BAB III Tranformasi Laplace

8/16/2019 BAB III Tranformasi Laplace

1/38

Bab III. Transformasi Laplace 33

BAB III

TRANSFORMASI LAPLACE

3.1 Pendahuluan

Penggunaan Transformasi Laplace dalam pengendalian proses bertujuan untuk

memberikan metode yang sederhana dan mudah untuk menyelesaikan persamaan-

persamaan deferensial linier atau persamaan hasil linierisasi sebagai hasil pemodelan

proses kimia secara matematis.

Dengan Transformasi Laplace memungkinkan dilakukan :1. Pengembangan model hubungan Input-Output secara sederhana, yang sangat

berguna untuk tujuan pengendalian proses

2. Analisa kuantitatif secara langsung tentang bagaimana suatu proses kimia

bereaksi (tanggapan) terhadap berbagai gangguan eksternal.

3.2 Definisi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t) dapat didefinisikan sebagai :

(3.1)

Catatan :

1. Definisi yang lebih mendasar dari Transformasi Laplace adalah seperti ditunjukkan

pada persamaan berikut :

(3.1.a)

Jika fungsi f(t) kontinnyu dan terdifinisi untuk setiap nilai t dalam rentang t=0

Sampai t =∞, maka definisi pada persamaan 3.1.a. akan dapat direduksi menjadi

persamaan 3.1.

2. Dari definisi 3.1 dan 3.1.a terlihat bahwa Tansformasi Laplace merupakan

pengubahan/tramsformasi dari suatu domain waktu (waktu sebagai variabel bebas) ke


2/38


domain s (dengan s sebagai variabel bebas), s adalah variabel yang didefinisikan

sebagai bidang kompleks (contoh : a = a + jb)

3. Dari definisi 7.1 dan 7.1.a terlihat bahwa Tansformasi Laplace f(t) hanya akan ada

bila integral dt et f st ∫∞

−

0)( memiliki nilai tertentu yang terhingga (bounded). Untuk

fungsiat et f =)( dengan a > 0, maka :

(3.2)

4. Transformasi Laplace adalah suatu operator yang linier :

(3.3)

dengan a1 dan a2 adalah parameter yang nilainya kontan (konstanta). Pembuktian

hubungan ini sebagai berikut :


3/38


3.2.1 Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Utama

Transformasi Laplace untuk berbagai fungsi utama adalah sebagai berikut:


4/38



5/38


3.2.2 Transformasi Laplace Fungsi Diferensial Turunan

Transformasi Laplace fungsi diferensial/turunan pertama dapat dinyatakan

sebagai berikut :

(3.4)

dan Transformasi Laplace fungsi diferensial/turunan kedua sebagai berikut :

(3.5)

Transformasi Laplace untuk persamaan diferensial dapat didefinisikan secara umum

sebagai berikut :

(3.6)

3.2.3 Transformasi Laplace Fungsi Integral

Transformasi Laplace fungsi integral dapat dinyatakan sebagai berikut :


6/38


(3.7)

3.2.4 Teorema Nilai Akhir (Final Value Theorem)

Transformasi Laplace dari teorama nilai akhir dapat dinyatakan sebagai berikut :

(3.8)

3.2.5 Teorema Nilai Awal ( Initial Value Theorem)

Transformasi Laplace dari teorama nilai awal dapat dinayatakan sebagai berikut :

(3.9)

3.3 Penyelesaian Persamaan Deffensial dengan Tranformasi Laplace

Prosedur penyelesaian persamaan deferensial dengan menggunakan Transformasi

Laplace dikembangkan oleh seorang insinyur Inggris, Oliver Heaviside. Sebagai contoh

dapat diambil suatu sistem Tangki Pemanas Berpengaduk.

Contoh 3.1:

Sintem Input-Output untuk Tangki Pemanas Berpengaduk


7/38


Neraca massa sistem :

−

=

waktu

Keluar MassaTotal

waktu

Masuk MassaTotal

waktu

Total Massa Akumulasi

atau, F F dt

Ahd i ρ ρ

ρ −=

)( ; Massa Total = ρAh = ρV

jika ρ konstan, maka :

F F dt

dh A

i

−= atau F F dt

dV

i

−=

dimana : Fi = Laju alir volumetrik masuk tangki

F = Laju alir volumetrik keluar tangk

Neraca energi sistem :

+

−

=

waktu

steam

dari Energi

waktu

Keluar

Total Energi

waktu

Masuk

Total Energi

waktu

Total

Energi Akumulas

Atau,

QT T FC T T C F dt

T T AhC d ref pref i pi

ref p+−−−=

−)()(

)( ρ ρ

ρ

dimana Q adalah jumlah energi yang dipasok oleh steam per satuan waktu.

Bila T ref = 0, maka :

p

ii

C

Q FT T F

dt

hT d A

ρ

+−=)(

p

iiC

Q FT T F

dt

dh AT

dt

dT Ah

ρ +−=+ , dimana : F F

dt

dh A i −=

p

iiiC

Q FT T F F F T

dt

dT Ah

ρ +−=−+ )(


8/38


p

ii

C

QT T F

dt

dT Ah

ρ

+−= )(

Dengan asumsi bahwa F i = F (ketinggian cairan dalam tangki tetap), maka akan

menghasilkan dV/dt = 0, sehingga persamaan yang tertinggal hanya neraca energi berikut

:

Jumlah energi/panas yang dipasok oleh steam, Q dapat diperoleh dari hubungan :

dimana,

U = koefisien perpindahan panas keseluruhan

At = luas perpindahan panas

T st = temperatur steam

Substitusi kedua persamaan diatas akan diperoleh hubungan berikut :

atau,

(3.10)

dengan,

Persamaan 3.10. merupakan model Matematika untuk tangki pemanas berpengaduk

dengan variabel keadaan T dari variabel-variabel masukan (input) T i dan T st. Pada

keadaaan steady state (mantap) menjadi :


9/38


Dengan T s, T i.s dan T st.s adalah nilai-nilai steady-state dari variabel-variabel terkait.

Hasil pengurangan persamaan kondisi steady diatas dengan persamaan asal 3.10.diperoleh :

atau,

(3.10.a)

dimana, .

adalah variabel-variabel penyimpangan dari keadaan steady-nya T s , T i ,s dan T st ..

Penyelesaian persamaannya dengan Transformasi Laplace

Persamaan 3.10.a. di atas dapat dijabarkan dalam bentuk variabel penyimpangan berikut

:

(3.11)

Jika pemanas mula-mula dalam keadaan tunak/steady [T’(0) = 0], kemudian pada

t = 0 temperatur aliran masuk nail 10oF dari nilai steadynya menurut fungsi step dan

tetap berada pada tingkat tersebut [Ti’(t) = 10o F ] pada t > 0, temperatur cairan dalam

tangki akan naik. Perubahan temperatur cairan dalam tangki terhadap waktu dapat

dipelajari dengan menyelesaikan persamaan 3.11.

Persamaan 3.11 adalah persamaan deferinsial linier orde satu dengan koefisien

yang konstan, sehingga persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan

Transformasi Laplace. Prosedur penggunaan Transformasi Laplace untuk menyelesaikan

persamaan diferensial tersebut adalah sebagai berikut:


10/38


1. Mula-mula ruas kanan dan ruas kiri persamaan 3.11 ditransformasikan sebagai

berikut :

atau,

(3.12)

sehingga :

(3.13)

2. Solusi dari persamaan deferensial ini adalah fungsi T’(t) yang hasil Transformasi

Laplace-nya adalah ruas kanan dari persamaan T(s) di atas. Manipulasi terhadap

persamaan 3.13 akan menghasilkan bentuk :

(3.14)

Dari tabel pada subBab 3.2.1 dapat ditentukan bahwa :

• Fungsi dengan Transformasi Laplace 1/s adalah fungsi step satuan

• Fungsi dengan Transformasi Laplace 1/(s+a) adalah fungsi e

-at

Dengan demikian, fungsi T’(t) dapat dijabarkan sebagai berikut :

(3.15)

Fungsi T’(t) pada persamaan 3.15 adalah solusi persamaan diferensial 3.11. di atas.

Penentuan fungsi waktu dari suatu Transformasi Laplace disebut inversi Transformasi


11/38


Laplace, dan merupakan langkah yang paling kritis dalam menyelesaikan persamaan

diferensial linier menggunakan Transformasi Laplace.

Berdasarkan contoh kasus di atas teknik penyelesaian persamaan menggunakan

Transformasi Laplace dapat dijabarkan dalam beberapa langkah berikut :

Langkah 1 : Melakukan Tranformasi Laplace terhadap kedua ruas persamaan

deferensial. Transformasi Laplace berbagai turunan dapat ditemukan

menggunakan persamaan 3.4, 3.5, 3.6 dan syarat-syarat awal untuk

persamaan deferensial tersebut.

Langkah 2 : Menyelesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan dalam bentuk

Transformasi Laplace dari fungsi solusi persamaan yang tidak diketahui.

Langkah 3 : Menemukan fungsi waktu dari Transformasi Laplacenya (inversi) yang

didapatkan dari langkah 2. Fungsi waktu ini merupakan solusi yang

diharapkan dari persamaan diferensial pada langkah 1 di atas.

3.4 Inversi Transformasi Laplace

Seperti telah dijelaskan di atas, bagian yang paling kritis dalam menyelesaikan

suatu persamaan menggunakan Transformasi Laplace adalah inversi dari Transformasi

Laplace yang dihasilkan. Penyelesaian fungsi Transformasi Laplace dapat dilakukan

menggunakan metode Ekspansi Heaviside atau ekspansi persamaan menjadi fraksi-fraksi

parsial.

Hasil Transformasi Laplace suatu fungsi x(t) dapat dituliskan sebagai berikut :

(3.16)

dengan Q(s) dan P(s) adalah polinomial dalam s dengan orde m dan n

Inversi hasil Transformasi Laplace dengan metode ekspansi fraksi parsial dapat

dilakukan dalam tiga tahap berikut :

(1) Ekspansikan Q(s)/P(s) menjadi fraksi dalam deret :


12/38


(3.17)

dengan, r 1(s), r 2(s), r n(s) adalah polinomial dengan orde yang lebih rendah

dari n, yaitu orde 1,2 dan seterusnya.

(2) Hitung harga masing-masing konstanta C 1 , C 2 , ..., Cn

(3) Tentukan inversi Transformasi Laplace dari masing-masing fraksi parsial.

Fungsi x(t) yang dicari dapat dituliskan sebagai berikut :

(3.18)

Inversi terhadap masing-masing suku dapat dilakukan lebih mudah dengan

menggunakan Tabel Inversi Transformasi Laplace untuk fungsi-fungsi umum sebagai

berikut :

Tabel 3.1. Inversi Transformasi Laplace untuk Beberapa Fungsi


13/38


Ekspansi fungsi x(t) yang merupakan perbandingan dua polinomial Q(s) dan P(s)

(persamaan 3.16) ke dalam deretan fraksi ditentukan oleh bentuk dan akar polinomial

penyebut P(s). Secara umum, dalam inversi Transformasi Laplace akan ditemui dua

kasus berikut :

1. Polinomial P(s) yang memiliki n akan (semua berbeda), nyata atau kompleks.

2. Polinomial P(s) yang memiliki akar-akar ganda.

Kedua kasus di atas diterangkan lebih lanjut dalam contoh-contoh kasus berikut :


14/38


1. Polinomial P(s) yang memiliki akar-akar nyata dan berbeda

Transformasi Laplace dari suatu fungsi x(t) adalah sebagai berikut :

(3.19)

Polinomial penyebut P(s) adalah persamaan orde 3 berikut :

yang memiliki 3 akar berikut :

sehingga :

Jadi persamaan 3.19. dapat dituliskan sebagai berikut ;

(3.20)

Ekspansikan persamaan 3.20 menjadi deretan fraksi-fraksi parsial akan menghasilkan

bentuk persamaan sebagai berikut ;

(3.21)

dengan C 1 , C 2 , dan C 3 ,, adalah konstanta-konstanta yang belum diketahui dan harus

ditentukan nilainya.

Untuk mendapatkan penyelesaian dalam domain waktu, f(t) dapat dilakukan dengan

invers hasil Transformasi Laplace, berikut :

dengan menggunakan Tabel 3.1. akan didapatkan :

(3.22)

yang merupakan hasil inversi dari Transformasi Laplace persamaan 3.20.

Cara perhitungan untuk menentukan konstanta C 1 , C 2 , dan C 3 ,, adalah sebagai berikut :

Perhitungan C 1:


15/38


Kalikan kedua ruas kanan dan ruas kiri persamaan 3.21. dengan ( s-1) :

Substitusikan nilai s yang akan menyebabkan s-1=0, [s=1] ke dalam persamaan di atas,

akan mengakibatkan kedua suku terakhir pada ruas kanan persamaan tersebut menjadi

nol, sehingga :

Perhitungan C 2:Kalikan kedua ruas persamaan 3.21 dengan ( s+1) :

Substitusikan nilai s yang akan menyebabkan s+1=0, [s=1] ke dalam persamaan diatas

akan memberikan hasil berikut :

Perhitungan C 3 :

Kalikan ruas kanan dan ruas kiri persamaan 3.21. dengan ( s-2) :

Substitusikan nilai s yang akan menyebabkan s-2=0, [s=2], ke dalam persamaan di atas

akan memberikan hasil berikut :

Dengan demikian, inversi Transformasi Laplace dari persamaan 3.22. akan menghasilkan

persamaan dalam domain waktu sebagai berikut :


16/38


2. Polinomial P(s) yang memiliki akar-akar berupa bilangan kompleks

Transformasi Laplace dari suatu fungsi x(t) adalah sebagai berikut :

(3.23)

Polinomial penyebut P(s) adalah persamaan orde dua yang memiliki 2 akar berbeda

dalam bentuk bilangan kompleks berikut :

sehingga ;

dan persamaan 2.23. dapat ditulis ulang dan diekspansikan dalam bentuk deretan fraksi-

fraksi parsial berikut :

(3.24)

Dengan menggunakan Tabel pada sub bab 3.2.1., didapatkan :

Perhitungan nilai C 1 dan C 2 pada kasus ini dilakukan dengan cara yang sama seperti pada

kasus polinomial P(s) yang memiliki akar-akar nyata.

Perhitungan C 1:

Kalikan ruas kanan dan ruas kiri persamaan 3.24. dengan [s-(1+2j)] :

Substitusikan nilai s yang akan menyebabkan s-(1+2j)=0 ,sehingga [s=1+2j] ke dalam

persamaan di atas akan memberikan hasil berikut :

Perhitungan C 2:

Kalikan kedua ruas persamaan 3.24. dengan [s-(1-2j)] :


17/38


Substitusikan nilai s yang akan menyebabkan s-(-+2j)=0 ,sehingga [s=1-2j] ke dalam

persamaan di atas akan memberikan hasil berikut :

Dengan demikian, inversi Transformasi Laplace dari persamaan 3.24. akan menghasilkan

persamaan dalam domain waktu sebagai berikut :

atau,

(3.26)

dari hubungan berikut :

akan didapatkan bahwa :

Substitusi hubungan di atas ke dalam variabel e2t dan e-2t dalam persamaan 3.26. akan

menghasilkan :

(3.27)

Penggunaan Indentitas Trigonometri :

Akan menghasilkan bentuk persamaan x(t) yang baru sebagai berikut :


18/38


(3.28)

Berdasarkan contoh di atas diambil beberapa kesimpulan mengenai inversi Transformasi

Laplace dari suatu persamaan dengan penyebut yang memiliki akar-akar kompleks :

1. Akar-akar kompleks tersebut akan selalu terdapat dalam bentuk pasangan

konjugat.

2. Koefisien suku ekspansi parsial terkait juga akan berupa pasangan konjugat

kompleks

3.

Fungsi dalam domain waktu x(t) hasil inversi akan berbentuk periodik

(sinusoidal).

3. Polinomial P(s) yang memiliki akar-akar ganda

Metode untuk melakukan ekspansi fraksi parsial dan perhitungan koefisien-koefisien

hasil inversi pada Transformasi Laplace yang memiliki penyebut dengan akar-akar ganda

berbeda dengan cara ekspansi dan perhitungan koefisien untuk kasus-kasus yang telah

dibahas sebelumnya.Contoh penyelasaian fungsi dengan akar-akar penyebut ganda adalah pada hasil

Transformasi Laplace berikut :

(3.29)

Fungsi hasil Transformasi Laplace pada persamaan 3.29 tersebut memiliki 3 (tiga) akar

yang sama dan akar keempat yang berbeda, yaitu :

Ekspansi dari persamaan 3.29 tersebut ke dalam fraksi parsial akan menghasilkan bentuk

berikut :

(3.30)

Dari tabel sub Bab 3.2.1 dan Tabel 3.1 didapatkan bahwa :


19/38


Sehingga inversi Transformasi Laplace persamaan 3.29 dapat dinyatakan dalam bentuk

berikut :

(3.31)

Perhitungan konstanta C 1 , C 2 , C 3 , dan C 4 pada persamaan di atas dapat dilakukan sebagai

berikut :

Perhitungan C 4 :

Konstanta C 4 terkait dengan akar nyata dari penyebut x(t), sehingga dapat

dihitung menggunakan cara yang telah diterangkan sebelumnya. Dengan mengalikan

kedua ruas persamaan 3.30 dengan (s+2) dan mensubstitusikan nilai s yang

mengakibatkan (s+2)=0, jadi s=-2 ke dalam persamaan akan didapatkan nilai C4 = -1

Perhitungan C 3:

Perhitungan C3 juga dapat dilakukan dengan menggunakan prosedur yang umum

dilakukan pada kasus-kasus sebelumnya, yaitu dengan mengalikan kedua ruas persamaan

dengan (s+1)2 untuk menghasilkan bentuk persamaan berikut :

(3.32)

Substitusi nilai s yang mengakibatkan (S+1)3=0, jadi s= -1, akan memberikan nilai C3

=+1.

Perhitungan C 2:

Cara perhitungan yang umum untuk kasus-kasus sebelumnya tidak dapat

diterapkan untuk menghitung C2, karena jika kedua ruas dikalikan dengan (s+1)2akan

dihasilkan bentuk berikut :


20/38


Substitusi nilai s yang mengakibatkan (S+1)=0 akan mengakibatkan suku yang terkait

dengan C3 akan memiliki nilai yang tak terhingga, sehingga cara ini tidak dapatdigunakan. Masalah yang sama juga akan terjadi pada perhitungan C1, sehingga untuk

menghitung C1 dan C2 diperlukan cara lain. Cara alternatif yang dapat ditempuh untuk

menghitung C2 adalah dengan melakukan pendeferensial kedua ruas persamaan 3.32

terhadap s untuk menghasilkan bentuk berikut :

(3.33)

Substitusi nilai s =-1 ke salam persamaan di atas akan diperoleh nilai C2 = -1.

Perhitungan C 1:

Perhitungan nilai C1 dapat dilakukan dengan mendeferensialkan persamaan 3.33.

satu kali terhadap s sehingg menjadi :

Substitusi nilai s = -1 ke dalam persamaan di atas akan diperoleh nilai C1 = +1.

Hasil ekspansi dan perhitungan koefisien di atas akan memberikan persamaan hasil

inversi Transformasi Laplace dalam domain waktu sebagai solusi dari persamaan 3.29

adalah sebagai berikut :

(3.34)

3.5 Contoh-Contoh Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier dengan

Transformasi Laplace

Contoh 3.2:

Transformasi Laplace dari Persamaan Diferensial Linier

Transformasikan persamaan diferensial berikut, dan tuliskan hubungan output-

input-nya dalam variabel Laplace , Y(s)/X(s) :


21/38


(3.35)

Jika nilai awalnya adalah, yo = 0, dan yo’ = 0, dihasilkan :

Fungsi Transfer adalah ratio Y(s)/X(s), adalah :

Contoh 3.3:

Penyelesaian Persamaan Diferensial Menggunakan Transformasi Laplace

Selesaikan persamaaan diferensial berikut ini, dengan Transformasi Laplace danInvers Laplace, sehingga diperoleh solusi dalam domain waktu x(t).

(3.36)

Transformasi Laplace dari persamaan diatas dihasilkan :

Inversi Laplace diperoleh hubungan :

(3.37)


22/38


Dengan menggunakan Tabel 3.1 dapat diperoleh solusi persamaan tersebut sebagai

berikut :

Penyelesaian persamaan 3.37. dapat juga dilakukan dengan cara pemecahan parsiel

sebagai berikut :

Ekspansi persamaan ke dalam fraksi-fraksi parsial :

Perhitungan C 1:

Kalikan ruas kanan dan ruas kiri persamaan s :

)125()125(

12

2

12 ++=

+ s

C C

s

Substitusikan nilai s yang akan menyebabkan s=0 ,sehingga, diperoleh C 1 = 1.

Perhitungan C 2:

Substitusikan nilai C 1 ke dalam persamaan akan diperoleh, C 2 = -25s.

Dengan invers Transformasi Laplace dan menggunakan Tabel 3.1. dihasilkan :

Contoh 3.4:

Penyelesaian Persamaaan Orde 2 Menggunakan Transformasi Laplace.

Selesaikanlah persamaaan diferensial linier orde 2 berikut :


23/38


(3.38)

dengan x(t) sebagai variabel penyimpangan. Persamaan orde dua tersebut memiliki

syarat awal :

Tranformasi Laplace terhadap persamaan di atas akan menghasilkan bentuk sebagai

berikut :

atau,

(3.39)

Jika masukan f(t) adalah fungsi step satuan, sehingga f(s) = 1/s, maka persamaan 3.39

akan menjadi :

(3.40)

Polinomial P *(s) = a2 s

2 + a1 s + ao disebut polinomial karakteristik untuk persamaan

orde kedua tersebut.

Langkah pertama untuk mencari inversi ruas kanan persamaan 3.40 adalah

dengan menentukan terlebih dahulu akar-akar persamaan P *(s). Berdasarkan nilai-nilai

konstanta ao, a1, dan a2, penyelesaian persamaan tersebut dapat dibagi menjadi 3 (tiga)

kasus khusus.

Kasus 1 : Apabila a12 – 4a2ao > 0

Pada kasus ini P*(s) memiliki dua akar nyata yang berbeda, yaitu :


24/38


Contoh :

Apabila persamaaan dengan nilai a1 = 4, a2 = 1, dan ao = 3, a12 – 4a2ao = 16 – 12 = 4

berarti > 0, dengan s1 = -1 dan s2 = -3.

(3.41)

Perhitungan C 1 :

Jika kedua ruas persamaan di atas dikalikan dengan s, kemudian ke dalam persamaan

yang dihasilkan disubstitusikan nilai s = 0, akan didapatkan C 1 = 1/3.

Perhitungan C 2 :

Jika kedua ruas persamaan di atas dikalikan dengan (s+3), kemudian ke dalam persamaan

yang dihasilkan disubstitusikan nilai s = 3, akan didapatkan C 2 = 1/6.

Perhitungan C 3 :

Jika kedua ruas persamaan di atas dikalikan dengan (s+1), kemudian ke dalam persamaan

yang dihasilkan disubstitusikan nilai s = -1, akan didapatkan C 3 = -1/2.

Sunstitusikan masing-masing koefisien tersebut ke dalam persamaan 3.41 akan diperoleh

solusi dari persamaan deferensial tersebut, sebagai berikut :

Kasus 2 : Apabila a12 – 4a2ao = 0

Pada kasus ini P *(s) memiliki dua akar ganda, yaitu :


25/38


Contoh :

Apabila persamaaan dengan nilai a1 = 2, a2 = 1, dan ao = 1, a12

– 4a2ao = 4 – 4.1.1 = 0,dengan s1 = s2 = -1.

(3.42)

Perhitungan C 1 :

Jika kedua ruas persamaan di atas dikalikan dengan s, kemudian ke dalam persamaan

yang dihasilkan disubstitusikan nilai s = 0, akan didapatkan C 1 = 1.

Perhitungan C 3 :

Jika kedua ruas persamaan 3.42 dikalikan dengan (s+1)2

akan dihasilkan bentuk

persamaan berikut :

Substitusi nilai s = -1 ke dalam persamaan akan diperoleh C 3 = 1.

Perhitungan C 2 :

Jika kedua ruas persamaan yang digunakan untuk menentukan C 3 di atas didiferensialkan

terhadap s, akan dihasilkan bentuk persamaan berikut :

Substitusi nilai s =-1 ke dalam persamaan tersebut akan memberikan harga C2 =-1.

Selanjutnya dengan mensubstitusikan masing-masing koefisien tersebut ke dalam

persamaan 3.42 akan menghasilkan solusi persamaan diferensial tersebut sebagai berikut

:


26/38


Kasus 3 : Apabila a12

– 4a2ao < 0Pada kasus ini P *(s) memiliki dua akar kompleks yang berpasangan.

Contoh :

Apabila persamaaan dengan nilai a1 = 2, a2 = 2, dan ao = 1, a12 – 4a2ao = 4 – 4.2.1 = - 4 ,

jadi < 0. Nilai akar-akar persamaan tersebut adalah akar kompleks yang berpasangan,

adalah :

sehingga,

(3.43)

Perhitungan C 1 :

Jika kedua ruas persamaan 3.43, dikalikan dengan s, kemudian ke dalam persamaan yang

dihasilkan disubstitusikan nilai s = 0, akan diperoleh C 1 = 1.

Perhitungan C 2 :

Jika kedua ruas persamaan 3.43. dikalikan dengan

+−−

2

1 j s , kemudian ke dalam

persamaan yang dihasilkan disubstitusikan nilai

+−

2

1 j, akan didapatkan,

Perhitungan C 3 :


27/38


Jika kedua ruas persamaan 3.43. dikalikan dengan

−−−

2

1 j s , kemudian ke dalam

persamaan yang dihasilkan disubstitusikan nilai

−−

2

1 j, akan didapatkan,

Substitusi masing-masing koefisien tersebut ke dalam persamaan 3.43. akan

menghasilkan solusi persamaan diferensial tersebut sebagai berikut :

`

atau,

(3.44)

Dengan menggunakan indentitas Euler :

Persamaan 3.44. dapat diubah menjadi :

atau,

(3.45)

Dengan

Persamaan 3.45. dapat dituliskan kembali menjadi :


28/38


dengan,

3.6 Fungsi Transfer dan Model Hubungan Input-Output

3.6.1. Fungsi Transfer dengan Input Tunggal, f(t)

Pada suatu sistem proses dengan satu input dan satu output seperti pada Gambar

9.1. Kelakuan dinamis proses dapat dijelaskan menggunakan persamaan diferensial linier

atau hasil linierisasi orde n.

(3.46)

dengan f(t) dan y(t) adalah input dan output dari proses.

Gambar 3.1. a. Proses dengan satu input, satu output

b. Diagram balok proses

Jika pada awalnya sistem berada pada kondisi steady state (tunak), maka :

(3.47)

Untuk fungsi f(t) yang menghasilkan Transformasi Laplace berikut :

(3.48)

dengan syarat awal seperti pada 3.47., akan didapatkan :


29/38


(3.49)

G(s) disebut sebagai Fungsi Transfer dari sistem di atas, yang menghubungkan output

terhadap input suatu proses (seperti pada Gambar 3.1). Gambar 3.1.b. juga dikenal

sebagai diagram balok dari sistem yang ditinjau.

3.6.1. Fungsi Transfer dengan Dua Input, f 1(t) dan f 2(t)

Model dinamik untuk suatu proses dengan dua input f 1(t) dan f 2(t) dengan satu

output seperti digambarkan dalam Gambar 3.2 dapat diuraikan sebagai berikut :

(3.50)

Gambar 3.2. a. Proses dua input, satu output

b. Diagram balok sistem

Dengan syarat yang sama seperti pada 3.47. Persamaan 3.50. dapat diuraikan

lebih lanjut menjadi :

atau bentuk yang setara dengan hubungan berikut :


30/38


dengan,

G1(s) dan G2(s) adalah dua fungsi transfer yang menghubungkan output proses

dengan masing-masing inputnya. Fungsi G1(s) menghubungkan y(s) dengan input

pertama f 1(s), dan G2(s) menghubungkan y(s) dengan input kedua f 2(s). Hubungan antara

fungsi-fungsi ini ditunjukka dalam diagram balok pada Gambar 3.2. Prosedur yang sama

untuk mencari hubungan output dengan input suatu proses dapat diterapkan sistem

manapun yang memiliki satu output dan beberapa input. Diagram balok untuk sistem-

sistem ini dapat dilihat seperti pada Gambar 3.3.

Gambar 3.3. Diagram balok suatu proses dengan beberapa input dan satu output.

Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa fungsi transfer antara output

dan input sebagai berikut :


31/38


Catatan :

1. Penggunaan Fungsi Transfer memungkinkan pengembangan Model Input-

Output yang lebih sederhana.

2. Fungsi Transfer dapat menjelaskan secara lengkap kelakuan dinamik output

jika perubahan pada fungsi input diketahui. Untuk suatu perubahan tertentu

pada input sistem f(t), respons sistem dapat diketahui dari inversi.

3. Untuk sistem-sistem non-linier, fungsi transfer baru bisa didapatkan setelah

sistem tersebut dilinierisasikan di sekitar kondisi steady state,, dan dinyatakan

dalam bentuk variabel penyimpangan.

Contoh Soal 3.5:

Fungsi Transfer untuk Tangki Pemanas Berpengaduk

Hasil manipulasi penyusunan neraca energi dari tangki pemanas berpengaduk

seperti pada Contoh Soal 3.1. dapat diperoleh model hubungan matematika dalam

bentuk variabel deviasi sebagai berikut :

dimana, T’ = T – T s T’ i = T i – T is T’ st = T st – T st,s

adalah variabel-variabel penyimpangan dari keadaan steady T s , T is, dan T st .

Transformasi Laplace terhadap kedua ruas persamaaan neraca energi diatas akan

diperoleh :

,atau


32/38


Dengan mendefinisikan dua buah fungsi transfer berikut :

Maka persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi ;

Fungsi Transfer G1(s) menghubungkan temperatur cairan dalam tangki terhadap

temperatur aliran masuk, sedangkan Fungsi Transfer G2(s) menghubungkan temperatur

cairan dalam tangki terhadap perubahan temperatur steam. Diagram balok untuk sistem

tangki pemanas berpengaduk di atas dapat dilihat pada Gambar 3.4.

Gambar 3.4. Diagarn Balok untuk Sistem Tangki Pemanas Berpengaduk

3.7 Linierisasi Sistem Satu Variabel

Linierisasi adalah salah satu cara untuk mendekati sistem non-linier dengan sistem

yang linier. Linierisasi digunakan secara luas untuk mempelajari dinamika proses dan

perancangan sistem pengendali karena alasan-alasan berikut :


33/38


1. Dengan linierisasi akan didapatkan sistem linier yang dapat diselesaikan secara

analitis dan memberikan gambaran kelakuan proses secara lengkap untuk berbagai nilai parameter proses dan variabel input.

2. Perkembangan yang banyak dibahas dalam buku-buku teks untuk sistem

pengendali yang efektif sebatas untuk proses-proses linier.

Persaman non-linier umum yang digunakan untuk memodelkan proses adalah persamaan

ordiner linier diferensial sebagai berikut :\

(3.51)Fungsi f(x) pada persamaan tersebut dapat diekspansikan dalam bentuk deret Taylor di

sekitar titik xo sebagai berikut :

(3.52)

Jika suku orde kedua dan selebihnya dari Deret Taylor tersebut diabaikan, maka f(x)

tersebut dapat didekati menjadi :

(3.53)

Kesalahan (galat) yang dapat diabaikan karena pendekatan di atas adalah sebagai berikut

:

(3.54)

Dari persamaan di atas terlihat bahwa hasil linierisasi 3.53. hanya akan cocok digunakanapabila nilai x sangat dekat dengan xo, sehingga nilai suku I menjadi sangat kecil.


34/38


Gambar 3.5. Pendekatan linierisasi untuk suatu sistem non-linier

Pada Gambar 3.5. diatas dapat dilihat secara jelas perbandingan antara fungsi

non-linier f(x) dan fungsi hasil linierisasi di sekitar titik xo. Dari gambar tersebut juga

terlihat bahwa hasil pendekatan linierisasi sangat tergantung pada nilai titik xo yang

disekitarnya dilakukan ekspansi Taylor. Pada gambar terlihat jelas perbedaan hasil

linierisasi pada dua titik yang letaknya berbeda (linierisasi f(x) pada titik xo dan x1).

Pendekatan sistem non-linier dengan linierisasi hanya akan memiliki nilai yang tepat

pada titik linierisasi.

Contoh Soal 3.6:

Linierisasi untuk Suatu Sistem Tangki

Suatu sistem tangki dengan aliran masuk ( F i) dan aliran keluar ( F o) sebagai berikut :

Gambar 3.6. a. Sistem Tangki pada contoh 3.6 b. Pendekatan terhadap respon ketinggian cairan


35/38


Pada sistem tangki dalam Gambar 3.6. Neraca massa total dari sistem akan dihasilkan bentuk persamaan berikut :

(3.55)

dimana : A = luas penampang cairan

h = ketinggian cairan

Jika laju aliran keluar, F o adalah fungsi linier dari ketinggian cairan, atau F o = α h,

dengan adalah suatu konstanta, maka persamaan 3.55. akan menjadi :

Jika F o berubah terhadap ketinggian cairan menurut fungsi , h F o β = , maka neraca

massa total yang diperoleh akan memberikan model dinamik yang non-linier sebagi

berikut :

Suku yang tidak linier pada persamaan tersebut hanya h β , Ekspansi Deret Taylor pada

suku di sekitar titik ho, akan menghasilkan linierisasi berikut :

Pengabaian terhadap suku-suku orde kedua dan seterusnya akan diperoleh bentuk,

Jika hubungan di atas diterapkan pada sistem dinamik non-linier awal akan memberikan

model pendekatan linierisasi sebagai berikut :


36/38


(3.56)

Perbandingan model pendekatan linierisasi dengan bentuk non-liniernya dapat dilihat

pada Gambar 3.6. Pada proses yang digambarkan tersebut, mula-mula tangki dalam

keadaan steady dengan ketinggian cairan ho dan pada waktu t=0 pasokan cairan ke tangki

dihentikan, sedangkan cairan dibiarkan terus mengalir keluar. Kurva A pada Gambar 3.6

adalah solusi dari persamaan hasil linierisasi, sedangkan kurva B adalah solusi dari

bentuk persamaan non-linier. Dari gambar terlihat bahwa kedua kurva berhimpit pada

periode waktu tertentu di awal proses. Hal ini menunjukkan bahwa model hasil linierisasi

sangat cocok dengan model non-linier pada awal periode. Dengan bertambahnya waktu

dan berkurangnya ketinggian cairan, nilai h akan semakin jauh menyimpang dari

kenyataan dibandingkan dengan nilai h pada awal proses yang sangat dekat dengan titik

linierisasi ho.

3.8 Variabel Penyimpangan ( Deviation Variable)

Konsep variabel penyimpangaan (deviation variabel ) akansangat membantu dalam

mempelajari bagian-bagian selanjutnya mengenai pengendalian sistem proses kimia.

Jika x(s) adalah nilai x pada keadaaan mantap ( stead y) yang menggambarkan keadaan

dinamik awal dari sistem, maka :

(3.57)

Jika xs adalah titik linierisasi dari persamaan 3.51 . ( xo = x s), maka persamaan 3.51. akan

menghasilkan model linier sebagai berikut :

(3.58)

Pengurangan 3.57. dari 3.58. akan menghasikan persamaan berikut :

(3.59)


37/38


Jika variabel penyimpangan x’ didefinisikan sebagai : x’ = x–x s maka persamaan 3.59.

dapat ditulis kembali sebagai berikut :

(3.60)

Persamaan 3.60. merupakan pendekatan linierisasi sistem dinamik non-linier, yang

dinyatakan dalam bentuk variabel penyimpangan x’ .

Penggunaan variabel penyimpangan dalam pengendalian proses memiliki arti

yang penting. Dalam pengendalian proses, seringkali nilai-nilai variabel proses tertentu

(temperatur, konsentrasi, tekanan, laju alir, volume, dan lain-lain) harus dipertahankan

pada nilai mantap ( steady) tertentu. Sehingga nilai mantap adalah titik kandidat alami

untuk pengembangan model linierisasi. Pada kasus-kasus ini variabel penyimpangan

akan menggambarkan secara langsung besarnya penyimpangan sistem dari nilai operasi

yang diharapkan. Jika perangkat pengendali untuk sistem proses terkait telah dirancang

dengan baik, variabel proses tidak akan bergeser terlalu jauh dari nilai steady. Dengan

demikian, penggunaan, variabel penyimpangan dalam model linierisasi akan sangat

cocok digunakan untuk menggambarkan kelakuan dinamik proses di dekat keadaan

mantap ( steady).

Contoh Soal 3.7:

Penggunaan Variabel Penyimpangan untuk Sistem Tangki

Pada model hasil linierisasi sistem tangki seperti pada contoh soal 3.6. di atas

(persamaan 3.56) . Jika nilai steady ketinggian cairan untuk laju alir mauk tertentu F i,s

adalah ho , maka linierisasi di sekitar titik h s akan menghasilkan persamaan model

sebagai berikut :

(3.61)

Pada keadaan mantap ( steady), juga akan didapatkan persamaan keadaan sistem sebagai

berikut :


38/38

(3.62)

Pengurangan persamaan 3.62. dari 3.61. akan menghasilkan :

(3.63)

Dengan mendefinisikan variabel penyimpangan : h’ = h-hs dan F’ i = F i -F i,s ,akan

didapatkan model hasil linierisasi dalam variabel penyimpangan sebagai berikut :

(3.64)

BAB III Tranformasi Laplace

Documents