Matemática Financeira-Aula Omar

MATEMÁTICA FINANCEIRA

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CÂMPUS DE ILHA SOLTEIRA

Departamento de Fitotecnia, Tecnologia de Alimentos e Sócio-

Economia - Curso de Agronomia

UNESP FEIS

Prof. Dr. Omar Jorge Sabbag

Matemática financeira é o ramo da

matemática aplicada que observa o princípio

econômico de que o dinheiro não possui o

mesmo valor no tempo, mesmo em condições

de inflação zero.

Na análise de investimento as decisões de

comprar ou vender e o custo de capital são

tópicos que não podem ser entendidos sem o

conhecimento de juros.

Juro (j) é a remuneração atribuída ao capital,

que nada mais é do que o preço ou custo do

dinheiro ao longo do tempo.

Ex.: empréstimo de R$1.000,00 (C0)

recebimento no final do período R$1.100,00 (C1)

podemos dizer que a diferença (C1 - C0), refere-se

ao juro (J) produzido pelo uso do capital.

J = C1 - Co

J = 1.100,00 – 1.000,00 = 100,00

Taxa de juros (i): constitui-se em um

importante instrumento de política macro-

econômica, tendo-se em vista, o controle dos

índices de preços desta economia.

A determinação da taxa de juros (i), por

unidade de tempo (t=1) é a razão entre os juros

pagos ou recebidos (j), e o capital inicialmente

emprestado ou aplicado (Co), ou seja:

i1 = (J1/Co) x 100

i1 = [(C1 – Co) / Co] x 100

i1 = [(C1/Co) – (Co/Co) x 100]

i1 = [(C1/Co) - 1] x 100

i1 = [(1.100,00 / 1.000,00) – 1] x 100 = 10%

Formas de apresentação da taxa de juros

% transformação unitária unidade de

tempo

15% a.m. 15/100 0,15 a.m. = ao mês

10% a.b. 10/100 0,10 a.b. = ao bimestre

30% a.s. 30/100 0,30 a.s. = ao semestre

40% a.a. 40/100 0,40 a.a. = ao ano

“Regimes de capitalização”

Pode ser definido como o processo

de formação dos juros

simples ou compostos

Juros simples incidem sobre um capital sem que

ocorra a capitalização, ou seja, os juros obtidos não são

incorporados ao capital anterior para efeito de novo

cálculo.

J = Co x (i/100) x n

n = período pelo qual este capital é aplicado Co = capital inicial i = taxa de juros J = juros

JUROS COMPOSTOS é considerado a mais

importante técnica usada em finanças, onde ao final

de cada período de capitalização, os juros são

incorporados ao capital (se capitalizam), passando a

render juros no período seguinte (juros sobre juros) e

assim sucessivamente.

“Fator de capitalização”

(1 + i/100)n

Valor Futuro (VF, CF, M):

É o valor montante que deverá ser recebido quando

se faz uma aplicação por um determinado número

de período a uma determinada taxa de juros.

VF = Co x ( 1 + i )n

São aquelas que, referindo-se a períodos de

tempo diferentes, fazem com que um capital produza

o mesmo montante num mesmo tempo.

“TAXAS EQUIVALENTES”

(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + itrimestral)

4

“TAXAS EQUIVALENTES - exemplos”

1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

Em um ano temos dois semestres, então teremos:

1 + ia = (1 + is)2

1 + ia = (1,08)2

ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

1 + ia = (1 + im)12

1 + ia = (1,005)12

ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

3. A taxa mensal de juros equivalente a 40% ao ano é i, de tal forma que

1 + 0,40 = (1 + i)12 → i = (1,4)1/12 – 1 = 0,0283 = 2,83% a.m.

(1 + i) t/q - 1

Valor Presente (VP, VA, Co):

Para determinarmos quanto vale hoje um valor

qualquer, que será recebido daqui a um determinado

período a uma taxa de juros, basta aplicarmos na

fórmula abaixo:

VF = VP x ( 1 + i )n

VP = VF x Fator de desconto

n)i1(

1

+

Representa o aumento na quantidade de dinheiro,

sem levar em consideração a diferença do poder

aquisitivo deste dinheiro em pontos diferentes no

tempo.

Taxa de juros nominais: (juros reais + correção monetária)

Representa o aumento real de poder aquisitivo

do dinheiro.

TAXA DE JUROS REAL

A utilização de preços reais é absolutamente

necessária em situações em que a inflação é diferente

de zero, tornando-se mais importante na medida em

que a inflação aumenta.

( 1 + iN ) = ( 1 + ir ) x ( 1 + ii) ou

iN = ir + ii + (ir x ii )

iN = taxa nominal

ir = taxa real de juros

ii = inflação (correção monetária)

Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10 000,00 receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13 000,00. Se a inflação do período foi de 3%. Determine a taxa real de juros do empréstimo? Calculando a taxa nominal de juros 13 000 – 10 000 = 3 000 3 000 / 10 000 = 0,3 → 30% Taxa nominal (in) = 30% Determinando a taxa real de juros utilizando a expressão (1 + in) = (1 + r) * (1 + j). in = 30% = 0,3 j = 3% = 0,03 r = ? (1 + 0,3) = (1 + r) * (1 + 0,03) 1,3 = (1 + r) * (1,03) 1,3 = 1,03 + 1,03r 1,3 – 1,03 = 1,03r 0,27 = 1,03r r = 0,27/1,03 r = 0,2621 r = 26,21%

Uma série uniforme é o recebimento (ou

pagamento) de uma importância fixa ao final de cada

período por um número n de período.

Numa série uniforme, cada pagamento ocorre

ao final do período. O valor dos pagamentos é fixo e é

feito num determinado número de períodos.

Valor presente de uma série uniforme

VP = Prestação . úú

û

ù

êê

ë

é -

+

+

)i1(

)i1(n

n

i

1

Valor futuro de uma série uniforme

VF = P [(1+i)n - 1] . [( 1+i)/i ]

(com entrada apresenta uma

capitalização a mais)

VF = P .

Sem entrada:

Com entrada:

úú

û

ù

êê

ë

é -+

i

1)i1(n

REVENDO A ENGENHARIA ECONÔMICA....

1. O que é VALOR PRESENTE? Qual a fórmula básica para obtê-lo?

2. Dado um determinado número de períodos e uma certa importância a ser

recebida ao final do período n, o valor futuro cresce ou decresce com o aumento

da taxa de juros? Por quê?

3. Quanto vale hoje R$ 12.900,00, que se espera receber daqui a 10 meses, se a

taxa de juros for de 3% a.m?

VP 9.598,81

4. Um bem é vendido por R$ 7.600,00 em até 12 prestações, cobrando-se 4,5% a.m.

Qual o valor das prestações (com entrada)? (sem entrada)?

com ent (797,57); sem ent (833,46)

5. Quanto devo economizar por mês para obter R$ 45.000,00 em 22 meses?

Considere os juros em torno de 14% a.a.

1819,10

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

NOGUEIRA, M.N. Gestão de custos e avaliação de resultados.

Bebedouro: Scot Consultoria, p. 29 – 53. 2004.

BATALHA, M.O. (Coord.). Gestão Agroindustrial. São Paulo:

Atlas, p.223-288. 2001.

PUCCINI, A.L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada.

São Paulo: Saraiva, 432p. 2004.