Tugas Kelompok Mata Kuliah Kalkulus (Revisi) APLIKASI DIFERENSIAL PARSIAL Dosen Pengampu: Dr. Martua Manullang, M.Pd Disusun Untuk Memenuhi Tugas Pada Mata Kalkulus Oleh Kelompok II Mawarni Nehe (8156172022) Adryna Mona Sidabalok (8156172056) Mashitah Puteri (8156172066) Siti Hadijah (8156172073) Program Studi Pendidikan Matematika 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Tugas Kelompok Mata Kuliah Kalkulus (Revisi)
APLIKASI DIFERENSIAL PARSIAL
Dosen Pengampu: Dr. Martua Manullang, M.Pd
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Pada Mata Kalkulus
Oleh Kelompok II
Mawarni Nehe (8156172022)
Adryna Mona Sidabalok (8156172056)
Mashitah Puteri (8156172066)
Siti Hadijah (8156172073)
Program Studi Pendidikan Matematika
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN (UNIMED)
MEDAN2015
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau
lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde.
Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana
hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan
oleh fungsi matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau
dipostulatkan.Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu
ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu.
Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diberikan
oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita
mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak
terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai
fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara
eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial adalah
penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan
gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena
gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai
fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.
Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan
bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan
diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel
bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi
riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun
matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi
dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang
tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga
2
melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial
biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik,
terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan
diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan
sebagai jenis campuran.
Melihat seberapa besar penting persamaan diferensial dari berbagai macam ilmu,
Maka kami menulis makalah yang berjudul aplikasi persamaan diferensial parsial.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam makalah ini adalah apakah defenisi dari turunan parsial dan apa saja
aplikasi dari turunan parsial.
C. Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui apakah defenisi dari
turunan parsial dan apa saja aplikasi dari turunan parsial
3
BAB II
PEMBAHASAN
DIFERENSIAL (TURUNAN) PARSIAL
A. Turunan Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih
turunan parsial dengan dua atau lebih vaiabel bebas. Orde dari PD parsial: tingkat
tertinggi dari derivatif yang ada dalam PD. Derajat dari PD parsial: pangkat tertinggi dari
turunan tingkat tertinggi yang ada dalam PD.
PD parsial dikatakan linier jika hanya memuat derajat pertama dari variabel –
variabel bebasnya dan derivatif – derivatif parsialnya. Beberapa contoh PD Parsial yang
penting:
a.
∂2u∂ t2 =c2 ∂2u
∂ x2persamaan gelombang satu dimensi
b.
∂2 u∂ x2 +
∂2 u∂ y2=0
persamaan laplace dua dimensi
c.
∂2 u∂ x2 + ∂2 u
∂ y2= f ( x , y ) persamaan poisson dua dimensi
d.
∂2u∂ x2 + ∂2 u
∂ y2 +∂2 u∂ z2=0
persamaan laplace tiga dimensi
1. Turunan parsial dari fungsi dua variabel
Fungsi f(x,y) merupakan fungsi dua variabel, diturunkan terhadap variabel x maupun
y. Dalam turunan parsial kita dapat menurunkan secara bertahap pada variabel mana
yang dimaksud.
Contoh 1:
f (x,y) = x2 + 3xy – 4y2
cari turunan terhadap x atau ∂ f∂ x
,serta terhadap y atau
∂ f∂ y
Penyelesaian:
∂ f∂ x
=2x+3 y dan
∂ f∂ y
=3 x−8 y
4
Jika f merupakan fungsi dari dua variabel dan (x,y) adalah titik dari domain fungsi
Persamaan – persamaan ini dapat di tuliskan sebagai
x−1−6
= y−211
= z+114
Yang seringkali dinamakan bentuk standar untuk sebuah garis. Dengan
menetapkan setiap nilai banding ini sama dengan parameter t, maka kita
memperoleh
x = 1 – 6t, y = 2 + 11 t, z = 14 t – 1
yang dinamakan persamaan parametrik untuk garis tersebut.
Contoh 20:
Carilah persamaan untuk a) garis singgung dan b) bidang normalkepada kurva
x = t – cos t, y = 3 + sin 2t, z = 1 + cos 3t di titik di mana t =
12
π .
Penyelesain:
a) Vektor dari titik asal O (lihat gambar 3) ke sebarang titik dari kurva C adalah
R = (t-cos t)i + (3+sin 2t)j+(1+cos 3t)k. Maka sebuah vektor yang
menyinggung kepada C di titik di mana t =
12
πadalah
To =
dRdt
|t= 1
2 π=(1+sin t ) i+2cos2 t j-3sin3t k|
t= 12 π
=2i−2 j+3k
Vektor dari O ke titik di mana t =
12
π adalah r0 =
12
πi+3 j+k
Vektor dari O ke seberang titik (x, y, z) pada garis singgung tersebut adalah
r = xi + yj + zk. Maka r – r0 = ( x− 12 π )i+( y−3 ) j+( z−1 ) k koliner dengan
T0, sehingga persamaan yang diperlukan adalah
27
(r−r0 ) x T 0=0
|i j kx−1
2 π y−3 z−12 −2 3
|=0
dan persamaan yang diperlukan adalah
x−12 π
2=
y−3−2
=z−1
3=0
atau di
dalam bentuk parametrik x = 2t +
12
π, y = 3 – 2t, z = 3t +1
b) Misalkan r = xi + yj + zk adalah vektor dari O kesebarang titik (x, y, z) dari
bidang normal tersebut. Vektor dari O ke titik di mana t =
12
π adalah r0
=
12
πi+3 j+k . Vektor r – r0 = ( x− 1
2 π )i+ ( y−3 ) j+( z−1 ) k terletak di
dalam bidang normal tersebut yang berarti bahwa vektor itu tegak lurus
kepada T0. Maka persamaan yang diperlukan adalah (r – r0) . T0 = 0 atau 2
( x - 12 π ) – 2 (y-3)+3(z-1) = 0
Hubungan Maxwell dalam Termodinamika
Termodinamika merupakan cabang Fisika yang paling banyak menggunakan perumusan
turunan dan diferensial parsial. Misalnya, hukum I Termodinamika dapat dituliskan
dalam bentuk diferensial berikut:
d Q=dU +dW ………....(1)
dengan d Q menyatakan sejumlah kecil kalor yang keluar/masuk sistem, dU menyatakan
selisih infinitesimal energi dalam sistem dan d W menyatakan sejumlah kecil kerja yang
diterima/dilakukan sistem. Perlu dicatat bahwa d Q dan d W bukan menyatakan selisih,
sehingga operator diferensialnya dituliskan sebagai d . Untuk sistem yang bersifat
reversibel atau prosesnya dapat dibalik arahnya, maka berlaku hubungan:
d Q=TdS…………………(2)
Dengan T adalah temperatur dan dS adalah selisih infinitesimal entropi (S) sistem. Sementara
itu, sejumlah kecil usaha dapat dituliskan sebagai:
d W=PdV …………………(3)
dengan P adalah tekanan dan dV adalah selisih infinitesimal volume (V ) sistem. Berdasarkan
hubungan pada persamaan (2) dan (3), maka persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai:
dU =TdS−PdV……………(4)
28
Dari perumusan ini jelas terlihat bahwa energi dalam merupakan fungsi dari entropi dan volume, U=U (S , V ).Tinjau kembali definisi diferensial total yang telah dijelaskan sebelumnya yang ditulis ulang sebagai berikut :
df =( ∂ f∂ x )
ydx+( ∂ f
∂ y )xdy……(5)
Dengan ( ∂ f∂ x )
ymenyatakan turunan parsial f terhadap x dengan y konstan dan ( ∂ f
∂ y )x
menyatakan turunan parsial f terhadap y dengan x konstan. Selanjutnya kita asumsikan bahwa
kita berhubungan dengan fungsi f yang bersifat konservatif sehingga memenuhi kondisi
berikut:
∂2 f∂ x ∂ y
= ∂2 f∂ y ∂ x
…………………(6)
Maka dari sini kita dapatkan diferensial total dari fungsi U =U (S ,V ) adalah :
dU =( ∂ U∂ S )
VdS+( ∂U
∂ V )SdV
Bandingkan dengan persamaan 4 yang kita peroleh :
( ∂ U∂ S )
V=T ,( ∂ U
∂ V )=−P
Selanjutnya berdasarkan kondisi 6 dan turnan parsial berikut :
∂∂V ( ∂ U
∂ S )= ∂2U∂V ∂ S
=( ∂ T∂ V )
S
∂∂ S (∂ U
∂V )= ∂2U∂ S ∂ V
=( ∂T∂ S )
V
Diperoleh hubungan berikut :
( ∂T∂ V )
S=−( ∂ P
∂ S )V
yang dikenal sebagai salah satu dari empat buah “Hubungan Maxwell” (Maxwell Relations)
dalam Termodinamika. Pada hubungan ini diperlihatkan bahwa pada proses reversibel,
perubahan temperatur terhadap volume pada entropi tetap sama dengan negatif perubahan
tekanan terhadap entropi pada volume tetap.
7. Diferensiasi Integral (aturan Leibniz)
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama kalkulus
(yang lainnya adalah Isaac newton). Cara penulisannya (notasinya) untuk turunan masih
29
dipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan seperti halnya Fisika, kimia, dan
ekonomi. Daya tariknya terletak dalam bentuknya, sebuah bentuk yang seringmengemukakan
hasil-hasil yang benar dan kadang-kadang menunjukkan bagaimana membuktikannya.
Setelah kita menuasai notasi Leibniz, kita akanmenggunakannya untuk menyatakan kembali
Aturan rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturan tersebut.
Pertambahan
Jika nilai sebuah variabel x berganti dari x 1 ke x2 makax2 – x 1, perubahan dalam x
disebut suatu pertambahan dari x dan biasanya dinyatakan olh ∆ x.
Jika x1=4,1 dan x2=5,7 maka ∆ x=x 2 – x1=5,7– 4,1=1,6
Jika x1 = c dan x2 = c+h, maka ∆ x=x 2– x1=c+h– c=h
Andaikan bahwa y= f (x ) menentukan sebuah fungsi. Jika x berubah dari x1 ke x2
maka y 1 berubah dari 1=f (x 1)ke y 2=f (x 2) . Jadi bersesuaian dengan pertambahan
∆ x=x 2– x1 dalam x, terdapat pertambahan dalam y yang diberikan oleh
∆ y= y2 – y1=f (x 2) – f (x1)
Contoh:
Jika y = f(x) = 2 – x2. Carilah ∆ y jika x berubah dari 0,4 ke 1,3
Akan berguna jika kita menyatakan operator pada persamaan (13) sebagai berikut:
∂∂ x = ∂
∂ r+ ∂
∂ s …………………………………………………..(14a)
∂∂ t
=v ( ∂∂r
− ∂∂ s )………………………………………………..(14b)
35
Untuk mencari turunan parsial kedua dari fungsi Ψ terhadap x dan t , kita dapat
menggunakan penulisan operator pada persamaan (14) sebagai berikut:
∂2Ψ∂ x2 =
∂∂ x ( ∂ Ψ
∂ x )=( ∂∂ r
+ ∂∂ s )( ∂Ψ
∂ s+ ∂ Ψ
∂ s )=∂2 Ψ∂ r2 +2 ∂2Ψ
∂ r ∂ s+ ∂2Ψ
∂ s2 ………....(15a)
∂2Ψ∂t 2 = ∂
∂ x ( ∂ Ψ∂ t )=v2( ∂
∂r− ∂
∂ s )( ∂ Ψ∂ s
− ∂Ψ∂ s )=v2( ∂2Ψ
∂r 2 −2 ∂2Ψ∂ r∂ s
+ ∂2Ψ∂ s2 )………….(15b)
Selanjutnya substitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan gelombang (7)
diperoleh bentuk persamaan diferensial untuk gelombang dalam variabel r dan s
sebagai berikut:
∂2Ψ∂ r ∂ s
=0 ……………………………………………………………………………(16)
Persamaan gelombang (16) jelas lebih sederhana dari persamaan (7). Pemecahan dari
persamaan (64) tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
Ψ =Ψ ( x+vt )+Ψ +¿( x−vt )¿…………………………………………..(17)
yang tidak lain menggambarkan gelombang yang merambat ke arah x negatif
(diwakili oleh fungsi Ψ−¿¿) dan gelombang yang merambat ke arah x positif (diwakili
oleh fungsi Ψ +¿ ¿).
9. Beberapa cara penulisan turunan
Penulisan turunan menggunakan
∂ f∂ x merupakan penulisan cara leibniz. Untuk
menyatakan turunan ada beberapa cara, seperti halnya ditunjukkan pada tabel berikut:
36
Tabel. Penulisan Turunan Derivative
DerivativeCara penulisan
Notasi Newton Notasi Lagrange
Notasi Euler Leibniz
Pertama f’(x) y’ Dxy∂ y∂ x
Kedua f’’(x) y’’ Dx²y ∂2 y∂ x2
Ketiga f’’’(x) y’’’ Dx³y ∂3 y∂ x3
Keempat f’’’’(x) y’’’’ Dx4y ∂4 y∂ x4
Kelima f’’’’’(x) y'’’’’ Dx5y ∂5 y∂ x5
Ke-n fn(x) yn Dx6y ∂n y∂ xn
37
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Adapun kesimpulan dalam makalah ini adalah :
1. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih
turunan parsial dengan dua atau lebih vaiabel bebas. Orde dari PD parsial: tingkat
tertinggi dari derivatif yang ada dalam PD. Derajat dari PD parsial: pangkat tertinggi
dari turunan tingkat tertinggi yang ada dalam PD.Jika f merupakan fungsi dari dua
variabel dan (x,y) adalah titik dari domain fungsi maka turunan parsial:
∂ f ( x , y )∂ x
= limΔx→0
f ( x+ Δx , y )− f ( x , y )Δx
∂ f ( x , y )∂ y
= limΔx→ 0
f ( x , y+Δy )− f ( x , y )Δy
2. Aplikasi dari turunan parsial dapat digunakan dalam bidang fisika, ilmu teknik, dan
geometri.
3. Metode lagrange digunakan untuk optimasi (menentukan harga maksimum dan
minimum) sebuah fungsi f(x,y) yang terkendala
38
DAFTAR PUSTAKA
Sutarman E. 2013. Matematika Teknik. Penerbit Andi Yogyakarta. Bandung.
Spiegel R. Murray. 1984. Kalkulus Lanjutan. Terjemahan: Pantur Silaban. Penerbit Erlangga. Bandung.
J. Purcell. Edwin, Dale Vanberg, C. 1987. Calculus With Analytic Geometry, 5th edition. Terjemahan : Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Prayudi. 2009. Kalkulus Lanjut. Yogyakarta : Graha Ilmu