Cours+ Rlc +Bac+Sciences+Exp+(2011 2012)+Mr+Tlili+Touhami

8/3/2019 Cours+ Rlc +Bac+Sciences+Exp+(2011 2012)+Mr+Tlili+Touhami

1/9

1

CIRCUIT RLC

U=6V ; L=0,4 H ; C= 220 F

R1=33 ; r =10 On a R2 rglable

Pour R2=10 :

Le rgime est .

Pour R2=100


2/9

2

Le rgime est .

Oscillations libres dans un circuit RLC

I. Exemple dapplication dun circuit LC.Application des oscillations lectriques

Dans cette partie, on tudie une application des oscillationslectriques dans le domaine de la mtorologie. Pour mesurer le

taux d'humidit relative de l'air (not % d'HR), on peut employer un

capteur appel "humidistance" dont le principe simplifi utilise un

condensateur de capacit variant avec l'humidit.

Pour mesurer la valeur de la capacit du condensateur, on peut le

placer dans le circuit ci-dessous dans lequel la bobine d'inductance

L a une rsistance ngligeable.

L'interrupteur est d'abord plac en position 1 pour charger le

condensateur, puis bascul en position 2 pour le dcharger. Un systme informatis d'acquisition de donnes

permet de relever la tension aux bornes du condensateur au cours de la dcharge.Question discussion rponse :

1. Quelle est la nature de lnergie emmagasine par un condensateur?2. Quelle est la nature de lnergie emmagasine par une bobine ?3. Sous quelle(s) forme(s) lnergie libre par le condensateur lors de sa dcharge dans le circuit (position 2) va

t-elle se transformer?

Rponse :

1. Lnergie emmagasine par un condensateurest lectrique.2. Lnergie emmagasine par une bobine est magntique.3. Lnergie lectrique est transformer en nergie magntique dans la bobine et en nergie thermique dans la

rsistance.

Nous allons tudier dans ce chapitre, lvolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur quand il sedcharge dans une bobine.

II. Dcharge oscillante dun condensateur dans une bobine.1. Dispositif exprimental.

2. Visualisation sur un simulateur de la tension aux bornes du condensateur.Le simulateur utilis est sur le site :


3/9

3

Question discussion rponse :

1. Que se passe-t-il quand linterrupteur est en position 1 ?2. Que se passe-t-il quand linterrupteur est en position 2 ?3. Quelle est la nature de la tension aux bornes du condensateur ?4. Comment appelle-t-on ce phnomne ?5. Quelle hypothse pouvez-vous faire sur les volutions des nergies dans le condensateur et dans la

bobine ?

6. Quelle est linfluence de la valeur de la capacit sur les courbes ?7. Quelle est linfluence de la valeur de linductance sur les courbes ?8. Quelle est linfluence des rsistances sur la tension aux bornes du condensateur et sur les courbes

dnergie ? Pourquoi ?

Rponses :

1. Quand linterrupteur est en position 1, le condensateur se charge.2. Quand linterrupteur est en position 2, le condensateur se dcharge dans la bobine.3. La tension aux bornes du condensateur est de nature sinusodale.4. Il sagit doscillations libres. (libres car il ny a pas dapport dnergie aprs le dbut de la dcharge). 5. On peut proposer comme hypothse quil y a change dnergie entre le condensateur et la bobine.6. Quand on augmente la valeur de la capacit, lnergie initiale du condensateur est plus leve. Lnergie

reue par la bobine lest alors galement. La priode des oscillations augmentent galement.

7. Quand on augmente la valeur de linductance, la priode des oscillations augmentent mais na pas dinfluencesur lnergie de la bobine car cest le condensateur qui apporte lnergie initiale.

Quand on augmente la valeur des rsistances, les oscillations sont amorties. Une partie de cette nergie

est transfre sous forme dnergie thermique (effet Joule).


4/9

4

3. Les trois rgimes libres dun circuit RLC; Influence de lamortissement.Cette partie est galement vue en TP.

Rgime priodique. (libre non amorti).

Dans le cas dun circuit LC, o il ny a donc pas de rsistance, le rgime est appel :

priodique sinusodale ou harmonique.

Il ny a pas damortissement.

La priode propre est T0.

Rgime pseudo-priodique. (libre amorti).


5/9

5

Le rgime pseudo-priodique est observ pour des valeurs faible de la rsistance totaleR + r.

La tension oscille toujours autour de zro, mais son amplitude dcrot au cours du temps.

On appelle pseudo-priode Tla dure qui spare deux maxima positifs conscutifs.

Pour de faibles amortissements T= T0

Pour des amortissements un peu plus levs T T0Rgime critique (libre amorti)Limite externe du programme

Le rgime critique correspond un amortissement plus important. Ce rgime est la limite entre le rgime

pseudo-priodique et le rgime apriodique.

Rgime apriodique. (libre amorti).

La valeur deR + rest trs importante. Lamortissement est trs lev.

On nobserve plus oscillation.III. Rsolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur dans le cas dun amortissement

ngligeable.

1. Etablissement de lquation diffrentielle.Aprs avoir charg le condensateur, on le place dans un circuit comportant une bobine.


6/9

6

La rsistance de la bobine est considre ngligeable.

On applique la loi dadditivit des tensions :

0

0

0

0

2

2

2

2

dt

udLCu

dt

qdLu

dt

diLu

uu

cc

c

c

Lc

avecdt

dqi et q = Cuc

Lquation diffrentielle pour la tension ucscrit alors : 01

2

2

uLCdt

udc

c

Remarque : Lquation diffrentielle pour la charge qscrit 01

2

2

qLCdt

qd

2. Solution de lquation diffrentielle pour la tension uc.Vrifions que lquation

0

0

2cos

T

tAuc est une solution de lquation diffrentielle 0

12

2

uLCdt

udc

c

AvecA, T0 et 0 tant des grandeurs dterminer.

est la priode propre du circuit LC. Elle sexprime en seconde (s)

0est la phase lorigine. Elle sexprime en radian (rad)

Dans un premier temps, on drive deux fois lexpression

0

0

2cos

T

tAuc

Rappel : uC est une fonction compose

(cos uC) = - sin uC uC(sin uC) = cos uC uC

0

0

2

2

2

0

00

2cos

0

2

2sin

2

tTT

Adt

du

tTT

Adt

du

c

c

Dans un deuxime temps, on reporte uc etdt

ud c2

2

dans lquation diffrentielle 01

2

2

uLCdt

udc

c

0

0

212cos

02

cos12

cos

0

2

2

0

0

0

0

0

0

2

TLCt

TA

tT

ALC

tTT

A

Dans un troisime temps, on identifie T0.


7/9

7

Pour ce faire, il faut saffranchir du temps, cest dire liminer la partie de lexpression qui dpend du temps.

Il suffit que 00

212

TLC

cest dire queT0 = 2 LC

L : inductance (H) C: capacit (F)

Dans un quatrime temps, on identifieA et 0.

On prend en compte les conditions initiales t= 0.

t= 0 uc =E et i = 0

alors

0

0

2cos

T

tAuc en remplaant t= 0 et uc =E

E=A cos (0 + 0)

E= A cos 0

Donc A = E et cos0 = 1

Soit A = E et 0 = 0

La tension aux bornes du condensateur scrit :

t

TEuc

0

2cos

Eest lamplitude (V)T0 est la priode propre (s)

0 est la phase lorigine (rad)uc est la tension aux bornes du condensateur

3. Expression de l'intensit.Rappel : on peut visualiser lintensit aux bornes de la rsistance et la mesurer laide de la loi dOhm.

On a q = Cuc

t

TCEq

0

2cos

Avecdtdqi

t

TCE

Ti

00

2sin

2

On peut galement exprimer lintensit ainsi :

Sachant quesinx = cos

2

x , on a :

2

2cos

2

00

t

TCE

Ti

Ce qui permet de mettre en vidence de dphasage de lintensit et de la tension. (Limite externe du

programme)4. Vrification de lunit de T0 par analyse dimensionnelle.


8/9

8

On a T0 = 2 LC

2na pas de dimension

La dimension de LC s'crit CL 21

2

1


Montrer que LC a la dimension d'un temps.

Rponse :

A partir de

dt

diLuL , i =

dt

dqet q =Cu

On a [L] =

ITU

et

TU

I

U

QC

Alors : [LC] =

T

U

TI

I

TU 2

Donc CL 21

2

1

= [T]

La priode propre dont lexpression est T0 = 2 LCa bien la dimension d'un temps et sexprime en

seconde.

IV. Etude nergtique.Cette partie est galement vue en TP1. Cas dun circuit LC.

Dans un circuit LC, lnergie totale du circuit est constante au cours du temps.

Avec CuEC2

2

1 et LiEL

2

2

1

ETotale =EC +EL = constante

Il y a change nergtique entre le condensateur et la bobine.

Expression de lnergie totale :

- en fonction de la tension maximale aux bornes du condensateur u =E, on a CEETotale 22

1

- en fonction de lintensit maximale parcourant le circuit i =Imax, on aLIETotale

2max

2

1

2. Cas dun circuit RLC.Dans un circuit RLC, il y a toujours change nergtique entre le condensateur et la bobine mais il y a

dperdition dnergie par effet Joule (transfert thermique) dans les rsistances. Il y a donc amortissements des oscillations.


Identifier les diffrentes courbes du graphe ci-dessous :

Rponse :


9/9

9

A t= 0, la courbe rouge et son maximum. Il sagit donc de lnergie emmagasine par le condensateurdont la tension est maximale cette date.

A t= 0, la courbe bleu est son premier minimum. La bobine na pas encore reue lnergie ducondensateur.

La courbe violette correspond la somme des deux autres courbes, donc lnergie totale.

3. Entretien des oscillations.

3.1. Ncessit dune source dnergie pour compenser lnergie vacue par transfert thermique.

Dans le cas du circuit RLC, la puissance perdue par effet Joule P =Ri2

doit tre compenser par un

dispositif dentretien externe.

3.2. Comment obtenir une tension sinusodale de priode choisie ?


On souhaite raliser un circuit permettant dobtenir une tension sinusodale de frquencef= 100 Hz aux

bornes du condensateur.

On dispose dune bobine dinductanceL = 100 mH et de rsistance r= 10 et d'un vaste choix decondensateurs.

Proposer un schma du dispositif permettant daboutir au rsultat escompt.Rponse :

Dans un premier temps, il faut choisir un condensateur permettant dobtenir des oscillations de frquence100 Hz soit une priode propre T0 = 0,10 s.

Pour cela, on utilise la relation T0 = 2 LC

On obtient

1,04

10,0

42

2

2

20

L

TC 2,53 103 F = 2,53 mF

Dans un deuxime temps, il faut introduire dans le circuit un dispositif dentretien des oscillations.

On obtient le circuit suivant :

Cours+ Rlc +Bac+Sciences+Exp+(2011 2012)+Mr+Tlili+Touhami

Documents