MATEMATIKA EKONOMI PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
BAB 3DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
•Memahami pengertian diferensial parsial•Memahami teorema differensial total•Memahami tentang titik ekstrem •Memahami optimasi bersyarat•Menyelesaikan permasalahan ekonomi dengan diferensial parsial
TIK
Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa dapat :
MATEMATIKA EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
NILAI EKSTREM : MAKSIMUM DAN MINIMUM
Syarat perlu
Syarat cukupMaksimum jika
Minimum jika
DEFINISI
BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
Derivatif parsial
Diferensial total
CONTOH (1):
Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi y = f(x1, x2) = 3x1
2 + x1x2 +4x22
dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x1 adalah:
turunan terhadap x2:
211
6 xxx
y
121
8 xxx
y
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
Carilah titik ekstrim dari fungsi:y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum!1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0
y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-
dimensi
60122
xxx
y
50102
zzz
y
Contoh (2) :
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :
Maka titik ekstrim adalah titik maksimum dengan
ymax = 16
022
2
x
y 022
2
z
y
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
OPTIMASI BERSYARAT
optimumkan : z = f (x,y )
syarat yg harus dipenuhi : u = g (x,y )
Fungsi Lagrange :
TITIK EKSTREM
Syarat Perlu
Syarat cukup :
MaksMin
BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)
s.t. X + Y = 12 .......... (2)
Fungsi Lagrangian:
L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y
+ λ(X + Y – 12)
Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi ditemukan pada saat f’(z) = 0:
0480 YXX
L
CONTOH :
..................(3)
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
Persamaan (3) dikurangi (4):
80 – 4X – Y + λ = 0
100 – X – 6Y + λ = 0
–20 – 3X + 5Y = 0
01006 YXY
L………. (4)
012
YXL
………. (5)
………. (6)
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):
3X + 3Y – 36 = 0
–3X + 5Y – 20 = 0
8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7
X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5 π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868 Jenis titik ekstrim:
d2π/dX2 = -4 < 0
d2π/dY2 = -8 < 0 Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:
λ = –5 – 42 + 100 = –53
titik esktrim maksimum
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
•Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi –fungsi berikut :
z = 2x + 2y dengan syarat
.
.
soal
BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
PENERAPAN DIFFRENSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
PERMINTAAN MARJINAL
a
a
P
QdPermintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa
b
a
P
QdPermintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb
a
b
P
QdPermintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa
b
b
P
QdPermintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
ELASTISITAS PERMINTAAN PARSIAL
Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri:1) Barang a
2) Barang bb
b
b
b
b
bb Qd
P
P
Qd
P
Qdd
%
%
a
a
a
a
a
aa Qd
P
P
Qd
P
Qdd
%
%
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya:1) Elastisitas silang barang a dengan barang b
2) Elastisitas silang barang b dengan barang a
b
a
a
b
a
bba Qd
P
P
Qd
P
Qd
%
%
a
b
b
a
b
aab Qd
P
P
Qd
P
Qd
%
%
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
CONTOH : ELASTISITAS 2 BARANG1) Elastisitas permintaan:
cari Qda’ dan Qdb’:
bentuk persamaan elastisitas permintaannya:
Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter
332
ba
a
a PPP
Qd 23
ba
b
b PPP
Qd
2232
33
ba
aba
a
a
a
aa
PP
PPP
Qd
P
P
Qdd
113
23
ba
bba
b
b
b
bb
PP
PPP
Qd
P
P
Qdd
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
2) Elastisitas silang:cari turunan pertama atas a dan b:
bentuk persamaan elastisitas silangnya:
Hubungan kedua barang adalah komplementer
143
ba
a
b PPP
Qd423
ba
b
a PPP
Qd
3332
42
ba
bba
a
b
b
aab
PP
PPP
Qd
P
P
Qd
3313
14
ba
aba
b
a
a
bba
PP
PPP
Qd
P
P
Qd
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
FUNGSI BIAYA GABUNGAN
Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB)
maka:Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)
Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)
Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB) Fungsi keuntungannya:
П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:
Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:
0
AQ0
BQ
02
2
AQ0
2
2
BQ
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
CONTOH : FUNGSI BIAYA GABUNGAN
Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:C = QX
2 + 3QY2 +QXQY
Harga jual per unit masing-masing barang adalah PX = 7 dan PY = 20
Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?
Berapakah besarnya keuntungan maksimum?
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
A. Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY
R = 7QX + 20QY
П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY
2 – QXQY
7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0
33 – 11QY = 0 → QY = 3
QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2
027
YX
X
QQQ
0620
XY
Y
QQQ
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
Jika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:
Besarnya keuntungan maksimum:П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)П = 37
Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:MRX = MCX dan MRY = MCY
022
2
XQ06
2
2
YQ
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
MU DAN KESEIMBANGAN KONSUMSI
Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:
Budget Line (garis anggaran):garis yang mencerminkan kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dgn harga masing-masing barang dan pendapatan konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen dan Px dan Py harga barang X dan Y maka:
M = xPx + yPy
x
UUtilitas marjinal berkenaan dengan barang X
y
UUtilitas marjinal berkenaan dengan barang Y
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai pada saat kurva indiferensi bersinggungan (tangent) dengan budget line konsumen
Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:
L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M) 0,
xx Pyxfx
L 0,
yy Pyxfy
L
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
Manipulasi Lx dan Ly:
Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:
Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya adalah sama
x
xxx P
yxfPyxf
x
L ,0,
y
yyy P
yxfPyxf
y
L ,0,
y
y
x
x
P
yxf
P
yxf ,,
y
Y
x
X
P
MU
P
MU
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI
•Fatah mempunyai usaha mebel yang punya banyak produk. Dua diantaranya adalah kursi ( x) dan meja ( y). Khusus untuk kedua produk tersebut ditarget perminggu menghasilkan 100 unit dengan biaya gabungan f(x.y) = 5x2 + 2y2+xy. Berapakah kombinasi kursi dan meja harus diproduksi perminggu ?
•Seorang konsumen ingin membeli dua jenis barang, yaitu kemeja dan kain sarung dengan harga masing-masing per unit Rp. 10.000,- dan Rp. 15.000,-. Uang yang tersedia sebesar Rp. 500.000. jika fungsi kegunaannya U = xy, berapakah jumlah kemeja dan jumlah kain sarung akan dibeli agar tercapai keseimbangan konsumsinya
PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA
MATEMATIKA EKONOMI
SEKIAAAAAAN........
.......
....