Perhitungan Besaran Fisis Dinamika Fluida Relativistik dengan Menggunakan Lattice Gauge Theory Tugas Akhir Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains Andhika Oxalion 0303020139 Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2007
55
Embed
Perhitungan Besaran Fisis Dinamika Fluida Relativistik dengan ...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Perhitungan Besaran Fisis Dinamika Fluida
Relativistik dengan Menggunakan Lattice Gauge
Theory
Tugas Akhir
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains
Andhika Oxalion
0303020139
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok
2007
Lembar Persetujuan
Judul Skripsi : Perhitungan Besaran Fisis Dinamika Fluida Relativistik dengan
Menggunakan Lattice Gauge Theory
Nama : Andhika Oxalion
NPM : 0303020139
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Depok, Mei 2007
Mengesahkan
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. L. T. Handoko Dr. Terry Mart
Penguji I Penguji II
Dr. Anto Sulaksono Dr. Agus Salam
Kata Pengantar
Teori Medan Kuantum (Quantum Field Theory), alat kita untuk menjelaskan
gaya fundamental, diformulasikan dalam ruang-waktu kontinu dengan memper-
lakukan ruang dan waktu dalam dimensi yang setara. Di sisi lain, dinamika
fluida klasik mengandung besaran yang bergantung ruang dan waktu. Hal ini
menimbulkan ide mengenai kemungkinan dinamika fluida diformulasikan ulang
menggunakan teori medan. Kemudian, jika dapat dilakukan, harus dapat dihi-
tung besaran-besaran fisis yang ada dalam dinamika fluida tersebut.
Sebelumnya, penulis lain telah berhasil memformulasikan dinamika fluida meng-
gunakan teori medan, yaitu mencari Lagrangian dinamika fluida yang bila dipro-
ses lebih lanjut akan menghasilkan persamaan dinamika fluida relativistik. Pada
tugas akhir ini, penulis menghitung besaran-besaran fisis dinamika fluida ber-
dasarkan Lagrangian tersebut. Perhitungan besaran fisis ini dilakukan dengan
menggunakan Lattice Gauge Theory di mana ruang dan waktu kontinu pada
teori medan diganti dengan kumpulan titik diskrit pada kisi empat dimensi. Ke-
untungan yang diperoleh adalah, perhitungan yang rumit secara analitik dapat
diperoleh secara numerik. Penulis secara khusus mengucapkan terima kasih ke-
pada semua pihak yang telah membantu penyelesaian tugas akhir ini baik secara
langsung maupun tidak langsung, antara lain:
1. Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis
mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ide-
ide, dukungan dan saran yang diberikan.
2. Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir
dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama
kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini.
iii
3. Dr. Anto Sulaksono dan Dr. Agus Salam selaku penguji I dan II atas
diskusi dalam penyelesaian tugas akhir ini.
4. Orang tua dan kakak Alvin Stanza atas saran dan bantuan yang diberikan
semasa kuliah.
5. Rekan-rekan di Lab Teori : Ryky, Victor, Juju, Beriya, Popo, Freddy, Han-
dhika, Arum, Ardy, Nita, Harykin, Chandi, Pak Ayung, Pak Sulaiman, Mas
Parada.
6. Teman-teman fisika angkatan 2003 dan teman-teman di KMK.
7. Special thanks, kepada Heribertus Bayu Hartanto serta Nowo Riveli yang
sungguh membantu penulis mengejar materi dan juga dalam pemrograman.
Kepada Arif Budi Mulyawan yang telah bersedia meminjamkan komputer-
nya untuk menjalankan program.
8. Juga semua pihak yang tidak dapat disebutkan di sini atas dukungan dan
doa kepada penulis selama penyelesaian tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari sempurna, maka dari itu
penulis mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca demi perkembangan
riset di Fisika UI.
Depok, Mei 2007
Andhika Oxalion
iv
Abstrak
Dinamika fluida berbasis teori medan diformulasikan dalam kisi ruang waktu
diskrit. Dengan formulasi tersebut dihitung besaran fisis dinamika fluida rela-
tivistik dengan menggunakan simulasi Metropolis Monte Carlo. Formulasi ini
memberikan pemahaman dasar untuk perhitungan bermacam-macam observable
dari fenomena yang dimodelkan dengan Lagrangian dinamika fluida di mana ti-
dak ada jaminan teori perturbasi berlaku.
Kata kunci: Lagrangian dinamika fluida, lattice gauge theory, interaksi sistem
multi fluida
viii+30 hlm.; lamp.
Daftar Acuan: 13(1993-2006)
Abstract
Fluid dynamics based on the gauge field theory is formulated on a discrete space-
time lattice. Using this formulation, physical observable of relativistic fluid dyna-
mics is calculated using Metropolis Monte Carlo simulation. This formulation
provides basic knowledge to calculate some observables for phenomenon modeled
with the fluid dynamics Lagrangian where no guarantee that perturbation theory
Dengan analogi path integral mekanika kuantum kita menuliskan representasi
fungsi Green dalam integral fungsional [11],
〈0 |φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn) |0〉 =1
Z
∫
Dφ φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn)eiS (3.16)
dengan
Z =
∫
DφeiS (3.17)
Pada pembahasan sebelumnya, dapat dilihat bahwa perhitungan path integral
melibatkan komponen eksponen imaginer, yang bila diekspansi merupakan kom-
ponen yang berosilasi. Hal ini membuat integral tidak dapat dihitung secara
numerik. Namun, hal ini dapat diatasi dengan menggunakan kontinuasi analitik
ke waktu imaginer. Dengan cara ini, eksponen menjadi real dan dapat dihi-
tung secara numerik. Sistem ruang waktu dengan komponen waktu imaginer
ini disebut ruang waktu Euclidean. Karena sebelumnya diturunkan persamaan
menggunakan ruang waktu Minkowski, maka harus dilakukan substitusi
t = x0 → −ix4 (3.18)
Sebagai contoh, kita lakukan kontinuasi pada medan skalar dengan aksi
S =
∫
d4x
[
1
2(∂µφ)(∂µφ) − m2
2φ2
]
(3.19)
16
Dengan melakukan integrasi parsial, aksi dapat ditulis sebagai
S =1
2
∫
d4xφ(−∂2 − m2)φ. (3.20)
Kontinuasi ke waktu imaginer dilakukan dengan substitusi
d4x = dx0dx1dx2dx3
= −idx1dx2dx3dx4
= −id4xE
∂2 = ∂20 − ∂2
1 − ∂22 − ∂2
3
= −∂21 − ∂2
2 − ∂23 − ∂2
4
= −∂2E
yang menghasilkan
iS =i
2
∫
(−i)d4xEφ(∂2E − m2)φ
= −1
2
∫
d4xEφ(−∂2E + m2)φ
= −SE (3.21)
dengan
SE =1
2
∫
d4xEφ(−∂2E + m2)φ (3.22)
merupakan aksi medan skalar dalam ruang waktu Euclidean. Fungsi Green versi
Euclidean adalah
〈0 |φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn) |0〉E =1
Z
∫
Dφ φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn)e−SE (3.23)
dengan
Z =
∫
Dφe−SE (3.24)
Selanjutnya huruf E untuk menunjukkan versi Euclidean akan dihilangkan, te-
tapi dimengerti bahwa kita menggunakan ruang waktu Euclidean. Kita lihat
bahwa setelah dilakukan kontinuasi ke waktu imajiner, integran dari Z tidak la-
gi berosilasi sehingga integrasi tersebut dapat dihitung secara numerik. Dengan
representasi Euclidean, faktor yang berosilasi berubah menjadi eksponensial me-
nurun yang lebih mirip dengan faktor bobot klasik. Lintasan yang lebih disukai
tetap lintasan yang memiliki aksi SE minimum [8].
17
3.3 Diskritisasi
Setelah membuat formulasi ruang-waktu secara Euclidean, kita membentuk kisi
sebagai metode perhitungan. Kisi pada hal ini adalah susunan ruang waktu secara
diskrit dengan geometri hiperkubik empat dimensi dengan jarak antar tiap titik
kisi (sites) adalah a. Dengan demikian pada, medan hanya memiliki nilai pada
titik-titik kisi
xµ = mµa, mµ = 0, 1, . . . , N − 1. (3.25)
sehingga panjang sisi dari kotak hiperkubik ialah L = Na dan volumenya L4.
Medan Aµ pada titik kisi xµ = mµa ditulis dengan notasi Aµx. Dengan dilaku-
Gambar 3.3: Lattice atau kisi 3 dimensi
kannya diskritisasi, maka integral dapat digantikan dengan sumasi
∫
d4x → a4N−1∑
m1
N−1∑
m2
N−1∑
m3
N−1∑
m4
= a4∑
m
=∑
x
(3.26)
yang pada limit kontinu harus dipenuhi
∑
x
f(x) →∫ L
0
d4xf(x), N → ∞, a → 0, L tetap (3.27)
Sekarang akan dilakukan diskritisasi suku pure gauge pada persamaan 2.12. Ten-
sor kuat medan yang diberikan oleh
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (3.28)
18
Dengan turunan atau derivatif medan diganti dengan perbedaan atau selisih med-
an antara dua titik kisi,
∂µAν =1
a(Aνx+aµ − Aνx), (3.29)
∂νAµ =1
a(Aµx+aν − Aµx) (3.30)
dengan µ dan ν merupakan vektor satuan pada arah µ dan ν. Dengan diskritisasi
yang telah dijelaskan maka kita dapat menulis aksi untuk medan pure gauge pada
persamaan (2.12) dalam bentuk diskrit [7]
S =1
4
∫
d4xFµνFµν → 1
4
∑
x
1
a2[(Aνx+aµ − Aνx) − (Aµx+aν − Aµx)]
[(Aνx+aµ − Aνx) − (Aµx+aν − Aµx)] (3.31)
3.4 Transformasi Gauge pada Lattice
Perhatikan aksi dari medan skalar pada persamaan (3.19). Untuk medan skalar
kompleks, setelah diskritisasi, aksi tersebut dapat ditulis menjadi
S = a4∑
m,µ
Re
[
−φ†x
(
φx+aµ + φx−aµ − 2φx
a2
)
+ m2φ†xφx
]
(3.32)
Aksi tersebut invarian terhadap transformasi gauge global
φx → φ′x = Ωφx
φ†x → φ†′
x = φ†xΩ
†
dengan Ω = e−iθ merupakan elemen dari grup U(1). Kemudian, aksi tersebut
harus invarian terhadap transformasi gauge lokal U(1), dengan elemen grup Ω
bergantung pada titik kisi, Ω = Ωx. Sehingga medan φx bertransformasi sebagai
berikut,
φx → φ′x = Ωxφx (3.33)
φ†x → φ†′
x = φ†xΩ
†x. (3.34)
Dari transformasi tersebut, perhatikan besaran φ†xφx+aµ dan φ†
xφx−aµ. Besaran
tersebut tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal yang didefinisikan pada
19
persamaan (3.32) dan (3.33)
φ†xφx+aµ → φ†
xΩ†xΩx+aµφx+aµ, (3.35)
φ†xφx+aµ → φ†
xΩ†xΩx−aµφx−aµ. (3.36)
Agar besaran tersebut invarian, maka kita membutuhkan suatu besaran Uµx yang
bertransformasi sebagai berikut,
Uµx → ΩxUµxΩ†x+aµ (3.37)
Uµx merupakan besaran yang menghubungkan titik kisi yang satu dengan titik kisi
lainnya pada lattice, dan disebut dengan variabel ”link”. Di dalam variabel link
terdapat medan gauge Aµ agar besaran pada persamaan (3.31) invarian terhadap
transformasi gauge lokal. Variabel link didefinisikan sebagai
Uµx = Ux,x+aµ = eigaAµx (3.38)
Sehingga kita memiliki bentuk yang invarian terhadap transformasi gauge lokal
pada lattice
φ†xφx+aµ → φ†
xUx,x+aµφx+aµ (3.39)
φ†xφx−aµ → φ†
xU†x−aµ,xφx+aµ (3.40)
dimana
U−µx = U †x−aµ,x = Ux,x−aµ = e−igaAµx−aµ (3.41)
Pada teori kontinum Uµx tidak lain merupakan parallel transporter yang analog
dengan obyek yang sama pada geometri diferensial, yang memetakan vektor dari
titik yang satu ke titik lainnya sepanjang kurva.
U(x, y; C) = eigR xy
Aµ(z)dzµ . (3.42)
Parallel transporter tidak hanya bergantung pada titik x dan y tetapi juga kurva
C yang dipilih.
Dengan diperkenalkannya variabel link Uµx yang didalamnya terdapat medan
gauge Aµ, maka kita dapat menulis aksi untuk medan gauge pada lattice yang
20
Gambar 3.4: Lintasan C antara x dan y
invarian terhadap transformasi gauge lokal dalam Uµx. Untuk itu perhatikan
medan gauge yang didefinisikan sebagai berikut
FµνFµν = (∂µAν − ∂νAµ) (∂µAν − ∂νAµ) (3.43)
di mana
Aµ =
(
|~v|21 − β2
φ,−~v
√
1 − β2φ
)
(3.44)
= ǫµφ
dengan
ǫµ =
(
|~v|21 − β2
,−~v
√
1 − β2
)
(3.45)
Pada Aµ telah dibuat ansatz bahwa Aµ dapat diseparasi menjadi ǫµ dan φ, di
mana φ merupakan suatu besaran medan berdimensi massa, [φ] = 1, atau suatu
medan yang memiliki kecepatan ~v. Sehingga persamaan (3.42) dapat ditulis
menjadi
FµνFµν = (∂µ (ǫνφν) − ∂ν (ǫµφµ)) (∂µ (ǫνφ
ν) − ∂ν (ǫµφµ)) (3.46)
Kemudian dilakukan separasi komponen waktu dan ruang secara eksplisit untuk
mempermudah perhitungan. Sebagai berikut
FijFij = (∂i (ǫjφj) − ∂j (ǫiφi))
(
∂i(
ǫjφj)
− ∂j(
ǫiφi))
(3.47)
Fi0Fi0 = (∂i (ǫ0φ0) − ∂0 (ǫiφi))
(
∂i(
ǫ0φ0)
− ∂0(
ǫiφi))
(3.48)
F0jF0j = (∂0 (ǫjφj) − ∂j (ǫ0φ0))
(
∂0(
ǫjφj)
− ∂j(
ǫ0φ0))
(3.49)
21
Dengan asumsi bahwa loop yang diamati sangat kecil maka dapat diasumsikan
bahwa ǫ0 = ǫi = ǫj = konstanta. Dengan menjumlahkan persamaan (3.47)
hingga (3.49), diperoleh
FµνFµν = ǫiǫj (∂iφj − ∂jφi)
(
∂iφj − ∂jφi)
+ 2ǫ0ǫi (∂0φi − ∂iφ0)(
∂0φi − ∂iφ0)
(3.50)
Dalam tugas akhir ini digunakan variabel link yang berbeda sebab digunakan
separasi pada Aµ. Variabel link, Uµx dengan Aµ yang kita gunakan dapat ditulis
sebagai
Uµx = eigaAµx
= eigaǫµφx
=(
eigaφx)ǫµ
= U ǫµ
x (3.51)
dengan Ux = eigaφx . Dengan cara ini, kita dapat menuliskan medan gauge pada
persamaan (3.43) dalam variabel link Ux sebagai
FµνFµν = ǫiǫj
(
UixUjx+aiU†ix+ajU
†jx
)
+ 2ǫ0ǫi
(
U0xUix+a0U†0x+aiU
†ix
)
(3.52)
Aksi pada kisi pada persamaan (3.31) yang kecil dapat dituliskan [7]
S =1
g2
∑
x
∑
µ<ν
[
1 − 1
2
(
Uµνx + U †µνx
)
]
≈ 1
4
∑
xµν
a4FµνxFµνx (3.53)
Dengan
Uµνx = UµxUνx+aµU †µx+aνU
†νx (3.54)
yang dapat ditulis dalam bentuk singkat
SG[U ] =1
g2
∑
P
[
1 − 1
2
(
UP + U †P
)
]
(3.55)
Untuk kasus non-Abelian
SSU(N)G [U ] =
2N
g2
∑
P
[
1 − Tr
2N
1
2
(
UP + U †P
)
]
(3.56)
22
Gambar 3.5: Uµνx pada sebuah Plaquette
3.5 Observable
Suatu besaran yang terukur (observable) dalam mekanika kuantum adalah hasil
operasi suatu operator terhadap state tertentu. Didefinisikan 〈f | O | i〉 sebagai
nilai observable dengan operator O yang muncul akibat transisi dari keadaan | i〉ke keadaan |f〉 .Observable suatu sistem tidak selalu bergantung pada transisi keadaan sistem.
Kita definisikan operator observable yang tidak bergantung transisi dan yang
bergantung transisi masing-masing sebagai O′ dan O′. Dengan demikian dapat
dituliskan
〈f | O |i〉 = 〈f | O′ + O′ | i〉
= 〈f | O′ | i〉 + 〈f | O′ | i〉
= 〈i | O′ |i〉 + 〈f | O′ | i〉 (3.57)
Pada suku pertama r.h.s, keadaan akhir tetap |f〉 sebab interaksi tidak me-
nyebabkan transisi, maka dari itu hanya suku kedua r.h.s yang diperhitungkan.
Dalam kaitannya dengan path integral didapatkan
〈i | O′ |i〉 =
∫
D[medan]e−S0 (3.58)
〈f | O′ |i〉 =
∫
D[medan]e−(S0+S′) (3.59)
23
di mana pada persamaan tersebut, interaksi yang mengakibatkan munculnya ob-
servable O′ dan O′ adalah aksi S0 dan S ′, sementara D[medan] menandakan
integrasi terhadap seluruh medan yang terdapat dalam integran. Langkah selan-
jutnya ialah normalisasi besaran 〈f | O | i〉 terhadap 〈i | O′ | i〉 , dinotasikan sebagai
Z.
Z =Z ′
Z0=
∫
D[medan]e−(S0+S′)
∫
D[medan]e−S0
(3.60)
Ekspansikan e−S′
hingga orde pertama, didapatkan
Z =
∫
D[medan](1 − S ′)e−S0
∫
D[medan]e−S0
Pada persamaan (2.11) dan (2.12) tampak bahwa medan pada Lagrangian fluida
terdiri atas φ dan Aµ. Dengan menyatakan bahwa S ′ adalah aksi yang mengan-
dung Aµ saja dan S0 sebagai aksi yang hanya mengandung φ, dapat dituliskan
Z =
∫
DφDAS ′e−S0
∫
DφeiS0
(3.61)
dengan∫
DA pada r.h.s tidak diperhitungkan karena tidak bergantung transisi.
Karena aksi merupakan integrasi Lagrangian terhadap ruang-waktu tak berhing-
ga dan tidak dapat dipastikan memiliki suatu harga tertentu, maka integrasi ini
tidak dilakukan sehingga kita hanya dapat menghitung densitas Z yang dinota-
sikan sebagai ZZ =
∫
DφDAL′e−S0
∫
Dφe−S0
(3.62)
Persamaan di atas masih dapat disederhanakan mengingat S0 hanya bergantung
pada φ dan L′ hanya bergantung pada Aµ sehingga didapatkan
Z =
∫
Dφe−S0
∫
DAL′
∫
Dφe−S0
=
∫
DAL′ (3.63)
3.6 Path Integral dan Mekanika Statistik
Formulasi teori medan kuantum Euclidean pada lattice memiliki analogi dengan
mekanika statistik. Pada persamaan (3.24) kita telah melihat bahwa integral
24
fungsional memiliki bentuk serupa dengan fungsi partisi pada mekanika statis-
tik. Berikut ini adalah beberapa analogi antara formulasi teori medan kuantum
Euclidean dengan mekanika statistik [10].
∫
Dφe−SE → Σe−βH
SE → βH
Dengan dasar analogi formal tersebut dapat digunakan metode yang berlaku
pada mekanika statistik dalam teori medan, dan sebaliknya. Bahkan terminologi
yang digunakan pada keduanya seringkali identik. Dalam tugas akhir ini, fungsi
partisi yang digunakan adalah densitas fungsi partisi yang telah dinormalisasi
(3.66), sehingga besaran fisis yang didapat juga dalam bentuk densitas.
Dengan persamaan (3.63) dan (3.52) dapat dihitung Z sebagai berikut
Z =1
4
∫
DAǫiǫj
(
UixUjx+aiU†ix+ajU
†jx
)
+ 2ǫ0ǫi
(
U0xUix+a0U†0x+aiU
†ix
)
=1
4
(−i
ga
)4 ∫ǫ0ǫ1ǫ2ǫ3
U0xU1xU2xU3x
dU0x
∏
i
dUixǫiǫj
(
UixUjx+aiU†ix+ajU
†jx
)
+2ǫ0ǫi
(
U0xUix+a0U†0x+aiU
†ix
)
(3.64)
Besaran fisis pada mekanika statistik dapat diturunkan menggunakan fungsi par-
tisi, contohnya [12]
F = − lnZ energi bebas sistem
P = −∂F
∂Vtekanan
S =dPdT
entropi
25
Bab 4
Hasil dan Pembahasan
Fluida murni dapat dimodelkan dengan Lagrangian pada persamaan (2.11 - 2.12)
untuk kasus non-Abelian. Dalam persamaan tersebut terdapat suku pure gauge
yang merepresentasikan fluida murni, yaitu
LPG = −1
4F a
µνFaµν (4.1)
Dari persamaan tersebut dapat dilihat adanya interaksi antar fluida yang berbeda
(ditunjukkan oleh indeks a), maka Lagrangian untuk kasus non-Abelian meng-
gambarkan sistem multi fluida. Melalui definisi F aµν ≡ ∂µA
aν − ∂νA
aµ − gfabcAb
µAcν
kita dapat mengetahui bahwa Lagrangian tersebut hanya mengandung suku ki-
netik (derivatif). Oleh karena itu, Lagrangian ini menggambarkan pergerakan
(aliran) fluida saja, sehingga diinterpretasikan sebagai Lagrangian fluida murni.
Besaran fisis dapat dihitung menggunakan fungsi partisi, sementara itu dari sub-
bab (3.6) sudah diketahui bahwa terdapat hubungan antara path integral dengan
mekanika statistik. Dengan demikian dapat dicari besaran-besaran fisis sistem
dengan menghitung path integral. Masalahnya adalah tidak diketahuinya besar
konstanta kopling, g, untuk kasus fluida. Solusinya adalah perhitungan harus
dilakukan secara nonperturbatif dengan metode Lattice Gauge Theory. Perhi-
tungan path integral secara nonperturbatif dilakukan dengan menyusun aksi pa-
da persamaan (3.56) dalam kerangka ruang-waktu diskrit berdasarkan teori pada
bab 3, kemudian dilakukan perhitungan dengan metode Monte Carlo menggu-
nakan algoritma Metropolis.
Perhitungan fungsi partisi pada kisi 4 dimensi dilakukan 2 kali dengan jumlah
titik kisi masing-masing 104 dan 304 titik kisi dengan menggunakan volume kisi
Gambar 4.3: Nilai Z pada kisi 304 site dengan |v| = 0 hingga 0.5c
Penjelasan pemilihan batas perhitungan pada |v| = 0.5c adalah : (a) penjelasan
matematis karena Z meningkat secara asimtotik dan, (b) penjelasan fisis karena
nilai F pada |v| = 0.5c sudah bernilai negatif seperti tampak pada gambar (4.4).
28
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
F d
ensi
ty
v(c)
Gambar 4.4: Nilai F pada kisi 304 site dengan |v| = 0 hingga 0.5c
Pada gambar 4.4 diplot nilai F terhadap |v|. Dalam konteks sistem multi fluida,
F adalah nilai densitas energi bebas yang dapat digunakan dalam interaksi antar
fluida. Dengan demikian, nilai F yang asimtotik pada |v| = 0 menandakan bahwa
fluida berinteraksi sangat kuat dengan fluida lainnya. Namun kuat interaksi ini
menurun bila fluida bergerak dan akhirnya interaksi tidak terjadi lagi bila energi
kinetik sudah lebih besar daripada energi interaksi.
Sekilas bila kita perhatikan persamaan (3.63), tampak bahwa nilai konstanta
lebar kisi a berada di luar tanda integral. Hal ini tentu menimbulkan pertanyaan
mengenai pengaruh pemilihan a terhadap nilai Z. Untuk menjawabnya, perlu
ditekankan bahwa nilai Z yang dihitung adalah nilai densitas pada satu titik kisi,
belum nilai Z sebenarnya. Untuk menghitung nilai Z perlu dilakukan integrasi Zterhadap ruang-waktu 4 dimensi, yang tentu saja akan menghilangkan pengaruh
nilai a4 pada penyebut. Perhitungan tersebut melibatkan teori finite temperature
lattice gauge theory yang diharapkan akan menjadi kelanjutan dari tugas akhir
ini.
29
Bab 5
Kesimpulan
Dari perhitungan dan analisis yang dilakukan pada pemodelan fluida murni de-
ngan dinamika fluida berbasis teori medan, dapat disimpulkan bahwa besarnya
densitas fungsi partisi Z berubah secara asimtotik terhadap kecepatan |v| Perbe-
daan nilai Z dengan jarak antar titik kisi yang berbeda bukanlah suatu masalah
sebab nilai Z adalah nilai densitas, bukan nilai Z sebenarnya. Fisika seharusnya
tidak berubah terhadap pemilihan jarak antar titik kisi. Fluktuasi memang dapat
terjadi, tetapi hanya dapat disebabkan oleh kesalahan statistik pada perhitung-
an dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Perhitungan yang stabil pada
jumlah titik kisi yang besar (jarak antar titik kisi yang kecil, bila volume kisi
konstan) menunjukkan bahwa metode lattice memberi hasil yang baik pada dae-
rah perhitungan sangat kecil. Nilai energi yang diskontinu pada kecepatan |v| = 0
menunjukkan bahwa interaksi antar fluida pada |v| = 0 sangatlah kuat. Kuat in-
teraksi ini menurun secara asimtotik pula dengan bertambahnya kecepatan, hal
ini disebabkan partikel yang bergerak, secara logis, akan berinteraksi sangat kecil
satu sama lain hingga pada kecepatan tertentu di mana energi interaksi sudah
sangat kecil akibat besarnya energi kinetik.
Formulasi dan perhitungan menggunakan LGT merupakan teknik yang menjan-
jikan untuk mempelajari sistem-sistem yang dimodelkan menggunakan Lagrang-
ian dinamika fluida dimana tidak ada kepastian mengenai besarnya konstanta
kopling, sehingga tidak ada jaminan teori perturbasi berlaku. Penelitian le-
bih lanjut memerlukan finite temperature lattice gauge theory dan melibatkan
interaksi-interaksi selain interaksi antar fluida.
30
Lampiran A
Evaluasi Path Integral denganMetode Monte Carlo
Berikut ini akan dijelaskan metode yang digunakan untuk mengevaluasi path in-
tegral secara numerik. Integrasi yang harus dilakukan untuk mengevaluasi path
integral sangat banyak, sehingga metode Monte Carlo merupakan metode yang
paling efisien. Sebagai ilustrasi, simulasi pada lattice dengan 40 titik kisi pada
setiap arah, maka terdapat variabel link sebanyak 4 ·404. Bila simulasi dilakukan
untuk grup gauge SU(3) maka terdapat variabel real sebanyak 81.920.000.
Secara prinsip, rata-rata path integral 〈〈Γ[x]〉〉 dari sembarang fungsional Γ[x]
dapat digunakan untuk menghitung berbagai sifat fisis di teori kuantum. Besaran
〈〈Γ[x]〉〉 =
∫
Dx(t)Γ[x]e−S[x]
∫
Dx(t)e−S[x](A.1)
merupakan rata-rata terhadap konfigurasi dengan bobot e−S[x]. Konfigurasi acak
dibuat dalam jumlah yang banyak, Ncf ,
xα ≡
xα0 xα
1 . . . xαN−1
, α = 1, 2, . . . , Ncf (A.2)
sehingga probabilitas untuk memperoleh konfigurasi tertentu x(α) ialah
P [xα] ∝ e−S[x] (A.3)
Kemudian himpunan konfigurasi ini dirata-ratakan untuk mengaproksimasi nilai
harapan 〈〈Γ[x]〉〉
〈〈Γ[x]〉〉 ≈ Γ ≡ 1
Ncf
Ncf∑
α=1
Γ[x(α)]. (A.4)
31
Γ merupakan ”Monte Carlo estimator” untuk 〈〈Γ[x]〉〉 di lattice. Namun, seperti
statistik pada umumnya, akurasi dipengaruhi oleh banyaknya data yang diguna-
kan, dalam hal ini : besar Ncf . Karena Ncf tidak mungkin dibuat tak berhingga,
ketidakpastian Monte Carlo σΓ pada estimasi merupakan sumber kesalahan yang
potensial. Kesalahan atau deviasi dihitung seperti pada umumnya,
σ2Γ≈ 1
Ncf
1
Ncf
Ncf∑
α=1
Γ2[x(α)] − Γ2
(A.5)
Persamaan di atas menjadi
σ2Γ
=〈〈Γ2〉〉 − 〈〈Γ〉〉2
Ncf
(A.6)
untuk Ncf yang besar. Dari persamaan (A-6) tampak bahwa ketidakpastian sta-
tistik sebanding dengan 1/√
Ncf .
Untuk mendapatkan konfigurasi acak dengan probabilitas (A.1), diperlukan al-
goritma tertentu. Berikut adalah beberapa metode yang umum digunakan untuk
membuat konfigurasi :
• Metode Metropolis
• Algoritma Langevin
• Algoritma Heatbath
• Algoritma Hybrid dan Hybrid Monte Carlo
• Metode Molecular Dynamics
Simulasi untuk tugas akhir ini dilakukan dengan algoritma Metropolis. Prose-
dur adalah yang paling sederhana walaupun bukan yang terbaik. Prosedur ini
dimulai dengan konfigurasi sembarang x(0) (inisialisasi) dan memodifikasinya de-
ngan mengunjungi setiap titik kisi pada lattice, dan membangkitkan bilangan
acak untuk xj pada titik kisi tersebut, dengan cara yang akan dijelaskan beri-
kutnya. Di sini dibuat konfigurasi acak yang baru dari konfigurasi sebelumnya:
x(0) → x(1). Cara ini disebut dengan update konfigurasi. Dengan menerapkan al-
goritma tersebut ke x(1) kita mendapatkan konfigurasi x(2), dan seterusnya hingga
32
Ncf konfigurasi. Himpunan konfigurasi ini akan terdistribusi secara tepat bila Ncf
cukup besar.
Algoritma untuk membangkitkan bilangan acak untuk xj pada titik kisi j ialah
sebagai berikut [13]:
• Bangkitkan bilangan acak ζ , dengan probabilitas terdistribusi seragam an-
tara −ǫ dan ǫ dengan ǫ suatu konstanta.
• Ganti xj → xj + ζ dan hitung perubahan aksi ∆S.
• Bila aksi berkurang, ∆S < 0, ambil nilai baru untuk xj dan lanjutkan
proses ke titik kisi berikutnya.
• Bila ∆S > 0, bangkitkan bilangan acak η yang terdistribusi secara uniform
antara 0 dan 1; ambil nilai yang baru untuk xj bila exp(−∆S) > η, selain-
nya ambil nilai yang lama dan lanjutkan proses ke titik kisi berikutnya.
Terdapat dua hal penting terkait dengan algoritma ini. Pertama, secara umum,
akan terdapat beberapa bahkan banyak nilai xj yang sama pada dua konfigurasi.
Jumlah overlap ini ditentukan oleh parameter ǫ: bila ǫ sangat besar, perubahan
pada xj biasanya besar dan sebagian besar akan ditolak; sementara bila ǫ sangat
kecil, perubahannya akan kecil dan kebanyakan akan diterima, tetapi nilai xj
yang baru akan mendekati atau sama dengan nilai yang lama. Parameter ǫ harus
disesuaikan sehingga 40%-60% xj akan berubah untuk tiap update pada titik ki-
si. Berapapun ǫ, konfigurasi yang berurutan akan mirip (berkorelasi tinggi) dan
mengandung informasi yang mirip pula. Solusinya, konfigurasi x(α) diakumulasi
untuk estimasi Monte Carlo, kemudian hanya diambil tiap Ncor konfigurasi se-
hingga memberikan kita konfigurasi yang tidak bergantung secara statistik. Nilai
optimal dari Ncor bergantung dari teori dan dapat diperoleh dengan mencoba.
Ncor juga bergantung pada jarak antar titik kisi a,
Ncor ∝1
a2(A.7)
Hal kedua yang perlu diperhatikan ialah prosedur untuk memulai algoritma. Kon-
figurasi awal yang digunakan untuk memulai seluruh proses biasanya kurang ber-
aturan. Konsekuensinya kita harus mengabaikan sejumlah konfigurasi di awal,
33
sebelum memulai mengumpulkan nilai x(α). Pengabaian 5Ncor hingga 10Ncor kon-
figurasi biasanya cukup. Proses ini disebut dengan ”termalisasi lattice”.
Sebagai ringkasan, langkah-langkah perhitungan 〈〈Γ[x]〉〉 secara Monte Carlo un-
tuk suatu Γ[x] dengan konfigurasi x adalah
1. Inisialisasi konfigurasi, misalnya semua x diset menjadi nol.
2. Update konfigurasi 5Ncor sampai 10Ncor kali untuk termalisasi.
3. Update konfigurasi Ncor kali, lalu hitung Γ[x] kemudian simpan dan ulangi
sebanyak Ncf kali.
4. Rata-ratakan Ncf nilai dari Γ[x] yang disimpan pada langkah sebelumnya
untuk memperoleh Monte Carlo estimator Γ untuk 〈〈Γ[x]〉〉.