Baris Aritmatika Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga: Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai: b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2 Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini: Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai adalah: Deret Aritmatika Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku- suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai: atau sebagai: Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah: Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi: . . Sehingga diperoleh .
20
Embed
Baris Aritmatikaosis.man2kotamalang.sch.id/.../05/XI-Matematika-Wajib.pdfMAT 4 1 materi78.co.nr TURUNAN Turunan A. PENDAHULUAN Turunan/differensial adalah laju sesaat perubahan fungsi
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Baris Aritmatika
Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui
penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan
selalu sama yaitu b. Sehingga:
Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:
b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai
suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:
Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan
nilai adalah:
Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-
suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:
atau sebagai:
Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret
aritmatikanya adalah:
Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:
.
.
Sehingga diperoleh .
Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku
terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah
bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku
beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:
a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)
Diketahui bahwa suku terakhir:
(a + (q+1)b) = p
Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:
Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya
adalah:
▪ Nilai q = 3
▪ Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
▪
▪ Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9
Suku Tengah
Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris
aritmatika adalah suku ke- . Jika diselesaikan dalam rumus , maka nilai
suku tengah didapatkan:
Barisan Geometri
Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui
perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku
sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:
Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai
suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:
Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan
nilai adalah:
Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku
petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:
Atau sebagai:
Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret
aritmatikanya adalah:
dengan syarat 0 < r < 1.
Atau:
dengan syarat r> 1.
Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret
aritmatika yaitu:
Sisipan
Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku
terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah
bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan
(r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:
a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)
Dimana suku terakhir tersebut:
ar(q+1) = p
Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai:
Deret Geometri Tak hingga
Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret
geometri menuju tak hingga dimana , maka deret ini dapat dijumlah menjadi:
Atau sebagai :
Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga
bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan
tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret
geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret
geometri adalah:
Dimana terdapat unsur didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika ,
maka untuk menentukan nilai dapat menggunakan limit yaitu:
dengan syarat -1 < r < 1.
Dan:
dengan syarat r < -1 atau r > 1.
Kemudian hasil limit tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:
dengan syarat -1 < r < 1
Dan:
dengan syarat r < -1 atau r > 1.
1. Contoh Soal Deret Aritmatika
Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12
suku pertama deret tersebut adalah?
Pembahasan:
▪ Diketahui bahwa , , maka dapat digunakan rumus :
▪ Dimana:
▪ Sehingga:
▪ Diperoleh:
2. Contoh Soal Deret Geometri
Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki
rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!
Pembahasan:
▪ Diketahui bahwa:
dan
▪ Jika kedua persamaan disubstitusikan :
Dan
▪ Sehingga :
3. Contoh Soal Geometri Tak Hingga
Jika maka jumlah deret geometri tak hingga adalah?
(SPMB 2005)
Pembahasan 3:
▪ Diketahui bahwa:
atau
▪ Ditentukan ratio deretnya adalah:
▪ Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi adalah:
Limit
Limit fungsi adalah salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu
fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x.
Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p.
Limit Bentuk 0/0
Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam
ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa
dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan
jangan lupakan ada aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :
Bentuk ∞/∞
Bentuk limit ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :
Contoh Soal
Coba kalian tentukan
Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk ∞/∞
• Jika m<n maka L = 0
• Jika m=n maka L = a/p
• Jika m>n maka L = ∞
Bentuk Limit (∞-∞)
Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. Bentuk soalnya sangat beragam. Namun,
penyelesaiannya tidak jauh-jauh dari penyederhanaan. Berikut contoh soal yang akan kami ambil dari
ujian nasional 2013.
Tentukan Limit
Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga
Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak
terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nilai limit tak terhingga bentuk pecahan kita hanya
perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.
ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi. Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari
pangkat tertinggi penyebut. Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi
penyebut. Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut. Rumus ke-3
nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.
MAT 4
1
materi78.co.nr
TURUNAN
Turunan A. PENDAHULUAN
Turunan/differensial adalah laju sesaat perubahan fungsi f(x) pada interval x2 dan x1 yang mendekati nol.
Laju rata-rata perubahan fungsi
Jika x1 = a, x2 = a + b, dan a adalah domain dari f(x), maka:
∆y
∆x =
f(x2) - f(x1)
x2 - x1 =
f(a+b) - f(a)
(a+b) - a
Laju sesaat perubahan fungsi (turunan)
Adalah nilai limit dari laju rata-rata perubahan fungsi f(x) pada interval x2 dan x1 mendekati nol.
Jika x1 = a, x2 = a + b, a adalah domain dari f(x), dan nilai b mendekati nol, maka:
dy
dx = lim
b→0
∆y∆x = lim
b→0
f(x2) - f(x1)x2 - x1
= limb→0
f(a+b) - f(a)(a+b) - a
B. RUMUS-RUMUS TURUNAN
Rumus-rumus turunan fungsi pada beberapa bentuk:
Fungsi (f(x)) Turunan fungsi (f’(x))
U ± V U’ ± V’
U.V U’.V + U.V’
U.V.W U’.V.W + U.V’.W + U.V.W’
UV
U’.V - U.V’
V2
Un n.Un-1.U’
U∘V = U(V(x)) U’(V(x)).V’(x)
U∘V∘W = U(V(W(x)) U’(V(W(x))).(V(W(x))’
y = f(u)
u = g(x)
dy
du .
du
dx =
dy
dx
y = f(u) v = h(x)
u = g(v)
dy
du .
du
dv .
dv
dx =
dy
dx
C. TURUNAN FUNGSI ALJABAR
Aturan-aturan yang digunakan pada turunan fungsi aljabar:
f(x) f’(x)
k (konstanta) 0
k.x k
k.xn n.k.xn-1
Contoh pengerjaan bentuk U ± V:
Contoh 1: y = x4 – 5x2 – 7, tentukan turunannya!
y' = 4.x4-1 – 2.5.x2-1 – 0
y’ = 4x3 – 10x
Contoh 2: f(x) = (x – 5)(x + 7), tentukan turunan pertama dan keduanya!
f(x) = x2 + 2x – 35
f’(x) = 2.x2-1 + 2 – 0
f’(x) = 2x + 2
f’’(x) = 2
Contoh 3: f(x) = 3x√x - 7√x - 5x, tentukan f’(x)!
f(x) = 3x3
2⁄ – 7x1
2⁄ – 5x
f’(x) = 3. 32 . x
12⁄ – 7. 1
2 . x–1
2⁄ – 5
f’(x) = 92 √x –
7
2√x – 5
Contoh 4: y = 2a2x2 – 3ax4 + 5x + a + 7, tentukan turunan y terhadap x! dy
dx = 2.2a2.x2-1 – 4.3a.x4-1 + 5 + 0
dy
dx = 4a2x – 12ax3 + 5
Contoh pengerjaan bentuk U.V:
Contoh 1: Turunan pertama dari y = 2x2√2–x adalah?
U = 2x2 U’ = 4x
V = √2–x = (2-x)1
2⁄ V’ = 12. (2-x)–
12⁄ .(-1)
= -1
2√2–x
y’ = U’V + U.V’
y’ = 4x√2–x + 2x2. -1
2√2–x
y’ = 8x - 4x2 - x2
√2–x y’ =
8x - 5x2
√2–x
Contoh 2: f(x) = (3x + 4)(8 – x), tentukan f’(x)!
U = 3x + 4 U’ = 3
V = 8 – x V’ = -1
f’(x) = U’V + U.V’
f’(x) = (3)(8 – x) + (3x + 4)(-1)
f’(x) = 24 – 3x – 3x – 4
f’(x) = 20 – 6x
Contoh 3: f(x) = (x – 2)2(3 – x), tentukan turunan kedua dari f(x) dan nilai f’’(1).
U = (x – 2)2 U’ = 2(x– 2)(1) = 2x – 4
V = 3 – x V’ = -1
f’(x) = U’V + U.V’
f’(x) = (2x – 4)(3 – x) + (x – 2)2(-1)
f’(x) = 6x – 2x2 – 12 + 4x – x2 + 4x – 4
∆y
∆x =
f(x+b) - f(x)
b
dy
dx =
d[f(x)]
dx = y’ = f’(x) = lim
b→0
f(x+b) - f(x)b
MAT 4
2
materi78.co.nr
TURUNAN
f’(x) = –3x2 + 14x – 16
f’’(x) = (2)(-3x2-1) + 14 – 0
f’’(x) = -6x + 14
f’’(1) = -6(1) + 14 f’’(1) = 8
Contoh 4: a = (2b – 4)(b – 1)(3 – b), tentukan da
db !
U = 2b – 4 U’ = 2
V = b – 1 V’ = 1
W = 3 – b W’ = -1 da
db = U’.V.W + U.V’.W + U.V.W’
= 2(b–1)(3–b) + (2b–4)(1)(3–b) + (2b–4)(b–1)(-1)
= 2(3b – b2 – 3 + b) + (6b – 2b2 – 12 + 4b) –
(2b2 – 2b – 4b + 4)
= 8b – 2b2 – 6 + 10b – 2b2 – 12 – 2b2 + b – 4 da
db = 19b – 6b2 – 22
Contoh pengerjaan bentuk UV :
Contoh 1: Tentukan y’ dari y = 3x+2
2x+3 !
U = 3x + 2 U’ = 3
V = 2x + 3 V’ = 2
y’ = U’.V - U.V’
V2
y’ = (3)(2x+3) - (3x+2)(2)
(2x+3)2
y’ =6x + 9 - 6x - 4
4x2+12x+9 y’ =
5
4x2+12x+9
Contoh 2: Tentukan nilai f’(x) dari f(x) = 1
1+1x
!
U = 1 U’ = 0
V = 1 + x-1 V’ = -x-2
f’(x) = U’.V - U.V’
V2
f’(x) = (0)(1+x-1) - (1)(-x-2)
(1+x-1)2
f’(x) = x-2
1+2x-1+x-2 = 1x2
1+2x+1
x2
f’(x) = 1
x2+2x+1
Contoh pengerjaan bentuk Un:
Contoh 1: y = (1 – 5x)6, maka nilai y’?
y’ = n.Un-1.U’
y’ = 6.(1 – 5x)6-1. (-5)
y’ = -30(1 – 5x)5
Contoh 2: y = (x – 2)3, tentukan turunan pertama dan kedua y.