HALAMAN JUDULTUGAS KELOMPOKPERTIDAKSAMAAN NONLINEARMata Kuliah
(MSMA)KELAS A SORE PENDIDIKAN MATEMATIKA
Di Susun Oleh:Prinadi (311200165)Lusiana (311200098)Dewi Ayu
Putri (311200147)
Dosen Pengampu:Iwit Prihatin, M.Pd
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANPERSATUAN GURU REPUBLIK
INDONESIAPONTIANAK2014i
2
KATA PENGANTAR Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke
hadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala rahmat dan hidayah-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah (MSMA) yang membahas
tentang Pertidaksamaan Nonlinear. Penulis menyadari bahwa tanpa
adanya bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak tidak mungkin
penulis dapat menyelesaikan masalah ini. Dengan segala kerendahan
hati dan ketulusan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada:1.
Ibu Iwit Prihatin, M.Pd, selaku dosen mata kuliah (MSMA) yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis untukpenyusunan makalah.2.
Rekan-rekan dari kelompok 1 atas segala bantuan dan partisipasinya
dalam penyelesaian makalah ini. Semoga Tuhan melimpahkan rahmatnya
kepada kita semua dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat
bagi pembaca dan penulis sendiri. Penulis menyadari bahwa makalah
ini masih jauh dari sempurna.Untuk itu, kritik dan saran yang
sifatnya membangun senantiasa penulis harapkan untuk lebih
sempurnanya penulisan makalah yang lain di masa mendatang.
Pontianak, 24 September 2014
Penulis
iii
DAFTAR ISIHALAMAN JUDULiKATA PENGANTARiiDAFTAR
ISIiiiA.Pertidaksamaan Kuadrat1B.Pertidaksamaan
Pecahan31.Pertidaksamaan Pecahan Linear32.Pertidaksamaan Pecahan
Linear Kuadrat53.Pertidaksamaan Pecahan Linear
Polinom-Polinom8C.Pertidaksamaan Irasional (pertidaksamaan bentuk
akar)10D.Pertidaksamaan Nilai Mutlak13DAFTAR PUSTAKA17
PERTIDAKSAMAAN NONLINEARA. Pertidaksamaan KuadratBentuk umum :
Dalam variabel x, dengan a,b,c konstanta dan a 0 Cara penyelesaiaan
Pertidaksamaan Kuadrati. Jadikan ruas kanan = 0ii. Jadikan
koefisien variabel berpangkat dua bernilai positifiii. Uraikan ruas
kiri atas faktor-faktor lineariv. Tetapkan nilai-nilai
nolnya(misal: = nol terkecil dan = nol terbesar, yaitu v. Lihat
tanda ketidaksamaannyaJika HP = Jika HP = Contoha. b. c.
Jawaba.
Nilai nol :
Penyelesaian : 1
HP = b.
Nilai nol :
Penyelesaian : HP =
c. Nilai nol :
Penyelesaian : HP = 16
B. Pertidaksamaan PecahanBentuk umum :
Dengan dan merupakan polinomyang berbentuk fungsi linear, fungsi
kuadrat, maupun fungsi kubik1. Pertidaksamaan Pecahan LinearBentuk
umum :
Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Pecahan Lineari. Jadikan ruas
kanan = 0ii. Ubah tanda koefisien pada pembilang dan penyebut
menjadi bertanda sama (keduanya bernilai positif atau negatif)iii.
Carilah nilai-nilai nol pembilang maupun penyebutnya.(misal: = nol
terkecil dan = nol terbesar, maka berlaku iv. Lihat tanda
ketidaksamaannya Jika maka : Penyelesaiannya =atau Jika maka :
Penyelesaiannya = atau
Contoh :Tentukan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut.a.
b. c. d. Jawab:Pada contoh ini terlihat koefisien x sudah bertanda
sama dan ruas kanan = 0.a. i. Nilai nol:Pembilang : (nilai
terbesar)Penyebut: (nilai terkcil)ii. Penyelesaian:Tanda
ketidaksamaan: , maka:
Penyelesaian: , ditulis sebagai interval/selang: b. i. Nilai
nol:Pembilang : (nilai terbesar)Penyebut: (nilai terkcil)ii.
Penyelesaian:Tanda ketidaksamaan: , maka:
Penyelesaian: atau , ditulis sebagai interval/selang: c. i.
Nilai nol:Pembilang : (nilai terkecil)Penyebut: (nilai terbesar)ii.
Penyelesaian:Tanda ketidaksamaan: , maka:
Penyelesaian: atau , ditulis sebagai interval/selang: .d. i.
Nilai nol:Pembilang : (nilai terkecil)Penyebut: (nilai terbesar)ii.
Penyelesaian:Tanda ketidaksamaan: , maka:
Penyelesaian: , ditulis sebagai interval/selang: .
2. Pertidaksamaan Pecahan Linear KuadratBentuk umum:
Dengan merupakan konstanta.Tanda ketidaksamaan dapat juga
berbentuk
Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Pecahan Linear Kuadrati.
Jadikan ruas kanan = 0ii. Ubah tanda koefisien pada bentuk kuadrat
dan koefisien pada bentuk linear menjadi bertanda samaiii. Carilah
nilai-nilai nol pembilang maupun penyebutnya. Pembilang atau
penyebut yang berbentuk kuadrat difaktorkan terlebih dahuluiv. Buat
garis bilangan untuk menentukan interval atau batas
penyelesaian.
Contoh:Selesaikan setiap PtPLK berikut.a. b. Jawab:Pada contoh
ini, terlihat bahwa ruas kanan = 0 dan tanda koefisien pada bentuk
kuadrat dan koefisien x pada bentuk linear sudahbertanda sama.a. i.
Nilai nol:Pembilang : (bentuk linear) (nilai tengah)Penyebut:
(bentuk persamaan kuadrat
(nilai terbesar) (nilai terkecil)Pertidaksamaan menjadi ii.
Penyelesaian:Tabel tanda: ketidaksamaan , berarti tanda yang
diminta (+).Unsur
Garis bilangan:
Penyelesaian = b. i. Nilai nol:Pembilang : (bentuk persamaan
kuadrat)
(nilai tengah) (nilai terbesar)Penyebut: (bentuk linear (nilai
terkecil) Pertidaksamaan menjadi ii. Penyelesaian:Tabel tanda:
ketidaksamaan , berarti tanda yang diminta .Unsur
Garis bilangan:
Penyelesaian =
3. Pertidaksamaan Pecahan Linear Polinom-PolinomBentuk umum
:
Dengan dan berbentuk polinom berderajat 2 atau lebih.
Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Pecahan Linear
Polinom-Polinomi. Jadikan ruas kanan = 0ii. Ubah tanda koefisien
pada bentuk kuadrat dan koefisien pada bentuk linear menjadi
bertanda samaiii. Carilah nilai-nilai nol pembilang maupun
penyebutnya. Pembilang atau penyebut yang berbentuk kuadrat
difaktorkan terlebih dahuluiv. Buat garis bilangan untuk menentukan
interval atau batas penyelesaian.
Contoh 1:Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan:
Jawab:i. Nilai nol:Pembilang: (nilai terbesar) atau (nilai
terkecil) Penyebut: (nilai tengah), ii. PenyelesaianTabel tanda:
ketidaksamaan , berarti tanda yang diminta .Unsur
Garis bilangan:
Penyelesaian =
Contoh 2:Tentukan penyelesaian pertidaksamaan pecahan
kuadrat-kuadrat berikut : Jawab i. Nilai nol:Pembilang : (terkecil)
x = 2 Penyebut : x = 3 (terbesar) ii. Penyelesaian:Tabel tanda:
ketidaksamaan , berarti tanda yang diminta (+).Unsur
Garis bilangan
Penyelesaian = C. Pertidaksamaan Irasional (pertidaksamaan
bentuk akar)Bentuk umum:
Dengan dan berbentuk konstanta ataupun polinom.
Cara penyelesaiaan Pertidaksamaan Irasional:i. Tinjau syarat
numers, yaitu dan ii. Kuadratkan kedua ruas dan selesaikan sesuai
bentuk pertidaksamaan yang terjadiiii. Penyelesaiannya merupakan
irisan(i) dan (ii).Contoh:Cari penyelesaian dari pertidaksamaan
irasional berikut.a. b. c. d. Jawab:a. i. Syarat numerus : ii.
Proses menghilangkan akar: (kedua ruas dikuadratkan) iii. Irisan
(i) dan (ii):Garis bilangan
Penyelesaian = tidak adab. i. Syarat numerus: ii. Proses
menghilangkan akar: (kedua ruas dikuadratkan) iii. Irisan (i) dan
(ii):Garis bilangan
Penyelesaian = c. i. Syarat numerus: Proses menghilangkan akar:
(kedua ruas dikuadratkan) ii. Irisan (i) dan (ii):Garis
bilangan
Penyelesaian =
d. i. Syarat numerus: Proses menghilangkan akar: (kedua ruas
dikudratkan) ii. Irisan (i) dan (ii), diperoleh:Garis bilangan
Penyelesaian =
D. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 1. Nilai Mutlak dan
sifat-sifatnyaNilai Mutlak dinotasikan dengan simbol | | dan
didefinisikan sebagai jarak antara sebuah bilangan dan nol pada
garis bilangan. Misalkan = 4 berarti bernilai 4 atau .Penulisan
pada garis bilangan dapat dilihat pada gambar di bawah ini :
Definisi:Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x
disimbolkan dengan , ditentukan oleh : , untuk = , untuk , untuk
Contoh a. b. c. d.
2. Sifat-sifat Nilai Mutlaka) Jika a dan b bilangan Real,
berlaku : 1) 2) = , dengan b) Jika bilangan Real maka
Contoh:Carilah nilai x dari persamaan nilai mutlak berikuta. b.
c. d. Jawab:a. atau b. ingat: nilai mutlak suatu bilangan tidak
pernah negatif, maka tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan
nilai mutlak tersebut.c. 2 - 1 atau d. atau
3. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pertidaksamaan Nilai Mutlak
adalah pertidaksamaan yang variabelnya berada di dalam tanda
mutlak.Sifat-sifat nilai mutlak, untuk , selalu berlaku :i. ii.
iii. iv. v.
Cara menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak secara umum :i.
Bentuk dan diubah ke bentuk ii. Bentuk dan diubah ke bentuk iii.
Bentuk diubah ke bentuk iv. Bentuk dengan a dan positif, diubah
menjadi: atau v. Bentuk dengan , diubah menjadi: Cara menyelesaikan
Pertidaksamaan Nilai Mutlak yang mempunyai bentuk umum :
Dengan konstanta dan , adalah sebagai berikut:i. Bentuk maka
penyelesaiannya ii. Bentuk maka penyelesaiannya
Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut.a.
b. c. d. Jawab:a. penyelesaian awal: penyelesaian akhir: b.
penyelesaian awal: atau penyelesaian akhir: atau .c. Ingat: nilai
mutlak setiap bilangan adalah positif atau nol, jadi: Kesimpulan:
dipenuhi oleh setiap . Penyelesaian: .d. , sesuai dengan uraian
jawaban c, maka tidak ada penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan
tersebut.
DAFTAR PUSTAKAChen Chuan-Chong and Kon Khe-mang, Principles and
Techniques in Combinatorics,World Scientific, New Jersey,
2010.David Cohen, Algebra & Trigonometry Fourth Edition, West
Publishing Company, NewYork, 1993.Hugh Neill and Douglas Quadling,
Pure Mathematics Advance Level Mathematics 1-5,Cambridge University
Press, 2013.Kemendikbud, Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar
Matematika SMA/MA Kurikulum2013, Jakarta: Kemendikbud,
2013.Modul-Modul Belajar dari Negara Jepang dari tahun
1990-2012.Prof. M.L. Khanna and Prof. J.N. Sharma, Mathematics for
IIT, India, 1997.R.S. Anggarwal Msc. Phd, Mathematics for MBA, S
Chand 8 Company LTd, New Delhi,1996.Soal-Soal Ebtanas dan UN dari
tahun 1990-2013.Soal-Soal UMPTN/SPMB dari tahun 1990-2013.Tito
Audresscu & Razvan Gelca, Mathematical Olympiad Challenges,
Second Edition,Birkhauser Boston, 2000.Yao Zhang, Combinatorial
Problems in Mathematicals Competitions World Scientifics,2011.