Difusão e Random walks

Difuso e Random walks

Na aula passadaMarcelo A. F. GomesFractal Geometry in crumpled paper ballsAmerican Journal of Physics 55, 649 (1987) Aula do prof. Raul Donangelo: na pgina

Na aula anteriorRandom walk 1 dimenso

Random walk 2 dimenses Self-avoiding walksDifuso Passo constantePasso aleatrio

Difuso e Random walkRandom walk seguir a trajetria de uma partculaDifuso estudar como a densidade de molculas varia: r(x,y,z,t)

Para definir a densidadepequeno o suficiente comparado a tamanhos macroscpicosMuito maior que distncias interatmicas: contm um nmero grande de molculasdV Infinitsimo fsico

Equao de difusoparmetro relacionado constante de difuso dos random walksD

Difuso em uma dimensoSoluo Com s=s(t)

Difuso

Como implementar numericamenter(x,t)= r(iDx,nDt)=r(i,n)n= tempoi= posio

Discretizar x e t

Diferenas finitas

Substituindo

Para fazer o programan= tempo n=0 a tfinal

i= posio i=-L a L

bordas ?

Fixas e distantes

EstabilidadeDistrbio se espalha de s durante um passo de simulao

ProgramaInicializa r:

Para n= 1 at tfinalPara i= -L+1 at L-1Escreve r para n desejado: t = 0, 10, 100 Para L

Random walk e difuso1 dimenso bin=1105 realizaespasso=+-1D=1t = n1 realizao Dx=1.0 D =1 Dt=0.5 t=nDtSatisfaz a condio de estabilidade

Random walk e difusot=0

t=100Dt~ -20 < x < 20t=10Dt~ -6 < x < 6x 10x

Oscilao da densidade - RWSe um RW comea da origem e d um nmero par de passos de tamanho 1 ele s pode estar num stio par!

Oscilao da densidade - difusoSingularidade:delta de Dirac, carga puntualDensidade inicial concentrada em um nico stio: r(0,0)=1.0Menor dimenso do sistema

SoluesTomar a mdia sobre stios adjacentes (RW-aula passada)

Bin=2 RWt=10 passost=100 passos

SoluesTomar a mdia sobre stios adjacentes (RW-aula passada)Espalhar a densidade inicial sobre vrios stios

Largura inicial w=3 stiost=100Dtt=10Dt

Largura inicial w=9 stiost=100Dtt=10Dt

Caf com creme Como fazer RW ? Cada molcula executa um random walk em uma rede 2D

Permitimos mltipla ocupao em cada stio

A cada passo escolhemos uma molcula aleatoriamente

t=0 t=104 400 molculas em uma rede 200x200

Passando o tempo t=105 t=106comportamento difusivo

EntropiaFuno de estado

2a lei da termodinmicaEntropia baixat =0Entropia altat grande

Entropia para caf com cremeNo igual a redegrid: 8x8 =64 i clulas

Para 1 molcula de cremeEstado i: molcula localizada na clula i do gridPi = probabilidade de encontrar a molcula no estado i em um determinado t

EntropiaMedida do grau de desordem do sistemaW nmero de estados acessveis Muito ordenadoMuito desordenadoS grande

Definio estatstica de entropiaSoma sobre todas as clulas do gridMuitas molculas: clculo de Pi

2a lei da termodinmicaEntropia baixaCreme TODO no centro da xcara t =0Creme em torno docentro da xcara S pequeno

2a lei da termodinmicat grandesHiptese ergdica: todos os estados de um sistema em equilbrio vo ser ocupados com igual probabilidadeEntropia alta

2a lei da termodinmica As partculas se espalham para ocupar todos os estados possveis e maximizam a entropia

Modelos de crescimento de clusterModelo de EdenModelo DLADifusion limited aggrgation

Modelo de Eden Escolha uma semente (0,0) encontre o permetro do cluster (1,0) e (0,1) escolha aleatoriamente um stio do permetro para ocupar encontre o permetro do novo cluster escolha aleatoriamente um stio do permetro para ocupar at o tamanho desejado

Modelos de crescimento de clusterModelo de Eden

Modelos de crescimento de clusterDLA - Difusion limited aggregation

Dimenso fractalAro Disco esfera cluster

Dimenso fractalModelo de Eden

RefernciaComputational Physics, Nicholas Giordano