UFRN Matemática Financeira Aula 1 Prof. Lauro César
UFRN
Matemática Financeira
Aula 1
Prof. Lauro César
PLANO DE AULA
i. Conceitos da matemática financeira.
ii. Juros: conceito, aplicações, tipos de juros (simples e
composto) e representações.
iii. Montante: tipos, aplicações e equivalências.
iv. Taxas equivalentes: conceito, regime simples e
composto, aplicações.
v. Diagramas de Capital: representação e conceitos.
vi. Considerações finais.
Matemática Financeira
Matemática Financeira
Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o
dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O
conhecimento de matemática financeira é indispensável
para os agentes compreender, operar e tomar decisões
nos mercados financeiro, de capitais, de bens e
serviços.
Busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro
ao longo do tempo, determinando o valor das
remunerações relativas ao seu tempo.
Matemática Financeira
Fatores de Produção: Fatores de Remuneração:
Trabalho Salário
Terra Aluguel
Capital
Não considerar o efeito dos juros em uma análise pode levar o
decisor a cometer erros representativos, o que pode acarretar
em decisões impróprias.
O Valor do Dinheiro no Tempo
Juros
Matemática Financeira
O Valor do Dinheiro no Tempo
“Uma soma de dinheiro pode ser equivalente a outra, diferente,
mas num ponto diferente no tempo. O que proporciona a
equivalência é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro: os JUROS”.
Enfim, o juro é quem cria o valor do dinheiro no tempo!
O juro deve-se, entre outros fatores de menor importância, a:
Oportunidade;
Inflação;
Risco.
Matemática Financeira
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na
análise de algumas alternativas de investimentos ou
financiamentos de bens de consumo.
A ideia básica é simplificar a operação financeira a um
“Fluxo de Caixa” e empregar alguns procedimentos
matemáticos.
Para iniciar com o procedimento clássico de análise
financeira, precisa-se definir alguns conceitos
importantes da matemática financeira.
Matemática Financeira
JURO, CONSUMO E CAPITAL
Existe juro porque os recursos são escassos.
As pessoas têm preferência temporal: preferem
consumir a poupar.
O prêmio para quem poupa é o juro.
O Capital também é escasso.
O Juro é a remuneração pelo uso do capital.
O Juro é a remuneração pelo custo do crédito.
Matemática Financeira
TAXA DE JUROS
FORMA PORCENTUAL • Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano.
FORMA UNITÁRIA • Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital. Ex.: 0,12 ao ano.
Matemática Financeira
CÁLCULO DO JURO
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
JURO SIMPLES • A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
“Um real recebido hoje não será equivalente a um real recebido
dentro de t anos”
Conceito de Juros:
Pagamento pela oportunidade de dispor de um capital em
determinado período do tempo;
Custo do capital ou custo do dinheiro.
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Modalidades de Juros:
Simples: São aqueles onde somente o capital renderá juros, ou seja, os juros irão ser diretamente proporcionais ao capital requerido.
onde:
Principal
Taxa de Juros
Número de períodos de juros
niPJ
in
P
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Exemplo didático:
Uma empresa toma emprestados $ 10.000,00 a uma taxa de
juros simples de 5% ao mês. Quanto ela deverá pagar ao final
de 6 meses?
J = 10.000 x 0,05 x 6
J = 3.000,00
A empresa deve pagar 13 mil reais pelo empréstimo feito,
sendo que 3.000 serão somente referente aos juros do
período do empréstimo.
niPJ
Matemática Financeira
CÁLCULO DO JURO
JURO SIMPLES • Variações da fórmula básica.
J = P.i.n
in
JP
Pn
Ji
Pi
Jn
Matemática Financeira
MONTANTE
JURO SIMPLES
• Montante é a soma do juro mais o capital
aplicado.
M = P + J
onde: C= principal n= prazo de aplicação i = taxa de juros
M = C(1 + in)
EXEMPLO
Matemática Financeira
MONTANTE
M = C(1 + in)
in
MC
1 n
CM
i1
i
CM
n1
JURO SIMPLES
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Modalidades de Juros:
Compostos: Irão incorporar ao capital os próprios rendimentos dos juros do período anterior. Desta forma, quando compostos, os juros também irão render juros (são os „juros sobre juros‟).
onde:
Principal
Taxa de Juros
Número de períodos de juros
PiPJn 1
in
P
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Exemplo didático anterior:
Uma empresa toma emprestados $ 10.000,00 a uma taxa de
juros compostos de 5% ao mês. Quanto ela deverá pagar ao
final de 6 meses?
J = 10.000 x (1+0,05)6 – 10.000
J = 3.400,96
A empresa deve pagar 13.400,96 pelo empréstimo feito, sendo
que 3.400,96 serão referentes aos juros do período do
empréstimo.
PiPJn 1
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Comportamento destes juros, quando solicitado um capital P =
100,00 reais, a uma taxa de juros i = 10% ao ano, por um período
n = 10 anos:
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Período (anos)
Va
lor
(R$
)
Juros Simples
Juros Composto
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
NOMINAL
Ocorre quando o período referido na taxa de juros (aplicação) não é igual ao período de capitalização.
Exemplo: 60% a.a. com capitalização mensal
EFETIVA
Ocorre quando os períodos de capitalização coincidem com a taxa de juros.
Exemplo: 5% a.m. com capitalização mensal
A matemática financeira baseia-se em taxas de juros efetivas. Sendo assim, as taxas nominais devem ser
convertidas em taxas efetivas! Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Conversão de taxas de juros de mesmo período de
capitalização:
Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros
efetiva de mesmo período de capitalização, faz-se:
onde:
taxa de juros efetiva
taxa de juros nominal
número de períodos de composição da taxa de juros,
isto é, número de vezes que a taxa nominal é
capitalizada
N
ii NOMINAL
EFETIVA
EFETIVAi
NOMINALi
N
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Conversão de taxas de juros de mesmo período de
capitalização:
Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros
efetiva de mesmo período de capitalização, faz-se:
Exemplo:
20% a.a. c.m determinar taxa efetiva mensal
20% a.a. c.m = 1,67% a.m. c.m
12
N
ii NOMINAL
EFETIVA
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Conversão de taxas de juros de mesmo período de
aplicação:
Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros
efetiva de mesmo período de aplicação, faz-se:
onde:
taxa de juros efetiva
taxa de juros nominal
número de períodos de composição da taxa de juros,
isto é, número de vezes que a taxa nominal é
capitalizada
EFETIVAi
NOMINALi
N
11
N
ii NOMINAL
EFETIVA
N
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Conversão de taxas de juros de mesmo período de
aplicação:
Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros
efetiva de mesmo período de aplicação, faz-se:
Exemplo:
20% a.a. c.m determinar taxa efetiva anual
(1 + 20% a.a. c.m )12 – 1 = 21,94% a.a. c.a. 12
11
N
ii NOMINAL
EFETIVA
N
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Conversão de taxas de juros efetivas de períodos
diferentes:
Para converter taxas efetivas de períodos diferentes, faz-se:
onde:
taxa de juros efetiva do período maior
taxa de juros efetiva do período menor
quantidade de períodos menores (m) existentes no
período maior (M)
11 Q
EFEmEFEM ii
EFEMi
EFEmi
Q
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
Conversão de taxas de juros efetivas de períodos
diferentes:
Para converter taxas efetivas de períodos diferentes, faz-se:
Exemplo:
5% a.m. determinar taxa efetiva trimestral
(1 + 5% a.m.)3 – 1 = 15,76% a.t.
11 Q
EFEmEFEM ii
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
Partindo-se do princípio de que o dinheiro tem valor no tempo,
pode-se dizer que a desvalorização da base monetária ocorre
contínua e instantaneamente. Em outras palavras, o verdadeiro
período de capitalização corresponde ao menor período de tempo
possível: é a CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA.
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
Seja: r = taxa nominal
N = Número de períodos
i = taxa efetiva => i = r/N
i* = (1 + i)N -1 = (1 + r/N)N -1 = {(1 + 1/(N/r))N/r }r – 1
Fazendo-se K=N/r, tem-se então:
i* = {(1 + 1/K)K)r - 1
Se a capitalização é contínua, então N => e K => . Mas:
e = lim (1 + 1/K)K
Logo: Se K =>
i* = er -1
i* = taxa efetiva com capitalização contínua Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
Então:
i* = er -1
i* = taxa efetiva com capitalização contínua
F = P x (1+i)N => F = P x erN
P = F x (1+i)-N => P = F x e-rN
Matemática Financeira
JUROS E TAXA DE JUROS
TAXA DE JUROS COM CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
Joaquim aplicou $10.000,00 a uma taxa de juros de 20% ao ano, com
capitalização contínua.
a. Qual é a taxa efetiva anual?
b. Qual será o montante que ele terá disponível daqui a 5 anos?
i* = er -1 a.
F = P. erN
P = F. e-rN
b.
i* = er -1
i* = e0,2 -1 = 0,2214 => i* = 22,14% a.a.
F = P. erN
F = 10.000 x e0,2 x 5 => F = $ 27.182,82
Matemática Financeira
SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA
N
P
0
F
N
0
A A A A A
0
A
1 5 4 3 6 2
P = Principal
F = Montante
A = Uniforme
Período de Capitalização: valores serão somente realizados ao final do período Matemática Financeira
SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA
Represente o seguinte fluxo de caixa de um projeto:
O projeto consiste de um investimento de $800 hoje e $500 daqui
a um ano e renderá $2000 em 4 anos e $1500 dentro de 5 anos.
0 1 5 4 3 2
800
500
2000
1500
Matemática Financeira
SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA
Equivalência entre P (valor presente) e F (valor futuro)
Investindo hoje uma quantia P, qual será o montante F que eu
terei após n períodos?
Qual valor deverá ser investido hoje (P) para se obter um
montante F após n períodos, dada uma taxa de juros i ?
niPF 1
ni
FP
1
niP
FPF ;;
niF
PFP ;;
Matemática Financeira
SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA
Carlos solicitou um empréstimo de R$ 6.000,00 a uma taxa de
juros de 3% ao mês para saldar em um ano. Quanto ele deverá
pagar ao final do ano de empréstimo?
F = 6.000 (1+0,03)12
F = 8.556,00 reais
niPF 1
F=?
P = 6.000
12
0
Matemática Financeira
SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA
Equivalência entre P (valor presente) e A (série uniforme)
Permite calcular um valor presente P equivalente a uma série
uniforme A, dada a taxa de juros i.
n
n
ii
iAP
1
11
11
1
n
n
i
iiPA
niA
PAP ;;
niP
APA ;;
Matemática Financeira
SIMBOLOGIA DO FLUXO DE CAIXA
Você recebeu uma oferta para aquisição de um automóvel através
de um financiamento em 36 meses. Considerando que o
pagamento máximo mensal que você pode admitir é de $500 e que
você pode dar uma entrada de $3.000, qual é o valor do automóvel
que você poderá comprar dado que a taxa é de 2% a.m..
A = 500
Valor do carro = P + 3.000
36 0
1 . . . . . .
n
n
ii
iAP
1
11
36
36
02,0102,0
102,01500
P
42,744.15Valor
42,744.12P
Matemática Financeira
TAXA EQUIVALENTE
Duas taxas de juros são equivalentes se: • aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.
EXEMPLO
Matemática Financeira
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas de juros são equivalentes se, consi- derados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em ou- tra.
onde: iq = taxa referente a uma fração 1/q a que se refere a taxa “i”. i = taxa referente a um intervalo de tempo unitário
11 q
iiq
EXEMPLO
Matemática Financeira
DIAGRAMAS DE CAPITAL
NO TEMPO
• Representam o fluxo de dinheiro no tempo; • Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de dinheiro; • Graficamente:
(PERÍODOS)
Entradas (+)
Saídas (-)
1 20
1000
500
2000
Matemática Financeira
JUROS COMPOSTOS
Juros Simples: • Apenas o capital inicial rende juros; • O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.
Juros Compostos:
• O Juro gerado pela aplicação, em um período, será incorporado; • No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge- rar novos juros; • O regime de juros compostos é mais importante, por- que retrata melhor a realidade.
Matemática Financeira
DIFERENÇA ENTRE OS REGIMES DE
CAPITALIZAÇÃO
Co= 1000,00 i= 20 % a.a. n= 4 anos
n
Juro por Período Montante Juro por período Montante
1 1000 x 0,2 = 200 1200 1000 x 0,2 = 200 1200
2 1000 x 0,2 = 200 1400 1200 x 0,2 = 240 1440
3 1000 x 0,2 = 200 1600 1440 x 0,2 = 288 1728
4 1000 x 0,2 = 200 1800 1728 x 0,2 = 346 2074
Juros Simples Juros Compostos
Matemática Financeira
MONTANTE
O cálculo do montante, em juros compostos é dado pela fórmula:
non iPP )1(
Pn = montante ao fim de “n” períodos Po = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período
EXEMPLO
Matemática Financeira
CÁLCULO DE JURO
O juro é dado pela fórmula seguinte:
Jn = juros após “n” períodos Po = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período
.[(1 ) 1]nn oJ P i
EXEMPLO
Matemática Financeira
CONSIDERAÇÕES FINAIS Todo recurso possui um “prêmio” para quem poupa e aplica-o.
Os recursos são escassos e a melhor aplicação é a que oferece o
maior juro (desconsiderando a incerteza e o risco).
O juro pode ser calculado apenas em cima do valor inicial ou do
“capital capitalizado”.
Existem dois métodos de calculo do juros: (i) simples ou (ii)
composto.
As taxas de juro equivalentes são aquelas taxas ao serem
aplicadas em um capital e ao mesmo período produzem o mesmo
valor de juros.
Matemática Financeira