⋅ω=φ=φ=ω=ω=ε
d
d
2
1
d
d
dt
d
dt
d 2
2
2&&&
úhlová rychlost [rad/s]
úhel [rad, º] dráha [m] Rs ⋅φ=
Rv ⋅ω=
vRRat && =⋅ω=⋅ε=R
vRa
22
n =⋅ω=
tečné zrychlení [m/s2]
obvodová rychlost [m/s]
úhlové zrychlení [rad/s2] (někdy též označené αααα)
φ
R
A nar
vr
tar
ω, ε
x
y
s
2Ra φ⋅−=ρ& φ⋅=φ
&&Ra0v =ρ φ⋅==φ&Rvv
normálové zrychlení [m/s2]
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaPohyb bodu po kružnici
polární souřadný systém, ρρρρ, φφφφ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému)
φ
φ=φ=ω &
dt
d
úhlová rychlost [rad/s]
úhel [rad, º] dráha [m] Rs ⋅φ=
Rv ⋅ω=
obvodová rychlost [m/s]
φ
R
A nar
vr
tar
ω, ε
x
y
s
Úhel může být zadán ve stupních, v radiánech nebo počtem otočení.1 rad = (180/ππππ)º ≅ 57,3º,90º = ππππ/2 rad ≅ 1,57 rad (pravý úhel, čtvrt otáčky),180º = ππππ rad ≅ 3,14 rad (půlkruh, půl otáčky),360º = 2·ππππ rad ≅ 6,28 rad (plný kruh - jedna otáčka).
Místo úhlové rychlosti ωωωω bývají v technické praxi často uváděny otáčky n - otáčky za sekundunebo za minutu.1 ot/s = 60 ot/min = 2·ππππ rad/s ≅ 6,28 rad/s. n2 ⋅π⋅=ω n [ot/s]
n [ot/min] 30
n⋅π=ω
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaPohyb bodu po kružnici
Dynamika soustavy hmotných bodů
m1pohyb
m2
m3
G3
G2G1
N1 N2
T1 T2
S32
S23
S31
S13
S21S12
G1, G2, G3
N1, N2
T1, T2
S12, S21, S13, S31, S23, S32
síly vnějšíGi, Ni, Ti,
síly vnitřníSij
síly akčníGi, S13, S31, S23, S32
síly reakčníNi, Ti, S12, S21
síly pracovníGi, Ti, S13, S31, S23, S32
síly nepracovníN1, N2, S12, S21
jiij SSrr
−=
ext
ern
íin
tern
í jsouspojeny
s vazbou
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Vnitřní síly Sij = -Sji (na schématu zelené) jsou vždy v páru a navzájem se vyruší,v součtu pak zůstávají vnější (externí) síly.
m2
m3
G3
G2
N2
T1 T2
d’Alembertův princip
a3
a2
a1m1D1 D2
D3 Aplikace d’Alembertova principuv dynamice soustavy hmotných bodů
se nijak neliší od aplikacev dynamice hmotného bodu.Každému bodu přiřadíme d’Alembertovu sílu velikosti D=m·a,proti směru zrychlení.Pak sestavíme rovnice pseudostatické rovnováhy.
amDrr
⋅−=
0DF ii
rrr=+∑∑
Sji
Sij
G1
0DF iiE
rrr=+∑∑
Samozřejmě musí být splněny i momentové rovnice rovnováhy.
0DrFr iiiE
i
rrrrr=×+× ∑∑
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů
m1 m2
m3střed hmotnosti soustavy hmotných bodů
x
y
1rr
3rr
Srr
2rr
∑∑ ⋅
=++
⋅+⋅+⋅=i
ii
321
332211S m
rm
mmm
rmrmrmr
rrrrr
∑= iC mm
C
iiS m
xmx ∑ ⋅
=
C
iiS m
ymy ∑ ⋅
=
C
iiS m
zmz ∑ ⋅
=
S
polohový vektor
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů
m1 m2
m3střed hmotnosti soustavy hmotných bodů
1rr
3rr
Srr
2rr
S
polohový vektor
Střed hmotnostisvou definicí připomíná jiný důležitý bod - těžiště.To je definováno jako působiště výslednice tíhových sil a ve výrazech pro souřadnice těžiště je tedy navíc gravitační zrychleníg.Pokud je gravitační zrychlení ve všech bodech stejné, můžeme je v čitateli i ve jmenovateli vytknout a následně vykrátit.Výrazy pro souřadnice středu hmotnostia těžiště jsou pak shodné.
∑∑ ⋅
=++
⋅+⋅+⋅=i
ii
321
332211S m
rm
mmm
rmrmrmr
rrrrr
V malém prostoru(ve srovnánís rozměry Země), v němž lzegravitační zrychlení pokládatza neměnné (jak co do velikosti,tak co do směru), střed hmotnostia těžiště splývají v jeden bod.
Ve velkém prostoru,v němž je gravitační zrychlenív každém bodě jiné,jsou těžiště a střed hmotnosti dva různé body.
V tomto učebním textubude implicitněuvažován malý prostor,v němž oba tyto bodysplývají v jeden.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů
pohybm2
m3
G3
G2G1
N1 N2
T1 T2
S
m1
F3
F1 F2
věta o pohybu středu hmotnosti
C
iiS m
rmr ∑ ⋅
=r
r
∑ ⋅=⋅ iiSC rmrm &&r&&r
∑ ⋅=⋅ iiSC amamrr
∑∑∑ +==⋅ jI
jE
jii FFFamrrrr
( )∑ ∑∑∑∑ ++=⋅ jiI
ijIE
ii FFFamrrrr
součet sil na jednom bodu
součet sil přes všechny body
∑=⋅ iE
SC Famrr
= 0
Střed hmotnosti se pohybuje tak,jakoby v něm byla soustředěna hmotnosta působily na něj vnější síly.
ext
ern
í-vnějš
ísíly
inte
rní-
vnitř
nísí
ly
vnitřní síly jsou vždy dvě v páru -
stejně velké, opačněorientované
0FF jiI
ijI
rrr=+
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů
pohybm2
m3
G3
G2G1
N1 N2
T1 T2
S
m1
F3
F1 F2
věta o změně hybnosti soustavy hmotných bodů
C
iiS m
rmr ∑ ⋅
=r
r
∑ ⋅=⋅ iiSC rmrm &r&r
∑ ⋅=⋅ iiSC vmvmrr
∫∫ ⋅+⋅=∆t
0
It
0
Ei dtFdtFp
rrr
∫ ⋅=∆t
0
ES dtFp
rr
( ) ( )∑ ⋅∆=⋅∆ iiSC vmvmrr
∑∆=∆ iS pprr
SCS vmprr
⋅=
Změna hybnosti soustavy hmotných bodůje rovna impulsu vnějších sil.
V součtu přes všechny body se impulsy párových(stejně velkých, opačně orientovaných)vnitřních sil navzájem odečtou.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů
pohybm2
m3
G3
G2G1
N2
T1 T2
S
m1
F3
F1 F2
věta o změně momentu hybnosti soustavy hmotných bodů
Změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodůje rovna impulsu momentu vnějších sil.
x
y
1rr
Srr
2rr
iiiP prLrrr
×=_
( )∫ ⋅=t
0
tM dtMIrr
P
∑= iPP LL _
rr
∑=−=∆ EM0P1PP ILLLrrrr
__
SSSP LvmrLrrrr
+⋅×=- moment hybnosti k počátku P,
- moment hybnosti středu hmotnosti k počátku P,
- moment hybnosti bodů ke středu hmotnosti S.SLr SS vmr
rr⋅×
PLr
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů
m2
m3
G3
G2G1
N1 N2
T1 T2
S
m1
F3
F1 F2
∑ ⋅⋅= 2ii2
1K vmE
∑ ∆⋅==∆ iiKi rFAErr
Sji
Sij( ) ∑∑ ∆=⋅⋅∆=∆ Ki
2ii2
1K EvmE
∑∑ ∆⋅+∆⋅=∆ iiI
iiE
Ki rFrFErrrr
∆r3
∑∑ ∆⋅+∆⋅=∆ iiI
iiE
K rFrFErrrr
∑ ∆⋅==∆ iiK rFAErr
∆r1 ∆r2
2SC2
1K vmE ⋅⋅=
věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů
Změna kinetické energie je rovna práci všech sil (vnějších i vnitřních).
Narozdíl od impulsu, práce vnitřních silse navzájem neodečtou- každá síla působí na jiné dráze.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů
m2
m3
G3
G2G1
N1 N2
T1 T2
S
m1
F3
F1 F2
∑ ⋅⋅= 2ii2
1K vmE
∑ ∆⋅==∆ iiKi rFAErr
Sji
Sij( ) ∑∑ ∆=⋅⋅∆=∆ Ki
2ii2
1K EvmE
∑∑ ∆⋅+∆⋅=∆ iiI
iiE
Ki rFrFErrrr
∆r3
∆r1 ∆r2
věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů
Kinetickou energii soustavy hmotných bodů lze (podobně jako moment hybnosti) vyjádřitjako součet kinetické energie hmotnosti celé soustavy, soustředěné do středu hmotnosti,a kinetické energie rotace hmotných bodů okolo středu hmotnosti.Tato teze bývá obvykle označována jako tzv. Königova věta.
S postupem vyšetřování pohybu rozkladem na posuv ve směru pohybu jistého zvoleného bodua rotaci okolo tohoto bodu se seznámíme později. Nazveme jej základní rozklad.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáškaDynamika soustavy hmotných bodů