COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE … · sistemas lineares usando dados no domínio da frequência com métodos de identificação clássicos que usam dados no domínio

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

TIAGO ANDREI ADAMCZEVSKI

COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO

DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E NO DOMÍNIO DO TEMPO

CURITIBA

2011




Monografia apresentada à disciplina Projeto de

graduação como requisito parcial à conclusão

do Curso de Engenharia Elétrica, Departamento

de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia,

Universidade Federal do Paraná.

Orientador: Prof. Dr. Gustavo Oliveira da Costa

CURITIBA

2011

TERMO DE APROVAÇÃO




Monografia aprovada como requisito parcial para a conclusão do Curso de

Engenharia Elétrica, Departamento de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia da

Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:

Aprovado em 05 de Julho de 2011

Comissão examinadora:

Prof. Dr. Gustavo Oliveira da Costa

Universidade Federal do Paraná – UFPR

Orientador

Prof. Dr. Eduardo Parente Ribeiro


Prof. Dr. Gideon Villar Leandro


RESUMO

Muitas vezes um modelo para um sistema dinâmico não pode ser obtido

simplesmente por um processo de modelagem matemática devido a alta

complexidade do mesmo. A identificação de sistemas apresenta-se como uma

alternativa a obtenção de um modelo aproximado, e para isso tantos dados no

domínio do tempo como dados no domínio da frequência podem ser usados.

Neste trabalho faz-se uma comparação entre métodos de identificação de

sistemas lineares usando dados no domínio da frequência com métodos de

identificação clássicos que usam dados no domínio do tempo.

Os métodos escolhidos foram implementados e utilizados na modelagem de

4 sistemas propostos a fim de se comparar os modelos obtidos e analisar a

qualidade dos mesmos através de processos de validação.

Desenvolveu-se também uma pequena estratégia para análise de sistemas

de ordem desconhecida envolvendo os métodos de identificação no domínio da

frequência

ABSTRACT

Often a model for a dynamic system can not be obtained simply by a process

of mathematical modeling due to the high complexity of it. The system identification is

presented as an alternative in the attainment of approached models, and for that,

data in the time domain or in the frequency domain can be used.

This document makes a comparison between methods of identification of

linear systems using data in frequency domain with classical identification methods,

which use data in the time domain.

The methods chosen were implemented and used in modeling four proposed

systems in order to compare the obtained models and analyze their quality through a

validation process.

A strategy for small systems analysis of unknown order involving

identification methods in the frequency domain was developed.

LISTA DE SÍMBOLOS

Índice usado em iterações

Denota o operador da transformada de Laplace

Método de identificação usando uma estrutura Output Error

Método de identificação de Levy

Método de identificação Vector Fitting

Método de identificação usando Levenberg-Marquardt

Valor de frequência de índice dentro de um intervalo de frequências

( ) Saída de um sistema no instante

( ) Entrada de um sistema no instante

( ) Erro introduzido num instante

Operador de atraso, ( ) ( )

( ) Função transferência de um sistema

( ) Função transferência de um modelo usado na representação de um

sistema

( ) Erro encontrado entre sistema e modelo que o representa

( ) Erro ponderado. ( ) ( ) ( )

Módulo do erro ( ) ao quadrado | ( )|

Operador Jacobiano

Sistema simples de coeficientes e ordem conhecida

Sistema complexo de coeficientes e ordem conhecida

Sistema simples de coeficientes e ordem desconhecida

Sistema complexo de coeficientes e ordem desconhecida

Número de amostras

Período de amostragem

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 8

1.1 MOTIVAÇÂO ........................................................................................................ 8

1.2 OBJETIVOS .......................................................................................................... 9

1.3 METODOLOGIA ................................................................................................. 10

2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ......................................................................... 11

2.1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO ............................ 13

2.1.1 Output-Error .................................................................................................... 14

2.2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA .................. 16

2.2.1 Método de Levy (SK) ...................................................................................... 18

2.2.2 Método Vector Fitting (VF) .............................................................................. 21

2.2.3 Método de Levenberg-Marquardt (LM) ........................................................... 24

3 SISTEMAS PROPOSTOS .................................................................................... 28

4 RESULTADOS OBTIDOS .................................................................................... 33

4.1 SISTEMAS CONHECIDOS ................................................................................. 33

4.2 SISTEMAS DESCONHECIDOS ......................................................................... 62

5 CONCLUSÃO ....................................................................................................... 72

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 73

8

1 INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÂO

Desde o começo de nossas vidas e ao longo de nosso crescimento,

passamos por diversas situações em que aprendemos a relacionar certas

consequências com suas causas. Construindo intuitivamente dessa forma, um

grande modelo mental de nosso ambiente, que contém informações acerca de

nossas ações e que nos auxiliam principalmente a prever situações que possam

ocorrer devidas algumas atitudes.

A evolução do pensamento científico ao longo dos séculos e o surgimento

da física clássica levou o ser humano a aprimorar o conceito desse modelo mental e

a estendê-lo a análise de vários tipos de sistemas. Tornando-o não mais algo

meramente qualitativo, sujeito a dúvidas, mas sim algo preciso e de grande

confiabilidade que auxilia na análise e previsões nas mais diversas áreas.

Para que a confiabilidade de um modelo aumentasse novas técnicas

matemáticas surgiram deixando a antiga abordagem newtoniana utilizando uma

descrição de movimentos de corpos e dando lugar a técnicas cada vez mais

sofisticadas usando cálculos numéricos. A área de conhecimento que estuda essas

técnicas alternativas de modelagem matemática chama-se Identificação de

sistemas.

Em 1809, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicou um artigo no Werke

sobre a estimação de parâmetros desconhecidos. Esta técnica mais tarde foi

chamada por Legendre de mínimos quadrados e foi uma das primeiras publicações

referentes a identificação de sistemas não utilizando técnicas convencionais.

Gauss propôs que o melhor modelo para representar um sistema é o que

minimiza a soma dos quadrados dos resíduos entre ele e o sistema a ser

representado, ou seja, os parâmetros desconhecidos de um modelo são os que

minimizam a soma:

∑ ( )

( 1 )

9

com os dados obtidos experimentalmente, e indicando a saída de um modelo

um bom modelo.

As técnicas atuais utilizadas na obtenção de modelos tem como fundamento

a solução da equação ( 1 ) baseada em dados fornecidos pelo sistema quando da

aplicação de uma entrada conhecida. Esses dados podem estar no domínio do

tempo representado por valores instantâneos que variam ao longo dele, ou por

dados no domínio da frequência referindo-se a valores de magnitude e fase.

O presente trabalho tem por objetivo principal implementar, comparar e

analisar técnicas de estimação de modelos de sistemas lineares que resolvem a

equação proposta por Gauss de maneira distinta, utilizando tanto dados no domínio

do tempo, quanto dados no domínio da frequência.

1.2 OBJETIVOS

O presente trabalho tem como objetivo geral o estudo de métodos de

identificação de sistemas lineares usando dados no domínio da frequência em

comparação a métodos de identificação clássicos, que é a estimação feita a partir de

dados no domínio do tempo.

Visa descobrir vantagens e desvantagens na análise usando o domínio da

frequência na estimação de parâmetros de um modelo. E sua eficiência, ou não,

quando comparado com a modelagem de sistemas dinâmicos no domínio do tempo.

Tem como objetivos específicos:

1) Implementar, analisar e comparar diferentes métodos de identificação usando

dados no domínio da frequência.

2) Comparar a eficácia destes métodos com um procedimento clássico,

utilizando uma estrutura do tipo “output error”.

3) Comprovar a validade de todos os modelos obtidos tanto no domínio do

tempo quanto no domínio da frequência.

4) Analisar a qualidade de modelos obtidos usando variações nos dados usados

para estimação.

10

1.3 METODOLOGIA

A metodologia usada no presente trabalho visa basicamente o estudo,

implementação e uso de alguns métodos de identificação de sistemas lineares,

assim como a validação dos modelos obtidos na identificação de alguns sistemas

propostos.

Inicialmente foi realizada uma revisão bibliográfica para familiarização e

contextualização com o universo de identificação de sistemas. Foram levantadas

algumas características de alguns métodos de identificação de sistemas lineares

tanto no domínio do tempo, quanto no domínio da frequência. Desta etapa foram

escolhidos os métodos a serem comparados: um método de identificação com

dados no domínio do tempo usando uma estrutura conhecida como Output Error

(OE) e três métodos para comparação com dados no domínio da frequência.

A segunda etapa consistiu no estudo e implementação de cada um deles

especificamente usando um software de cálculo matemático. A validade dos

métodos implementados foi então comprovada na análise de dois sistemas de

dinâmica conhecida. A seguir uma sequência de testes foi realizada para verificar a

funcionalidade e precisão de modelos obtidos quando existia alguma variação no

conjunto de dados utilizado.

A última etapa refere-se a análise dos métodos quando usados na

identificação de dois conjuntos de dados relativos a sistemas de dinâmica não

conhecida.

11

2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS

A identificação de sistemas preocupa-se basicamente em encontrar um

modelo matemático que consiga relacionar variáveis de um sistema com sinais de

entrada e saída. Este processo de modelagem é feito a partir de dados obtidos

experimentalmente e um processo de estimação dos parâmetros de uma estrutura

usada para representá-lo.

O processo de modelagem de um sistema dinâmico passa por diversas

etapas desde a aquisição dos dados até o processo de estimação do valor de seus

parâmetros. Cada um dos processos é de vital importância para a obtenção de um

bom modelo e pode ser feita de diversas maneiras. Em (AGUIRRE, 2004)

encontramos uma descrição de cada etapa:

1. Testes dinâmicos e coleta de dados: Para que um processo de identificação

de um sistema possa ocorrer é necessário um conjunto de dados que

relacione entrada e saída de um sistema. Esta etapa é fundamental no

processo de identificação visto que sem dados não se pode obter um modelo.

Os dados obtidos podem estar tanto no domínio do tempo, representados por

valores instantâneos que variam ao longo do tempo, quanto no domínio da

frequência com a utilização de valores de magnitude e fase.

2. Escolha da representação matemática a ser usada: Nesta etapa escolhe-se a

estrutura que será usada pra representar o sistema.

3. Estimação de parâmetros: Nesta etapa os parâmetros das estruturas são

estimados através de métodos numéricos com dados tanto no domínio da

frequência, quanto no domínio do tempo.

4. Validação do modelo: Tendo obtido uma família de modelos, é necessário

verificar se eles incorporam ou não as características de interesse do sistema

original. Além disso, é interessante poder comparar os modelos entre si e

decidir se há algum candidato significativamente melhor.

12

A ideia da qualidade de um modelo reside no fato de ele representar fielmente

características desejadas de um sistema e não necessariamente todas elas. Para

que isso possa ser alcançado a escolha da estrutura é importante.

As estruturas utilizadas na modelagem podem ser de dois tipos: paramétrica

(número limitado de parâmetros), e não paramétricas (número infinito de

parâmetros) (BOSH, P. P. J. van den,1994) (AGUIRRE, 2000) (LJUNG, 1987). As

estruturas abordadas por este trabalho são todas paramétricas.

Deve-se lembrar que os dados experimentais são geralmente obtidos em

ambientes sujeito a ação de fontes geradoras de erro nas medidas. Por esse motivo

é relevante considerar isso nas estruturas utilizadas na estimação do modelo

(LJUNG, 1987).

A

FIGURA 1 ilustra o diagrama de blocos de um sistema sujeito a adição de

um sinal de ruído ou distúrbio ( ) modelado por uma função ( ) na saída do

sistema. Este diagrama representa o efeito do ruído como uma adição na saída.

Esta afirmação é válida para a maioria dos sistemas (BOSH, P. P. J. van den,1994).

FIGURA 1 - Sistema afetado por ruído ou distúrbio na saída.

Ao ser expressada matematicamente tem a forma:

Diante da equação ( 2 ) podemos definir cinco modelos de estruturas

paramétricas, são eles: Resposta Impulso Finita (FIR), Auto Regressiva com entrada

exógena (ARX), Auto regressiva de média móvel com entrada exógena (ARMAX),

Erro na Saída (OE) e Box-Jenkins (BJ). Que se distinguem quanto ao modelamento

tanto do sinal de entrada ( ) quanto em relação ao ruído ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 2 )

13

Considere um modelo geral representado por:

em que os polinômios ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) são definidos como:

( )

( )

( )

( ) =

( )

denota o operador de deslocamento (avanço unitário).

Fazendo a escolha de valores específicos para estes polinômios faz-se a

permuta entre os diferentes modelos de representação que podem ser usados em

um processo de identificação de um sistema.

Este trabalho contemplará técnicas de estimação de parâmetros em

modelos para sistemas lineares e invariantes no tempo1, a partir de dados obtidos

tanto no domínio da frequência quanto no domínio do tempo, usando estruturas

paramétricas.

A seguir são apresentados os diversos métodos usados neste trabalho. Estes

visam basicamente a resolução do problema de minimização proposto por Gauss.

Porém como será visto adiante, dependendo da estrutura utilizada na representação

do sistema, as equações obtidas a partir de ( 1 ) são não lineares e de difícil

resolução.

2.1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO

A identificação no domínio do tempo tem como objetivo obter um modelo

que caracteriza um sistema a partir de dados no domínio. Estes podem ser obtidos a

1 Segundo (LATHI, 2001) um sistema é dito linear quando obedece a regras de linearidade

e homogeneidade, e invariante no tempo quando o valor de suas variáveis não muda com o tempo. A maior parte dos sistemas existentes podem ser aproximados por um sistema linear e invariante no tempo.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) , ( 3 )

14

partir da operação normal do sistema ou usando alguns sinais específicos para se

obter respostas mais características. (AGUIRRE, 2004).

Como já mencionado para que os parâmetros de uma estrutura possam ser

estimados é necessário o uso de alguma técnica matemática. Uma possível maneira

de se realizar isso é comparar a previsão da saída realizada no instante anterior com

o valor real medido. Os métodos baseados neste principio são chamados de

Métodos de Predição de Erro (PEM). (BOSH, P. P. J. van den,1994)

Suponha que o valor da saída do sistema a ser estudado num instante é

representada por ( ), e que se deseja estipular o valor do processo no instante

. Então o valor para a predição neste instante (representado por ( | ) )

usando um método PEM pode ser obtido com base no modelo geral da equação ( 3

). Seu valor é calculado a partir da definição de um operador chamado de estimador

( | ). Seu valor para o modelo geral vale (MOUDGALYA, 2007) (BOSH, P. P.

J. van den,1994) :

2.1.1 Output-Error

A estrutura de interesse analisada neste trabalho é a modelo erro na saída ou

também conhecida como output error (OE). Nela a representação do distúrbio é feita

na saída do sistema. O que justifica o nome do modelo. Esta estrutura também

pode ser encontrada na literatura com o nome função de transferência (tranfer

function model ).

Ela pode ser desenvolvida com base em ( 3 ) fazendo com que os

polinômios ( ) ( ) ( ) tenham valor unitário:

Um diagrama de blocos para melhor visualização é apresentado na FIGURA

2. Podemos observar que a saída total do sistema ( ) é a combinação de uma

saída sem perturbação alguma ( ), corrompida por um sinal distúrbio ou erro ( )

( | ) ( ) ( ) [ ( ) ][ ( ) ( ) ( )] ( 4 )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( 5 )

15

FIGURA 2: Estrutura Output Error (OE)

Pela FIGURA 2 o valor de ( ) pode ser facilmente calculado por:

A partir do modelo geral de predição de erro ( 4 ) podemos obter o modelo

para a estrutura OE, fazendo ( ) e ( ) ( )

( ) :

que se escrita em termos de ( ) torna-se:

O vetor contém o valor dos parâmetros de ( ) e ( ):

[ ] .

Para melhor apresentação das equações é interessante a definição de um

vetor de regressão linear ou estimador ( | ) na forma:

Com isto o novo modelo de predição pode ser reescrito como:

( ) ( )

( ) ( ), ( 6 )

( | ) ( )

( ) ( ), ( 7 )

( | ) ( | )

( 8 )

( | ) = [ ( ) ... ( ) ( | ) ... ( | ) ] ( 9 )

( | ) ( | ) . ( 10 )

16

Logo o problema da estimação de um modelo se resume ao cálculo de

( | ) feito pela equação ( 6 ) que implica no conhecimento dos parâmetros .

Podemos perceber que quando se utiliza a estrutura OE o problema na

estimação de parâmetros tem caráter não linear. Algumas técnicas para resolução

desse problema são apresentadas em (BOSH, P. P. J. VAN DEN,1994), (LJUNG,

1987), (AGUIRRE,2004), (PINTELON, 2001).

2.2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

A modelagem no domínio da frequência diferencia-se da realizada no

domínio do tempo principalmente quanto da origem dos dados utilizados. No

domínio da frequência procura-se obter os parâmetros da estrutura utilizada a partir

dos valores de amplitude e fase de um sistema quando submetido a entradas

periódicas.

A identificação no domínio da frequência baseia-se no fato de que sistemas

lineares invariantes no tempo quando excitados por uma entrada senoidal de

frequência tem resposta em regime permanente também de frequência , porém

com valores de amplitude e fase diferentes (PINTELON, 2001).

Em (PINTELON, 1994) encontramos algumas vantagens do uso do domínio

da frequência na modelagem de um sistema.

Fácil redução de ruído: O ruído surge como frequências que não foram

excitadas na entrada do sistema. Assim, é fácil distingui-lo e eliminá-lo na

saída do sistema.

Redução do Volume de dados: um grande número de amostras no

domínio do tempo é substituído por um número pequeno de linhas

espectrais.

Quando se usa DFT (Discrete Fourier Transform) para calcular o espectro,

o erro tem função de distribuição de probabilidade normal.

Ao contrário da identificação no domínio do tempo, não é necessário

estimar o estado inicial do sistema, pois ele já é analisado em estado

estacionário.

É fácil combinar dados de diferentes experimentos, ou seja, o

levantamento da resposta em frequência de um sistema pode ser feito

17

através de vários experimentos, e depois, os resultados podem ser

combinados.

Uma das principais desvantagens encontradas no uso do domínio da

frequência reside no fato de que alguns sistemas, principalmente os industriais, não

podem ser excitados com entradas oscilatórias, não permitindo dessa forma a

aquisição dos valores de magnitude e fase. Para contornar esse problema, é

possível empregar o método de identificação a partir da aplicação de um algoritmo

de FFT (Fast Fourier Transform) nos sinais de entrada e saída, conhecido como

ETFE (Empirical Transfer Funcion Estimate) (PINTELON, 2001) (AGUIRRE, 2004).

A função de transferência de um sistema linear e invariante no tempo de

entrada simples e saída simples (SISO) pode ser escrita como (SOYSAL;

SEMLYEN,1993)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,

(11)

em que os coeficientes , , e são valores reais

Os coeficientes desta equação podem ser estimados a partir de ( 1 ).

Supondo que se deseja obter um modelo ( ) dado como a razão de dois

polinômios como em (11), a partir de valores de magnitude e fase amostrados em

diferentes frequências , com , dentre toda a resposta em frequência do

sistema, obtemos a seguinte função de custo ser minimizada :

( ) ∑ ( ( )

( )

( ) )

,

( 12 )

cujo problema é de natureza não linear.

Esta não linearidade em relação a estimação dos parâmetros do modelo tem

levado ao surgimento de diferentes formulações e métodos de identificação. Neste

trabalho são utilizados 3 diferentes métodos que abordam este problema

distintamente.

O primeiro método descrito por (LEVY,1959) sugere um maneira de

linearização da equação ( 9 ) através de um processo de ponderação da equação do

erro. Posteriormente (SANATHANAN, KOERNER,1963) propuseram uma variante

18

no método de Levy onde os coeficientes do denominador e numerador são

estimados iterativamente, dando origem ao procedimento conhecido como iterações

de Sanathanam e Koerner ou SK.

O segundo método contemplado por este trabalho é o método de interativo

baseado em frações parciais proposto por (GUSTAVSEN; SEMLYEN,1999)

conhecido como Vector Fitting. Este método difere do método de Levy com iterações

SK por utilizar uma estrutura diferente de modelo, baseada em decomposição em

frações parciais.

O último método apresentado é baseado no procedimento de otimização de

funções não lineares de Levenberg-Marquardt. Este é conhecido na literatura por

resolver problemas de mínimos quadrados não lineares. Tal método pode ser

empregado aqui, já que o processo de identificação no domínio da frequência se

resume a solução de um problema não linear.

2.2.1 Método de Levy (SK)

Como mencionado anteriormente, partindo-se do pressuposto que se deseja

modelar um sistema dado por ( ) a partir de uma estrutura de função de

transferência dada como a razão de dois polinômios (11), chega-se a uma equação

de erro ( ) que estabelece uma diferença entre valor medido e valor estimado em

uma dada frequência :

( ) ( ) ( ) ( 13 )

ou

( ) ( ) ( )

( ) .

( 14 )

Pode-se notar que a equação acima é não linear em termo nos coeficientes

, já que os mesmos encontra-se no denominador da função. Isso impede

o uso do método de mínimos quadrados convencional e dificulta a resolução do

problema de otimização.

(LEVY,1959) propôs uma maneira de se contornar esse problema de não

linearidade da equação ( 14 ), multiplicando todos os termos da equação pelo

19

denominador ( ). Dessa maneira obtém-se um sistema de equações lineares,

em que enfim o método de mínimos quadrados pode ser utilizado.

Multiplicando-se a equação ( 14 ) pelo denominador ( ), obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( 15 )

Minimizando a função de erro quadrática | ( )| de modo a se

encontrar o valor dos parâmetros do modelo ( ) , pode-se chegar a um

conjunto de equações na forma linear . Que constitui um conjunto de

equações lineares sobre determinado, ou seja, com mais equações que incógnitas.

Para a minimização da função de erro quadrática utilizamos uma condição

necessária e suficiente para que tenha mínimos locais (DYER; DYER,2009).

e

Isolando os termos , . Nas condições acima

apresentadas considerando todos os pontos de frequência analisados , e

isolando em relação aos mesmos encontra-se o seguinte sistema de equações

lineares que pode ser resolvido por um método de mínimos quadrados convencional:

( 16 )

[

]

[

]

[

]

em que

∑( )

20

∑ ( )

,

∑( )

∑( (

) )

e são as partes reais e imaginárias do valor experimental em uma determinada

frequência ( ( ) ).

Notamos que com o método sugerido por Levy, a ponderação do sistema de

equações leva a uma linearidade das equações e com isso um método de estimação

ordinário pode ser utilizado. Tornando dessa forma a estimação dos parâmetros do

modelo facilmente implementável.

Porém em algumas situações a solução deste problema pode resultar em

matrizes mau condicionadas, principalmente quando estruturas de ordem elevadas

são utilizadas.

Para contornar este problema Sanathanam e Koerner (1963) propuseram o

uso de um método iterativo através de um novo termo referente ao “passado” de

( ).

Com a adição desse termo a equação ( 15 ) torna-se então:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ,

( 17 )

Nesta equação corresponde ao índice de iterações O termo refere-se dessa

forma ao valor anterior da referida variável.

Resolvendo novamente a nova expressão | ( )| obtém-se o mesmo

conjunto de equações anteriores em ( 16 ), porém os novos coeficientes das

matrizes são dados por:

∑

| ( ) |

∑

| ( ) |

21

∑

| ( ) |

∑

(

)

| ( ) |

Nota-se que as novas equações dependem dos valores anteriores do

denominador. Os coeficientes obtidos pela iteração são usados para o calculo de

( ) para a próxima iteração. No início do processo como seu valor não é

conhecido um valor unitário pode ser usado (SANATHANAM; KOERNER, 1963).

À medida que as iterações são realizadas, os resultados obtidos tendem a

convergir e os coeficientes avaliados tornam-se rapidamente aqueles obtidos pela

minimização da soma de | ( )| , que de certa maneira era o problema inicial.

2.2.2 Método Vector Fitting (VF)

O método descrito a seguir proposto por Gustavsen e Semlyen (1999) aborda

o problema de modelagem de um sistema de uma forma diferente do método

descrito anteriormente. O método de Levy consiste da estimação de parâmetros de

um modelo descrito como a razão de dois polinômios, já o método de Vector Fitting

aborda o problema de identificação no domínio da frequência usando um modelo

descrito em frações parciais. Esta abordagem trás uma grande vantagem ao método

que é a não necessidade de lidar com os termos de frequências elevados à ordem

do modelo do sistema.

Considere uma função de transferência no formato apresentado em (11),

reescrita agora utilizando frações parciais, tal que:

( ) ( )

( ) ∑

,

( 18 )

Nesta equação e são respectivamente os resíduos e os pólos, d e h valores

reais.

O método de Vector Fitting consiste na busca dos valores dos pólos e

resíduos ótimos para a descrição de um sistema a partir de dados obtidos

22

experimentalmente. Esta busca pelos pólos é feita por um esquema iterativo de

realocação de pólos a partir de um conjunto de pólos iniciais arbitrários, em que em

cada iteração um problema de mínimos quadrados é resolvido para se obter melhor

exatidão nos valores dos parâmetros.

O processo de identificação dos pólos é feita em dois estágios. O primeiro

consiste na estimação dos pólos do modelo a partir do uso de uma função de

escalonamento com pólos iguais aos pólos iniciais escolhidos O segundo estágio

estima o valor dos resíduos de ( 18 ) usando uma função não escalonada, também

com base nos valores dos pólos iniciais.

Considerando um certo conjunto de pólos ditos pólos iniciais, distribuídos

por todo o intervalo de frequência de interesse e uma função desconhecida ( ),

pode-se definir uma função de escalonamento ( ) tal que o produto desta função

por ( ) seja :

( ) ( ) ∑

, ( 19 )

Uma aproximação de ( ) é:

( ) ∑

. ( 20 )

Note que as duas funções possuem os mesmo pólos.

Substituindo a equação ( 20 ) em ( 19 ) encontramos a seguinte relação:

∑

(∑

) ( ),

( 21 )

∑

∑

( ) ( ),

( 22 )

Lembrado que e cada ponto em frequência analisada levaria a uma

equação no formato apresentado em ( 22 ), podemos reescrever todo o conjunto de

pontos de frequência analisados como um sistema linear na forma:

23

( 23 )

Tal que:

[

( )

( )

]

[ ]

( )

As expressões acima demonstradas só são válidas para um conjunto de

pólos iniciais puramente reais. Caso pares de pólos complexos conjugados sejam

utilizados deve-se alterar os coeficientes de e para que o valor dos resíduos

e também apareçam em pares complexos conjugados.

Os dois elementos e devem ser substituídos por :

.

Os respectivos elementos no vetor solução torna-se e . Em que

( 24 )

O sistema de equações descrito em ( 23 ) pode ser resolvido usando um

método de mínimos quadrados convencional, como em ( 16 ). Uma vez com os

valores de e , podemos aproximar a função ( ) a partir de ( 21 ) como:

( )

∑

∑

, ( 25 )

Como cada conjunto de frações parciais pode ser reescrito na forma de

produtos obtemos então:

24

( )

∏ ( )

∏ ( )

∏ ( )

∏ ( )

∏ ( )

∏ ( )

( 26 )

Pode-se notar que uma simplificação dos pólos iniciais pode ser realizada já

que tanto a função de escalonamento quanto o produto ( ) ( ) tinham os mesmo

pólos. A equação ( 26 ) demonstra que os zeros da função ( ) convertem-se em

pólos da função ( ). Durante o processo iterativo estes valores são usados como

novos valores para os pólos iniciais da próxima iteração.

Os zeros de ( ) são calculados a partir dos autovalores de uma matriz

definida abaixo:

,

( 27 )

Em que é uma matriz diagonal contendo o valor dos pólos iniciais, é um vetor

coluna de e é um vetor fila contendo os resíduos de ( ) (portanto os valores

de ) encontrados anteriormente. A demonstração disto pode ser encontrada em

(GUSTAVSEN B.; SEMLYEN, A, 1999).

Executando os passos descritos anteriormente em um processo iterativo

chega-se a um modelo ( ) de ( )

Para a obtenção de um modelo satisfatório é de vital importância a solução do

problema com exatidão e para isso bons pólos iniciais devem ser escolhidos.

Uma solução dada pelo autor para esses problemas é o uso de pares complexos de

pólos de forma que:

Com .

Aprimoramentos no método vector fitting podem ser encontradas, dentre

outras referências em (GUSTAVSEN, 2006).

2.2.3 Método de Levenberg-Marquardt (LM)

Quando se menciona o termo solução numérica para o problema de

otimização, em particular, de minimização, quer dizer que o algoritmo tenta de

25

alguma forma encontrar o valor dos parâmetros ou variáveis de uma determinada

função, denominada de função objetivo ou custo, de modo que o seu valor seja o

menor (no caso de minimização) possível, seja num determinado intervalo (mínimo

local) ou em todo o seu conjunto imagem (mínimo global).

De certa maneira é isso o que tem-se abordado até o momento porém não

usando uma abordagem tão “direta” do problema como quando usando técnicas de

otimização. Tanto o método de Levy quanto o método de Vector Fitting buscam

encontrar o valor dos parâmetros do modelo em questão para os quais o erro em

relação aos valores medidos tem o menor valor possível, ou seja, visam encontrar o

mínimo da função erro ( ) dada pela equação ( 13). O objetivo de um algoritmo de

otimização é justamente esse, determinar os pontos onde uma função assume

determinado valor, ou assume valores extremos.

A diferença na utilização do algoritmo de otimização para se modelar um

sistema reside no fato de que o algoritmo não foi desenvolvido para isso como os

demais, e sim vai ser utilizado para esse fim.

O algoritmo de Levenberg–Marquardt (LM) é um dos mais utilizados algoritmos

de otimização e será utilizado neste documento para fins de encontrar os

parâmetros do modelo que minimizam a função de erro quadrático entre os dados

medidos e os dados previstos pelo modelo. Tem como objetivo prover uma solução

numérica para problemas de minimização em que uma função custo é expressa na

forma de soma de quadrados, ou seja:

( )

∑[ ( )]

( 28 )

Para que os coeficientes , possam ser obtidos

devemos minimizar uma função custo, que se tratando do processo de identificação

já foi apresentada em ( 13 ).

Assim como outros métodos de otimização o método de Levenberg–

Marquardt (LM) é iterativo. Isso significa que dado um valor inicial , aqui

representado pelos coeficientes do modelo, ele produzirá uma série de valores

, que espera-se que a função de custo vá convergir para um valor de

mínimo local ou global .

26

Pode-se interpretar o funcionamento do algoritmo do Levenberg–Marquardt

como a combinação de dois outros métodos de otimização: gradiente descendente

ou declive descendente e o método de Gauss-Newton. No primeiro a função custo é

reduzida através do acréscimo dos parâmetros na direção de maior redução. Ao

passo que no segundo, a soma do quadrado dos erros é reduzida fazendo-se uso de

um processo de linearização local e a utilização de mínimos quadrados ordinários

para encontrar um mínimo local dessa linearização. O algoritmo de LM atua como

gradiente descendente quando os valores analisados estão longe de seu valor ótimo

e como Gauss-Newton quando estão próximos. (RANGANATHAN, 2004)

A base para a aplicação do algoritmo é a aproximação linear do modelo em

torno dos parâmetros iniciais [ , ] :

( ) ( ) ( 29 )

Nesta equação representa a matriz jacobiana ( )

Usando esta

aproximação na equação de custo a ser minimizada

( ) | ( ) ( )| | ( ) ( ) | | |

( 30 )

Para que o valor da função acima convirja para um mínimo devemos

encontrar um valor ótimo de A procura por esse valor está relacionada com um

problema de mínimos quadrados ou também com as conhecidas equações normais:

( 31 )

A Matriz do lado esquerdo da equação acima é dita uma aproximação

Hessiana ou seja, uma aproximação da matriz de derivadas de segunda ordem. O

algoritmo Levenberg-Marquardt resolve um grupo de equação um pouco diferentes

destas, conhecidas como equações normais aumentadas (augmented normal

equations ) :

( 32 )

Em que os elementos que não fazem parte da diagonal de são idênticos

as de e os demais são dados por [ ] para .

27

A estratégia de alterar os coeficientes da diagonal da matriz é conhecida

como damping e o termo é conhecido como fator de amortecimento (damping

factor). Quando o valor do vetor de parâmetros atualizado calculado usando a

equação ( 32 ) leva a uma redução do erro a atualização é aceita e o processo

continua com um fator de amortecimento menor. Ao passo que, se o valor de

aumenta, o valor de amortecimento é incrementado e as equações normais

aumentadas são recalculadas até um valor de que decrementa o erro for

encontrado. O processo de resolver a equação ( 32 ) para diferentes valores do fator

de amortecimento até um valor aceitável de parâmetros for encontrado corresponde

a uma iteração no algoritmo de Levenberg-Marquardt (RANGANATHAN A., 2004).

28

3 SISTEMAS PROPOSTOS

Este capítulo apresenta os sistemas que foram utilizados na obtenção dos

dados para estimação dos modelos usando os diferentes métodos de identificação

de sistemas.

Para formação do conjunto de dados que foram utilizados nos testes

envolvendo os método de identificação de sistemas foram escolhidos 4 tipos de

sistemas, sendo que algum deles se conhecia a sua representação usando função

de transferência e outros de que não se tinha nenhuma informação prévia a cerca de

sua dinâmica.

A nomenclatura adotada neste trabalho para facilitar a referência a esses

sistemas está apresentada abaixo:

: Sistema simples com valor de ordem conhecido.

: Sistema complexo com valor de ordem conhecido.

: Sistema simples de dinâmica não conhecida.

: Sistema complexo de ordem não conhecida.

O termo sistema simples, refere-se a um sistema de ordem relativa baixa ao

passo que sistema complexo refere-se a um sistema cuja ordem relativa é grande e

seu comportamento é mais caótico do que o anterior.

Para representar o sistema foi escolhido o uso de um circuito eletrônico

que representa um filtro com topologia Sallen-key. A FIGURA 3 ilustra o circuito:

FIGURA 3: Filtro Sallen Key para extração da função de transferência

FONTE: LATHI, 2007

29

Essa estrutura é muito usada na implementação de filtros do tipo passa-

baixas ou passa-altas. Escolhendo adequadamente o valor das impedâncias do

circuito pode-se obter respostas do tipo Bessel, Butterworth, Chebyshev, etc.

Em (LATHI, 2007) podemos encontrar a função de transferência que

representa este circuito:

( )

( )

(

) ,

( 33 )

em que

O termo na equação ( 33 ) referente a é chamado de frequência de corte e

é o fator de qualidade do filtro.

Escolhendo os valores das capacitâncias e resistências de modo a se definir

uma frequência de corte em e um fator de qualidade de na

equação ( 33 ), obtém-se o seguinte modelo:

( )

( )

. ( 34 )

A resposta em frequência da equação ( 34 ) está sendo exibida na FIGURA

4:

FIGURA 4: Reposta em frequência para o sistema

100

101

102

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

Ma

gn

itu

de

(d

B)

Resposta em frequência

100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

30

Podemos notar que a equação do sistema , possui dois pólos complexos

conjugados localizados em:

.

Para representar o sistema complexo de ordem conhecida ( ) foi

escolhido o sistema apresentado em (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010). Trata-se do

chamado oscilador com três massas (three mass oscillator), ilustrado na FIGURA 5.

É formado por um motor com um eixo que se movimenta presos a três massas e três

discos. Um dos quais será o alvo do estudo. As massas e os dois discos extras

servem para acrescentar momentos de inércia ao sistema, tornando-o dessa forma

mais crítico ou caótico.

FIGURA 5: Oscilador com três massas

FONTE: (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010)

Substituindo os valores propostos por (ISERMANN; MÜNCHHOF, 2010)

necessários para os momentos de inércia, diâmetros dos discos e massa dos pesos

acrescentados, encontramos a seguinte função de transferência da velocidade do

último disco em relação ao torque do motor:

( )

,

( 35 )

31

cuja resposta em frequência encontra-se na FIGURA 6.

A equação ( 35 ) tem pólos reais e complexos localizados em:

FIGURA 6: Resposta em frequência para o sistema

Os sistemas e são de dinâmica desconhecida e foram fornecidos pelo

orientador desde trabalho. Os gráficos de resposta em frequência podem ser

encontrados respectivamente na FIGURA 7 e FIGURA 8

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)


100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

32



10-2

10-1

100

101

102

-40

-30

-20

-10

0

10

Ma

gn

itu

de

(d

B)

Resposta em frequência sistema desconhecido H3

10-2

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

100

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

101

102

103

104

105

106

107

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Ma

gn

itu

de

(d

B)

Resposta em frequência sistema desconhecido H3

101

102

103

104

105

106

107

-100

-50

0

50

100

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

33

4 RESULTADOS OBTIDOS

Este capítulo descreve os testes realizados nos sistemas descritos no

capítulo 3, para a análise dos métodos de identificação no domínio do tempo e da

frequência.

Primeiramente serão apresentados a análise em sistemas de dinâmica

conhecida ( e ) em algumas situações distintas e depois passa-se a

modelagem dos sistemas de dinâmica não conhecida ( e ).

4.1 SISTEMAS CONHECIDOS

Nesta etapa foram executados um conjunto de testes nos sistemas ditos

conhecidos: e . Foram testados o funcionamento de cada um dos métodos de

identificação implementados no domínio da frequência e no domínio do tempo, em 5

testes distintos, envolvendo variações no processo de amostragem e diferentes

estruturas usadas no processo de modelagem.

O primeiro tem por objetivo verificar a qualidade dos métodos

implementados. Para isso os modelos obtidos na identificação foram sujeitos a uma

etapa de validação na qual um valor de erro médio quadrático (RMS) em relação ao

sistema analisado era medido.

A partir de todos os métodos funcionando corretamente, passou-se ao

segundo teste envolvendo a introdução de um erro nas amostras coletadas. O erro

foi adicionado de modo a verificar-se o comportamento dós métodos.

O terceiro teste contempla o uso de diferentes números de amostras e uma

variação no período de amostragem utilizado no domínio do tempo. O teste seguinte

usa um número fixo de amostras, porém com diferentes espectros de frequência

para a coleta dos dados usados na estimação dos modelos.

O último teste foi realizado utilizando estruturas sub e sobre dimensionadas

no modelamento, isto é, as estrutura tinham ordem menor e maior das do sistema a

ser modelado.

34

4.1.1 Verificação do funcionamento dos métodos e validação dos resultados

obtidos

Este teste tem como objetivo verificar o funcionamento dos algoritmos

implementados. Ao final os modelos obtidos foram sujeitos a um processo de

validação que comprova sua qualidade.

Os dados para identificação no domínio do tempo foram coletados a partir da

aplicação de uma entrada aleatória nos sistemas. A saída destes foi amostrada com

período de amostragem , no total foram utilizados pontos.

Como dito anteriormente as estruturas escolhidas para o modelamento tem

denominador e numerador de ordem igual a ordem ao sistema a ser modelado.

Os resultados obtidos para o processo de estimação dos sistemas e

usando o método OE encontram-se respectivamente nas FIGURA 9 e FIGURA 10.

As figuras exibem o valor da resposta em frequência para os modelos obtidos.

Para que uma comparação adequada fosse realizada com os modelos no

domínio do tempo, foi necessário um processo de discretização dos sistemas

analisados, já que o método fornecia modelos no tempo discreto (Z). A discretização

realizada usou o mesmo período de amostragem anterior, .

FIGURA 9: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando OE. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

Ma

gn

itu

de

(d

B)


Real

OE

100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

35

Pode-se notar pelas figuras que o modelo obtido usando OE apresenta

resposta em frequência idêntica ao sistema. Este resultado era esperado uma vez

que a ordem da estrutura usada é igual a do sistema.

FIGURA 10: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando OE. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.

No domínio da frequência os dados foram coletados num intervalo de

frequência de [ ] , dispostos com um intervalo de ,

totalizando dessa forma também amostras.

Para o funcionamento dos métodos foi necessária algumas configurações

prévias, distintas para cada um deles.

Método de SK: 10 iterações.

Método de VF: Foram usados pólos reais linearmente dispostos pelo intervalo

de frequência analisado. O número de pólos utilizado era igual a ordem do

sistema.

No método de LM foram utilizadas 50 iterações. O valor inicial dos

coeficientes utilizados foi no sistema igual a unidade e no sistema foi

igual a grandeza dos coeficientes a serem estimados.

A resposta em frequência dos modelos obtidos usando a estrutura de

mesma ordem dos sistemas e encontra-se respectivamente nas FIGURA 11 e

FIGURA 12. Diferentemente dos dados anteriores não foi necessário um processo

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)


Real

OE

100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

36

de discretização já que todos os métodos no domínio da frequência fornecem

modelos no domínio

FIGURA 11: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando os métodos do domínio da frequência. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.

FIGURA 12: Resultados obtidos para a identificação do sistema usando os métodos do domínio da frequência. A estrutura utilizada tem ordem igual a do sistema.

100

101

102

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

Ma

gn

itu

de

(d

B)


Real

SK

VF

LM

100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)


Real

SK

VF

LM

100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

37

Observa-se que todos os métodos apresentaram respostas que se

sobrepõem a resposta em frequência original do sistema. O que sugere a obtenção

de um bom modelo.

Para uma melhor verificação dos modelos obtidos é interessante comparar a

posição de seus pólos. A TABELA 1 e a TABELA 2 contém os pólos dos modelos

obtidos no domínio do tempo e no domínio da frequência para o sistema e ,

respectivamente. Na primeira os modelos apresentam os mesmos pólos do sistema,

o que nos levar a supor que quando os modelos obtidos para o sistema forem

submetidos a uma análise de validação os erros encontrados serão pequenos.

TABELA 1: Pólos dos modelos obtidos. Sistema

Tem

po

OE

Fre

quê

ncia

SK

VF

LM

Os modelos do sistema obtidos apresentaram diferenças em relação a

alocação dos pólos reais. O pólo próximo a origem do sistema não foi encontrado

em SK, e foi completamente excluído nos modelos obtidos por VF e LM, ao passo

que no domínio do tempo foi corretamente encontrado.

TABELA 2: Pólos dos modelos obtidos. Sistema

Tem

po

OE

Fre

quê

ncia

SK

VF

LM

38

Os modelos obtidos no domínio do tempo e no domínio da frequência foram

sujeitos a um processo de validação, em que uma entrada aleatória era aplicada aos

modelos e ao sistema. Valores de erro entre saída do modelo e saída do sistema

foram medidos.

Pelo mesmo motivo anterior, para a realização da validação foi necessário a

discretização dos modelos obtidos no domínio da frequência. A discretização

realizada foi feita com o mesmo período de amostragem

Os resultados obtidos nesta etapa foram comparados e podem ser

visualizados na FIGURA 13. Pode-se notar que, como o esperado, devido a boa

alocação dos pólos dos modelos do sistema os erros são quase imperceptíveis.

Uma análise mais crítica pode ser feita a partir da TABELA 3, que apresenta o valor

médio dos erros quadráticos (RMS).

Todos os métodos de identificação na frequência trouxeram baixos valores

de erros, mesmo os que não consideraram a inclusão do pólo real anteriormente

comentado. O que nos leva a crer que o sistema , pode também ser modelado pro

uma estrutura de ordem inferior. Esta observação será discutida mais adiante

TABELA 3: Valores de erro quadráticos medidos na validação

Output-Error (OE)

Levy (SK)

Vector Fitting (VF)

Levenberg-Marquardt (LM)

39

FIGURA 13: Resultado do processo de validação dos modelos obtidos usando entrada aleatória. Sistema (Superior) e sistema (Inferior)

4.1.2 Análise do funcionamento dos métodos com a adição de incertezas nas

medidas

Uma vez com todos os métodos funcionando corretamente passou-se ao

teste seguinte utilizando incertezas nas medidas coletadas. Os métodos de

identificação foram aplicados no modelamento dos sistemas e com dados

coletados contendo erros. Para simular o efeito da presença de erros nas medidas

foi adiciona ao conjunto de dados coletados, tanto no domínio do tempo como no

domínio da frequência, um pequeno valor aleatório.

A amplitude deste foi variada ao longo dos testes em intervalos constantes

de em relação ao valor RMS obtido considerando os dados de magnitude, fase

e as amostras no período do tempo.

Foram considerados os dois sistemas no processo de identificação. As

estruturas dos modelos utilizados tem a mesma ordem da dos sistemas. O tempo de

amostragem utilizado foi de para o OE e o intervalo de frequência

utilizado para os demais métodos era [ ] dispostos em intervalos de

. Em todas as situações foram usados um número de 1000 amostras, e

os métodos tinham as mesmas configurações que o teste anterior em relação a

iterações e valores iniciais.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015Saída dos modelos estimados sujeitos a uma entrada aleatória. Sistema H1

0 1 2 3 4 5 6 7-2

0

2

4

6

8

10Saída dos modelos estimados sujeitos a uma entrada aleatória. Sistema H2

Real

OE

SK

VF

LM

Real

OE

SK

VF

LM

40

A FIGURA 14 representa o comportamento do erro calculado na magnitude e

fase, presente na resposta em frequência dos modelos quando comparados com o

sistema . A FIGURA 15 por sua vez, ilustra o valor dos erros dos modelos

discretizados usando-se o mesmo anterior.

Observa-se que o método OE foi o que sofreu menos influência conforme a

amplitude do erro aumentava, tanto para a magnitude quanto para a fase. Os

métodos de identificação no domínio da frequência apresentaram um crescimento

exponencial do erro para o valor da magnitude, sendo que o VF apresentou o maior

dos erros. Foi verificado ainda que o VF apresentou um comportamento diferente

quando sofreu o processo de discretização nos valores referentes a fase (FIGURA

15) .

FIGURA 14 Evolução do erro para os modelos no domínio da frequência variando-se a amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4x 10

-3

Erro Introduzido (%)

Valo

r rm

s d

o e

rro d

e v

alid

ação

Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio s

SK

VF

LM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50


Valo

r rm

s d

o e

rro d

e v

alid

ação

Evolução do erro na FASE no domínio s

41

FIGURA 15: Evolução do erro para os modelos discretizados variando-se a amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .

Durante o processo de validação dos modelos o erro medido apresentou um

comportamento similar ao das figuras anteriores. Os resultados estão apresentados

na FIGURA 16. O método SK apresentou um pico quando o erro tinha 5% em

relação ao RMS total, este valor provavelmente foi oriundo de um problema de mau

condicionamento da matriz dos coeficientes utilizada pelo método.

FIGURA 16: Evolução do erro RMS encontrado na validação dos modelos obtidos. Sistema .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4x 10

-3

Erro Introduzido (%) V

alo

r rm

s d

o e

rro

de

va

lid

açã

o

Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio Z

OE

SK

VF

LM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

400


Va

lor

rms d

o e

rro

de

va

lid

açã

o

Evolução do erro na FASE no domínio Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-3


Va

lor

rms d

o e

rro

de

va

lid

açã

o

Evolução do erro de validação

OE

SK

VF

LM

42

Os modelos obtidos para o sistema demostraram um comportamento

diferente aos do sistema . Pode-se observar pela FIGURA 17 que os métodos de

identificação na frequência SK e LM, apresentaram grandes valores de erro quando

o erro introduzido era muito grande. Ao contrário do sistema , não foram

verificadas diferenças no comportamento do erro no domínio do tempo contínuo e

discreto em nenhum dos métodos.

FIGURA 17: Evolução do erro encontrado conforme variação da amplitude do erro aplicado sobre as medidas realizadas. Sistema .

No processo de validação dos modelos, os métodos VF e SK apresentaram

erros muito grandes dificultando dessa forma a visualização da curva de validação.

Por esse motivo a FIGURA 18 contém o valor dos erros obtidos para o método de

identificação no domínio da frequência VF e identificação no domínio do tempo OE.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5


Va

lor

rms d

o e

rro

de

va

lid

açã

o

Evolução do erro na MAGNITUDE no domínio Z

OE

SK

VF

LM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200


Va

lor

rms d

o e

rro

de

va

lid

açã

o

Evolução do erro na FASE no domínio Z

43

FIGURA 18: Evolução do erro na validação usando os métodos OE (domínio do tempo) e VF (domínio da frequência).

Os valores obtidos para os dois sistemas, simples e complexo, foram

diferentes. Porém o método de identificação no domínio do tempo apresentou-se

mais eficiente para os dois sistemas.

4.1.3 Análise do funcionamento dos métodos com a variação no número de

amostras coletadas.

Este teste tem por objetivo avaliar o comportamento do erro no

modelamento dos sistemas quando um número diferente de amostras é usado. Para

que essa análise fosse realizada foi definido um intervalo fixo no domínio da

frequência e no domínio do tempo e o intervalo entre as amostras coletadas era

variado.

Os intervalos de variação de frequência foram definidos em [ ] e

no tempo [ ] . Toda vez que o intervalo entre as amostras era variado uma

nova coleta de dados era realizada e novos modelos eram obtidos e então avaliados

em relação ao valor de magnitude e fase.

Para a realização dos testes foi utilizada as configurações iniciais utilizada

nos testes anteriores e também uma estrutura de mesma ordem que a do sistema

avaliado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-0.6

10-0.5

10-0.4

10-0.3

10-0.2

10-0.1

100

100.1


Va

lor

rms d

o e

rro

de

va

lid

açã

o

Evolução do erro de validação

OE

VF

44

A FIGURA 19 contém as diversas respostas em frequência para os

diferentes modelos obtidos no domínio do tempo para o sistema . Nota-se que à

medida que o número de amostras aumentava, ou seja diminuía, o modelo ia se

tornando mais preciso. O que nos leva a perceber que os modelos no domínio do

tempo são totalmente dependentes do período de amostragem utilizado.

FIGURA 19: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio do tempo usando-se um número variável de amostras.

As figuras abaixo ilustram as resposta em frequência para os demais

métodos de identificação no domínio da frequência para o sistema . O método VF

(FIGURA 22) apresentou os melhores resultados para um baixo número de amostras

ao passo, que o método LM os piores. Este último só obteve resultados satisfatórios

quando as amostras utilizadas ultrapassavam o número de 200.

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitude (

dB

)


100

101

102

-2000

-1500

-1000

-500

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

real

N = 20

N = 60

N = 80

N = 200

N = 300

N = 500

45

FIGURA 20: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método SK ,usando um número variável de amostras

FIGURA 21: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método VF ,usando um número variável de amostras

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitude (

dB

)


100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

real

N = 20

N = 60

N = 80

N = 100

N = 200

N = 300

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)


100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

real

N = 20

N = 60

N = 80

N = 100

N = 200

N = 300N = 500

46

FIGURA 22: Resposta em frequência para os modelos obtidos no processo de identificação no domínio da frequência com o método LM ,usando um número variável de amostras

A partir da evolução do erro na análise do sistema (FIGURA 23) e do

sistema (FIGURA 24) podemos concluir que o método de identificação no

domínio do tempo usado é bastante dependente do tempo de amostragem. Nos dois

gráficos notamos que a medida que o número de amostras aumenta, e

consequentemente o período de amostragem diminuía o erro diminuía

proporcionalmente, até o número de 100 amostras.

FIGURA 23:Evolução dos erros entre magnitude e fase em relação ao sistema quando o número de amostras era variado. Sistema

100

101

102

-100

-50

0

50

Ma

gn

itu

de

(d

B)


100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

real

N = 20

N = 60

N = 80

N = 100

N = 200

N = 300

N = 500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

-20

10-15

10-10

10-5

100

Erro acumulado MAGNITUDE

Amostras

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

OE

SK

VF

LM

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

-15

10-10

10-5

100

105

Erro acumulado FASE

Amostras

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

47

FIGURA 24: Evolução dos erros entre magnitude e fase em relação ao sistema quando o número de amostras era variado. Sistema

Em relação a um número pequeno de amostras, os métodos no domínio da

frequência apresentaram melhores resultados do que no domínio do tempo. O

método VF apresentou o menor dos erros nos dois sistemas.

Verifica-se que SK forneceu modelos mais precisos que no tempo em

relação ao sistema isso já não foi verificado no sistema . Isto se deve

provavelmente devido a ordem elevada do mesmo.

O método de otimização LM apresentou variações bruscas no erro quando o

sistema foi modelado, já os resultados obtidos para foram bem mais estáveis.

4.1.4 Análise do funcionamento dos métodos com o uso de sinais de excitação de

mesmo espectro de frequência

Este teste tem como objetivo comparar de maneira mais exata a capacidade

de identificação dos métodos quando sinais de mesmo espectro de frequência são

usados para a excitação durante a coleta dos dados. Isso quer dizer que se um

determinado intervalo de frequência for coletado no domínio da frequência, este

mesmo intervalo será utilizado para compor o sinal que vai ser usado na excitação

do sistema para a coleta de informações no domínio do tempo.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

-15

10-10

10-5

100

105


Amostras

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

OE

SK

VF

LM

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

-10

10-5

100

105

Erro acumulado FASE

Amostras

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

48

O objetivo do teste é também verificar se o uso de componentes de

frequência distante ou próximo dos pólos acarreta em diferenças na qualidade do

modelo adquirido.

A análise envolveu o estudo de dois casos com faixas de frequências

diferentes. Em ambos, foi utilizada uma faixa de frequência para compor o sinal de

excitação denotado por , e outra para compor um sinal usado no processo

de validação, representado por . Os métodos também foram submetidos a

validação usando um sinal de entrada aleatória ( ).

{

[ ]

[ ]

{

[ ]

[ ]

Estas faixas foram escolhidas de modo que no Caso 1, o sinal usado para

estimação abrangesse os pólos das funções de transferência, e o espectro usado na

validação ( ) estivesse fora desse intervalo. No Caso 2, esta situação se

inverte, a coleta de dados era feita fora da faixa de frequência dos pólos e a

validação dentro dela. Deve-se observar que nos dois casos a validação usando

entrada aleatória usava uma distribuição normal de frequência ( ).

Para uma melhor avaliação dos modelos obtidos os erros relativos entre

modelos e sistemas foram analisados graficamente e quantitativamente num

intervalo de [ ] .

Nos dois casos foi usado um total de amostras. Logo 1000 pontos

de frequência foram usados dentro do intervalo de cada situação e estes foram

usados para compor um sinal que foi aplicado a um sistema, cuja saída, foi

amostrada com , de modo a também se obter 1000 pontos para serem

usados na identificação no domínio do tempo.

As estruturas utilizadas tem a mesma ordem dos sistemas e as

configurações iniciais para os métodos são as mesmas dos testes anteriores.

Pode-se observar pelas FIGURA 25 e FIGURA 26 que a resposta em

frequência dos modelos obtidos para o Caso 1 aproximaram-se de forma satisfatória

da resposta em frequência dos sistemas avaliados. Os modelos obtidos por VF e LM

apresentaram bons resultados, ao passo que SK e OE apresentaram desvios

elevados no modelamento de .

49

FIGURA 25: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, fora da faixa dos pólos do sistema. Sistema .

FIGURA 26: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, fora da faixa dos pólos do sistema. Sistema .

A FIGURA 27 e a FIGURA 28 apresentam o teste de validação dos modelos

utilizando a faixa do Caso 1, e também a entrada aleatória. Como já

observado os métodos de identificação no domínio da frequência apresentaram

bons resultados, e os erros encontrados podem ser visto na TABELA 4.

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

Magnitude (

dB

)


100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

Real

OE

SK

VF

LM

Faixa estimação

Faixa validação

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitude (

dB

)


Real

OE

SK

VF

LM

Faixa estimação

Faixa validação

100

101

102

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

50

FIGURA 27: Testes de validação usando as faixas de frequência do Caso 1. Sistema .


TABELA 4: Erros de estimação e validação obtidos no Caso 1

Entradas Estimação Validação Aleatória Estimação Validação Aleatória

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-10

0

10Teste de validação com a entrada de estimação

real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-10

0

10

20Teste de validação 1

real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

Tempo (s)

Teste de validação 2

real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-5000

0


real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

2x 10

4 Teste de validação 1

real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-500

0

500

1000

Tempo (s)


real

OE

SK

VF

LM

51

No caso 2 foi utilizada uma faixa de frequência cujo espectro estava

predominantemente dentro da faixa de disposição dos pólos dos sistemas. As

figuras FIGURA 29 e FIGURA 30 apresentam as respostas em frequência dos

modelos discretizados. Pode-se notar que ao contrário do Caso 1, o método OE não

apresentou o mesmo problema em altas frequências que anteriormente, tanto para o

sistema quanto para .

FIGURA 29: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, dentro da faixa dos pólos do sistema. Sistema .

FIGURA 30: Resposta em frequência dos modelos discretizados usando um espectro em frequência para o sinal de excitação, dentro da faixa dos pólos do sistema. Sistema

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

Magnitude (

dB

)


Real

OE

SK

VF

LM

Faixa estimação

Faixa validação

100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitude (

dB

)


Real

OE

SK

VF

LM

Faixa estimação

Faixa validação

100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

52

As FIGURA 31 e FIGURA 32 ilustram os resultados obtidos no processo de

validação usando as faixas de frequência do Caso 2.



O valor dos erros obtidos usando a validação com espectro do

Caso 2 está próximo dos valores obtidos quando se utilizava uma entrada aleatória e

também próximo aos erros obtidos do teste usando uma coleta de dados usando

uma entrada aleatória (TABELA 3).

0 1 2 3 4 5 6 7-5

0

5

10


real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-10

-5

0

5


real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

Tempo (s)


real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-5000

0

5000

10000


real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-2000

0

2000

4000


real

OE

SK

VF

LM

0 1 2 3 4 5 6 7-200

0

200

400

600

Tempo (s)


real

OE

SK

VF

LM

53

TABELA 5: Erros de estimação e validação obtidos no Caso 2

Entradas Estimação Validação Aleatória Estimação Validação Aleatória

OE

SK

VF

LM

Um dos objetivos deste teste era mostrar a capacidade de extrapolação dos

métodos, ou seja, tentar verificar se o modelo obtido por em uma certa faixa de

frequência continua sendo válido para outra faixa. O que foi válido no domínio do

tempo e da frequência quando essa faixa continha os pólos do sistema.

O método de OE trouxe bons resultados somente quando o sinal de excitação

do sistema continha o valor dos pólos (Caso 2) do mesmo (TABELA 5), se

aproximando dessa forma dos resultados obtido quando todo o intervalo de

frequência era utilizado.

4.1.5 Análise da evolução do erro com diferentes estruturas para o modelo.

O objetivo teste experimento é simular uma situação prática em que não se

conhece a estrutura do sistema. Procurou-se observar a evolução do erro do modelo

enquanto se usava estruturas de ordem menor (subdimensionada) e de ordem maior

(sobredimensionada) para o modelo do sistema a ser identificado.

Por motivos de simplicidade do experimento a ordem do sistema aqui

indicada, refere-se tanto a ordem do numerador quanto do denominador da função

de transferência que representa os sistemas.

Para a realização dos testes foram usados os mesmos parâmetros que até o

momento, e um intervalo de frequência de [ ] ,

dispostos em intervalos de . As configurações iniciais dos métodos são

as mesmas das análises anteriores.

54

Foram usadas estruturas que variavam de ordem 1 até 10. Os modelos

obtidos foram então submetidos a um processo de validação usando entrada

aleatória.

As figuras a seguir demostram a evolução de cada modelo de cada método

individualmente conforme a estrutura aumentava de ordem. A evolução do erro de

magnitude e fase de cada um deles também estão sendo apresentados.

FIGURA 33: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio do tempo com o método OE para o sistema

FIGURA 34: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método SK

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

Ma

gn

itu

de

(d

B)


100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

real

Or = 1

Or = 2

Or = 3

Or = 4

Or = 5

Or = 6

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

0

Magnitude (

dB

)


100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

real

Or = 1

Or = 2

Or = 3

Or = 4

Or = 6

Or = 7

55

FIGURA 35: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método VF

FIGURA 36: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método LM

100

101

102

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

Magnitude (

dB

)


100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

real

Or = 1

Or = 2

Or = 3

Or = 4

Or = 5

Or = 6

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

Magnitude (

dB

)


100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

Phase (

deg)

Frequency (rad/s)

real

Or = 1

Or = 2

Or = 4

Or = 5

Or = 8

Or = 9

56

FIGURA 37: Evolução do Erro (RMS) conforme aumento da ordem da estrutura, usando identificação no domínio do tempo e frequência.

A FIGURA 37 ilustra a evolução do erro RMS entre magnitude e fase dos

modelos em relação ao sistema real. Pode-se notar que a partir do momento que a

estrutura atinge o valor ideal e começa a ser sobrestimada o erro diminui

drasticamente tanto nos métodos de identificação no domínio do tempo, quanto no

domínio da frequência. Porém o efeito é mais acentuado nestes do que naqueles.

Na modelagem do sistema conhecido simples, todos os métodos

comportaram-se de maneira satisfatória. O método de VF apresentou o menor erro

conforme a estrutura evoluía de ordem.

O mesmo teste foi aplicado ao sistema e os resultados obtidos encontram-

se abaixo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-20

10-10

100

1010

1020 Erro acumulado MAGNITUDE

Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

OE

SK

VF

LM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-15

10-10

10-5

100

105

Erro acumulado FASE

Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

57

FIGURA 38: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio do tempo com o método OE . Sistema .

FIGURA 39: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método SK. . Sistema .

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)


100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

real

Or = 1

Or = 2

Or = 3

Or = 4

Or = 5

Or = 6

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)


100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

real

Or = 2

Or = 3

Or = 4

Or = 5

Or = 7

Or = 8

58

FIGURA 40: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método VF. Sistema .

FIGURA 41: Variação da ordem da estrutura usando identificação no domínio da frequência com o método LM. Sistema .

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)


100

101

102

-500

-400

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

real

Or = 3

Or = 4

Or = 5

Or = 6

Or = 7

100

101

102

-800

-600

-400

-200

0

200

Ma

gn

itu

de

(d

B)


100

101

102

-1000

-800

-600

-400

-200

0

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

real

Or = 4

Or = 5

Or = 7

Or = 8

Or = 9

Or = 10

59

FIGURA 42: Evolução do Erro (RMS) conforme aumento da ordem da estrutura, usando identificação no domínio do tempo e frequência . Sistema .

Na modelagem do sistema , o método LM não nos forneceu nenhum

resultado satisfatório. O método de VF novamente apresentou os melhores

resultados quando a estrutura era sobrestimada.

Novamente observando a evolução do erro RMS conforme aumento da

ordem da estrutura (FIGURA 42) notamos que no momento em que a ordem é igual

a ordem do sistema o erro diminui drasticamente e mantém-se num valor patamar

menor do que quando a estrutura era subestimado. Esta variação é mais uma vez

mais intensa nos métodos de identificação no domínio da frequência do que no

domínio do tempo.

Pode-se observar que esta variação, no entanto, não foi exatamente na

ordem do sistema para a modelagem de . No domínio da frequência ela acontece

na em Isso foi devido ao fato de que existe um pólo próximo da origem na

função de transferência de .

O melhor resultado usando VF pode ser explicado devido ao fato de que

para os outros métodos a função de transferência é estimada usando um valor inicial

para a ordem do numerador e denominador da função (estrutura do modelo), ou em

outras palavras, deve-se definir previamente qual é o número de pólos e zeros do

sistema. O método VF consegue estimar o valor de ambos apenas usando um

determinado conjunto de pólos iniciais.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-15

10-10

10-5

100

105


Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

OE

SK

VF

LM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-10

10-5

100

105

Erro acumulado FASE

Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

60

Uma análise apenas no sentido de complementação usando o método de

SK foi realizada. Anteriormente foram variados ao mesmo tempo o número de pólos

e zeros das estruturas e observou-se que em dado momento o erro assumiu um

valor mínimo. Supondo este valor como ordem do denominador da estrutura e

fazendo-o fixo durante uma nova análise em que apenas o número de zeros da

estrutura varia, obteremos a seguinte nova evolução do erro para o método de SK.

FIGURA 43: Evolução do erro obtido pelo método de SK fixando-se a ordem do denominador da estrutura.

Pode-se observar pela FIGURA 43 que novamente a evolução do erro tem

uma variação abrupta em uma determinada ordem e depois o valor volta a

aumentar.

Considerando a equação de transferência do sistema ( 34 ), podemos

realizar algumas manipulações algébricas a fim de compará-la aos modelos obtidos,

obtemos então:

A equação de transferência dos modelos obtidos por SK e VF são dadas por:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

2.5

3

3.5

4x 10

-12 Erro acumulado MAGNITUDE usando SK

Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

-7 Erro acumulado FASE usando SK

Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

( )

( )

61

Que se desconsiderarmos os termos do numerador de ordem pequena,

chegamos a conclusão que os métodos foram capazes de modelar a função

perfeitamente.

4.1.6 Discussão dos resultados

Os testes realizados mostraram a eficiência dos métodos de identificação de

sistemas quando sujeitos a situações envolvendo variações no processo de

amostragem e diferentes estruturas usadas no processo de modelagem. Procurou-

se comparar os métodos utilizando dados no domínio do tempo e no domínio da

frequência na identificação de sistemas de dinâmica conhecida.

Pode-se perceber que em situações envolvendo poucos amostras os métodos

de identificação no domínio da frequência forneceram melhores resultados. Isto se

deve ao fato de que a identificação no domínio do tempo está relacionada com o

período de amostragem utilizado, sendo dependente deste. Algo muitas vezes ruim,

já que em situações reais muitas vezes não se conhece a dinâmica dos sistemas,

tornando a escolha de um período de amostragem adequado uma difícil decisão.

A escolha de um sinal usado para obtenção dos dados de amplo espectro de

frequência também é algo importante quando se usa métodos de identificação no

domínio do tempo. Preferencialmente este sinal deve comtemplar os pólos do

sistema analisado no âmbito em que se deseja modelar o sistema.

Os métodos de identificação usando dados no domínio da frequência não

foram tão sensíveis neste sentido quando uma estrutura de ordem conhecida foi

usada. Apresentando bons resultados mesmo quando o espectro de frequência não

continha os pólos do sistema.

Pode-se perceber a consequência no processo de sub e sobre estimação da

ordem da estrutura de um sistema. Observou-se que o valor do erro medido entre

modelo e sistema nestas duas formas da estrutura cria patamares distintos.. Esta

diferença é muito mais significativa nos métodos de identificação no domínio da

frequência do que os no domínio do tempo.

( )

62

A partir dessa análise de variação de estrutura pode-se criar um procedimento

para estimação da ordem de um sistema. E pode-se concluir que o método de

identificação que usa uma estrutura na forma de frações parciais apresenta uma

vantagem nesta situação.

4.2 SISTEMAS DESCONHECIDOS

Os métodos de identificação no domínio do tempo e no domínio da frequência

foram testados na análise de um sistema de dinâmica desconhecida, partindo-se do

pressuposto que um conjunto de dados já foi coletado tanto no domínio do tempo

quanto no domínio da frequência usando uma determinada faixa de frequência e

intervalo de amostragem.

Os conjuntos de dados disponíveis foram analisados individualmente, e os

modelos obtidos foram então sujeitos a um processo de validação. Na primeira parte

dos testes foram analisados os dados referentes ao sistema e na segunda parte

os do sistema .

Em ambos os sistemas o principal problema encontrado foi na escolha da

ordem da estrutura. Como não se conhecia a natureza original dos mesmos, não se

podia estipular um valor inicial para ela. A partir dos resultados obtidos nos testes

em e , este problema foi contornado usando-se um teste de variação na ordem

da estrutura. A partir dele foi obtido um valor para a ordem dos modelos e por um

consequência, chegou-se a bons resultados.

Para a utilização dos métodos foram usadas as mesmas configurações em

relação ao número de iterações (SK, VF e LM), disposição de pólos (VF) e valor

inicial para variáveis (LM), que já tinham sido usadas na primeira parte deste

trabalho.

4.2.1 Análise do Sistema

O conjunto de dados referente ao sistema foi submetido aos mesmos

testes de variação de ordem na estrutura que anteriormente. Para a execução deste

teste foi considerada novamente que a ordem de numerador e denominador para a

estrutura utilizada era a mesma.

63

A FIGURA 44 apresenta e evolução do erro encontrada conforme variação da

ordem da estrutura. Nota-se que a partir de um determinado valor, o erro entre

modelo e sistema apresentou uma variação significativa, principalmente para os

métodos no domínio da frequência.

FIGURA 44: Evolução do erro conforme variação da ordem da estrutura do modelo. Sistema

Nota-se que para o método VF a partir de um valor de ordem igual a 3, o erro

manteve-se praticamente constante. Desse modo, como afirmado anteriormente,

devido a maneira de funcionamento do método a estrutura utilizada tem 3 pólos e

não é necessária uma estimação do número de zeros do modelo. O modelo obtido

por VF foi:

( )

Os métodos de OE, SK e LM por usam uma estrutura na forma

numerador/denominador requerem mais uma análise para um modelamento mais

preciso.

Fixando o número de pólos para essa estrutura e variando a ordem do

numerador, ou seja o número de zeros dos modelos, obtemos o gráfico da FIGURA

45. Observa-se que a partir da ordem igual a 2 os métodos apresentaram uma

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-15

10-10

10-5

100


Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

OE

SK

VF

LM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-15

10-10

10-5

100

105

Erro acumulado FASE

Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

64

variação significativa. Desse modo a estrutura que representa melhor o modelo para

esses métodos é uma estrutura com 2 zeros e 3 pólos.

FIGURA 45: Evolução do erro conforme o número de zeros era acrescentado na estrutura utilizada nos métodos OE, SK e LM. Sistema

As funções de transferência dos modelos encontrados são:

( )

( )

( )

As respostas em frequência dos modelos obtidos pelo método no domínio do

tempo e no domínio da frequência podem ser encontradas em FIGURA 46.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-15

10-10

10-5

100

105


Ordem da estrutura

Valo

r do e

rro a

bsolu

to

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-15

10-10

10-5

100

105

Erro acumulado FASE

Ordem da estrutura

Valo

r do e

rro a

bsolu

to

OE

SK

LM

65

FIGURA 46: Resposta em frequência dos modelos obtidos para o sistema no domínio da frequência e no domínio do tempo

Observando as repostas em frequência notamos que OE apresentou um erro

grande. A partir dos resultados obtidos nas análises dos sistemas e , podemos

afirmar que esse erro pode ser consequência de um processo de má escolha no

sinal de excitação usado para a coleta de dados ou devido ao valor do período de

amostragem utilizado.

Os modelos obtidos foram usados em um processo de validação. A FIGURA

47 apresenta os resultados para a saída dos modelos e o erro em cada ponto.

FIGURA 47: Resultado do processo de validação usando os modelos obtidos na identificação no domínio do tempo

10-2

10-1

100

101

102

-40

-30

-20

-10

0

10

Ma

gn

itu

de

(d

B)


Real

OE

SK

VF

LM

10-2

10-1

100

101

102

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

0 5 10 15 20 25 30 35-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Saída dos modelos estimados

0 5 10 15 20 25 30 35-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06Erro encontrado

Real

SK

VF

LM

66

A TABELA 6 apresenta o valor RMS dos erros encontrados na saída de cada

modelo em comparação à saída do sistema. Como já era esperado devido a análise

da resposta em frequência, o modelo obtido por OE apresenta o maior dos erros. O

valor encontrado em todos os modelos no domínio da frequência é o mesmo já que

a função de transferência de cada um deles era idêntica.

TABELA 6: Valor dos erros RMS obtidos por validação

4.2.2 Análise do Sistema

O conjunto de dados referente ao sistema foi submetido aos mesmos

testes anteriores.

A FIGURA 48 ilustra a evolução do erro conforme variação na ordem da

estrutura utilizada.

FIGURA 48: Evolução do erro conforme variação na ordem da estrutura utilizada

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-15

10-10

10-5

100


Ordem da estrutura

Valo

r do e

rro a

bsolu

to

OE

SK

LM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-10

10-5

100

105

Erro acumulado FASE

Ordem da estrutura

Valo

r do e

rro a

bsolu

to

Output-Error (OE)

Levy (SK)

Vector Fitting (VF)

Levenberg-Marquardt (LM)

67

Pode-se observar que tanto o OE quanto LM não apresentaram uma variação

do erro como aconteceu nos testes anteriores.

Observando a evolução da estrutura na identificação no domínio do tempo

(FIGURA 49) com mais detalhes, observa-se que o modelo obtido comtempla

apenas um grupo de pólos da função de transferência do sistema . Novamente

este fato pode ter acontecido devido ao período de amostragem utilizado ou também

devido ao pobre espectro de frequência do sinal de excitação para coleta de dados

no domínio do tempo.

FIGURA 49: Evolução dos modelos obtidos conforme variação na ordem da estrutura usando o método de OE

Esta última afirmação pode ser confirmada no diagrama de distribuição de

frequência do sinal usado na estimação do sistema. A FIGURA 50 foi construída a

partir da transformada rápida de Fourier, e mostra que a maior parte do espectro de

frequência situa-se na região do único pólo identificado no método OE.

101

102

103

104

105

106

107

-150

-100

-50

0

50

Ma

gn

itu

de

(d

B)


real

Or = 5

Or = 6

Or = 7

Or = 8

Or = 9

Or = 10

101

102

103

104

105

106

107

-1500

-1000

-500

0

500

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

68

FIGURA 50: Distribuição de frequência obtida após a aplicada da FFT no sinal usado na excitação do sistema para obtenção dos dados no domínio do tempo.

Pela análise da FIGURA 48, observa-se que os dois métodos de identificação

no domínio da frequência, SK e VF, apresentaram variações grandes quando a

ordem do sistema foi igual a 7. O que sugere que a ordem do sistema seja igual a 7,

ou que pelo menos o números de pólos do sistema seja este (VF).

Fixando o número de pólos em 7 e fazendo variar o número de zeros da

estrutura usada em SK obtemos o gráfico apresentado na FIGURA 51. Que nos

mostra que o erro foi menor no ponto em que o numerador do modelo tinha ordem 6.

Dessa forma os modelos obtidos pelos métodos de VF com 7 pólos e SK com

numerador de ordem 6 e denominador de ordem 7 foram:

,

,

Que se diferem apenas pelo coeficiente do termo em no numerador.

103

104

105

106

107

0

10

20

30

40

50

60

70

80Bode Plot

Frequency (Hz)

Am

plit

ude

69

FIGURA 51: Evolução do erro obtido pelo método de SK fixando-se a ordem do denominador da estrutura.

As respostas em frequência dos modelos obtidos encontram-se na FIGURA

52. Pode-se observar que os dois modelos apresentam bons resultados, que podem

ser comprovados quantitativamente pela análise do erro entre magnitude e fase do

sistema na TABELA 7.

O método de SK apresentou o maior dos erros com relação a fase do

modelo obtido.

FIGURA 52: Resposta em frequência dos modelos obtidos para o sistema .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-8

10-6

10-4

10-2

100

Erro acumulado MAGNITUDE usando SK

Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-1

100

101

102

Erro acumulado FASE usando SK

Ordem da estrutura

Va

lor

do

err

o a

bso

luto

101

102

103

104

105

106

107

-150

-100

-50

0

Ma

gn

itu

de

(d

B)


Real

SK

VF

101

102

103

104

105

106

107

-100

-50

0

50

100

Ph

ase

(d

eg

)

Frequency (rad/s)

70

TABELA 7: Valor dos erros RMS da magnitude e fase dos modelos.

Os modelos e

foram submetidos a um teste de validação e os

resultados obtidos juntamente com uma apresentação gráfica da variação do erro

estão apresentados na FIGURA 53.

FIGURA 53: Resultado do processo de validação usando os modelos obtidos por SK e VF

TABELA 8: Valor dos erros RMS obtidos para o teste de validação

4.2.3 Discussão de resultados

Os testes descritos anteriormente propunham a identificação de sistemas de

natureza não conhecida, a principal dificuldade encontrada nesse tipo de análise,

uma vez que os dados para identificação já tinham sido obtidos, era a escolhida da

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-4

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Saída dos modelos estimados

Real

SK

VF

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-4

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04Erro encontrado

SK

VF

Magnitude Fase

Levy (SK)

Vector Fitting (VF)

Levy (SK)

Vector Fitting (VF)

71

estrutura a ser utilizada. Previamente na análise dos sistemas e construiu-se

um procedimento usando diferentes estruturas para o processo de escolha da ordem

do modelo. Este procedimento forneceu bons modelos para os sistemas e .

Pode-se perceber a influência do sinal usado na excitação do sistema para

obtenção dos dados no domínio do tempo. Verificou-se que o sinal utilizado no

sistema , era formado por valores de frequências elevada, resultando dessa forma

num modelo que só era válido para essa faixa de frequência.

O método de identificação LM apresentou resultados ruins devido a

dificuldade e a necessidade de bons valores iniciais quando da tentativa de

identificação do sistema .

72

5 CONCLUSÃO

Neste documento, foram apresentados resultados do projeto de conclusão

de curso relativo a comparação de métodos de identificação de sistemas no domínio

do tempo e no domínio da frequência. Estudou-se o comportamento de alguns

métodos de identificação de sistemas quando na tentativa de modelagem de alguns

sistemas de dinâmica conhecida e não conhecida e procurou-se verificar o

comportamento destes quando surgem alterações nos valores dos dados usados no

processo de identificação.

Percebeu-se que os modelos obtidos nos dois tipos de identificação

fornecem bons resultados quando a ordem do sistema é conhecida e um número

elevado de amostras é utilizado. Esta qualidade dos modelos foi verificada por um

processo de validação no qual um baixo valor de erro RMS foi medido entre saída

do modelo e saída do sistema.

Em situações que se utilizavam de um pequeno número de amostras, ou o

sinal de excitação para coleta de dados não possui um espectro de frequência muito

rico, a identificação no domínio da frequência apresentou modelos mais precisos.

Sendo que dentre os métodos utilizados a modelagem utilizando frações parciais

(VF) apresentou-se uma ótima ferramenta para uso quando a ordem do sistema é

desconhecida.

Os métodos iterativos no domínio da frequência que se utilizavam de

estruturas convencionais apresentaram algumas falhas em situações distintas. O SK

apresentou alguns problemas de mau condicionamento da matriz de estimação em

situações sem um padrão aparente. O método de otimização (LM) não forneceu

bons modelos quando a função de transferência do sistema a ser estimado tinha

coeficientes de valores muito elevados, devido a dificuldade na escolha dos

parâmetros iniciais necessários para funcionamento do método.

73

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Levy’s method (Part 1), IEEE Instrumentation & Measurement, vol. 12, no. 6,

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COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE … · sistemas lineares usando dados no domínio da frequência com métodos de identificação clássicos que usam dados no domínio

Documents