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Cuenca, 11 de noviembre de 2013
Clase 13 Geometra del espacio
Figuras geomtricas en el espacio
Definiciones:
Geometra del espacio: Rama de las matemticas encargada de las
propiedades y medida de las figuras geomtricas en el espacio
tridimensional, denominados slidos en el espacio como por ejemplo
el cono, el cilindro la pirmide , la esfera, etc. Tambin llamada
geometra tridimensional o Estereometria.
Figura en el espacio o cuerpo geomtrico es el conjunto de puntos
que no estn contenidos en un mismo plano, es la porcin de espacio
limitado.
Posicin relativa de algunas figuras en el espacio
Posicin relativa de los rectas en el espacio:
1. Rectas paralelas: Dos rectas paralelas siempre estn
contenidas en un mismo plano. Ejemplo L1 y L3
2. Rectas alabeadas: Dos rectas alabeadas no se interceptan, no
son paralelas y no existe un plano que las contenga. Se encuentran
en planos paralelos, pero las rectas no son paralelas. Ejemplo L1 y
L2.
3. Rectas secantes: Dos rectas secantes son siempre coplanares
(estn en un mismo plano) y se intersectan en un punto. Ejemplo L4 y
L2.
Posicin relativa de plano y recta en el espacio
Recta conten ida en el plano
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Cuando todos los puntos de la recta pertenecen al plano
Recta y plano paralelos cuando n ingn punto de la recta
pertenece al plano
Recta y plano secantes la recta y el plano tienen un punto en
comn
Posicin relativa de dos planos en el espacio
Dos planos pueden tomar las siguientes posiciones relativas en
el espacio: coincidentes, paralelos y secantes.
Dos planos coincidentes tienen puntos en comn. Dos planos
paralelos no tienen puntos en comn. Dos planos secantes tienen una
recta en comn.
Nota: Un plano siempre divide al espacio en dos semiplanos.
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Angulo Diedro.- Definicin: Un ngulo diedro es cada una de las
dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de
una arista comn.
A los semiplanos se les denomina cara del diedro y, al borde
comn arista del diedro. ngulo rectilneo correspondiente a un diedro
es el ngulo plano formado por dos rectas, una en cada cara,
perpendiculares a la arista en el mismo punto. La medida del ngulo
diedro es igual a la medida del ngulo rectilneo
MN y NP perpendiculares A AB
NGULOS POLIEDROS
Un ngulo poliedro es la regin del espacio limitada por tres o ms
planos que concurren en un punto llamado vrtice.
Cada uno de estos planos es una cara del ngulo poliedro.
Dos caras consecutivas forman un ngulo diedro. El ngulo poliedro
ms sencillo es un ngulo triedro, formado por tres caras.
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Una propiedad del ngulo poliedro es que tiene el mismo nmero de
caras y de ngulos diedros que de aristas.
CUERPOS GEOMETRICOS
Clasificacion:
Poliedros: es un slido con lados planos (del Griego poly- que
significa "muchas" y -edron que significa "caras"). Ejemplo:
pirmides y prismas. Cada superficie plana (o "cara") es un
polgono.
Elementos del poliedro
En cada vrtice deben concurrir al menos tres aristas. La
diagonal del poliedro es el segmento de recta que une dos vrtices
situados en caras diferentes.
Clasificacin de los poliedros
Los poliedros tienen mltiples clasificaciones segn su
procedencia, por ello podemos hablar de Convexos, Cncavos,
Regulares y e Irregulares.
Poliedro Convexo
Se dice que un poliedro es convexo cuando toda recta slo pueda
cortar a su superficie en dos puntos.
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Propiedades:
Cada arista de una cara pertenece tambin a otra cara y nicamente
a otra. Dichas caras se denominan contiguas.
Dos caras contiguas estn en planos distintos. Est limitado por
polgonos convexos. El nmero de aristas (A) es igual al nmero de
caras (C) ms el nmero de vrtices (V)
disminuido en dos. A = C-(V-2)
C + V A = 2.
Poliedro Cncavo
Se dice que un poliedro es cncavo cuando una recta corta su
superficie en ms de dos puntos, por lo que posee algn ngulo diedro
entrante.
Denominacin segn el nmero de caras
# caras: Nombre:
4 tetraedro 5 pentaedro 6 hexaedro 7 heptaedro 8 octaedro 10
decaedro 12 dodecaedro 20 icosaedro
Poliedro Regular
Poliedro cuyas caras son polgonos regulares iguales y todas sus
aristas son de igual longitud, a los poliedros regulares se les
conoce como solidos platnicos y son cinco:
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Tetraedro regular
Su superficie est formada por 4 tringulos equilteros
iguales.
Tiene cuatro vrtices cuatro ngulos triedros, seis ngulos diedros
y seis aristas.
Es una pirmide triangular regular
Hexaedro regular o cubo
Su superficie est constituida por 6 cuadrados
Tiene 8 vrtices 8 ngulos triedros, 12 ngulos diedros, 12 aristas
y 4 diagonales concurrentes y congruentes.
Octaedro regular
Su superficie consta de ocho tringulos equilteros.
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Tiene 6 vrtices, 6 ngulos tetraedros, 12 ngulos diedros y 12
aristas.
Se puede considerar formado por la unin, desde sus bases, de dos
pirmides cuadrangulares regulares iguales.
Dodecaedro regular
Su superficie consta de 12 pentgonos regulares.
Tiene 20 vrtices, 20 ngulos triedros, 30 ngulos diedros y 30
aristas.
Icosaedro regular
Su superficie consta de veinte tringulos equilteros.
Tiene 12 vrtices, 12 ngulos pentaedros, 30 ngulos diedros y 30
aristas.
Poliedro Irregular
Poliedro definido por polgonos que no son todos iguales.
Otro tipo de poliedros importante son los prismas y las
pirmides
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Prisma es un slido determinado por dos polgonos paralelos y
congruentes que se denominan bases y por tantos paralelogramos como
lados tengan las bases, denominados caras.
Los primas se nombran segn el polgono de la base, as:
Elementos del prisma
Altura de un prisma es la distancia entre las bases. Los lados
de las bases constituyen las aristas bsicas y los lados de las
caras laterales, las aristas laterales; stas son iguales y
paralelas entre s.
Clasificacin de los prismas
Los prismas se clasifican segn la forma de sus caras laterales
en:
Prismas rectos: Son aquellos cuyas caras laterales son
rectngulos o cuadrados. Sus aristas laterales son perpendiculares a
las bases. En los prismas rectos la altura es congruentes con la
longitud de las aristas laterales. Prismas oblicuos: Son aquellos
cuyas caras laterales son paralelogramos que no son rectngulos ni
cuadrados. Sus aristas laterales no son perpendiculares a las
bases.
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A su vez, los prismas rectos se clasifican en:
Prismas regulares: Son aquellos cuyas bases son polgonos
regulares. Prismas irregulares: Son aquellos cuyas bases son
polgonos irregulares.
Paralelepipedos es un prisma cuyas bases son paralelogramos, es
un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas
las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos.
A un paraleleppedo recto rectangular se denomina ortoedro
Aplicaciones:
Demostrar que en un paraleleppedo recto rectangular el cuadrado
de la longitud de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados
de las tres dimensiones.
D2= a2+b2+c2
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Calcular la longitud de la diagonal de un cubo
Piramides: Una pirmide es un poliedro limitado por una base, que
es un polgono; y por caras, que son tringulos coincidentes en un
punto denominado vrtice.
Altura (h) es la distancia mnima entre el plano que contiene la
base y el vrtice de la pirmide.
Una pirmide recta es un tipo de pirmide cuyas caras laterales
son tringulos issceles. En este tipo de pirmides la recta
perpendicular a la base que pasa por el pice (altura) equidista de
los vrtices de la base, es decir corta a la base por su
circuncentro.
Una pirmide oblicua es aquella en la que no todas sus caras
laterales son tringulos issceles.
Una pirmide regular es una pirmide recta cuya base es un polgono
regular.
En una pirmide regular recta se denomina apotema la altura de
sus caras, que son tringulos issceles.
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La pirmide truncada es el cuerpo geomtrico que resulta al cortar
una pirmide por un plano paralelo a la base y separar la parte que
contiene al vrtice.
Una pirmide truncada tiene dos bases paralelas semejantes, las
caras laterales son trapecios que unen los lados semejantes de las
bases paralelas y la altura es la distancia mnima entre las
bases.
La altura de las caras laterales (trapecio) se denomina apotema
de la pirmide.
Aplicaci n:
Calculamos la apotema lateral del tronco de pirmide, conociendo
la altura, la apotema de la base mayor y apotema de la base menor,
aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo sombreado: