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Difusão e Random walks

Jan 03, 2016

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Difusão e Random walks. Na aula passada. Aula do prof. Raul Donangelo: na p ágina. Marcelo A. F. Gomes Fractal Geometry in crumpled paper balls American Journal of Physics 55 , 649 (1987). Na aula anterior. Random walk 1 dimensão  Random walk 2 dimensões - PowerPoint PPT Presentation

  • Difuso e Random walks

  • Na aula passadaMarcelo A. F. GomesFractal Geometry in crumpled paper ballsAmerican Journal of Physics 55, 649 (1987) Aula do prof. Raul Donangelo: na pgina

  • Na aula anteriorRandom walk 1 dimenso

    Random walk 2 dimenses Self-avoiding walksDifuso Passo constantePasso aleatrio

  • Difuso e Random walkRandom walk seguir a trajetria de uma partculaDifuso estudar como a densidade de molculas varia: r(x,y,z,t)

  • Para definir a densidadepequeno o suficiente comparado a tamanhos macroscpicosMuito maior que distncias interatmicas: contm um nmero grande de molculasdV Infinitsimo fsico

  • Equao de difusoparmetro relacionado constante de difuso dos random walksD

  • Difuso em uma dimensoSoluo Com s=s(t)

  • Difuso

  • Como implementar numericamenter(x,t)= r(iDx,nDt)=r(i,n)n= tempoi= posio

    Discretizar x e t

  • Diferenas finitas

  • Substituindo

  • Para fazer o programan= tempo n=0 a tfinal

    i= posio i=-L a L

    bordas ?

    Fixas e distantes

  • EstabilidadeDistrbio se espalha de s durante um passo de simulao

  • ProgramaInicializa r:

    Para n= 1 at tfinalPara i= -L+1 at L-1Escreve r para n desejado: t = 0, 10, 100 Para L

  • Random walk e difuso1 dimenso bin=1105 realizaespasso=+-1D=1t = n1 realizao Dx=1.0 D =1 Dt=0.5 t=nDtSatisfaz a condio de estabilidade

  • Random walk e difusot=0

  • Random walk e difusot=10Dtt=10 passos-6
  • Random walk e difusot=100Dtt=100 passos-20
  • t=100Dt~ -20 < x < 20t=10Dt~ -6 < x < 6x 10x

  • Oscilao da densidade - RWSe um RW comea da origem e d um nmero par de passos de tamanho 1 ele s pode estar num stio par!

  • Oscilao da densidade - difusoSingularidade:delta de Dirac, carga puntualDensidade inicial concentrada em um nico stio: r(0,0)=1.0Menor dimenso do sistema

  • SoluesTomar a mdia sobre stios adjacentes (RW-aula passada)

  • Bin=2 RWt=10 passost=100 passos

  • SoluesTomar a mdia sobre stios adjacentes (RW-aula passada)Espalhar a densidade inicial sobre vrios stios

  • Largura inicial w=3 stiost=100Dtt=10Dt

  • Largura inicial w=9 stiost=100Dtt=10Dt

  • Difuso em 2Dt=0t=6Dtt=20DtDt=0.25, Dx=1.0, D=1.0, |x,y|
  • Caf com creme Como fazer RW ? Cada molcula executa um random walk em uma rede 2D

    Permitimos mltipla ocupao em cada stio

    A cada passo escolhemos uma molcula aleatoriamente

  • t=0 t=104 400 molculas em uma rede 200x200

  • Passando o tempo t=105 t=106comportamento difusivo

  • EntropiaFuno de estado

  • 2a lei da termodinmicaEntropia baixat =0Entropia altat grande

  • Entropia para caf com cremeNo igual a redegrid: 8x8 =64 i clulas

  • Para 1 molcula de cremeEstado i: molcula localizada na clula i do gridPi = probabilidade de encontrar a molcula no estado i em um determinado t

  • EntropiaMedida do grau de desordem do sistemaW nmero de estados acessveis Muito ordenadoMuito desordenadoS grande

  • Definio estatstica de entropiaSoma sobre todas as clulas do gridMuitas molculas: clculo de Pi

  • 2a lei da termodinmicaEntropia baixaCreme TODO no centro da xcara t =0Creme em torno docentro da xcara S pequeno

  • 2a lei da termodinmicat grandesHiptese ergdica: todos os estados de um sistema em equilbrio vo ser ocupados com igual probabilidadeEntropia alta

  • 2a lei da termodinmica As partculas se espalham para ocupar todos os estados possveis e maximizam a entropia

  • Modelos de crescimento de clusterModelo de EdenModelo DLADifusion limited aggrgation

  • Modelo de Eden Escolha uma semente (0,0) encontre o permetro do cluster (1,0) e (0,1) escolha aleatoriamente um stio do permetro para ocupar encontre o permetro do novo cluster escolha aleatoriamente um stio do permetro para ocupar at o tamanho desejado

  • Modelos de crescimento de clusterModelo de Eden

  • Modelos de crescimento de clusterDLA - Difusion limited aggregation

  • Dimenso fractalAro Disco esfera cluster

  • Dimenso fractalModelo de Eden

  • RefernciaComputational Physics, Nicholas Giordano

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