Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x − 2
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Transcript
Tipos de funciones
Clasificacioacuten de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay
que efectuar con la variable independiente so n la
adic ioacuten sustraccioacuten mult iplicacioacuten divisioacuten
potenciacioacuten y radicacioacuten
Las funciones a lgebraicas pueden ser
Funciones expl iacutecitas
Si se pueden obtener las imaacutegenes de x por s imple
sust i tucioacuten
f(x) = 5x minus 2
Funciones impliacutec itas
Si no se pueden obtener las imaacutegenes de x por s imple
sust i tucioacuten s ino que es preciso efectuar operaciones
5x minus y minus 2 = 0
Funciones polinoacutemicas
Son las funciones que vienen definidas por un
polinomio
f(x) = a 0 + a 1x + a 2xsup2 + a 2xsup3 +middotmiddotmiddot + a nxn
Su dominio es es deci r cualquier nuacutemero real t iene
imagen
Funciones constantes
El cr iterio viene dado por un nuacutemero real
f(x)= k
La graacutef i ca es una recta horizontal paralela a a l eje de
abscisas
Funciones pol inoacutemica de primer grado
f(x) = mx +n
Su graacutef i ca es una recta obl i cua que queda def in ida por
dos puntos de la funcioacuten
Funcioacuten af iacuten
Funcioacuten l ineal
Funcioacuten identidad
Funciones cuadraacuteticas
f(x) = axsup2 + bx +c
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
Funciones a trozos
Son funciones def in idas por d ist intos cr i ter ios seguacuten los
intervalos que se consideren
Funciones en valor absoluto
Funcioacuten parte entera de x
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten signo
Funciones racionales
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales excepto
los valores de x que anulan el denominador
Funciones radicales
El cr i ter io v iene dado por la variable x bajo el s igno
radical
El dominio de una funcioacuten i rracional de iacutendice impar es R
El dominio de una funcioacuten i rracional de iacutendice par estaacute
formado por todos los valores que hacen que el radi cando sea
mayor o igual que cero
Funciones trascendentes
La variable independiente f igura como exponente o
como iacutendice de la raiacutez o se halla afectada del s igno
logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la
trigonometriacutea
Funcioacuten exponencial
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten logariacute tmica en base a es la funcioacuten inversa de
la exponencia l en base a
Funciones trigonomeacutetricas
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Funcioacuten coseno
f(x) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Buscar
Buscar
Sit io
I n ic io
Temar io Matemaacutet icas
Ramas Mat emaacutet icas
Eje rc ic ios Matemaacutet icas
ESO
Bach i l l e ra to
Caacutelcu lo
Tema
T ipos de funciones
Func iones cons tan tes
Func ioacuten l inea l
Func ioacuten a f iacuten
Func ioacuten cuadraacute t ica
Tras lac ioacuten paraacutebo la
Di la tac iones
Func iones rac iona les
Tras lac ioacuten h ipeacuterbo la
Func iones radica les
Func iones a t rozos
F va lo r abso lu to
Func ioacuten exponencia l
Func ioacuten logar iacute tm ica
F t r igonomeacutet r icas
Resumen
Eje rc ic ios 1
Eje rc ic ios 2
Pol iacute t i ca de pr ivac idad
La funcioacuten constante es del t ipo
y = n
El cr i ter io v iene dado por un nuacutemero real
La pendiente es 0
La graacutef ica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas
Rectas verticales
Las rectas parale las al eje de ordenadas no son
funciones ya que un valor de x t iene inf ini tas imaacutegenes y
para que sea funcioacuten soacutelo puede tener una Son del t ipo
x = K
La funcioacuten l ineal es del t ipo
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Funciones impliacutec itas
Si no se pueden obtener las imaacutegenes de x por s imple
sust i tucioacuten s ino que es preciso efectuar operaciones
5x minus y minus 2 = 0
Funciones polinoacutemicas
Son las funciones que vienen definidas por un
polinomio
f(x) = a 0 + a 1x + a 2xsup2 + a 2xsup3 +middotmiddotmiddot + a nxn
Su dominio es es deci r cualquier nuacutemero real t iene
imagen
Funciones constantes
El cr iterio viene dado por un nuacutemero real
f(x)= k
La graacutef i ca es una recta horizontal paralela a a l eje de
abscisas
Funciones pol inoacutemica de primer grado
f(x) = mx +n
Su graacutef i ca es una recta obl i cua que queda def in ida por
dos puntos de la funcioacuten
Funcioacuten af iacuten
Funcioacuten l ineal
Funcioacuten identidad
Funciones cuadraacuteticas
f(x) = axsup2 + bx +c
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
Funciones a trozos
Son funciones def in idas por d ist intos cr i ter ios seguacuten los
intervalos que se consideren
Funciones en valor absoluto
Funcioacuten parte entera de x
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten signo
Funciones racionales
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales excepto
los valores de x que anulan el denominador
Funciones radicales
El cr i ter io v iene dado por la variable x bajo el s igno
radical
El dominio de una funcioacuten i rracional de iacutendice impar es R
El dominio de una funcioacuten i rracional de iacutendice par estaacute
formado por todos los valores que hacen que el radi cando sea
mayor o igual que cero
Funciones trascendentes
La variable independiente f igura como exponente o
como iacutendice de la raiacutez o se halla afectada del s igno
logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la
trigonometriacutea
Funcioacuten exponencial
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten logariacute tmica en base a es la funcioacuten inversa de
la exponencia l en base a
Funciones trigonomeacutetricas
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Funcioacuten coseno
f(x) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Buscar
Buscar
Sit io
I n ic io
Temar io Matemaacutet icas
Ramas Mat emaacutet icas
Eje rc ic ios Matemaacutet icas
ESO
Bach i l l e ra to
Caacutelcu lo
Tema
T ipos de funciones
Func iones cons tan tes
Func ioacuten l inea l
Func ioacuten a f iacuten
Func ioacuten cuadraacute t ica
Tras lac ioacuten paraacutebo la
Di la tac iones
Func iones rac iona les
Tras lac ioacuten h ipeacuterbo la
Func iones radica les
Func iones a t rozos
F va lo r abso lu to
Func ioacuten exponencia l
Func ioacuten logar iacute tm ica
F t r igonomeacutet r icas
Resumen
Eje rc ic ios 1
Eje rc ic ios 2
Pol iacute t i ca de pr ivac idad
La funcioacuten constante es del t ipo
y = n
El cr i ter io v iene dado por un nuacutemero real
La pendiente es 0
La graacutef ica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas
Rectas verticales
Las rectas parale las al eje de ordenadas no son
funciones ya que un valor de x t iene inf ini tas imaacutegenes y
para que sea funcioacuten soacutelo puede tener una Son del t ipo
x = K
La funcioacuten l ineal es del t ipo
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Funcioacuten af iacuten
Funcioacuten l ineal
Funcioacuten identidad
Funciones cuadraacuteticas
f(x) = axsup2 + bx +c
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
Funciones a trozos
Son funciones def in idas por d ist intos cr i ter ios seguacuten los
intervalos que se consideren
Funciones en valor absoluto
Funcioacuten parte entera de x
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten signo
Funciones racionales
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales excepto
los valores de x que anulan el denominador
Funciones radicales
El cr i ter io v iene dado por la variable x bajo el s igno
radical
El dominio de una funcioacuten i rracional de iacutendice impar es R
El dominio de una funcioacuten i rracional de iacutendice par estaacute
formado por todos los valores que hacen que el radi cando sea
mayor o igual que cero
Funciones trascendentes
La variable independiente f igura como exponente o
como iacutendice de la raiacutez o se halla afectada del s igno
logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la
trigonometriacutea
Funcioacuten exponencial
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten logariacute tmica en base a es la funcioacuten inversa de
la exponencia l en base a
Funciones trigonomeacutetricas
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Funcioacuten coseno
f(x) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Buscar
Buscar
Sit io
I n ic io
Temar io Matemaacutet icas
Ramas Mat emaacutet icas
Eje rc ic ios Matemaacutet icas
ESO
Bach i l l e ra to
Caacutelcu lo
Tema
T ipos de funciones
Func iones cons tan tes
Func ioacuten l inea l
Func ioacuten a f iacuten
Func ioacuten cuadraacute t ica
Tras lac ioacuten paraacutebo la
Di la tac iones
Func iones rac iona les
Tras lac ioacuten h ipeacuterbo la
Func iones radica les
Func iones a t rozos
F va lo r abso lu to
Func ioacuten exponencia l
Func ioacuten logar iacute tm ica
F t r igonomeacutet r icas
Resumen
Eje rc ic ios 1
Eje rc ic ios 2
Pol iacute t i ca de pr ivac idad
La funcioacuten constante es del t ipo
y = n
El cr i ter io v iene dado por un nuacutemero real
La pendiente es 0
La graacutef ica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas
Rectas verticales
Las rectas parale las al eje de ordenadas no son
funciones ya que un valor de x t iene inf ini tas imaacutegenes y
para que sea funcioacuten soacutelo puede tener una Son del t ipo
x = K
La funcioacuten l ineal es del t ipo
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales excepto
los valores de x que anulan el denominador
Funciones radicales
El cr i ter io v iene dado por la variable x bajo el s igno
radical
El dominio de una funcioacuten i rracional de iacutendice impar es R
El dominio de una funcioacuten i rracional de iacutendice par estaacute
formado por todos los valores que hacen que el radi cando sea
mayor o igual que cero
Funciones trascendentes
La variable independiente f igura como exponente o
como iacutendice de la raiacutez o se halla afectada del s igno
logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la
trigonometriacutea
Funcioacuten exponencial
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten logariacute tmica en base a es la funcioacuten inversa de
la exponencia l en base a
Funciones trigonomeacutetricas
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Funcioacuten coseno
f(x) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Buscar
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Sit io
I n ic io
Temar io Matemaacutet icas
Ramas Mat emaacutet icas
Eje rc ic ios Matemaacutet icas
ESO
Bach i l l e ra to
Caacutelcu lo
Tema
T ipos de funciones
Func iones cons tan tes
Func ioacuten l inea l
Func ioacuten a f iacuten
Func ioacuten cuadraacute t ica
Tras lac ioacuten paraacutebo la
Di la tac iones
Func iones rac iona les
Tras lac ioacuten h ipeacuterbo la
Func iones radica les
Func iones a t rozos
F va lo r abso lu to
Func ioacuten exponencia l
Func ioacuten logar iacute tm ica
F t r igonomeacutet r icas
Resumen
Eje rc ic ios 1
Eje rc ic ios 2
Pol iacute t i ca de pr ivac idad
La funcioacuten constante es del t ipo
y = n
El cr i ter io v iene dado por un nuacutemero real
La pendiente es 0
La graacutef ica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas
Rectas verticales
Las rectas parale las al eje de ordenadas no son
funciones ya que un valor de x t iene inf ini tas imaacutegenes y
para que sea funcioacuten soacutelo puede tener una Son del t ipo
x = K
La funcioacuten l ineal es del t ipo
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Funcioacuten coseno
f(x) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Buscar
Buscar
Sit io
I n ic io
Temar io Matemaacutet icas
Ramas Mat emaacutet icas
Eje rc ic ios Matemaacutet icas
ESO
Bach i l l e ra to
Caacutelcu lo
Tema
T ipos de funciones
Func iones cons tan tes
Func ioacuten l inea l
Func ioacuten a f iacuten
Func ioacuten cuadraacute t ica
Tras lac ioacuten paraacutebo la
Di la tac iones
Func iones rac iona les
Tras lac ioacuten h ipeacuterbo la
Func iones radica les
Func iones a t rozos
F va lo r abso lu to
Func ioacuten exponencia l
Func ioacuten logar iacute tm ica
F t r igonomeacutet r icas
Resumen
Eje rc ic ios 1
Eje rc ic ios 2
Pol iacute t i ca de pr ivac idad
La funcioacuten constante es del t ipo
y = n
El cr i ter io v iene dado por un nuacutemero real
La pendiente es 0
La graacutef ica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas
Rectas verticales
Las rectas parale las al eje de ordenadas no son
funciones ya que un valor de x t iene inf ini tas imaacutegenes y
para que sea funcioacuten soacutelo puede tener una Son del t ipo
x = K
La funcioacuten l ineal es del t ipo
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
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Sit io
I n ic io
Temar io Matemaacutet icas
Ramas Mat emaacutet icas
Eje rc ic ios Matemaacutet icas
ESO
Bach i l l e ra to
Caacutelcu lo
Tema
T ipos de funciones
Func iones cons tan tes
Func ioacuten l inea l
Func ioacuten a f iacuten
Func ioacuten cuadraacute t ica
Tras lac ioacuten paraacutebo la
Di la tac iones
Func iones rac iona les
Tras lac ioacuten h ipeacuterbo la
Func iones radica les
Func iones a t rozos
F va lo r abso lu to
Func ioacuten exponencia l
Func ioacuten logar iacute tm ica
F t r igonomeacutet r icas
Resumen
Eje rc ic ios 1
Eje rc ic ios 2
Pol iacute t i ca de pr ivac idad
La funcioacuten constante es del t ipo
y = n
El cr i ter io v iene dado por un nuacutemero real
La pendiente es 0
La graacutef ica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas
Rectas verticales
Las rectas parale las al eje de ordenadas no son
funciones ya que un valor de x t iene inf ini tas imaacutegenes y
para que sea funcioacuten soacutelo puede tener una Son del t ipo
x = K
La funcioacuten l ineal es del t ipo
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Tras lac ioacuten h ipeacuterbo la
Func iones radica les
Func iones a t rozos
F va lo r abso lu to
Func ioacuten exponencia l
Func ioacuten logar iacute tm ica
F t r igonomeacutet r icas
Resumen
Eje rc ic ios 1
Eje rc ic ios 2
Pol iacute t i ca de pr ivac idad
La funcioacuten constante es del t ipo
y = n
El cr i ter io v iene dado por un nuacutemero real
La pendiente es 0
La graacutef ica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas
Rectas verticales
Las rectas parale las al eje de ordenadas no son
funciones ya que un valor de x t iene inf ini tas imaacutegenes y
para que sea funcioacuten soacutelo puede tener una Son del t ipo
x = K
La funcioacuten l ineal es del t ipo
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Rectas verticales
Las rectas parale las al eje de ordenadas no son
funciones ya que un valor de x t iene inf ini tas imaacutegenes y
para que sea funcioacuten soacutelo puede tener una Son del t ipo
x = K
La funcioacuten l ineal es del t ipo
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
y = mx
Su graacutef i ca es una l iacutenea rec ta que pasa por el or igen de
coordenadas
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con r especto a l
eje de abscisas
Si m gt 0 la funcioacuten es creciente y e l aacutengulo que forma
la recta con la parte posi t iva del eje OX es agudo
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Si m lt 0 la funcioacuten es decreciente y el aacutengulo que
forma la recta con la parte posi t iva del eje OX es obtuso
Funcioacuten identidad
f(x) = x
Su graacutef i ca es la b isectr i z del pr imer y tercer cuadrante
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
La funcioacuten af iacuten es del t ipo
y = mx + n
m es la pendiente de la recta
La pendiente es la incl inacioacuten de la recta con respecto
a l eje de abscisas
Dos rectas paralelas t ienen la misma pendiente
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas
Ejemplos de funciones afines
Representa las func iones
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
2y = -frac34x - 1
x y = -frac34x-1
0 -1
4 -4
Son funciones pol inoacutemicas es de segundo grado s iendo
su graacutef i ca una paraacutebola
f(x) = axsup2 + bx +c
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Representacioacuten graacutefica de la paraacutebola
Podemos constru i r una paraacutebola a part i r de estos puntos
1 Veacutertice
Por el veacutert i ce pasa el eje de s imetr iacutea de la paraacutebola
La ecuacioacuten del eje de s imetr iacutea es
2 Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero por
lo que tendremos
axsup2 + bx +c = 0
Resolv iendo la ecuacioacuten podemos obtener
Dos puntos de corte (x1 0) y (x2 0) si bsup2 minus 4ac gt 0
Un punto de corte (x1 0) si bsup2 minus 4ac = 0
Ninguacuten punto de corte si bsup2 minus 4ac lt 0
3 Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero
por lo que tendremos
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
f(0) = a middot 0sup2 + b middot 0 + c = c (0c)
Representar la func ioacuten f(x) = xsup2 minus 4x + 3
1 Veacutert ice
x v = minus (minus4) 2 = 2 y v = 2sup2 minus 4middot 2 + 3 = minus1
V(2 minus1)
2 Puntos de corte con el eje OX
xsup2 minus 4x + 3 = 0
(3 0) (1 0)
3 Punto de corte con el eje OY
(0 3)
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Construccioacuten de paraacutebolas a partir de y = xsup2
Part imos de y = xsup2
x y = xsup2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
1 Traslacioacuten vertical
y = xsup2 + k
Si k gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia arriba k unidades
Si k lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia abajo k unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (0 k)
El eje de simetriacutea x = 0
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
y = xsup2 +2 y = xsup2 minus2
2 Traslacioacuten horizontal
y = (x + h)sup2
Si h gt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la izquierda h
unidades
Si h lt 0 y = xsup2 se desplaza hacia la derecha h
unidades
El veacutertice de la paraacutebola es (minush 0)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x + 2)sup2y = (x minus 2)sup2
3 Traslacioacuten oblicua
y = (x + h)sup2 + k
El veacutertice de la paraacutebola es (minush k)
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
El eje de simetriacutea es x = minush
y = (x minus 2)sup2 + 2 y = (x + 2)sup2 minus 2
Contraccioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se contrae si K gt 1
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Dilatacioacuten de una funcioacuten
Una funcioacuten f(kmiddotx) se dilata si 0 lt K lt 1
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales
excepto los valores de x que anulan el denominador
Dentro de este t ipo tenemos las funciones de
proporcional idad inversa de ecuacioacuten
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Sus graacutef icas son hipeacuterbolas Tambieacuten son hipeacuterbolas
las graacuteficas de las funciones
Las h ipeacuterbolas son las maacutes senci l las de
representar
Sus asiacute tontas son los ejes
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
El centro de la h ipeacuterbola que es el punto donde se cortan
las asiacutentotas es el or igen
A part i r de estas h ipeacuterbolas se obt ienen ot ras por
traslacioacuten
1 Traslacioacuten vertical
El centro de la hipeacuterbola es (0 a)
Si agt0 se desplaza hacia arr iba a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
El centro de la h ipeacuterbola es (0 3)
Si alt0 se desplaza hacia abajo a unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (0 -3)
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
2 Traslacioacuten horizontal
El centro de la hipeacuterbola es ( -b 0)
Si bgt 0 se desplaza a la izquierda b
unidades
El centro de la h ipeacuterbola es ( -3 0)
Si blt0 se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
El centro de la h ipeacuterbola es (3 0)
3 Traslacioacuten oblicua
El centro de la hipeacuterbola es ( -b a)
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
El centro de la h ipeacuterbola es (3 4)
Para representar h ipeacuterbolas del t ipo
se d iv ide y se escr ibe como
Su representacioacuten graacutef i ca es una h ipeacuterbola de centro (-b
a) y de asiacutentotas paralelas a los e jes
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
El centro de la h ipeacuterbola es ( -1 3)
El cr iterio viene dado por la variable x bajo el signo
radical
Funcioacuten radical de iacutendice impar
El dominio es
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Funcioacuten radical de iacutendice par
El dominio estaacute formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Son funciones definidas por distintos criterios
seguacuten los intervalos que se consideren
El dominio lo forman todos los nuacutemeros reales menos el 4
Funcioacuten parte entera de x
Es una funcioacuten que a cada nuacutemero real hace
corresponder el nuacutemero entero inmediatamente inferior
f(x) = E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
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Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
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Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
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Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
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Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
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Ejercicios resueltos de ecuaciones
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ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Funcioacuten mantisa
Funcioacuten que hace corresponder a cada nuacutemero el
mismo nuacutemero menos su parte entera
f(x) = x - E (x)
x 0 05 09 1 15 19 2
f(x) = x - E(x) 0 05 09 0 05 09 0
Funcioacuten signo
f(x) = sgn(x)
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos s iguiendo los s iguientes pasos
1 Se iguala a cero la funcioacuten s in el valor absoluto y
se calculan sus raiacuteces
2 Se forman intervalos con las raiacuteces y se evaluacutea el
signo de cada intervalo
3 Definimos la funcioacuten a trozos teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el
signo de la funcioacuten
4 Representamos la funcioacuten resul tante
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
D=
D=
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
La funcioacuten exponencial es del t ipo
Sea a un nuacutemero real positivo La funcioacuten que a cada
nuacutemero real x le hace corresponder la potencia ax se
l lama funcioacuten exponencial de base a y exponente x
x y = 2x
-3 18
-2 14
-1 12
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
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Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
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Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
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ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 12
2 14
3 18
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
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Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
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Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
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Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
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Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
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Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
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ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Propiedades de la funcioacuten exponencial
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (0 1) y (1 a) pertenecen a la graacutef ica
Es inyectiva a ne 1(ninguna imagen t iene maacutes de un
orig inal)
Creciente si a gt1
Decreciente si a lt 1
Las curvas y = a x e y = (1a) x son s imeacutetr i cas respecto
del eje OY
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
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Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
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Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
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Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
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Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
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Par cos(minusx) = cos x
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f(x) = tg x
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f(x) = cotg x
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Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
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f(x) = cosec x
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Liacutemite de la funcioacuten exponencial
La funcioacuten logariacutetmica en base a es la funcioacuten inversa
de la exponencial en base a
x
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
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Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
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f(x) = cos x
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f(x) = tg x
Dominio
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Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
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Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
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f(x) = cosec x
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trigonomeacutetricas
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ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
18 -3
14 -2
12 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
18 3
14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
8 minus3
Propiedades de las funciones logariacutetmicas
Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
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Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
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Impar sen(minusx) = minussen x
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Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
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Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
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Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
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Funcioacuten secante
f(x) = sec x
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f(x) = cosec x
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14 2
12 1
1 0
2 minus1
4 minus2
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Dominio
Recorrido
Es continua
Los puntos (1 0) y (a 1) pertenecen a la graacutef ic a
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
Creciente si agt1
Decreciente si alt1
Las graacutef i ca de la funcioacuten logariacutetmica es simeacutetrica
(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
4
5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e Se representan por ln (x) o
L(x)
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de ecuaciones logariacutetmicas
Sistemas de ecuaciones logariacutetmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logariacutetmicas
Liacutemite de la funcioacuten logariacutetmica
Funcioacuten seno
f(x) = sen x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar sen(minusx) = minussen x
f(x) = cos x
Dominio
Recorrido [minus1 1]
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par cos(minusx) = cos x
Funcioacuten tangente
f(x) = tg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar tg(minusx) = minustg x
Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
Dominio
Recorrido
Continuidad Cont inua en
Periacuteodo
Impar cotg(minusx) = minuscotg x
Funcioacuten secante
f(x) = sec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
Dominio
Recorrido (minus infin minus1] [1 infin)
Periacuteodo
Continuidad Cont inua en
Impar cosec(minusx) = minuscosec x
Ecuaciones trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de ecuaciones
trigonomeacutetricas
Ejercicios resueltos de sistemas de
ecuaciones trigonomeacutetricas
Funciones trigonomeacutetricas
Es inyect iva (n inguna imagen t iene maacutes de un or iginal )
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(respecto a la b isectr i z del 1 e r y 3 e r cuadrante) de la graacutef i ca
de la funcioacuten exponencial ya que son func iones reciprocas
o inversas entre s iacute
Definicioacuten de logaritmo
S iendo a la base x e l nuacutemero e y e l logaritmo
Calcular por la definicioacuten de logaritmo e l valor de y
1
2
3
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5
De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 Se representan por log (x)
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Impar sen(minusx) = minussen x
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Funcioacuten cotangente
f(x) = cotg x
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Funcioacuten secante
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Par sec(minusx) = sec x
Funcioacuten cosecante
f(x) = cosec x
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Impar cosec(minusx) = minuscosec x
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2
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De la definicioacuten de logaritmo podemos deduci r
No existe el logaritmo de un nuacutemero con base
negativa
No existe el logaritmo de un nuacutemero negativo
No existe el logaritmo de cero
El logaritmo de 1 es cero
El logaritmo en base a de a es uno
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente
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1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
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1El logaritmo de un producto es igual a la suma de
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2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor
3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
el logaritmo del radicando y el iacutendice de l a raiacutez
5Cambio de base
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2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
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3El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base
4El logaritmo de una raiacutez es igual al cociente entre
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5Cambio de base
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