-
DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET
PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT
TAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK
HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK
HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGA
-
DERET PANGKATDERET PANGKAT
Definisi deret pangkat :
( ) ( ) ( ) ( ) ...332210
++++=
=
axcaxcaxccaxC on
n
n
adalah konstantancdimana dan ax adalah variabel
Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja
memilihindeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, c0,
yangselanjutnya disebut suku ke-nol. Hal ini dilakukan untuk
memudahkanpenulisan, terutama ketika membahas pernyataan suatu
fungsi dalamderet pangkat
-
Beberapa contoh deret pangkat
-
Selang konvergensi deret pangkatSelang konvergensi deret
pangkat
Deret pada contoh (a)
Selang konvergensi deret pangkat dapat ditentukan dengan
menggunakan konsep uji rasio (uji nisbah), sbb :
Menurut syarat uji nisbah suatu deret akan konvergen jika :
1
-
Sehingga :
12
-
Untuk x = -2, deret menjadi :
........11111 ++++++Deret ini akan tak hingga jumlahnya, maka
untuk x = 2 deret menjadidivergen. Dengan demikian 2 tidak termasuk
dalam selangkonvergensi deret (a)
Untuk x = 2, deret menjadi :
Sehingga selang konvergensi deret pangkat (a) adalah
Untuk x = 2, deret menjadi :
........11111 +++Merupakan deret bolak-balik dengan |an| = 1.
karena |an+1| = |an| makaderet ini juga divergen. Dengan demikian 2
juga tidak termasuk dalamselang konvergensi deret (a)
22
-
TUGASTUGAS
Tentukan selang konvergensi deret pangkat pada contoh (b), (c),
dan (d)
-
TEOREMATEOREMA--TEOREMA PENTING TEOREMA PENTING TERKAIT DERET
PANGKATTERKAIT DERET PANGKAT
-
TEOREMA-TEOREMA PENTING1. Integrasi dan diferensiasi deret
pangkat dapat dilakukan per suku,
yaitu:
=
=
=
=
=
=
00
0 0
)()(
,,)()(
n
n
n
n
n
n
q
pn n
q
p
n
n
n
n
dxaxCdxd
axCdxd
raxqpdxaxCdxaxC
Selang konvergensi seragam deret pangkat yang dihasilkan,sama
seperti yang semula. Untuk kedua titik ujungnya,
perludiselidiki.
2. Dua deret pangkat dapat di-jumlah/kurang-kan, dan
diperkalikan;deret yang dihasilkan memiliki selang konvergensi
masing-masing deret. Jadi, misalkan I1 dan I2 selang konvergensi
masing-masing deret, maka selang konvergensi deret yang
dihasilkanadalah ( lambang teori himpunan bagi irisan).
21 II
== 00 nn dxdx
-
3. Dua deret pangkat dapat pula dibagi asalkanpenyebutnya
tak-nol di x = a, atau nol di x = a,tetapi tercoretkan (seperti ).
Selangkonvergensinya harus dicari kembali.
4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam
x
x)1ln( +
4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalamderet pangkat
lainnya, asalkan selangkonvergensi deret yang disisipkan
terkandungdalam deret lainnya. Jadi, misalkan I1
selangkonvergensinya I2, maka ( lambangteori himpunan bagi himpunan
bagian).
21 II
-
5. Pernyataan suatu fungsi f(x) dalam deret pangkatkonvergen,
adalah tunggal. Artinya ada satupernyataan deret pangkat untuk satu
fungsi,sejauh variabel x berada dalam selangkonvergensi
deret.konvergensi deret.
-
URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI
Seperti telah diungkapkan di atas, bahwa suatu fungsif(x) yang
dapat dinyatakan dalam deret pangkat.Kenyataan ini menguntungkan,
karena deret pangkatsangat mudah ditangani secara analitis,
ketimbangfungsi f(x) itu sendiri. Misalnya, dalam
perhitunganintegral dari fungsi f(x), bila seandainya f(x)
adalahsuatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapatsuatu fungsi
rumit yang integralnya tak terdapatdalam tabel integral, maka
penyelesaiannya akansulit. Penanganan dalam pernyataan deret dari
f(x)mungkin dapat lebih mudah ditangani.
-
Sebagai contoh, integral tentu berikut:
Muncul dalam persoalan fisika, yaitu pada persoalandifraksi
Fresnel gelombang cahaya oleh sebuahcelah. Integral jenis ini tak
terdaftarkan dalam tabelintegral, karena hasilnya tak dapat
diungkapkan
1
02sin dxx
integral, karena hasilnya tak dapat diungkapkandalam pernyataan
suatu fungsi primitif tertentu.Sehingga sulit diselesaikan secara
analitik denganmenggunakan teknik dasar integral.
Integral seperti ini dapat dengan mudah diselesaikandengan
metode aproksimasi menggunakan metodederet pangkat.
-
Misalkan kita ingin menyatakan sebuah fungsi f(x)yang diketahui
dalam pernyataan deret pangkat,maka mula-mula kita tulis bentuk
umum sepertiberikut :
LL +++++= nn axCaxCaxCCxf )()()()( 2210
-
Tetapan a dapat pula bernilai nol. Masalahselanjutnya
adalah:
a. Menentukan nilai-nilai koefisien Cn, sebagai fungsidari n,
sehingga penulisan di atas berupa suatuidentitas (berlaku bagi
semua nilai x).identitas (berlaku bagi semua nilai x).
b. Menentukan selang konvergensi deret pangkatnyadalam mana
identitas (a) berlaku.
-
Dengan menerapkan teorema diferensiasi deretpangkat, kita
peroleh:
n
n
n
n
n
n
CCnnCafCnCCCafCCCCCaf
................................................................................
!2)0()1(1.200)(")0()0(20)('
)0()0()0()(
22
2
11
21
02
210
=+++++=
=+++++=
=+++++=
LL
LL
LL
nn
n CnCnaf
!0!000)(................................................................................
=++++++= LL
)(!
1 )( afn
C nn =
Jadi:
-
Dengan demikian,
nn axafn
axafaxafafxf
1
))((!
1
))(("!2
1))((')()( 2
=
++
+++=
L
L
nn
n
axafn
xf ))((!
1)(0
=
=
Uraian Taylor dari fungsi f(x) disekitar x = a
Khusus untuk x = 0, uraian deret pangkat dari fungsi f(x)
disebutderet McLaurin
-
Misalkan kita ingin menyatakan fungsi sinus xdalam deret pangkat
disekitar x = 0
Bentuk umum :
Tugas kita adalah mencari a0, a1, a2, a3, .... dst
Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :Turunan
pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :
Pada x = 0,
Jadi : a1 = 1
( ) ( ) ...03020 2321 +++= aaaCos
-
Turunan kedua dari fungsi sin x terhadap x adalah :
pada x = 0
Jadi : a = 0
...3.42.32sin 2432 +++= xaxaax
( ) ( ) ...03.402.320sin 2432 +++= aaaJadi : a2 = 0
Dst........lakukan proses yang sama untuk turunan ke-tiga,
ke-empat, ke-lima, akan didapat :
-
Interval konvergensi deret sin x
Notasi umum :
( ) !1212
n
x n
Dengan uji nisbah didapat :( ) !12 n
( )( )
12
121 !12
!12 +
+ +
==n
n
n
nn
x
n
n
x
a
a
( ) ( )( )( )
( )( )nnx
x
n
nnn
xn
n
n 212!12
122!12
2
12
12
+=
+
=
+
-
didapat :
10
-
Pernyataan deret dari fungsi Selang konvergensi
...,
!7!5!3.1
753
++=xxx
xxSin Semua nilai x
...,
!6!4!21.2
642
++=xxx
xCos Semua nilai x
...,1.3432
+++++=xxx
xex Semua nilai x...,!4!3!2
1.3 +++++= xxxxex Semua nilai x
( ) ...,432
1ln.4432
++=+xxx
xx-1 < x 1
( ) ( ) ( )( ) ...,!3
21!2111.5
32
+
+
++=+xpppxpppxx p |x| < 1
Disebut deret Binomial, dengan p adalah bilangan real positif
atau negatif
-
Teknik-teknik untuk mendapatkan pernyataan deret suatu
fungsi
A. Perkalian suatu deret dengan suatu polinomial atau perkalian
deret dengan deret
Contoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari : ( ) xx sin1+Maka
kita lakukan perkalian ( )1+x xsinDengan deret Sbb :
-
Contoh 2Untuk mencari pernyataan deret dari : xe
x cos
Maka kita lakukan perkalian deretxe xcosDengan deret Sbb :
-
B. Pembagian suatu deret dengan deret lainnya atau dengan suatu
polinomial
Contoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari : ( )x
x+1ln1
Maka kita lakukan pembagian ( )x+1ln xDengan deret Sbb :
-
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari :x+1
1
Maka kita lakukan pembagian 1 ( )x+1Dengan Sbb :
-
Contoh 3
Untuk mencari pernyataan deret dari : xtan
Maka kita lakukan pembagian deret xcosdengan deret Sbb :xsin
-
C. Menggunakan deret Binomial
Contoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari :
11+x
Digunakan deret Binomial Sbb :
(contoh B2)
Hasilnya sama dengan contoh B2
-
D. Substitusi suatu polinomial atau suatu deret untuk variabel
dalam deret lain
Contoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari :
2xe
Maka kita lakukan substitusi 2x pada variabel x dalam deret Sbb
:xe
-
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari : xe tan kita lakukan
substitusi sbb :
-
E. Metode KombinasiContoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari :
xarc tanDigunakan metode Sbb :
karena
Kita tuliskan 1 Sebagai deret Binomial sbb : Kita tuliskan
21
1t+
Sebagai deret Binomial sbb :
sehingga
-
Soal latihan
x
ex
1.1
xsec.2 xsec.2
=
+ x
t
dtx
x
0211
1ln.3
2cosh.4
xx eex
+=
-
E. Uraian Taylor melalui uraian Mc-LaurinContoh 1Untuk mencari
pernyataan deret taylor dari fungsi xlndisekitar x = 1, kita
tuliskan:
Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
( ) 432 ++=+ xxx( ) ...,432
1ln432
++=+xxx
xx
Kemudian ganti x dengan (x-1), didapat :
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...,4
13
12
1111lnln432
+
+
=+=xxx
xxx
-
Contoh 2
Cari uraian Taylor dari fungsi xcos disekitar 23pi
=x
Kita tuliskan:
Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :Lalu gunakan uraian McLaurin
untuk :
...,
!7!5!3
753
++=xxx
xxSin
Kemudian ganti x dengan (x - 3pipipipi/2), didapat :
( ) ( ) ( ) ( ) ...!5
23
!32
32
32
353
+
+
==
pipipipi
xxxxSinxCos
-
Soal Latihan
Cari uraian Taylor dari fungsi-fungsi berikut melalui uraian
McLaurin :
11)(.1 == adisekitarx
xf
25)(.2 == adisekitarxxf
-
Beberapa penggunaan deret
A. Perhitungan secara numerikContoh 1
hitunglah di x = 0,0015
-
Contoh 2
hitunglah
Lakukan diferensiasi empat kali dan masukan x=0,1, didapat :
-
B. Penjumlahan deretContoh 1
hitunglah
Mulai dengan deret :
Ambil x = 1
Jadi
69,0....41
31
211 =++
-
Soal latihan
.........
71
51
311.1 =++
.........
!7!5!3.2
642
=+pipipi
Gunakan xarc tan
Gunakan x
xsin!7!5!3
( ) ( ).........
!33ln
!23ln3ln.3
32
=+++
x
Gunakan 1xe
-
C. Menghitung integral tertentu
Contoh :
hitunglah
Mulai dengan deret :
Integral Fresnel, dijumpai pada persoalan Difraksi Fresnel
....
!5!3sin
10622
+=xx
xx
Jadi
!5!3
-
D. Menghitung Limit
Contoh :
hitunglah
Jawab :
-
Soal latihan
dtet t01,0
0
.1
01,01
.22
3
3
=
xdix
ex
dxd x
13 xdx
( )x
x
x
1lnlim.30
-
E. Menentukan nilai e
Gunakan pernyataan deret pangkat untuk xe dengan x = 1
...,
!4!3!21
432
+++++=xxx
xex
...,
11111432
+++++=e ...,!4
1!3
1!2
111 +++++=e
..718,2...,...017,05,02 =++++=e
-
F. Menentukan akar suatu bilangan
Tentukanlah niali 9 dengan deret Binomial
Kita tidak bisa menulis
Deret Binomial :
( ) ( ) ( )( ) ...,!3
21!2111
32
+
+
++=+xpppxpppxx p
9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+Kita tidak bisa menulis 9 dengan 81+
atau ( ) 2/181+Karena konvergensi deret Binomial adalah 1> c
-
Jadi nilai 9
( )2/12
2/1
1029
2109
=
( ) ( ) 2/12/12/1
2/1 64,01510064
1001005
1003659 =
=
=
Itulah hasilnya
( ) ( ) ( ) 3...864,0164,05,0159
22/1
=
++=
-
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan FisikaContoh 1
Selesaikan dengan menggunakan metode deret pangkat yang cocok
!Sebuah kereta luncur bermassa m berada pada sebuah jalur
tanjakandengan sudut kemiringan terhadap horizontal. Di dekat
bagian bawah jalurterdapat sebuah tiang bermuatan listrik positif.
Muatan positif yang samaditempatkan pula di atas kereta. Jika
gesekan kereta luncur dengan lintasandiabaikan dan diasumsikan
percepatan gravitasi g, berapakah besar gayatolak Coulomb (F) yang
diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam ditolak Coulomb
(F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam
ditempatnya. Petunjuk tuliskan F dalam deret pangkat dari .
-
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Solusi : Agar kereta tetap di tempatnya, maka :
= 0F
sinwC FF = sinwC FF =
sinmgFC =
++= ....
!5!3
53 mgFC
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
PangkatCari solusi PDB berikut :
xyy 2'=Dengan metode pemisahan variabel
xydy 2= xdxdy 2=xydx
2= xdxy
2=
= xdxydy 2
cxy lnln 2 +=2xCey =
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
PangkatMencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan
:
PDB yang dicari solusinya berorde satu (y), maka perlu dicari y
:...
44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
...432' 342
321 ++++= xaxaxaay 4321
xyy 2'=PDB :
02' = xyy
...2222 322
10 += xaxaxaxy
...432' 342
321 ++++= xaxaxaay
+..........................0 32 ++++= xxx
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
2220 aaa
4321 432 aaaa
320 xxxx
'y
xy2210 2220 aaa
+
( ) ( ) ( ) ( ) ....24232200 2413021 ++++= aaaaaaa
xy2
didapat :
001 =a 022 02 = aa02 aa =
023 13 = aa01323 == aa
24 24 aa =02
124
24 aaa ==01 =a
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
Pangkat
Dengan demikian :
...
44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
....
310
2100 60
540
3200 +++++++= xaxxaxxaxay 32
....
!31
!21 6
04
02
00 ++++= xaxaxaay
++++= ....
!3!21
642
0xx
xay
2
0xeay = Sama dengan hasil sebelumnya
-
Soal Latihan
xxyy +='.2
Cari solusi PDB Berikut dengan metode deret pangkat
yxy 23'.1 =
xyy 3sin4''.3 =+
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
PangkatCari solusi PDB berikut :
xxyy +='
Dengan metode pemisahan variabel
( )1' += yxy
( )1+= yxdy ( ) dxxdy
=
+( )1+= yx
dx ( ) dxxy =+1
( ) =+ dxxydy
1
.......................................
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
PangkatMencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan
:
PDB yang dicari solusinya berorde satu (y), maka perlu dicari y
:...
44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
...432' 342
321 ++++= xaxaxaay 4321PDB :
...
32
210 += xaxaxaxy
...432' 342
321 ++++= xaxaxaay
+..........................
32 ++++= xxxx
xxyy +=' xxyy ='
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
0 aaa
4321 432 aaaa
320 xxxx
'y
xy2100 aaa
+
( ) ( ) ( ) ( ) ....4320 324213021 ++++= xaaxaaxaaax
xy
didapat :
001 =a12 02 = aa
221
21 00
2aa
a +=+
=01 =a
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
0 aaa
4321 432 aaaa
320 xxxx
'y
xy2100 aaa
+
( ) ( ) ( ) ( ) ....4320 324213021 ++++= xaaxaaxaaax
xy
didapat :
03 13 = aa
01313 == aa
04 24 = aa
881
21 00
41
241
4aa
aa +=
+== dst
-
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret
Pangkat
Dengan demikian :
...
44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
....088
1022
10 5403200 ++
+++
+++= xx
axx
axay
8822
++++
++= ....
821....
82
42
0
42 xxa
xxy
....
881
221 4020
0 +
++
++= x
ax
aay
-
SELESAI
TERIMA KASIH