Concursul interjudet ¸ean de matematic˘ a UNIREA 2014 Edit ¸ia 12+1 Foc¸ sani, februarie 2014 Clasa a 9-a Problema 1. (a) Cˆ ate p˘atrate perfecte cont ¸ine o progresie aritmetic˘ a infinit˘ a care are primul termen 7 ¸ si rat ¸ia 5 ? (b) Fiind dat˘a o progresie aritmetic˘a infinit˘a de numere naturale cu proprietatea c˘a unul dintre termeni este 225, s˘ a se demonstreze c˘a progresia cont ¸ine o infinitate de p˘ atrate perfecte. Problema 2. Fie M ⊂ (-1, 1) o mult ¸ime cu n numere reale (n ≥ 2). Ar˘ atat ¸ic˘a exist˘ a o partit ¸ie a lui M ˆ ın dou˘ a submult ¸imi M 1 ¸ si M 2 astfel ˆ ıncˆ atdac˘a s 1 este suma elementelor lui M 1 ¸ si s 2 este suma elementelor lui M 2 , atunci |s 1 - s 2 | < 1. (M 1 ¸ si M 2 reprezint˘ a o partit ¸ie a lui M dac˘ a aceste sunt disjuncte ¸ si M 1 ∪ M 2 = M . Se consider˘ a c˘ a suma elementelor mult ¸imii vide este 0) Problema 3. Pe laturile [AB], [BC ], [CD]¸ si [DA] ale unui patrulater convex ABCD se consider˘ a punctele M,N,P respectiv Q. Fie G 1 ,G 2 ,G 3 ¸ si G 4 centrele de greutate ale triunghiurilor AMQ,BNM,CNP respectiv DPQ. Ar˘ atat ¸ic˘a G 1 G 2 G 3 G 4 este paralelogram dac˘a¸ si numai dac˘ a ABCD este paralelogram. Problema 4. Pe fiecare latur˘a a unui poligon convex cu n laturi (n ≥ 3) se alege cˆ ate un punct ¸ si se duce din acest punct un vector perpendicular pe latur˘ a, ˆ ındreptat spre exteriorul poligonului ¸ si de lungime egal˘a cu lungimea acestei laturi. Ar˘ atat ¸i c˘a suma tuturor acestori vectori este vectorul nul. Timp de lucru 3 ore Fiecare problem˘ a va fi notat˘ a cu maxim 7 puncte