I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – III PERÍODO - 2008 VI . GEOMETRÍA DEL ESPACIO 1. INTRODUCCIÓN. La geometría del espacio o estereometría tiene por objeto el estudio de las figuras sól idas o del espa cio , es decir de las figuras cuyos pu ntos no perte necen todos a un mi smo pl an o, si no al espa ci o tridi mensi onal, por ejemplo el prisma, el cilindro, la esfera, etc. 2. PLANO: Es una sup erf ici e ili mitada de pun tos donde toda recta que pase por dos de sus puntos está íntegramente contenida en el plano. Si A y B pertenecen al plano “P”; ent onc es la rec ta est a contenida en “P”. “Q” : no es un plano. POSTULADOS PARA LA DETERMINACIÓN DE UN PLANO. Un plano queda determinado por : 1° Tres puntos no colineales. 2° Una recta y un punto exterior a ella. 3° Dos rectas secantes. 4° Dos rectas paralelas. 2.1 POSICIONES DE DOS PLANOS a).- Secantes .- Tiene una recta común. b).- Paralelos.- No tienen punto común. 2.2 POSICIONES DE UNA RECTA Y UN PLANO a).- Secantes . Tienen un punto común. A : Punto común b).- Paralelas: No tiene punto común. Si “l “ es paralela a cualquier recta contenida en el plano entonces “l ” es paralelo al plano. 2.3 TEOREMAS a) Recta perpendicular a un plano. Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rect as contenidas en él. b) Teorema de las tres perpendiculares Si por el pie de una perpendi cular a un pl ano se tr aza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano el punto de intersección de esta segunda y un punto cualquiera de la pri mer a determina n una ter cer a perpendicular a la recta contenida en el plano. 3. ÁNGULO DIEDRO Es la figura por dos semiplanos que tienen una recta común llamada arista del ángulo diedro. Elementos : Caras : P y Q Arista : AB Notación : Un ángulo diedro AB. θ es el ángulo plano o rectilíneo de la medida del diedro. 4. ÁNGULO TRIEDRO Es la figura que esta formada por 3 regiones angulares los cuales tiene el mismo vértice. Elementos : • Vértice : “O” • Arista : OA , OA , OC • Caras : a°, b° y c° Teorema : o° < a° + b° + c° <360° 5. POLIEDRO Es el sólido form ado por 4 o más polígonos planos, donde cada lado de un polígono pertenece a dos caras del sólido. • Poliedro convexo • Poliedro no convexo Teorema de Euler. En todo poliedro se cumple : C + V = A + 2 C = # de caras V = # de vértices A = # de ari stas 124 B A B P Q P P P// Q P L A Q l P l l2 l1 P l2 l1 l3 P Q F H E θ B A A B C a° b° c° O Q l l : recta común
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tiene por objeto el estudio de las figurassólidas o del espacio, es decir de lasfiguras cuyos puntos no pertenecen todosa un mismo plano, si no al espaciotridimensional, por ejemplo el prisma, elcilindro, la esfera, etc.
2. PLANO:Es una superficie ilimitada de puntosdonde toda recta que pase por dos de suspuntos está íntegramente contenida en elplano.
Si A y B pertenecenal plano “P”;entonces la rectaesta contenida en“P”.
“Q” : no es unplano.
POSTULADOS PARA LADETERMINACIÓN DE UN PLANO.
Un plano queda determinado por :
1° Tres puntos no colineales.2° Una recta y un punto exterior a ella.3° Dos rectas secantes.4° Dos rectas paralelas.
2.1 POSICIONES DE DOS PLANOS
a).- Secantes .- Tiene una recta común.
b).- Paralelos.- No tienen punto común.
2.2 POSICIONES DE UNA RECTA Y UNPLANO
a).- Secantes . Tienen un punto común.
A : Punto común
b).- Paralelas: No tiene punto común.
Si “ l “ es paralela a cualquier recta
contenida en el plano entonces “ l ” es
paralelo al plano.
2.3 TEOREMASa) Recta perpendicular a un plano.
Una recta es perpendicular a un planosi es perpendicular a dos rectascontenidas en él.
b) Teorema de las tresperpendiculares
Si por el pie de una perpendicular aun plano se traza una segundaperpendicular a una recta contenidaen el plano el punto de intersección deesta segunda y un punto cualquiera dela primera determinan una terceraperpendicular a la recta contenida enel plano.
3. ÁNGULO DIEDROEs la figura por dos semiplanos quetienen una recta común llamada aristadel ángulo diedro.
Elementos : Caras : P y Q
Arista : AB
Notación : Un ángulo diedro AB.θ es el ángulo plano o rectilíneo de la
medida del diedro.
4. ÁNGULO TRIEDROEs la figura que esta formada por 3regiones angulares los cuales tiene elmismo vértice.
Elementos :• Vértice : “O”
• Arista : OA , OA , OC
• Caras : a°, b° y c°
Teorema : o° < a° + b° + c° <360°
5. POLIEDROEs el sólido formado por 4 o máspolígonos planos, donde cada lado deun polígono pertenece a dos caras delsólido.
1. Un prisma se denomina según elpolígono que limita su base, así losprismas serán tr iangulares,cuadrangulares, pentagonales, etc.,según que sus bases sean regiones
triangulares, cuadrangulares ypentagonales, etc.
2. Un pr isma es recto si las ar istaslaterales son perpendiculares a lasbases, en caso contrario será oblicuo.
3. En un prisma recto las caras lateralesson regiones rectangulares.
4. Un prisma recto es regular si susbases son regiones limitadas por polígonos regulares.
6.1.1.- PRISMA RECTO
a. El área de la
superficie lateral de un prisma rectoes igual al producto del perímetro dela base y la altura.
Slateral = 2P (base) . h
b. El área de lasuperficie de un prisma recto es igualal área de la superficie lateral más 2veces el área de la base.
S total = S lateral + 2S (base)
c. El volumen de
un prisma recto es el producto delárea de la base y su altura.
Volumen = S(base) . h
6.1.2.- PRISMA OBLICUO
a. El área de la superficie lateral deun prisma oblicuo es igual al productodel perímetro de la sección recta y laarista lateral.
Nota .- La sección recta es el polígonocuyos lados son perpendiculares a lasaristas laterales del prisma oblicuo.
Además su área es diferente al áreade la base.
b. El área de la superficie total de unprisma oblicuo es igual al área de lasuperficie lateral más 2 veces el áreade la base.
c. El volumen de un pr isma obl icuoes igual al producto del área de labase y su altura o también elproducto del área de la sección rectay una arista lateral.
6.1.3.- TRONCO DE PRISMA
Es la porción de prisma comprendidoentre una de las bases y la sección quedetermina un planos secante a lasaristas y no paralelo a las bases.
6.2.- EL PARALELEPÍPEDO Es el prisma cuadrangular cuyas basesson paralelogramos.
Paralelepípedo Rectangular .- Es unparalelepípedo recto, cuyas bases sonrectángulos. También se llama ortoedro orectoedro.
1. El volumen de un paralelepípedoes igual al producto de sus 3
dimensiones.
2. Diagonal : d
6.3.- CILINDRO6.3.1 CILINDRO CIRCULAR RECTO O DE
REVOLUCIÓN.- Es el sólido generado por un rectángulo,
cuando gira alrededor de uno de suslados tomados como eje.
Nota .- Las fórmulas aplicadas en un prisma recto también se aplican al cilindro de revolución.
a. El área de la superf ic ie lateral deun cilindro recto es igual al producto delperímetro de la base y su altura.
b. El área de la superficie de uncilindro recto es igual al área de lasuperficie lateral más 2 veces el áreade la base.
Stotal = 2πR . g + 2π R2
Stotal = 2πR (g + R)
c. El volumen de un cilindro es igualal producto del área de la base y sualtura.
Volumen = πR2 . g
6.3.2.CILINDRO OBLICUOSi se corta a un cilindro recto con dosplano paralelos se obtiene un cilindrooblicuo cuyas bases son elipses.
Nota.- B: elipseSección recto : círculo
a. El área de la superficie lateral es uncírculo oblicuo es igual al productodel perímetro de la sección recta y lageneratriz.
Slateral = 2πr . g
b. El área de la superficie total de uncilindro oblicuo es igual al árealateral más 2 veces el área de labase (elipse).
c. El volumen de un cilindro oblicuo es
igual al producto del área de la basey su altura o también el producto delárea de la sección recta y sugeneratriz.
6.4.- LA PIRAMIDEEs el sólido cuya base es una regiónpoligonal y cuyas caras laterales son
regiones triangulares, que tienen unvértice común.
6.4.1 PIRÁMIDE REGULAREs la pirámide cuya base es una regiónpoligonal regular y cuyo pie de la alturacoincide con el centro de la base.
a. El área de la superficie lateral de unapirámide regular es igual al productodel semiperímetro de la base y suapotema.
b. El área de la superficie total de unapirámide regular es igual al área de lasuperficie lateral más el área de labase.
c. El volumen de toda pirámide es iguala 1/3 del producto del área de la base ysu altura.
6.4.2 TRONCO DE PIRÁMIDEEs la porción de una pirámide,comprendido entre la base y la secciónque determina un plano secante a lasaristas. Si el plano secante es paralelosa la base, el tronco de pirámide sedenomina de bases paralelas.
Es el sólido geométrico determinado alhacer girar una vuelta a un triángulorectángulo. Alrededor de uno de suscatetos tomado como eje.Por tal motivo se le llama circular recto ocono de revolución.
NOTA.- Las fórmulas aplicadas en unapirámide regular son aplicadas también enel cono circular recto.
1)
2)
Stotal = πR. g+πR2
Slateral = πR (g + R
3)
6.5.1 TRONCO DE CONOEs la porción de cono comprendidoentre la base y la sección que
determina un plano secante a dichocono, si el plano es paralelos a la base,el tronco de cono se denomina debases paralelas.
1)
2)
3)
6.6. LA ESFERAEs el sólido geomét5ico determinado alhacer girar una vuelta a un semicírculo,alrededor de su diámetro tomado comoeje.6.6.1 SUPERFICIE ESFÉRICA.-
Es la superficie que genera unasemicircunferencia cuando gira unavuelta alrededor de su diámetrotomado como eje.
1)
2)
Uso esférico (superficie)Cuña esférica (volumen)
7. TEOREMA DE PAPPUS – GULDIM
a. El área generada por una figura que gira alrededor de un ejecoplanar y exterior, es igual al productode la longitud de la figura, por lalongitud de la circunferencia quedescribe su centro de gravedad.
b. El volumen engendradopor la rotación de una figura que giraalrededor de un eje coplanar y exterior es igual al producto del área de lafigura por la longitud de lasemicircunferencia que describe sucentro de gravedad.
Corte del volumenobtenido
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Calcula el volumen de unparalelepípedo rectangular, el área de lasuperficie total es 180m2 la diagonal de labase mide 10m y la suma de laslongitudes de las tres dimensiones es17m.Solución:
Del gráfico: b2 + c2 = 100
2(ab+bc+ca) = 180 ab+bc=90 …(II)a+b+c=17 …
(I)De (I)2:a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 172
a2 + 100 + 180 = 289
a = 3De (II):a(b + c) + bc = 903 x 14 + bc = 90bc = 48
Nos piden:V = 3 x 48
V = 144m3
2.- Halla el volumen de un paralelepípedorectangular sabiendo que las longitudesde sus tres dimensiones se hallan enprogresión aritmética y que ellas suman18m. Su área total es 208m2.
Solución:
* a - r + a + a + r = 18 a = 6* 2[a(a - r) + (a - r)(a + r) + (a + r)a] = 208
a2 - ar + a2 – r 2 + a2 + ar = 1043 x 62 – r 2 = 104
3.- En un paralelepípedo rectángulo el áreade la base es 60m2, la suma de laslongitudes de todas las aristas es 96m yla suma de los cuadrados de laslongitudes de sus tres dimensiones es200m2. halla la longitud de la altura delsólido.
Solución:
Del gráfico: a x b x Senθ = 60Datos:* 4(x + a + b) = 96
x + a + b = 24 ...(I)
* x2 + a2 + b2 = 200
De (I)2
x
2
+ a
2
+ b
2
+ 2(ax + bx + abSenθ )= 24
2
200 + 2[x(a + b) + 60] = 576x(a + b) = 128
De (I): a + b = 24 – xluego:x(24 - x) = 8(24 - 8) x = 8m
4.- Halla el volumen de un paralelepípedorectangular si su diagonal mide 10u yforma un ángulo que mide 45° con labase y un ángulo que mide 30° con unacara lateral.
Solución:
En el POROR = OP = 25 (Notable 45°)
En el PAR:
AR = 5(Notable de 30° y 60°)
En el OAR:
OA = 5(Teorema de Pitágoras)
Nos piden: V = 5x 25 x5
V = 125 2 u 3
5.- Cuál es el volumen de un prismaoblicuo si la sección recta es un triángulocircunscrito a un círculo de 3m de radio yel área lateral del sólido es 28m2.Solución:
Sea “2p” el perímetro de la sección recta(SR)Dato: AL = 28 2p x a = 28
p x a = 14Del gráfico: ASR = 3pNos piden:V = 3p x aV = 3 x 14
V = 42m3
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº08
NIVEL I
1).- Se tiene un círculo de diámetro AB; por “A” se levanta una perpendicular al planodel círculo, tomándose en ella un punto“P”. Si “O” es el centro del círculo, PO=5y PB=2√13. Calcula el área del círculo.
a) 3π b) √3π c) 9πd) 16π e) 25π
2).- Verdadero (V) o Falso (F):( ) La proyección de un segmento sobre
un plano es mayor que dichosegmento.( ) La proyección de un segmento sobre
un plano paralelo a él, es congruentecon dicho segmento.
( ) La proyección de un segmento sobreun plano perpendicular a él, es unpunto.
a) VVV b) VFV c) FVVd) VFF e) FFF
3).- Se tiene una circunferencia de centroO y diámetro 12cm. Por O, pasa unarecta LO perpendicular al plano de lacircunferencia. F, es un punto de L, talque OF=8cm. Halla la distancia de F acualquier recta tangente a lacircunferencia.
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 11
4).- En una circunferencia de centro O, seinscribe un triángulo ABC, recto en B. Seeleva BF perpendicular al plano ABC,de modo que BF=AC. Si AB=6 y BC=8.Halla OF.a)3 2 b)4 5 c) 5 5
d) 6 5 e) 2 5
5).- Indica verdadero (V) o falso (F):• Tres puntos determinan siempre un
plano.• Dos rectas determinan siempre un
Plano.• Si una recta es paralela a un plano,
será paralela a todas las rectascontenidas en dicho plano.
• Si una recta es perpendicular a unplano, será perpendicular a todas lasrectas contenidas en dicho plano.
Cuantas proposiciones son verdaderas.
a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 0
6).- En un cubo, cuyas aristas tienenlongitud “a” cada una, halla la distanciade un vértice al centro de una caraopuesta.
a)2
3a b)3
3a c)
2
2a
d)2
6a e)2
5a
7).- ABCD, es un cuadrado de lado “a”. Por B, se eleva BE perpendicular al plano
ABCD, tal que BE=a. Si “O” es centro delcuadrado y “H” punto medio de CD, hallael área de la región triangular EOH.
a)8
5a2b)
6
5a2 c)8
3a2
d)5
3a2 e)8
5a2
8).- ABC es un triángulo equilátero de lado“L” por B, se eleva BR perpendicular alplano ABC, de modo que: BR=L/2. Setrazan luego RA y RC .Halla el áreade la región triangular ARC.
a)2L
2
b)3L
2
c)24L
2
d) 5L2
e)6L2
9).- Halla el máximo número de planos quedeterminan “n” puntos en el espacio.
coplanares, ¿cuántos planos comomáximo se podrán determinar con estospuntos?.a) 1130 b) 1140 c) 1150d) 1160 e) 1170
2).- Halla el máximo número de planos quedeterminan 10 rectas y 12 puntos delespacio.a) 220 b) 385 c) 150d) 260 e) 370
3).- Cuántas de las siguientesproposiciones son verdaderas:
( ) Dos rectas paralelas a un plano, sonparalelas entre sí.
( ) Dos rectas perpendiculares a un
plano, son paralelas entre sí.( ) Una recta paralela a uno de dosplanos perpendiculares, es paralela alotro plano.
( ) Tres puntos no colineales determinanun plano y solo uno.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
4).- ABCD: Región cuadrada; PB esperpendicular al plano ABCD; AB=2 Y
PB=3. Calcula la medida del ánguloformado por PD y el plano ABCD.
a) 30b) 37c) 45d) 16e) 15
5).- En la figura ABCD: Región cuadrada,PB es perpendicular al plano ABCD,PB=BC=2 , “O” es centro. Calcula ladistancia de “O” a PD.
a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3
6).- Cuantos planos se determinan comomáximo con 10 rectas y 8 puntosa) 180 b) 181 c) 182d) 183 e) 184
7).- ABCD cuadrado BP plano ABCD, AD =2√2 Y BP = 3 . Calcula PO. (“o” centrodel cuadro ABCD)
a) √11b) 2√3c) √13d) √14e) √15
8).- Se muestra un círculo de centro “0”PA; es perpendicular al plano del círculom AR = 60; AB = 10 y PR = 6 . CalculaPB.
a) √110 b) √111c) √112 d) √113 e) √114
9).- ABC, es un triángulo equilátero de lado6 cm. Contenido en un plano P. Seelevan : PCRyPBQ ⊥⊥ , demodo que BQ=6cm y CR=3cm. Halla elárea de la región triangular AQR
a) 9 2 b) 9 6 c) 3
2
d) 3 6 e) 2
10).- BAC, es un triángulo recto en A, AB=6 y AC=8. Por su incentro I se eleva
IH Perpendicular al Plano ABC, siendo
IH=3. Halla HC.a) 10 b) 7 c) 5d) 6 e) 8
NIVEL III : SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
1. La base de un prisma recto, es base deun tetraedro regular de altura 2 6 cm.Y el área lateral del prisma es igual alárea total del tetraedro. Halla elvolumen del prisma.
a) 50cm b) 51 c) 52
d) 53 e) 54
2. Halla el área lateral de un prismaoblicuo, cuya sección recta es unhexágono regular de área 24 3 U2.
La altura del prisma es 3 3 u y lasaristas laterales forman ángulos de 60°con la base.
a) 140 u2 b) 142 c) 144d) 146 e) 150
3. Halla el volumen de un prisma oblicuotriangular, sabiendo que el área de unacara lateral, es 5cm2 y la distancia dela arista opuesta a ésta es 10cm.
a) 35cm3 b). 25 c) 27d) 28 e) 29
4. La base de un tronco de prisma oblicuotriangular, tiene área 12. Halla elvolumen del sólido, sabiendo que lasaristas laterales están inclinadas 60°respecto a la base y tienen longitudes3, 4 y 5 respectivamente.
a) 22 3 b) 23 3 c) 24 3
d) 25 3 e) 26 3
5. Halla el volumen de un tronco deprisma recto, cuyas bases son untriángulo equilátero FED y un triángulorectángulo isósceles ABC. Además unacara lateral es un rectángulo de lados 3
2 y 6; siendo los mayores son lasaristas laterales.
a) 30 b) 30.5 c) 31d) 31.5 e) 31
6. Halla el área lateral y el volumen deuna pirámide regular hexagonal,sabiendo que las caras laterales formandiedros de 45° con la base y las aristasbásicas tienen longitudes “a” Dar comorespuesta el volumen.
a)3
a4
5
b)3
a2
3
c)
3a4
3
d) 3a4
1e) 3a
7
3
7. Las áreas de las bases de dospirámides semejantes, son entre si 4 esa 9. Halla la relación de sus volúmenes.
8. En que relación se encuentran losvolúmenes de los sólidos parciales quedetermina el plano mediatriz de laaltura de una pirámide.
a) 1/8 b) 3/8 c) 5/6d) 1/7 e) 1/2
9. El volumen de un tetraedro ABCD, es30 u3 sobre ADy AC, AB , setoman los puntos “M”, “N” y “R”,respectivamente. Si : AM=MB; AN=2NCy 2AR=3RD, Halla el volumen delsólido BCDRMN.
a) 20u3 b) 21 c) 24d) 26 e) 28
10.El volumen de un tronco de pirámidecuadrangular regular es 74 cm3. Si sualtura mide 6cm y el área de una de lasbases es 16 cm2 . Halla el área de laotra base, en cm2.
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 5
11.Un cilindro está lleno de agua hasta lamitad. Se suelta un pedazo metálico yel nivel del agua sube a 3,5 cm. Si eldiámetro del cilindro es 8cm. ¿cuál esel volumen del pedazo?.
a) 150 b) 152 c) 174d) 176 e) 175
12. AB y CD , son generatricesopuestas de un cilindro circular recto yO punto medio deBC . Siendo E un
punto de CD , tal que AEOE⊥ ,CE = 8cm. Y ED = 9cm. Halla el áreatotal del sólido.
a). 270π b) 272π c) 274
π
d) 276π e) 278π
13.En un vaso que tiene la forma de uncilindro recto de resolución, la altura esel doble del diámetro de la base. Si elvaso contiene un líquido que ocupa las¾ partes de su capacidad, determinar el ángulo que debe inclinarse desde suposición normal hasta el instante en
que el líquido esté por derramarse.a) 43° b) 44° c) 45°d) 46° e) 47°
14. Halla el volumen de un cilindro oblicuo,de base circular; sabiendo que lageneratriz mide igual que el diámetrode la base y la distancia del centro Qde una de dichas bases a los extremosde un diámetro AC de la otra, son 9y 13cm.;respectivamente.
a) 3cm1460π b)
3
cm1461πc) 3cm1462π d)
3cm1463π
e) 3cm1464π
15.Una población con 5 000 habitantesconsume en promedio por persona 20litros de agua diariamente. Determinar el radio de un pozo cilíndrico queabastezca a la población y que tengoademás capacidad para una reserva de25% del consumo diario y tal que laaltura sea 4 veces el diámetro.
a)32
1
πb)
32
2
πc)
32
3
π
d)3
3
5
πe)
32
5
π
16.La superficie lateral de un cono derevolución se interfecta por un planoparalelo a la base, determinando uncono parcial. Si las áreas laterales delcono parcial y tronco del cono, sonentre sí como 4 es a 5; Halla la relaciónde volúmenes del cono parcial al conototal.
a) 1/8 b) 1/27 c) 8/27d) 27/64 e) N. A.
17. Dado un cono de revolución, de vérticeE, y volumen 54cm3 ,se traza undiámetro AC en el círculo de la base.Halla el volumen del tronco de conoque se determina al trazar un planoparalelo a la base, por el baricentro dela región triangular AEC
a) 35cm3. b) 36cm3. c) 38cm3.d) 39cm3. e) 34cm3.
18. Un cono de revolución, se llamaequilátero, si la generatriz mide igualque el diámetro de la base. Halla elvolumen de un cono equilátera,conociendo el radio r de la esferainscrita en él.
a) 2πr 3. b) 3πr 3. c) 4πr 3.d) 5πr 3. e) 6πr 3.
19.Halla el volumen de un tronco de conode revolución, sabiendo que los radiosde las bases, miden 8 y 12cm.,respectivamente y que el área de lasuperficie lateral es igual a la suma de
áreas de las bases.
a) 3244 π/5cm3. b) 3234 π/5cm3.c) 3224 π/5cm3. d) 3264 π/5cm3.e) 3274 π/5cm3.
20.Halla el volumen de un tronco de conode revolución, cuyas bases tienenradios 4 y 9cm., respectivamente. Elárea total del cono, es 266πcm2.
a) 530πcm3. b) 531πcm3.
c) 532πcm3. d) 533πcm3.e) 534πcm3.
21.En una esfera de radio “R”, una zonaesférica de altura R/4, es equivalente aun Huso. Halla el ángulocorrespondiente al Huso.
a) 25° b) 35° c) 45°d) 55° e) 65°
22.Halla el volumen, en m3, de unsegmento esférico de una base, cuyocasquete tiene área 40π m2 y el radiode la esfera mide 10m.
a) 200π/3 m2 b) 300π/3 m2
c) 500π/3 m2 d) 400π/3 m2
e) 600π/3 m2
23.Halla el área de la superficie del sólidoque se genera al girar la f igurasombreada, alrededor del eje diametralCD , si mBC =120° y radio “r”.
a) 3/2πr 2 b) 5/2πr 2c) 7/2πr 2
d) 9/2πr 2 e) 1/2πr 2
24.Se funde una bola de plomo de radio8cm para obtener luego bolitas delmismo material, con radio 1cm cadauna. ¿Cuántas bolitas, como máximose obtendrán?.
a) 14 b) 24 c) 34d) 54 e) 64
25.En un recipiente que tiene la forma deun cilindro circular recto de altura igual
al radio, se deposita arena, adoptandoésta la forma de una semiesfera cuyocírculo máximo coincide con la base delcilindro igual al radio de su base. ¿Quéfracción del volumen del recipiente noestá ocupado?.
29).- ¿Cuál es la ecuación de la recta quepasa por el origen y es perpendicular ala recta 3x-2y=6?
a) 2x+3y=0 b) 2x+3y=1c) 2x+3y=2 d) 2x+3y=3e) N.A
30).- Halla la ecuación de la recta que pasapor la intersección de las rectas 2x+3y-
12=0 y 3x+2y-13=0 y sea paralela a larecta x+y+7=0
a) x+y-7=0 b) x-y+7=0c) x+y+5=0 d) x+y-5=0e) x-y+5=0
31).- Sea el triangulo formado por lospuntos A =(2;-3), B=(3;-1), C= (-1;3).Halla la ecuación de la mediana relativaal lado BC.
a) x+4y+5=0 b) x-4y-5=0c) 4x+y-5=0 d) 4x-y+5=0e) x+4y-5=0
32).- Halla la ecuación de la rectaperpendicular a y=3x+5; tal que pasepor (2;3)
a) 3y+x-11=0 b) y+3x-11=0
c) 3y+3x-11=0 d) 3y+x-10=0
e) 3y+x+11=0
33).- Halla la ecuación de la recta que pasapor (5;7) y sea paralela a : y=x/3 + 1
a) 3y+x-16=0 b) 3y-x-16=0c) y-3x-16=0 d) y+3x-16=0e) N.A
34).- Halla la ecuación de la recta que seaparalela al eje de las ordenadas y pasapor una distancia de 3 del origen en lesemieje positivo de las abscisas.
a) x=-3 b) y=-3c) y=3 d) x=3
e) N.A
35).- Calcula la ecuación de la recta quepasa por el origen y por la intersecciónde las rectas : y=4; x=3
a) 3y=4x b) 4y=3xc) y=4x d) y=3xe) 3y=-4x
36).- Calcula “n” si la rectas sonperpendiculares : L1 : (n-1)y=5x+n-7,L2
: 3y=2x+n-nx+3
a) 2,5 b) 3,5 c) 2d) 7 e) 4
37).- Calcula el valor de “k” para que larecta 4y+kx+8=0 pasa por laintersección de las rectas :
L1 : 5y+6x+7=0; L2 : 2y-3x-8=0
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 038).- Halla la pendiente de las rectas L 1
que forma un ángulo de 45º con L : 3x-y+1=0 y que pasa por (0;1)
a) 1/2 b) -2 c) 2d) 2/3 e) 1/2 y -2
39).- En la figura dada, calcula la ecuaciónde la recta “L”