DINAMIKA FLUIDA - mssfizika.files.wordpress.com · DINAMIKA FLUIDA 1. Osnovna svojstva tečnosti i gasova Tečnosti i gasovi imaju dosta zajedničkih osobina, zbog čega ih i zovemo

DINAMIKA FLUIDA

1. Osnovna svojstva tečnosti i gasova

Tečnosti i gasovi imaju dosta zajedničkih osobina, zbog čega ih i zovemo zajedničkim imenomm fluidi. Od

čvrstih tijela se razlikuju, prije svega, po tome što im je veće prosječno rastojanje među molekulama, manje

su međumolekularne sile, molekule su pokretljivije.

Čvrsta tijela imaju stalnu zapreminu i oblik, koji se ne mijenja ako na tijelo ne djeluju vanjske sile. Ako,

na primjer, čvrsto tijelo različito orijentišemo u gravitacionom polju, ono će zadržati svoj oblik (slika 1.1.).

Slika 1.1. Ponašanje čvrstog tijela pri promjeni orijentacije u gravitacionomm polju

Tečnosti imaju stalnu zapreminu, ali (za razliku od čvrstih tijela) nemaju stalan oblik. Tečnost dobija oblik

posude u kojoj se nalazi (slika 1.2.).

Slika 1.2. Tečnost dobija oblik posude u kojoj se nalazi

Ako posudu u kojoj se nalazi tečnost različito orijentišemo u gravitacionom polju, površina tečnosti uvijek

će biti orijentisana horizontalno, tj. paralelno sa površinom Zemlje. Tačnije rečeno, površina tečnosti se

orijentiše u ravni normalnoj na vektor gravitacionog polja u posmatranoj tački (slika 1.3.).

gg

RR

O

Slika 1.3. Orijentacija tečnosti u gravitacionom polju

Na primjer, ako naginjemo čašu sa vodom (slika 1.4.), površina vode uvijek će biti horizontalna (otud i

naziv „vodoravna“).

Slika 1.4. Ponašanje tečnosti pri promjeni nagiba u gravitacionom polju

Ako iz čaše izlijemo nešto vode, preostala voda zauzeće isti dio zapremine čaše koji je zauzimala ranije, a

nivo vode u čaši će se smanjiti zavisno od količine vode koju smo izlili. Ako izlijemo skoro svu vodu,

ostaće nam malo vode na dnu čaše. Ako, sa druge strane, dolivamo vodu u čašu, novo vode u čaši će se

povećati dok se čaša ne napuni, a ako još dolivamo, voda će se izlivati iz čaše. (slika 1.5.)

Slika 1.5. Izlivanjem ili dolivanjem vode u čaši se mijenja nivo vode

Za razliku od tečnosti, ako iz posude izbacujemo gas, preostali gas će se raširiti po cijeloj posudi i zauzeti

cijelu njenu zapreminu. Ako dadajemo gas u posudu, opet će se sav gas raširiti po cijeloj zapremini posude.

Dakle, bilo da ga dodajemo u posudu ili izbacujemo iz posude, gas će zauzeti cijelu zapreminu posude.

Mijenjaće se gustina i pritisak gasa (slika 1.6.).

Slika 1.6. Dodavanjem ili izbacivanjem gasa ne mijenja se njegova zapremina u posudi

2. Pritisak tečnosti i gasova

Kad posmatramo trag skija i trag cipela u snijegu, vidimo da je trag cipela dublji iako u oba slučaja djeluje

ista sila (slika 2.1.). Kažemo da čovjek u cipelama više pritiskuje podlogu. Uočavamo da ista sila vrši veći

pritisak na podlogu ako je površina manja.

Slika 2.1. Trag cipela i skija u snijegu

Ako okomito na površinu S djeluje sila F, kažemo: pritisak je odnos sile i površine na koju ta sila djeluje.

Fp

S

Si jedinica za pritisak je paskal

2

1N1Pa

1m

Osim paskala, koristi se i mjerna jedinica bar

51bar 10 Pa

Igla može da vrši veći pritisak nego tenk. Oštrica noža, sjekira ili klin, odnosno tijela koja služe za bušenje

ili sječenje imaju vrlo malu površinu. Zbog toga stvaraju veliki pritisak. Normalni atmosferski pritisak

iznosi približno 1 bar (tačnije 5101325Pa 1,013 10 Pa 1,013barap ), pritisak u automobilskoj gumi 2

bara, najmanji pritisak dobijen u laboratoriji 10-14 bara, pritisak u središtu zemlje 4 Mbara.

Primjer 2.1. Izračunaj pritisak koji vrši:

a) tenk mase 20 t na površinu 2 m2,

b) žena mase 60 kg koja stoji na cipelama sa potpeticom površine 30 cm2.

Rješenje:

1

2

1

2

2 4 2

2

1

2

m 20 t 20000kg

2m

m 60kg

30cm 30 10 m

?

?

S

S

p

p

1 11

1 1

2

1 2

1

2 22

2 2

2

2 4 2

2

m g

m20000 kg 9,81

s

2 m

98100 Pa

m g

m60 kg 9,81

s

30 10 m

196 200 Pa

Fp

S S

p

p

Fp

S S

p

p

Ako zaronimo na nekoliko metara dubine ispod površine, osjećamo pritisak vode u ušima. Što je veća

dubina, to je pritisak veći. Taj pritisak nastaje usljed težine gornjih slojeva tečnosti koja pritiskuje donje

slojeve i naziva se statički (hidrostatički) pritisak.

mg

m V h

F G

S

F Sp

S

h g

S

g hsp

gdje je m

V gustina (zapreminska masa) fluida, a h visina sloja fluida (dubina tačke na kojoj se u fluidu

mjeri pritisak, mjereno od gornje granične površine fluida i druge sredine).

Zbog pokretljivosti tečnosti sila pritiska djeluje normalno na svaku površinu, bez obzira kako je ona

orijentisana (slika 2.2).

hsp

sp

sp sp

Slika 2.2. Hidrostatički pritisak

U to se možemo uvjeriti sljedećim ogledom. Na plastičnoj posudi za mlijeko iglom izbušite tri rupice, i to

dvije na istoj visini ali na suprotnim stranama (slika 2), a jednu niže. Pokrijmo otvore ljepljivom trakom i

napunimo kutiju vodom, a zatim skinimo trake. Zapažamo, da voda izlazi iz posude jer normalno pritiskuje

zidove suda.

Slika 2.3. Posuda sa mlijekom

Na većoj dubini mlaz ima veći domet jer je na većoj dubini veći hidrostatički pritisak. Ako bismo stavili u

posudu živu čija je gustina veća, pritisak bi bio još veći. Iz toga zaključujemo da je hidrostatički pritisak

proporcionalan dubini i gustini tečnosti.

Hidrostatički pritisak zavisi samo od dubine, a ne i od oblika posude. Ta činjenica objašnjava tzv.

hidrostatički paradoks, odnosno spojene posude (slika 2.4.), pojavu da je u posudama različitog oblika, u

kojima je tečnost do iste visine, pritisak na dno jednak. Kada pritisak na dno ne bi bio jednak, tečnost bi se

kretala.

Slika 2.4. Spojene posude

Zemlja je okružena zračnim omotačem – Zemljinom atmosferom. Pritisak koji vrši zračni omotač svojom

težinom zove se atmosferski pritisak.

Atmosferski pritisak je prvi izmjerio Ibn-el-Hajsam, oko 1000. godine, a nekoliko stotina godina poslije

njega i Toričeli. Kod zračnog omotača gustina nije stalna nego opada sa visinom. Stoga i atmosferski

pritisak opada sa visinom. Na površini mora atmosferski pritisak iznosi 1013 mb (milibara), dok je na visini

4 km 615 mb, a na visini 8 km 335 mb. Na visini 1000 km nalazi se svega nekoliko molekula u

1 cm3.

Prisutnost atmosferskog pritiska možemo uočiti ako narušimo ravnotežu pritiska u tečnosti koja miruje.

Pojava da se tečnost podiže na mjestima gdje je iznad nje uklonjen zrak iz atmosfere primjenjuje se kod

mnogih uređaja, kao što su sisaljke, kapaljke, pipete.

Slika 2.5. Kapaljka i pipeta

Zgušnjavanjem zraka možemo dobiti velike pritiske koji mogu vršiti rad, kao naprimjer u kompresorima.

Slika 2.6. Kompresor

Kako to da ne osjećamo atmosferski pritisak kada na 1 m2 djeluje sila od 101325 N? Razlog je taj što

pritisak djeluje na tijelo sa svih strana jednako i izvana i iznutra pa je ukupna sila na tijelo zbog

atmosferskog pritiska jednaka nuli.

Zemlja je okružena zračnim omotačem - Zemljinom atmosferom. Pritisak koji vrši zračni omotač svojom

težinom zove se atmosferski pritisak.

Atmosferski pritisak je prvi izmjerio ¡talijanski naučnik Toričeli, početkom 17. stoljeća. Ustanovio je da

atmosferski pritisak odgovara pritisku živinog stuba visine 76 cm, što Iznosi približno 1 bar.

Kod zračnog omotača gustina nije stalna nego opada sa visinom. Stoga i atmosferski pritisak opada sa

visinom, ali neravnomjerno. Na površini mora on iznosi 1013 milibara i naziva se standardni pritisak. Na

visini 1000 km iznad Zemlje prisutno je svega nekoliko molekula u 1 cm3.

Kada ekser pri zabadanju držimo sa strane i udaramo čekićem, on se zabada u drvo ili zid, a mi ne osjećamo

djelovanje sile pritiska. To znači da se kroz čvrsta tijela pritisak prenosi samo u pravcu djelovanja sile.

Slika 2.7. Prenošenje sile pritiska kroz čvrsta tijela

Ako dobro nakvašenu spužvu pritisnemo šakom vidimo da voda izlazi na sve strane. Tu pojavu je uočio još

u 17. vijeku francuski fizičar Pascal (Paskal) pa se naziva i Pascalov zakon:

Pritisak se kroz tečnosti i gasove prenosi na sve strane podjednako.

Slika 2.8. Prenošenje sile pritiska kroz tečnosti i gasove

Na Pascalovom zakonu se zasniva rad hidraulične prese. Ona se sastoji od dva cilindrična suda različitih

presjeka S1 i S2 spojenih na donjim krajevima tako da čine spojene sudove. Tečnost (obično ulje) može da

se kreće bez velikog trenja. Na mariji klip se djeluje silom F1 usljed čega se on pomjera nadolje. Prema

Pascalovom zakonu isti pritisak će djelovati na veći klip,1 2p p . To znači da je

1 2

1 2

F F

S S

odnosno manjom silom na manju površinu savlađujemo veću silu na većoj površini. Hidraulična presa se

koristi za podizanje velikih tereta, kao presa u mašinskoj industriji, hidraulične kočnice itd.

Slika 2.9. Hidraulika i hidraulična kočnica

Primjer 2.

Klip hidraulične dizalice ima površinu S2 = 0,4 m2 i na njemu se nalazi auto mase m2 = 1 t. Sa kolikom

silom na manji klip možemo podići auto ako manji klip ima površinu S1 = 100 cm .

Rješenje:

2

2

2

2 4 2 2 2

1

1

1 21 2

1 2

1 2 2 1 2

11 2

2

2 2

1 2 2

1

0,4m

m 1t 1000 kg

100cm 100 10 m 10 m

?

/

/ :

10 m m1000 kg 9,81

0,4 m s

245,25 N

Radi poređenja, ekvivalentna masa koja odgovara ovoj sili je jednaka:

e

S

S

F

F FS S

S S

F S F S S

SF F

S

F

F

m

1

2

245,25 N25kg

m9,81

s

F

g

3. Potisak

Hidrostatički pritisak koji djeluje s gornje strane tijela (slika 3.1.) je manji od hidrostatičkog pritiska s donje

strane. Razlika ta dva pritiska rezultuje silom koja tjera tijelo prema gore tj. čini ga lakšim. Tu silu, koja

djeluje na tijelo uronjeno u tečnost, zovemo sila potiska.

1h

2h

2 1h = h - h

p1F

p2FpoF

Slika 3.1. Sila potiska

Sila hidrostatičkog pritiska na gornju stranu tijela jednaka je

1 1 1p hF p S gh S

Sila hidrostatičkog pritiska na donju stranu tijela jednaka je

2 2 2p hF p S gh S

Sila potiska je jednaka razlici ovih dviju sila

2 1 2 1 2 1po

po

F F F gh S gh S gS h h

F gV

Postoji anegdota (prema Vitruviusu) koja govori kako je Arhimed otkrio da zlatna kruna,

napravljena za kralja Hierona II, nije od čistog zlata. Kada je zlatna kruna u obliku lovorovog vijenca

napravljena, od Arhimeda je zatraženo da utvrdi da li je kruna od čistog zlata ili je nečasni zlatar umiješao

i srebro. Pri tom nije smio oštetiti krunu. Problem je bio kako odrediti zapreminu krune pomoću kojeg bi

se uz poznatu masu, odredila gustina zlata. Rješenje je došlo za vrijeme kupanja. Primjetio je da se ulaskom

u kadu podigao nivo vode. Shvatio je da je to način kojim bi se mogla izračunati i zapremina krune.

Djeljenjem mase krune s njenom zapreminom izračunala bi se gustina metala u kruni. Manja gustina od

gustine zlata značila bi da je zlatu dodano srebro. Našavši rješenje problema, bio je toliko uzbuđen da je,

zaboravivši se obući, istrčao iz kade na ulicu, vičući Heureka! (grč. εὕρηκα!) - Našao sam!.

Slika 3.2. Arhimedov mogući način dokazivanja čistoće zlata u kruni.

Zbog male zapremine zlatne krune praktično bi bilo teško izmjeriti porast nivoa istisnute vode u posudi.

Ali princip hidrostatičkog pritiska, danas poznat kao Arhimedov zakon i opisan u njegovoj raspravi „O

plutajućim tijelima“, mogao je poslužiti u rješavanju ovog problema. Po njemu, masa istisnute tečnosti

proporcionalna je njenoj zapremini. Znači ako dva tijela iste mase, a različite zapremine, uronimo u tečnost

(slika 3.2.), tijelo veće zapremine istiskuje više tečnosti, trpi veći potisak i postaje lakše od tijela manje

zapremine i vaga više nije vodoravna. Ovim je dokazano da tijelo veće zapremine (zlatna kruna) ima manju

gustinu (zbog dodanog srebra).

Tijelo uronjeno u tečnost prividno gubi na težini za iznos težine njime istisnute tečnosti. Prividna težina

tijela u tečnosti je jednaka

p

p t

p t

G G F

G mg gV

G m V g

Ekvivalentna masa jednaka je

p

e

t

e

Gm

g

m V gm

g

e tm m V

Primjer 3.1. Kolika je prividna težina čovjeka mase 80 kg i zapremine 66 l uronjenog u vodu? Kolika mu

je ekvivalentna masa?

Rješenje:

3

1 3 3

3

3 3

2 3 2

3 3

3

80 kg

66 66 10 m 66 10 m

kg1000

m

?

?

m kg m80 kg 9,81 1000 9,81 66 10 m

s m s

137,34 N

kg80 kg 1000 66 10 m

m

14 kg

v

p

e

p po v

p

e v

e

m

V l

G

m

G G F mg gV

G

m m V

m

Zavisno od gustine tijela i tečnosti, moguća su tri slučaja:

1°) Ako je gustina tijela manja od gustine fluida, onda je sila potiska veća od težine tijela, pa će tijelo

potopljeno u fluid plutati na površini fluida. Jedan dio tijela će izroniti iz fluida, tako da se masa

otopljenog dijela tijela izjednači sa masom istisnutog fluida.

2°) Ako je gusina tijela jednaka gustini fluida, onda je sila potiska jednaka težini tijela i tijelo potopljeno u

fluid će lebdjeti u fluidu.

3°) Ako je gustina tijea veća od gustine fluida, onda je sila potisa manja od težine tijela, pa će tijelo

otoopljeno u fluid potonuti na dno.

poF gF

poFgF

poFgF

Ako je gustina tijela manja od

gustine fluida, tijelo pliva

na površini fluida

t f

t f

gVgV

pg F

<

F <

<

Ako je gustina tijela

jednaka gustini fluida,

tijelo lebdi u fluidu

t

t

f

f

gV gV

g pF =

=

=

F

Ako je gustina tijela

veća odgustine fluifa,

tijelo tone na dno

t

t

f

f

gV gV

pg F<

<

<

F

Slika 3.3. Tijelo u fluidu pliva, lebdi ili tone zavisno od gustine tijela i gustine fluida

Arhimedov zakon ne vrijedi samo za tečnosti, nego i za gasove. Svako fizikalno tijelo u zraku, odnosno u

gasu, izgubi toliko na težini koliko je težak istisnuti zrak, odnosno gas. Arhimedov zakon za gasove glasi:

"Svako tijelo u zraku ili u bilo kojem gasu postaje za onoliko lakše koliko teži istisnuti zrak, odnosno gas".

Potisak u zraku dolazi do izražaja kod tijela koja su razmjerno lagana obzirom na svoju zapreminu. Tako

na primjer tijelo zapremine 1 m3 dobija potisak od 12,93 N (tijelo težine 1,293 kilograma i zapremine 1 m3

bi lebdilo u zraku), jer je tolika težina 1 m3 istisnutog zraka. Ako je težina tog tijela manja od potiska, tijelo

će se dizati. U većim visinama, gdje je zrak rjeđi, potisak je manji zbog manje gustine zraka.

Slika 3.4. Baloni

Baloni i zračni brodovi (dirižabli) zovu se zajedničkim imenom aerostati. Njihovo se dizanje zasniva na

potisku u zraku. Baloni se grade od platna presvučenog kaučukom (ili nekim modernijim sintetičkim

materijalom), a ispunjeni su gasom lakšim od zraka. Obično su punjeni vodonikom koji je 14 puta lakši od

zraka, ali mu je nedostatak što je lako zapaljiv. Zato se baloni po mogućnosti pune helijumom koji nije

zapaljiv. Balon je otvoren prema dolje da višak gasa može izaći ako bi unutrašnji pritisak gasa bio veći od

vanjskog pritiska (atmosferski pritisak), jer bi inače balon mogao prsnuti. Preko lopte je prebačena mreža

užadi na kojima visi gondola za smještaj ljudi i tereta.

4. Kretanje fluida

Engleski naučnik Osborn Rejnolds je vršio ispitivanja u vezi strujanja tečnosti.

Slika 4.1. Osborn Rejnolds

Idealni fluid je najjednostavniji model idealizacije u mnogim problemima dinamike fluida.

Idealni fluid se definiše kao neprekidna, neuništiva sredina koja se kreće se bez unutrašnjeg trenja.

Strujne linije (strujnice) su zamišljene linije duž kojih se kreću čestice fluida. Strujna cijev je dio

fluida koji je ograničen strujnim linijama. Iz toga slijedi da čestice fluida nisu u mogućnosti da prolaze

kroz omotač strujne cijevi, tako da se broj djelića u cijevi ne mijenja (ostaje stalan).

Stacionarno strujanje je strujanje pri kojem svaka čestica fluida koja se nađe u nekoj strujnoj liniji

nastavlja da se kreće u pravcu strujnice kao i prethodna čestica, tj. ako se slika strujnica u toku vremena

ne mijenja. Kod stacionarnog strujanja, strujnice se ne mijenjaju u toku vremena i poklapaju se sa

putanjom čestica fluida. Ako postoji stacionarni tok, to ne znači da se brzina jedne čestice fluida neće

promijeniti u različitim tačkama strujnice. Upravo zakrivljene linije opisuju te promjene.

Bilo koji fluid može proticati (strujati) stacionarno ako su ispunjeni opšti uslovi:

1°) brzina je dovoljno mala;

2°) prepreke su takve da ne uzrokuju previše nagle promjene brzine.

Prema promjenjivosti brzine razlikuje se:

1°) stacionarno strujanje, kod kojeg je količina tvari koja prođe kroz svaki presjek konstantna, i

2°) nestacionarno strujanje, kod kojeg se ta količina mijenja.

Laminarno strujanje je mirno, jednolično strujanje fluida u paralelnim slojevima s malim miješanjem

među njima, bez turbulencija.

Slika 4.2. Laminarno (slojevito) strujanje

Kada brzina poraste, slojevi se miješaju i strujanje postaje turbulentno.

Slika 4.3. Turbulentno strujanje fluida

Zapreminski protok idealnog fluida, kroz neki presjek S strujne cijevi (slika 1.), je odnos protekle zapremine

i vremena:

VQ

t

gdje je V zapremina fluida koji za vrijeme t prođe kroz presjek S strujne cijevi. Kako je V S l , imamo

da je

S l lQ S

t t

odnosno

Q S v Ovdjeje S površina presjeka strujne linije, a v je brzina strujanja fluida. Mjerna jedinica za zapreminski

protok je kubni metar u sekundi3m

s

.

S v

Slika 4.4. Kretanje fluida

Ako je strujanje stacionarno i tečnost nestišljiva, u svakom presjeku protekne ista količina tečnosti u jednoj

sekundi.

1S 1v 2S

2l

1v

1l

2v

Slika 4.5. Kretanje fluida u strujnim cijevima različitih presjeka

Dakle, protok u bilo kojem presjeku je konstantan, const.S v , odnosno

1 1 2 2S v S v

Ta relacija se zove jednacina kontinuiteta i iz nje se vidi da je u užem presjeku cijevi veća brzina strujanja

nego u širem. Poznato nam je da se brzina toka rijeke povećava pri suženju njenog korita, a takode i da zrak

struji brže u uskim prolazima. Kada pritisnemo gumeno crijevo iz kojeg ističe mlaz vode i tako smanjimo

presjek S poveća se brzina vode i domet mlaza. Jednačina kontinuiteta važi i za gasove.

Primjer 4.1. Koliki je protok vode ispod mosta na rijeci dubine a = 1 m i širine 20 m. Brzina rijeke je 4 m/s.

Rješenje:

1m

20 m

m4

s

?

a

b

v

Q

Q S v

S a b

3m m

1m 20m 4 80s s

Q a b v

Primjer 4.2. Voda u rijeci ima brzinu v = 3 m/s. Kolika će biti brzina toka rijeke u suženju u kojem se

presjek korita smanjio 4 puta?

Rješenje:

12

2

1 1 2 2

11 1

212

m3

s

4

?

m3

ms 12s

4

v

SS

v

S v S v

SS v

vSS

Primjer 4.3. Voda u rijeci, na širem dijelu dubine 3,5 m, gdje je širina rijeke na dnu 18 m a na površini

21 m, teče brzinom 1,86 m/s. Kolikom brzinom će rijeka teći na suženju dubine 4,5 m i širine

12 m?

Rješenje:

1

1

2

2

2

1 1

2

2 2

1 1 2 2

2

1 12 2

2

3,5m

18m

21m

m1,86

s

4,5m

12 m

?

18m 21m3,5m 68,25m

2 2

12 m 4,5m 54 m

m68,25m 1,86

ms 2,3554 m s

h

a

b

v

h

c

v

a bS h

S ch

S v S v

S vv

S

a

c

1h 2h

c

5. Bernoullijeva jednačina

Slika 5.1. Daniel Bernoulli

Ogled pokazuje da je na mjestu veće brzine statički pritisak manji.

Slika 5.2. Bernoullijeva jednačina

U dinamici fluida uvodimo veličinu koja se zove dinamički pritisak koji zavisi od brzine kretanja tečnosti

i iznosi

2

2d

vp

Mjerenjem statičkog i dinamičkog pritiska na pojedinim mjestima u horizontalnoj cijevi dolazimo do

jednačine

2 2

1 21 2

2 2

v vp p

odnosno

2

const.2

vp

Ovdje je p statički pritisak, koji fluid ima i kad se ne kreće. Statički pritisak je zbir vanjskog (obično

atmosferskog) pritiska 0p i hidrostatičkog pritiska

h ghp , pa imamo

2

0 g h const.2

vp

Tu jednačinu je izveo Bernuli pa se zove Bernulijeva jednačina. Iz nje vidimo da je na svakom mjestu

horizontalne cijevi zbir statičkog i dinamičkog pritiska konstantan. Sto je cijev uža, brzina strujanja je veća,

a statički pritisak manji.

Primjer 5.1. Statički pritisak tečnosti na širem dijelu cijevi površine presjeka 2

1 18cmS iznosi

1 850 kPap . Brzina strujanja tečnosti na širem dijelu cijevi je 1

m24

sv . Koliki će biti statički pritisak

tečnosti na užem dijelu cijevi površine presjeka 2

2 8cmS ?

Rješenje:

4

1

2 4 2

1

1

2 4 2

2

2

1 1 2 2

4 3

12 1 4 3

2

2 2

1 21 2

2 1

850 kPa 85 10 Pa

18cm 18 10 m

m24

s

8cm 8 10 m

?

Prema jednačini kontinuiteta je

18 10 m m m24 54

8 10 m s s

Prema Bernoullijevoj jednačini je:

2 2

p

S

v

S

p

S v S v

Sv v

S

v vp p

vp p

2 2

2 2 3 341 2

kg m kg m1000 24 1000 54

m s m s85 10 Pa 2596 kPa

2 2 2 2

v

s1pd1p

s2 s1p < p

d2 d1p > p

Slika 5.3. Primjena Bernoullijeve jednačine na pumpi za vodu

Slika 5.4. Pumpa za vodu

Bernulijeva jednačina važi i za gasove. Brzina fluida može se toliko povećati da statički pritisak

postane manji od atmosferskog pritiska. Strujanje će tada ispoljavati usisno dejstvo tj. stvara se potpritisak

strujanjem tečnosti ili gasa. Na slici 5.3. Strujanje zraka (ili vode) smanjuje pritisak u suženju koji postaje

manji od atmosferskog. Voda iz posude podiže se prema gore. Na ovom usisnom dejstvu zasniva se čitav

riiz uređaja, naprimjer crpljenje vode iz bunara, rad raspršivača (sprej), Bunzenov šmrk za dobijanje niskih

pritisaka itd.

Neposrednu provjeru Bernulijeve jednačine možemo izvršiti jednostavnim ogledom. Uzmimo dva

lista papira i pušimo između njih. Umjesto da se udaljuju oni se međusobno približavaju. Ta pojava se zove

aerodinamički paradoks (slika 5.5.).

Strujanjem zraka između listova papira smanjio se statički pritisak tako da je postao manji od

atmosferskog koji sa strane djeluje na listove i približava ih jedan drugom. Zbog toga je naprimjer, opasno

da se brodovi mimoilaze u suviše malom razmaku.

s2 s1p < p

d2 d1p > ps1p

d1ps1p

d1p

Slika 5.5. Aerodinamički paradoks

Tečnost ima energiju i zbog hidrostatičkog pritiska sp . Priključimo na izlaznu cijev posude, u kojoj se

nalazi tekućina, jednu usku cijev. Tečnost će se u toj cijevi dignuti na visinu h, koja odgovara

hidrostatičkom pritisku, to jest:

p

hg

U cijevi A se tečnost podiže na visinu 1h , koja odgovara statičkom pritisku

1 1p gh

Tečnost se u cijevi A podiže pod uticajem statičkog pritiska tečnosti 1sp gh . U cijevi B se tečnost

podiže na visinu 2h , koja odgovara pritisku

2 2p gh

Tečnost se u cijevi B podiže pod uticajem statičkog i dinamičkog pritiska tečnosti, odnosno pod uticajem

pritiska

2

2 12

s d

vp p p gh

Odavde je

2gh 1gh

2

2

2 1 1

2

2 1

2

2 1

2 1

/ 22

2 2 / 2

2 2

2

2

2

v

gh gh v gh

v gh gh

v g h h

v g h h

v g h

sp

dsp + p

1h2h

2 1Δh = h - h

A B

Slika 5.6. Mjerenje brzine toka fluida

Pomoću uređaja na slici 5.6. možemo mjeriti brzinu kretanja tečnosti ili gasa. Cjevčica A mjeri

statički pritisak dok cjevčica B mjeri zbir statičkog i dinamičkog pritiska. To je stoga što struja tečnosti,

koja uđe u cijev, svoju kinetičku energiju pretvara u potencijalnu, usljed čega nastaje povećanje visine stuba

tečnosti proporcionalno veličini dinamičkog pritiska ρv 2/2.

Sličan uređaj može mjeriti i brzinu aviona ili helikoptera koji leti kroz zrak brzinom v. Na istrumentu

se direktno očitava njegova brzina.

Primjer 5.2. Naći brzinu toka vode kroz cijev ako je visina stuba vode u cjevčici A 6 cm, a u cjevčici B

15 cm.

Rješenje:

1

2

2 1 2

6cm 0,06m

15cm 0,15m

?

m m2 2 9,81 0,15m 0,06m 0,36

s s

h

h

v

v g h h

s1p d1p

1v

2s s1p < p 2d d1p > p

1v2v

pF

Slika 5.7. Krilo aviona

Pomoću Bernulijeve jednačine i jednačine kontinuiteta možemo objasniti i princip leta aviona (ptice...).

Krilo aviona je zaobljeno odozgo (slika 5.7.). Stoga će brzina strujanja biti veća s gornje strane krila nego

s donje jer protok mora biti isti To ujedno znači dn će statički pritisak biti manji iznad krila. Razlika

pritisaka, tj. potisak, imaće smjer prema gore. Kada avion dobije određenu brzinu na pisti, struja zraka će

oko krila prouzrokovati dinamički potisak koji mu omogućava da uzleti i održava se u zraku.

Slika 5.8. Kondenzacija vidljiva na gornjoj površini krila aviona Airbus A340 uzrokovana padom

temperature koja nastaje zbog pada pritiska

6. Toriccelijeva teorema

Slika 6.1. Evangelista Torricelli

v

h

2

ρgh =ρv

2

Slika 6.2. Isticanje tečnosti kroz uski otvor

Na slici 6.2. tečnost ističe kroz bočni otvor na posudi koji se nalazi na dubini h od slobodne površine

tečnosti. Prema Bernoullijevoj jednačini, ukupan pritisak tečnosti prije isticanja kroz otvor (koji se sastoji

od vanjskog pritiska 0p i hidrostatičkog pritiska g h )

1 0 ghp p jednak je pritisku tečnosti pri

isticanju kroz otvor brzinom v (koji se sastoji od vanjskog pritiska 0p i hidrodinamičkog pritiska

2

2

v)

2

2 02

vp p

.

0p 0g h p

2

2

/ 22

2g h

2g h

v

v

v

Slika 6.3. Zavisnost brzine isticvanja tečnosti od dubine na kojoj se nalazi otvor

Dakle, brzina isticanja tečnosti kroz otvor na dubini h jednak je brzini koju bi imalo tijelo pri slobodnom

padu sa iste visine. Ova tvrdnja poznata je kao Toriccelijeva teorema.

Primjer 6.1. Izračunati brzinu isticanja vode kroz otvor na dubini 30 cm ispod slobodne površine vode u

sudu. Ako je otvor na visini 8 sm iznad podloge, naći mjesto na koje će voda adati na podlogu.

Rješenje:

2

2

2

2

2

2

h 30cm 0,3m

mg 9,81

s

8cm 0,08m

?, ?

2g h

m2 9,81 0,3m

s

m2,43

s

2

2

2

2 2 0,08m0,13s

m9,81

s

m2,43 0,13s 0,32 m 32cm

s

H

v x

v

v

v

gtH

H gt

Ht

g

Ht

g

x vt

Primjer 6.2. Na bočnoj strani posude sa vodom, na dubini 20 cm, nalazi se otvor (Slika 5.) čija je površina

presjeka 2 cm2. Odredi:

a) brzinu isticanja vode,

b) zapreminski protok,

c) količinu vode koja istekne za 10 s,

d) silu kojom bi morali djelovati na otvor da bi spriječili isticanje. Gustina vode je

1000 kg/m3;

Rješenje:

2

3

2

3 34 2 4

34

20cm 0,2m

2cm

10s

kg1000

m

a) ?

b) ?

c) ?

d) ?

m ma) 2 9,81 0,2m 1,98

s s

m m cmb) 2 10 m 1,98 3,96 10 3,96

s s s

Vc)

mV 3,96 10

s

h

S

t

v

Q

V

F

v

Q S v

Qt

Q t

10 s 4 3 3

4 2

3 2

39,6 10 m 39,6cm

d) Moramo djelovati silom da poništimo hidrostatički pritisak na dubini h

kg mg h 1000 9,81 0,2m 2 10 m 0,39 N

m ssF p S S