ДИНАМИКА САВРШЕНОГ ФЛУИДА Савршени флуид – онај у коме нема трења за време његовог кретања. У природи нема савршених флуида. Ојлеровa једначинa Посматра се у струјном пољу произвољнa маса m (запремина V) флуида, ограничена спољашњом површи A. На флуид, садржан у запремини V, делују: укупна сила притиска V dV f . A d p A укупна запреминска сила 1 Збир ових сила износи: . dV ) p grad f ( A d p dV f V A V
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ДИНАМИКА САВРШЕНОГ ФЛУИДА
Савршени флуид – онај у коме нема трења за време његовог кретања.
У природи нема савршених флуида.
Ојлеровa једначинa
Посматра се у струјном пољу произвољнa маса m (запремина V)
флуида, ограничена спољашњом површи A. На флуид, садржан у
запремини V, делују:
укупна сила притиска
V
dVf
.Adp
A
укупна запреминска сила
1
Збир ових сила износи:
.dV)pgradf(AdpdVf
VAV
Када се флуид креће, делују још и инерцијске силе.
Према Њутновом закону силa инерције једнакa је збиру запреминских и површинских сила.
.dVdt
vd
dt
vddmadm
V
.dVdt
vd
2
( ) ( ) 0.
V V V
dv dvdV f gradp dV f gradp dV
dt dt
Једначина важи за произвољну запремину V флуида, па претходни
интеграл представља неодређени интеграл. Зато подинтегрална
функција мора бити једнака нули, одакле следи
(Ојлерова диференцијална једначина за кретање флуида) - запреминскa силa рачунатa за јединицу масе,
- инерцијскa силa по јединици масе флуида.
.pgrad1
fdt
vd
f
dt/vd
(1)
За укупну масу:
Овој једначини одговарају три скаларне једначине:
Леве стране једначина (2) представљају тоталне изводе пројекција
брзине по времену, односно пројекције убрзања.
1 1 1, , .
yx zdvdv dvp p p
X Y Zdt x dt y dt z
(2)
3
Пошто је
( )x y z
dv v v v v va v v v
dt t x tv
zv
y
па пројекције убрзања на осе Декартовог координатног система гласе:
,
,
.
x x x x xx x y z
y y y y y
y x y z
z z z z zz x y z
dv v v v va v v v
dt t x y z
dv v v v va v v v
dt t x y z
dv v v v va v v v
dt t x y z
dv v v dx v dy v dza
dt t x dt y dt z dt
следи (а)
Ојлерове једначине (2) у развијеном облику:
Други, трећи и четврти члан на левим странама једначина (3)
називају се квадратним члановима.
.z
p1Z
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
,y
p1Y
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
,x
p1X
z
vv
y
vv
x
vv
t
v
zz
zy
zx
z
yz
yy
yx
y
xz
xy
xx
x
(3)
4
Ојлерове једначине садрже 5 непознатих величина:
- 3 пројекције брзине,
- притисак
- густина.
За њихово одређивање неопходно је пет једначина:
- 3 скаларне Ојлерове једначине
- једначина континуитета и
- карактеристична једначина.
Због даљег решавања погодно је трансформисати израз за убрзање (а)
Полази се од векторског производа
који се може развити по обрасцу из теорије поља:
С друге стране је
За случај да је
биће:
па је други члан у изразу за убрзање из једначине (а)
1 2v rotv
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) .v rot v v v v v v v
5
.)vv()vv()vv()vv(grad 21212121
vvv 21
2 21( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2
( ) ( )( ) ( )
grad v v grad v v v v v grad v
v rot v v v v v v v v rotv vv
21( ) ( ) ( ).
2v grad v v rot vv
Сада израз за вектор убрзања флуидног делића може да се напише
у облику
Његовом заменом једначина (1) добија облик:
(трансформисана Ојлерова једначина).
Ојлерове диференцијалне једначине за кретање (савршеног)
флуида (3) представљају систем нелинеарних парцијалних
спрегнутих диф. једначина, за које не постоји опште решење.
Постоје нека посебна решења која се добијају под одређеним
условима струјања флуида (када се тражене величине врло мало
мењају у току времена, када се брзине у међусобно паралелним
равнима сасвим незнатно разликују или када је битно само струјање
у једном правцу). Ојлерове једначине се тада упрошћавају, јер се
поједини чланови у једначинама могу занемарити.
.)vrotv(2
vgrad
t
v
dt
vda
2
.pgrad1
f)vrotv(2
vgrad
t
v 2
(4)
6
Добијена решења треба да задовоље почетне и граничне услове.
Почетни услови дефинишу стање флуида, односно вредности
брзине, густине и притиска у почетном тренутку времена.
Гранични услови представљају ограничења на површинама у
погледу v или p које ограничавају масу флуида која се креће.
Различити су, зависно од проблема струјања. Ако се, нпр. флуид
додирује са крутим телом онда нормалне компоненте брзине
флуида и крутог тела морају бити једнаке. У противном, флуид би
се одвојио од тела.
• Код струјања реалног флуида, делићи флуида се лепе за зидове
опструјаваног тела, па је релативна брзине флуида једнака нули.
• За случај струјања нестишљивог флуида када се формира
слободна површина, брзина делића флуида на њој не може имати
нормалну компоненту, јер би то значило да делићи флуида пролазе
кроз ову површину, што не одговара слободној површини. На овој
површини у свим тачкама притисак флуида мора бити pa.
• Код многих проблема струјања притисак на граничним површинама
је константан или је позната функција положаја и времена.
7
Бернулијево решење Ојлерових једначина
Ојлерове једначине могу да се реше само под одређеним условима.
За устаљено струјање баротропног флуида у пољу конзервативних сила, поменути услови гласе:
Из услова баротропности следи
па се трансформисана Ојлерова једначина (4)
0, ( ),p f gradUt
.)vrotv(dp
U2
vgrad
2
(7)
8
(4’)
Множењем једначине са усмереним елементом струјнице она
се пројектује на струјницу, односно путању. Пошто су вектори и
колинеарни, мешовити производ на десној страни је једнак нули
/ dL
Ld
v
Ld
.0vrot)vLd(Ld)vrotv(
1 dpgradp grad
своди на облик
.pgrad1
f)vrotv(2
vgrad
t
v 2
За било коју скаларну функцију је
па лева страна једначине (4’), после множења са , прелази у
диференцијал израза у загради. Тако се долази до уопштене
Бернулијеве једначине
,ddzz
dyy
dxx
Ldgrad
Ld
0
dpU
2
vd
2
.eC.Constdp
U2
v2
(8)
9
Бернулијева једначина је везана за струјницу. Лева страна једначине
(8) не мења се дуж исте струјнице. Константа C има другу вредност
чим се пређе са једне на другу струјницу. Она се одређује из познатих
вредности физичких величина за неку тачку на струјници. Ако је у
некој конкретној тачки М0
;,pp,UU,vv 0000
220
002 2
vv dp dpU U
уопштена Бернулијева једначина за две тачке на посматраној
струјници гласи
Бернулијева једначина за струјање
нестишљивог флуида
За нестишљиви флуид важи Ако нестишљиви флуид
струји у пољу Земљине теже, онда је функција силе одређена
изразом па се једначина (8) своди на
(10)
За две тачке М и М0 на истој струјници важи Бернулијева једначина у
ужем смислу
.const0
U gz
.eC.Constzgp
2
v2
,zgp
2
vzg
p
2
v0
020
2
z , z0 - висине тачака M и M0 у односу на изабрану
хоризонталну раван.
(11)
10
Пресек dA струјног влакна неизмерно је мали па се Бернулијева
једначина (10) може применити и за струјно влакно савршене
течности. За било која два пресека 1-1 и 2-2 струјног влакна ова
једначина гласи
z1, z2 - положај (тежишта) пресека струјног влакна у односу на
упоредну хоризонталну раван.
Једначина (12) се примењује и за два пресека струјне тј. техничке
цеви, кроз коју течност протиче. Тада физичке величине у (12)
представљају њихове средње вредности у уоченим пресецима.
- кинетичка енергија
gz - потенцијална енергија (јединице масе течности)
- притисна енергија.
2 21 1 2 2
1 2 .2 2
v p v pgz gz
2/v2
/p
(12)
11
Збир ових енергија назива се струјном енергијом јединице масе
течности. Величине e у (10) означава укупну струјну или механичку
енергију јединице масе нестишљивог флуида.
Ако се (10) подели са убрзањем земљине теже, следи
(13)
- брзинска висина (брзински напор)
- пијезометарска висина (пијезометарски напор)
z - геодезијска висина (геодезијски напор)
Hu - укупни или пуни напор струје течности
2
. ,2
uv p
z Const Hg g
g2/v2
g/p
12
За случај да је струјно влакно (цев) хоризонтално (z = const.),
Бернулијева једначина (10) гласи
p - струјни притисак течности,
- динамички притисак.
Притисак увек опада када, на истој висини z, брзина струјања
течности расте, и обрнуто.
На местима где је брзина једнака нули, притисак има највећу
вредност и назива се тотални притисак.
Бернулијева једначина има изузетан значај за технику -
најважнија једначина у хидраулици.
2
.,2
p vconst
2/v2
(14)
13
Коши - Лагранжево решење Ојлерове једначине
Ојлерове једначине се могу интегралити и у случају када је струјање
неустаљено, али под условом да брзина има потенцијал.
Зато се посматра потенцијално нестационарно струјање
баротропног флуида у пољу конзервативних сила:
1( ), , ,
dpp gradp grad f gradU v grad
)t,z,y,x()t,r(
14
Код потенцијалног струјања је , па се трансформисана
Ојлерова једначина (4)
своди на облик
0vrot
pgrad1
f)vrotv(2
vgrad
t
v 2
.dp
Ugrad2
vgrad
t
v 2
- потенцијал брзине
(15)
Па једначина (15) гласи
Kако градијент представља само операцију просторног
диференцирања, то услов да градијент буде једнак нули захтева да
израз у загради претходне једначине не зависи од координата x, y и z.
tgrad)grad(
tt
v
.0dp
U2
v
tgrad
2
15
Израз у загради може да зависи једино од времена t па је зато
Једначина (16) представља решење Ојлерове једначине за