BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE Kompetensi Mahasiswa mampu 1. Menentukan nilai transformasi Laplace untuk fungsi-fungsi yang sederhana 2. Menggunakan sifat-sifat transformasi untuk menentukan nilai transformasi Laplace untuk fuyngsi-fungsi yang lebih kompleks 3. Menggunakan rumus-rumus transformasi turunan dan integral 4. Menggunakan teorema pergeseran sumbu-s dan sumbu-t 5. Menentukan turunan dan integral transformasi Laplace F(s) untuk memperoleh fungsi aslinya yang bersesuaian dengan turunan dan integral tersebut. Materi 1. Pengertian Transformasi Laplace 2. Keujudan Transformasi Laplace 3. Tansformasi Laplace Turunan 4. Transformasi Laplace Integral 5. Pergeseran pada Sumbu s 6. Pergeseran pada Sumbu t 7. Turunan Transformasi Laplace 6 - 1
35
Embed
BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE Kompetensi · PDF filePengertian Transformasi Laplace 2. ... Teorema di atas merupakan syarat cukup dari eksistensi Transformasi Laplace, bukan syarat perlu.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB VI
TRANSFORMASI LAPLACE
Kompetensi
Mahasiswa mampu
1. Menentukan nilai transformasi Laplace untuk fungsi-fungsi yang sederhana
2. Menggunakan sifat-sifat transformasi untuk menentukan nilai transformasi
Laplace untuk fuyngsi-fungsi yang lebih kompleks
3. Menggunakan rumus-rumus transformasi turunan dan integral
4. Menggunakan teorema pergeseran sumbu-s dan sumbu-t
5. Menentukan turunan dan integral transformasi Laplace F(s) untuk memperoleh
fungsi aslinya yang bersesuaian dengan turunan dan integral tersebut.
Materi
1. Pengertian Transformasi Laplace
2. Keujudan Transformasi Laplace
3. Tansformasi Laplace Turunan
4. Transformasi Laplace Integral
5. Pergeseran pada Sumbu s
6. Pergeseran pada Sumbu t
7. Turunan Transformasi Laplace
6 - 1
BAB VI
TRANSFORMASI LAPLACE
Transformasi Laplace merupakan salah satu metode yang digunakan untuk
menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan masalah nilai awal. Prosedur utama
dalam penyelesaiannya adalah:
1. Mentransformasi (Laplace) persamaan yang sulit menjadi persamaan yang lebih
sederhana yang disebut persamaan pengganti.
2. Menyelesaikan persamaan pengganti dengan manipulasi aljabar biasa.
3. Mentransformasi kembali (invers Laplace) selesaian dari persamaan pengganti
untuk mendapatkan selesaian dari persamaan semula.
Prosedur tersebut dapat digambarkan dalam bagan berikut:
TL
Manipulasi
aljabar
Invers TL
Persamaan Differensial/ Masalah Nilai Awal
Selesaian PD/MNA
Selesaian Persamaan Pengganti
Persamaan Pengganti
Gambar Proses penyelesaian persamaan differensial atau masalah nilai awal dengan
menggunakan Transformasi Laplace.
6 - 2
6.1. Pengertian Transformasi Laplace
Definisi 1. Misal f(t) terdefinisikan untuk t≥0. Dibentuk fungsi F dengan
F(s) = . ∫∞
−
0dt)t(fe st
Jika F(s) ada maka F(s) disebut transformasi Laplace dari f(t) dan dinotasikan dengan
L(f). Dalam hal ini f(t) disebut transformasi invers dari F(s) dan dinotasikan dengan
L -1(F). Jadi,
F(s) = L(f) = ∫∞
−
0dt)t(fe st
f(t) = L -1(F).
Contoh 1:
1. f(t)=1, t≥0, maka
L(f) =
.11
0
0
se
s
dte
st
st
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=
∞−
∞−∫
Jadi
L(1) = 1/s dan
L-1(1/s) = 1.
2. f(t) = eat, t≥0, maka
3. L(f) = st at (s a)t
00
1e e dt es a s a
∞∞− − −⎡ ⎤= − =⎢ ⎥
1− −⎣ ⎦
∫ , untuk s-a>0.
6 - 3
Jadi
L(eat) = 1/(s-a) dan
L-1(1/(s-a)) = eat.
Teorema 1. (Sifat Linier):
Jika
L(f(t)) dan L(g(t))
ada dan a, b konstan maka
L{af(t)+bg(t)} = aL(f(t))+bL(g(t)).
Bukti: dari definisi Transformasi Laplace.
Contoh 2:
1. Tentukan L(cosh at).
Penyelesaian:
Karena cosh at = (eat+e-at)/2, dengan sifat linier maka
L(cosh at) = L{(eat+e-at)/2}
= (1/2)L(eat ) + (1/2)L(e-at )
=(1/2) (1/(s-a))+ (1/2) (1/(s+a))
= s/(s2-a2 ), untuk s>a≥0.
2. Jika F(s) = 1(s a)(s b)− −
dengan a≠b, tentukan L-1(F).
Penyelesaian:
Invers dari transformasi Laplace juga bersifat linier sehingga
L-1(F) = L-1{ 1 1 1( )a b s a s b
−− − −
}
6 - 4
= 1 11 1 1[L ( ) L ( )]a b s a s b
− −−− − −
= at bt1 (e e )a b
−−
.
3. Jika F(s) = s(s a)(s b)− −
dengan a≠b, tentukan L-1(F).
Penyelesaian:
L-1(F) = L-1{ 1 a b( )a b s a s b
−− − −
}
= 1 11 1[aL ( ) bL ( )]a b s a s b
− −−− − −
1
= at bt1 (ae be )a b
−−
.
Latihan.
Tentukan Transformasi Laplace dari:
1. f(t) = t
2. f(t) = t2
3. f(t) = tn, n=1,2,3,…
4. f(t) = ta, a>0
5. f(t) = cos ωt
6. f(t) = sin ωt
7. f(t) = sinh t
6 - 5
6.2. Keujudan Transformasi Laplace
Suatu fungsi yang terdefinisi untuk t>0 mungkin memiliki transformasi Laplace,
tetapi mungkin juga tidak memiliki (nilai integral dalam definisi 1 tidak ada).
Keujudan transformasi Laplace dijamin oleh:
Teorema 2:
Misal f(t) fungsi yang kontinu perbagian (piecewise continuous) pada setiap interval
dalam range t ≥0 dan memenuhi |f(t)| ≤ Meγt, untuk setiap t≥0,
Dengan γ dan M konstan. Maka transformasi Laplace dari f(t) ada untuk semua s>γ.
Contoh 3: karena cosh t < et dan tn ≤ n!et (n=0,1,2,…) untuk setiap t≥0, maka
transformasi Laplace dari cosh t dan tn ada.
t
f(t)
0.0 0.4 0.7 1.1 1.5 1.8 2.20.00
1.35
2.71
4.06
5.42
6.77
8.13
f(t) = et
g(t) = cosh(t)
Gambar grafik fungsi cosht dan et, terlihat bahwa untuk setiap t > 0 berlaku cosht≤ et.
6 - 6
Perhatian:
1. Teorema di atas merupakan syarat cukup dari eksistensi Transformasi Laplace,
bukan syarat perlu.
Sebagai contoh f(t) = 1t
tidak memenuhi syarat dalam teorema (karena f(0) =
∞), tetapi L( 1t
) ada, yaitu
L( 1t
) = 1 12 2st x
0 0
1 1 1e t dt e x dx ( )2 ss s
π∞ ∞− −− −= = Γ∫ ∫ = .
2. Jika Transformasi Laplace dari suatu fungsi ada maka transformasi itu tunggal.
3. Jika dua buah fungsi mempunyai Transformasi Laplace yang sama maka dua
fungsi itu hanya berbeda pada titik-titik terisolasinya saja. Jadi dapat dikatakan
bahwa invers dari suatu Transformasi Laplace secara essensial adalah sama.
Dalam hal fungsi kontinu, maka keduanya benar-benar sama.
6.3. Tansformasi Laplace Turunan
Jika transformasi Laplace dari f diketahui dan turunan dari f ada, kita dapat
mempertanyakan apakah transformasi Laplace dari f’ juga ada atau apakah ada syarat
lain yang dapat menjamin keujudan dari transformasi Laplace f’. Lebih lanjut, jika
transformasi Laplace dari f’ ada, apakah ada hubungan di antara ke duanya. Hal ini
diberikan oleh teorema berikut.
6 - 7
Teorema 3:
Misal f(t) kontinu untuk t≥0 dan memenuhi syarat teorema 2 dan mempunyai turunan
f’(t) yang kontinu perbagian pada setiap interval hingga dalam range t≥0. Maka TL
dari f’(t) ada untuk s>γ dan diberikan oleh
L(f’) =sL(f) – f(0), (s<γ).
Catatan:
Teorema di atas dapat diperluas untuk mendapatkan: