Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 1 BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real ) ( R sebagai semesta untuk menentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan, dapat mengembangkan bentuk persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak serta menyatakan selesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan metode interval. Kompetensi Dasar Setelah mempelajari pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan diharapkan mahasiswa: 1. Dapat menyatakan bilangan rasional b a Q sebagai bentuk desimal berulang atau sebaliknya. 2. Dapat menentukan selesaian persamaan. 3. Dapat menentukan selesaian pertidaksamaan. 4. Dapat menetukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak. Beberapa konsep yang dibahas dalam bab 1 adalah (1) sistem bilangan real, (2) persamaan dan pertidaksamaan, (3) nilai mutlak, (4) persamaan dan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, dan (5) soal latihan. 1.1 Sistem Bilangan Real Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real ) ( R , terlebih dahulu marilah kita ingat kembali konsep himpunan (set). Himpunan mempunyai peranan sangat penting dalam memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri, kriteria dan syarat yang tertentu serta terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu himpunan A dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan ,.... , , , d c b a atau ,.... 4 , 3 , 2 , 1 sedangkan nama himpunan dinyatakan dengan huruf
26
Embed
BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Standar · PDF filepersamaan dan pertidaksamaan, (3 ... {himpunan kuasa ... Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 1
BAB 1
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
Standar Kompetensi
Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real )(R sebagai semesta
untuk menentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan, dapat mengembangkan
bentuk persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak serta menyatakan
selesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan metode interval.
Kompetensi Dasar
Setelah mempelajari pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan diharapkan
mahasiswa:
1. Dapat menyatakan bilangan rasional baQ sebagai bentuk desimal berulang atau
sebaliknya.
2. Dapat menentukan selesaian persamaan.
3. Dapat menentukan selesaian pertidaksamaan.
4. Dapat menetukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga
mutlak.
Beberapa konsep yang dibahas dalam bab 1 adalah (1) sistem bilangan real, (2)
persamaan dan pertidaksamaan, (3) nilai mutlak, (4) persamaan dan pertidaksamaan
yang memuat nilai mutlak, dan (5) soal latihan.
1.1 Sistem Bilangan Real
Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real )(R , terlebih dahulu
marilah kita ingat kembali konsep himpunan (set). Himpunan mempunyai peranan
sangat penting dalam memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan
didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri,
kriteria dan syarat yang tertentu serta terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu
himpunan A dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan dinyatakan
dengan ,....,,, dcba atau ,....4,3,2,1 sedangkan nama himpunan dinyatakan dengan huruf
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 2
kapital ,,,, DCBA dan seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A
dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari edcba ,,,, ,
himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk },,,,{ edcbaA dengan masing-
masing anggota himpunan A dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda
kurung { }. Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka unsur-
unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup dituliskan beberapa anggotanya dan
titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika a adalah anggota himpunan A maka pernyataan
tersebut ditulis dengan notasi Aa dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota
himpunan A , maka dituliskan Aa dan dibaca “a bukan anggota A. Jika suatu
himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut himpunan kosong, dan
dinyatakan dengan notasi atau { }.
Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam penulisannya dapat dilakukan
dengan dua metode, yaitu metode pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi).
Metode pencirian dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki
oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang
bukan anggota himpunan tersebut. ,
Contoh:
1) }10{ darikurangprimabilanganyyA
2) }21{ dariganjilfaktorxxB
3) },1{ 2 primabilanganxxxC
4) }21{ darigenapfaktorxxD
5) }043{ 2 xxxE
6) }043{ 2 xxxF
7) }24{ xxG
8) }4),{( 22 yxyxH
9) }}3,2,1{{ darikuasahimpunanV
Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang
memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan.
Contoh
1) ,...}5,4,3,2,1{A
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 3
2) },',,,,{ sabtuatjumkamisrabuselasaseninB
3) ,...}19,17,13,11,7,5,3,2{C
4) },,{ hijaukuningmerahD
5) }0{E
6) }{F
7) },1{ xG
8) ),...}4,3(),3,2(),2,1{(H
9) }}2,1{},2{},1{,{V
Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut himpunan bagian
himpunan B , ditulis dengan notasi BA , jika setiap anggota A merupakan anggota
B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa A untuk sebarang himpunan A.
Jika setiap anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap himpunan
B maka dinotasikan dengan BA
Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam memahami konsep sistem
bilangan real berikut ini diberikan beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada
bab-bab selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan himpunan bilangan
tersebut adalah:
1. Himpunan bilangan asli (Natural)
Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan N dan anggota-anggota
bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga ,...}6,5,4,3,2,1{N
Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk
setiap ba, bilangan asli maka )( ba dan ).( ba bilangan asli. Oleh karena itu,
himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.
2. Bilangan cacah (whole)
Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan W dan anggota-anggota bilangan cacah
adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga ,...}.6,5,4,3,2,1,0{W Bilangan cacah tertutup
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap ba, bilangan
cacah maka )( ba dan ).( ba bilangan cacah.
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 4
3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilangan-
bilangan asli membentuk sistem bilangan bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan
dengan Z yang anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga
,...}.3,2,1,0,2,2,3{... Z
4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya dinyatakan dengan Q .
Bilangan rasional adalah bilangan yang secara umum dinyatakan dengan
0,,. bZbabaQ
Contoh
1) 31
p
2) 112
q
3) 722
r
Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan
desimal, yaitu
1) ...33333333,031p
2) ...142857142857142857,0112
q
3) ...571481428571428,3722
r
Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal sebagai mana
tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya, sehingga bilangan rasional juga disebut
bilangan desimal berulang. Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan
sebagai bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi bilangan rasioan
adalah dengan cara melihat angka yang berulang pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat
1 angka yang berulang maka kalikan bilangan dimaksud dengan 110 . Jika terdapat 2
angka yang berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan .102 dan seterusnya.
Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan yang baru. Dengan metode
perhitungan sederhana akhirnya diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk
lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini.
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 5
Contoh:
Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional 0,,. bZbabaQ
1. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212...
Jawab
Bilangan ...12121212,0 adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang yaitu
angka 1 dan 2 .
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,1,212121212... adalah 2
angka, kalikan bilangan ...12121212,0 dengan bilangan 210 .
Misal ...12121212,0x , sehingga diperoleh
...212121212,1,12100 x
Akibatnya 12...)12121212,0(...)12.121212,12(100 xx
...)12121212,0(...)12.121212,12(10 xx
9912
1299
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...12121212,0 adalah 9912
2. Tentukan bentuk rasional bilangan .....412333333,1
Jawab
Bilangan .....412333333,1 adalah bilangan desimal dengan 1 angka berulang yaitu
angka 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan .....412333333,1 adalah 1
angka, kalikan bilangan .....412333333,1 dengan bilangan 110 .
Misal ...4123333333,1x , sehingga diperoleh
...12333333,1410 x
Akibatnya ...)412333333,1(...)123333333,14(10 xx
9001271
971,1271,129
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan .....412333333,1 adalah 900
1271
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 6
3. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2739826273273,0
Jawab
Bilangan ...2739826273273,0 adalah bilangan desimal dengan 3 angka berulang
yaitu angka 2,7, dan 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan ...2739826273273,0
adalah 3 angka, kalikan bilangan ...2739826273273,0 dengan bilangan 310 .
Misal
...2739826273273,0x
...35627327327,9821000 x
Akibatnya ...)32739825627327,0(...)35627327327,982(1000 xx
9990098158017
99958017,981
58017,981999
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...2739826273273,0 adalah
9990098158017
4. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2543120543125431,0
Jawab
Bilangan ...2543120543125431,0 adalah bilangan desimal dengan 4 angka
berulang yaitu angka 5, 4, 3, 2, dan 1.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan ...2543120543125431,0
adalah 4 angka, kalikan bilangan ...2543120543125431,0 dengan bilangan 410 .
Misal
...4310543154315,0x , sehingga diperoleh
....154315431,54310000 x
Akibatnya ...)4310543154315,0(...)154315431,543(10000 xx
999905421
99991,542
1,5429999
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...4310543154315,0 adalah 999905421
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 7
5. Bilangan Irasional (_Q ) atau disebut juga bilangan tidak rasional yaitu bilangan yang
tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 0,,. bZbabaQ . Karena bilangan
rasional dapat dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang,
maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada
yang berulang. Bilangan irasional juga disebut dengan bilangan bentuk akar.
Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya bilangan-
bilangan irasional. Contoh bilangan irasional antara lain adalah 2 dan . Bilangan
2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya
masing-masing adalah 1. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 1.1
Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran
dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 1.2
21
1
1d 2d
1l2l
2
2
1
1
dl
dl
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 8
Contoh
1) 2 = 1,41421356237...
2) 3 = 1,73205080756...
3) 11 = 3,316625790355...
4) π = 3.14159265358979….
5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…
Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar
umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang.
Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang
selama ini dianggap sama yaitu 722 = tidaklah selalu benar. Karena
722 adalah
bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.
6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan bilangan rasional
membentuk himpunan semua bilangan real )(R , sehingga QQZWNR
Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali
digunakan cara desimal.
Contoh
Bilangan-bilangan 667dan,
35,
43 masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal
sebagai dan,...666,1,75,0 ....1060606,0 Dapat ditunjukkan bahwa bentuk
desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:
i. berhenti ( dst.81,
25,
43 ), atau
ii. berulang beraturan ( dst.,667,
35 ).
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Untuk sebarang dcba ,,, bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1) Sifat komutatif
(i). abbaabba ..).ii(
2) Sifat asosiatif
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 9
cbacbacbacbacbacba
......).ii().i(
3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan
).().().( cabacba
4) (i). 0,1. bb
aba
(ii). 0,0,.
).().(
db
dbcbda
dc
ba
(iii). 0,0,... dbdbca
dc
ba
5) (i). ).().().( bababa
(ii). baba .)).((
(iii). aa )(
6) (i). 00
a, untuk setiap bilangan 0a .
(ii). 0a tak terdefinisikan.
(iii). 1aa , untuk setiap bilangan 0a .
7) Hukum kanselasi
(i). Jika cbca .. dan 0c maka ba .
(ii). Jika 0, cb maka ba
cbca
.
. .
8) Sifat pembagi nol
Jika 0. ba maka 0a atau 0b .
Sifat-sifat terurut bilangan Real
Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan
dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi,
aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain
suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip
urutan (well ordering principle).
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 10
Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-
bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah
mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan
“kepositipan”.
Definisi
Misalkan P himpunan bagian R dan P . Untuk selanjutnya P disebut bilangan real
positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
(1) Jika Pba , maka Pba )(
(2) Jika Pba , maka Pba ).(
(3) Jika Ra , maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi
PaaPa ,0,
Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi
penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi
karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa }{ Paa
dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan ,P dan
selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.
Definisi
1) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat
(strictly positip) dan dituliskan dengan 0a , Jika }0{ Pa , maka a disebut
bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk 0a .
2) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat
(strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk 0a , Jika }0{ Pa , maka a
disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk .0a
3) Jika Rba , dan jika Pba maka dituliskan dalam bentuk ba atau .ab
4) ika Rba , dan jika }0{ Pba maka dituliskan dalam bentuk ba atau
ab .
Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan cba yang berarti ba dan
cb . Demikian juga jika cba yang berarti ba maka cb dan seterusnya.
Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 11
Teorema 1
Misalkan Rcba ,,
1. Jika ba dan cb maka ca .
2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi
bababa ,,
3. Jika ba dan ba maka ba
Bukti
1) ba maka menurut definisi 0 ba atau Pba
cb maka menurut definisi 0 cb atau Pcb
Karena Pba dan Pcb maka menurut definisi diperoleh
Pcbba )()(
sehingga Pca atau ca
2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut
mungkin terjadi
0 ba , atau 0 ba atau 0)( ba sehingga ba atau
ba atau ba
3) Jika ba , maka 0 ba , sehingga dari bukti (b) kita dapatkan
Pba atau Pcb yakni ba atau ab . Dalam kasus lainnya salah
satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah ba
Teorema 2
1. Jika Ra dan 0a maka .02 a
2. 01
3. Jika Nn maka 0n
Bukti
1. Dengan sifat trikotomi jika 0a , maka Pa atau Pa . Jika Pa maka
dengan definisi kita mempunyai aaa .2 , untuk Pa . Dengan cara yang sama
Jika -a P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk
Paaa ))(()( 2 . Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:
2)1)(1()1()1())(( aaaaa . Akibatnya bahwa Pa 2 . Jadi kita
simpulkan bahwa jika Pa , maka 02 a .
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 12
2. Karena 2)1(1 , menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa 1 > 0.
3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini.
Pernyataan tersebut benar untuk 1n yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar
untuk kn , dengan k bilangan asli.
Karena 1 > 0 dan P1 , maka Pk 1 , sehingga pernyataan di atas benar adanya
dengan menggunakan definisi sebelumnya.
Teorema 3
Misalkan Rcba ,,
1. Jika ba , maka cbca
2. Jika ba , dan cb maka dbca
3. Jika ba , 0c maka bcac
4. Jika ba , 0c maka bcac
5. Jika 0a maka 01
a
6. Jika 0a maka 01
a
Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Karena ba berarti menurut definisi sebelumnya 0 ba . Karena 0 ba
sehingga Pba .
)()()( ccbaba
)()()()( cbcaccba
Sehingga Pcbca )()( . Dengan kata lain 0)()( cbca
Karena 0)()( cbca berarti )()( cbca
2. Karena ba dan dc berarti 0 ba dan 0 dc .
Hal ini berarti Pba dan Pdc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh
Pdcba )()( . Dengan kata lain 0)()( dcba , atau
0)()( dcba sehingga berlaku )()( dcba
3. Karena ba dan dc berarti 0 ba dan 0 dc .
Hal ini berarti Pba dan Pdc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 13
Pcba )( . Dengan kata lain Pbcac )( , atau
0)( bcac sehingga berlaku bcac
4. Karena ba dan 0c berarti 0 ba dan 0c atau 0)( c .
Hal ini berarti Pba dan Pc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
Pcba ))(( . Dengan kata lain Pacbc )( , atau
Pacbc )( sehingga berlaku acbc
5. Jika 0a maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena 0a , berdasarkan
sifat sebelumnya maka berlaku ,01
a Jika 01
a
, berdasarkan teorema
sebelumnya diperoleh 011
aa .
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
01
a
6. Jika 0a , maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena 0a , berdasarkan
sifat sebelumnya maka maka berlaku ,01
a Jika
01
a, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 011
aa
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
01
a
Teorema 4
Jika Rba , , maka bbaa 21
Bukti.
Karena ba , maka dapat diperoleh baaa atau baa 2
Demikian pula ba maka dapat diperoleh bbba atau bba 2