Exercícios Matemática Financeira

MBA em Gerenciamento de Projetos

LD 2/13

Professor: Ilda Maria de Paiva A. Spritzer

Disciplina: Matemática Financeira

Aluno: Igor Schram

1

JUROS SIMPLES

1) Calcular as taxas bimestral e trimestral proporcionais às seguintes taxas:

a) 250% a.a.

𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =250%

12. 2 = 41,67%

𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =250%

12. 3 = 62,50%

b) 150% a cada 6 meses

𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =150%

6. 2 = 50,00%

𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =150%

6. 3 = 75,00%

c) 1% a cada 15 dias

𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1% . 2 . 2 = 4,00%

𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1% . 2 . 3 = 6,00%

d) 600% ao triênio

𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =

600%3

12. 2 = 33,33%

𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =

600%3

12. 3 = 50,00%

e) 0,2% ao dia

𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,2 . 30 .2 = 12,00%

𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,2 . 30 .3 = 18,00%

2) Calcular o montante de:

a) $ 3.000,00 a 27% a.m. por 12 dias

𝑃𝑉 = $ 3.000,00

𝑖 = 27% 𝑎. 𝑚. = 27%

30 = 0,9% 𝑎. 𝑑.

2

𝑛 = 12 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖 . 𝑛)

𝐹𝑉 = 3000. (1 +0,9

100. 12)

𝐹𝑉 = $ 3.324,00

b) $ 1.000,00 a 1.200% a.a. por 6 meses e 23 dias

𝑃𝑉 = $ 1.000,00

𝑖 = 1.200% 𝑎. 𝑎. = 1.200%

12= 100% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑒 23 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 6 +23

30= 6,77 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖 . 𝑛)

𝐹𝑉 = 1000. (1 +100

100. 6,77)

𝐹𝑉 = $ 7.766,67

c) $ 4000,00 a 34% a.m. por 44 dias

𝑃𝑉 = $ 4.000,00

𝑖 = 34% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 44 𝑑𝑖𝑎𝑠 =44

30 = 1,47 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖 . 𝑛)

𝐹𝑉 = 4000. (1 +34

100. 1,47)

𝐹𝑉 = $ 5.994,67

3) Determine a taxa de juros mensal e anual que eleva um capital de $ 3.000,00 a:

a) $ 3,700,00 depois de 49 dias

𝑃𝑉 = $ 3.000,00

𝐹𝑉 = $ 3.700,00

𝑛 = 49 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖 . 𝑛)

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝑃𝑉 . 𝑖 . 𝑛

3

𝑃𝑉 . 𝑖 . 𝑛 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉

𝑖 =𝐹𝑉 − 𝑃𝑉

𝑛 . 𝑃𝑉

𝑖 =3700 − 3000

49 . 3000

𝑖 = 0,48% 𝑎. 𝑑.

𝑖 = 0,48% . 30 = 14,29% 𝑎. 𝑚.

𝑖 = 14,29% . 12 = 171,43% 𝑎. 𝑎.

b) $ 4.300,00 depois de 2 anos, 7 meses e 11 dias

𝑃𝑉 = $ 3.000,00

𝐹𝑉 = $ 4.300,00

𝑛 = (2 . 12) + 7 + (11

30 ) = 31,37 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑖 =𝐹𝑉 − 𝑃𝑉

𝑛 . 𝑃𝑉

𝑖 =4300 − 3000

31,37 . 3000

𝑖 = 1,38% 𝑎. 𝑚.

𝑖 = 1,38% . 12 = 16,58% 𝑎. 𝑎.

4) Determine o valor de uma aplicação que acumula:

a) $ 2.000,00 à taxa de 1.320% a.a. e prazo de 32 dias

𝐹𝑉 = $ 2.000,00

𝑖 = 1.320% 𝑎. 𝑎.

𝑛 = 32 𝑑𝑖𝑎𝑠 =49

360= 0,089 𝑎𝑛𝑜𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖 . 𝑛)

𝑃𝑉 =𝐹𝑉

1 + 𝑖 . 𝑛

𝑃𝑉 =2000

1 +1320100 . 0,089

𝑃𝑉 = $ 920,24

b) $ 4.000,00 à taxa de 32,34% a.m. e prazo de 1 dia

4

𝐹𝑉 = $ 4.000,00

𝑖 = 32,34% 𝑎. 𝑚. =32,34%

30= 1,078% 𝑎. 𝑑.

𝑛 = 1 𝑑𝑖𝑎

𝑃𝑉 =𝐹𝑉

1 + 𝑖 . 𝑛

𝑃𝑉 =4000

1 +1,078100

. 1

𝑃𝑉 = $ 3.957,34

c) $ 3.000,00 à taxa de 35,22% a.m. e prazo de 2 meses e 5 dias

𝐹𝑉 = $ 3.000,00

𝑖 = 35,22% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑒 5 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 2 +5

30= 2,17 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑃𝑉 =𝐹𝑉

1 + 𝑖 . 𝑛

𝑃𝑉 =3000

1 +35,22100 . 2,17

𝑃𝑉 = $ 1.701,55

5

JUROS COMPOSTOS

1) Determinar o valor de resgate de uma aplicação de $ 10.000,00 à taxa composta de 3% a.m.

e prazo de 3 meses.

𝑃𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 3% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 10000. (1 +3

100)

3

𝐹𝑉 = $ 10.927,27

2) Digamos que um título, com vencimento para 4 meses e à taxa composta de 2% a.m. foi

resgatado por $ 3.000,00. Qual foi o valor de emissão desse título?

𝐹𝑉 = $ 3.000,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.


𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 =𝐹𝑉

(1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 =3000

(1 +2

100)4

𝐹𝑉 = $ 2.771,54

3) Ao tomar um empréstimo de $ 2.500,00 numa instituição financeira, uma pessoa pagou $

3.000,00 após 5 meses. Qual a taxa mensal composta dessa operação?

𝑃𝑉 = $ 2.500,00

𝐹𝑉 = $ 3.000,00


Isolando a taxa e utilizando propriedades de logarítmo, temos:

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

ln(𝐹𝑉) = ln[𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛]

ln(𝐹𝑉) = ln(𝑃𝑉) + ln(1 + 𝑖)𝑛

6

ln(𝐹𝑉) = ln(𝑃𝑉) + 𝑛 . ln (1 + 𝑖)

ln(𝐹𝑉) − ln(𝑃𝑉) = 𝑛 . ln(1 + 𝑖)

𝑙𝑛 (𝐹𝑉

𝑃𝑉) = 𝑛 . ln(1 + 𝑖)

1

𝑛. 𝑙𝑛 (

𝐹𝑉

𝑃𝑉) = ln(1 + 𝑖)

𝑙𝑛 (𝐹𝑉

𝑃𝑉)

1𝑛

= ln(1 + 𝑖)

𝑒𝑙𝑛(

𝐹𝑉𝑃𝑉

)

1𝑛

= 𝑒ln(1+𝑖)

(𝐹𝑉

𝑃𝑉)

1𝑛

= 1 + i

𝑖 = (𝐹𝑉

𝑃𝑉)

1𝑛

− 1

Portanto:

𝑖 = (3000

2500)

15

− 1

𝑖 = 3,71% 𝑎. 𝑚.

4) Qual será o valor do pagamento, no fim de 6 meses que liquida um empréstimo de $ 500,00

à taxa composta de 2,20% a.m.?

𝑃𝑉 = $ 2.500,00

𝑖 = 2,2% 𝑎. 𝑚.


𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 5000. (1 +2,2

100)

6

𝐹𝑉 = $ 569,73

5) Um capital de $ 250,00 se transformou em $ 1.510,00 depois de 45 meses. Qual terá sido a

taxa composta trimestral praticada?

𝑃𝑉 = $ 250,00

𝐹𝑉 = $ 1510,00

𝑛 = 45 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 =45

3= 15 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

7

𝑖 = (𝐹𝑉

𝑃𝑉)

1𝑛

− 1

𝑖 = (1510

250)

115

− 1

𝑖 = 12,74% 𝑎. 𝑡.

6) Um empréstimo no valor de $ 5.000,00 é contratado pelo prazo de 90 dias à taxa de 4% a.m.

Sabendo que o credor ainda cobrou uma comissão de 1% no ato da liberação do dinheiro a título

de comissão de abertura de crédito, determine a taxa mensal efetivamente cobrada.

𝑃𝑉 = $ 5.000,00

𝑖 = 4% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 90 𝑑𝑖𝑎 =90

30= 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 5000. (1 +4

100)

3

𝐹𝑉 = $ 5.624,32

Adicionando 1% do valor encontrado ao valor futuro, teremos:

𝐹𝑉 = $ 5.624,32 + $ 56,81 = $ 5.680,56

𝑖 = 4% 𝑎. 𝑚.


𝑖 = (𝐹𝑉

𝑃𝑉)

1𝑛

− 1

𝑖 = (5680,56

5000)

13

− 1

𝑖 = 4,35% 𝑎. 𝑚.

7) Uma empresa, para financiar seu capital de giro, levanta um empréstimo pelo prazo de 2

meses onde é cobrada a taxa de 9% a.m. Determine uma comissão a ser cobrada no ato da

liberação do principal de modo a garantir uma remuneração de 10% a.m. ao credor.

Considerando um valor á vista de $ 100,00 que equivalem a 100% do capital, temos:

𝐹𝑉1 = 𝐹𝑉2

𝐹𝑉1. (1 + 𝑖1)𝑛1 = 𝐹𝑉2. (1 + 𝑖2)𝑛2

100. (1 +10

100)

2

= (100 − 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜). (1 +9

100)

2

8

𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 = $ 1,84

Como $ 100,00 correspondem a 100% do capital:

𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 = 1,84%

8) Vamos agora supor que o PIB de um país cresceu 50% em 10 anos. Qual terá sido neste caso,

a taxa anual de crescimento (supostamente constante)?

Sendo:

𝑖𝑞 taxa que eu quero

𝑖𝑡 = 50% taxa que eu tenho

𝑛𝑞 = 1 período que eu quero

𝑛𝑡 = 10 período que eu tenho

Igualando os valores futuros, temos:

𝑃𝑉 . (1 + 𝑖𝑡)𝑛𝑞 = 𝑃𝑉 . (1 + 𝑖𝑞)𝑛𝑡

(1 + 𝑖𝑡)𝑛𝑞 = (1 + 𝑖𝑞)𝑛𝑡

Isolando a taxa desejada e aplicando propriedades de logarítmo, temos:

ln(1 + 𝑖𝑡)𝑛𝑞 = ln(1 + 𝑖𝑞)𝑛𝑡

𝑛𝑞 . ln(1 + 𝑖𝑡) = 𝑛𝑡 . ln(1 + 𝑖𝑞)

𝑛𝑞

𝑛𝑡 . ln(1 + 𝑖𝑡) = ln(1 + 𝑖𝑞)

ln(1 + 𝑖𝑡)𝑛𝑞

𝑛𝑡 = ln(1 + 𝑖𝑞)

𝑒ln(1+𝑖𝑡)

𝑛𝑞𝑛𝑡 = 𝑒ln (1+𝑖𝑞)

(1 + 𝑖𝑡)𝑛𝑞

𝑛𝑡 = (1 + 𝑖𝑞)

𝑖𝑞 = (1 + 𝑖𝑡)𝑛𝑞

𝑛𝑡 − 1

Portanto:

𝑖𝑞 = (1 +50

100)

110

− 1

𝑖𝑞 = 4,14% a.a.

9

9) Um certo país apresentou uma taxa de inflação da ordem de 48,72% em determinado mês.

Se essa taxa permanecer constante por 12 meses a quanto irá montar a taxa anual de inflação

deste país?

𝑖𝑡 = 48,72% 𝑎. 𝑚.

𝑛𝑡 = 1

𝑛𝑞 = 12

𝑖𝑞 = (1 +48,72

100)

121

− 1

𝑖𝑞 = 11.606,65% a.a.

10) Um devedor tem a possibilidade oferecida pelo credor de liquidar uma dívida pagando hoje

$ 8.000,00 ou $ 10.000,00 de hoje a 5 meses. Com o dinheiro custando 5% a.m., o que ele deve

fazer?

𝑃𝑉 = $ 8.000,00

𝐹𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 5% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 =𝐹𝑉

1 + 𝑖 . 𝑛

𝑃𝑉 =10000

1 +5

100 . 5

𝑃𝑉 = $ 7.835,26

É mais vantajoso o devedor pagar ao final de 5 meses. O valor futuro de $ 10.000,00 trazido ao

presente vale $ 7.835,26, que é menor que $ 8.000,00.

Se o devedor investir $ 8.000,00 à mesma taxa, irá obter $ 10.210,25 ao final de 5 meses. Desta

forma ele iria liquidar sua dívida de $ 10.000,00 e ainda sobrariam $ 210,25.

11) Vejamos agora o caso de uma pessoa devedora de $ 10.000,00 à taxa composta de 5% a.m.

e que paga $ 6.000,00 no fim de três meses. Que pagamento deverá fazer dois meses após a fim

de liquidar sua dívida?

𝑃𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 5% 𝑎. 𝑚.

10

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 10000. (1 +5

100)

3

𝐹𝑉 = $ 11.576,25

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = (11576,25 − 6000). (1 +5

100)

3

𝐹𝑉 = $ 6.147,81

12) Três títulos de valores nominais (valores no vencimento) de $ 1.000,00, $ 5.000,00 e $

4.000,00, vencem, respectivamente de hoje a 2, 5 e 7 meses. Se um investidor deseja auferir

uma taxa de 3% a.m. quanto deve pagar por eles hoje?

𝐹𝑉1 = $ 1.000,00 𝑛1 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝐹𝑉2 = $ 5.000,00 𝑛2 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝐹𝑉3 = $ 4.000,00 𝑛3 = 7 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑖 = 3% 𝑎. 𝑚.

$ 942,60

$ 1.000,00

2 meses

3%

$ 10.000,00

$ 6.000,00

$ 6.147,81

3 meses 2 meses

5% 5%

11

𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑉1 + 𝑃𝑉2 + 𝑃𝑉3 = $ 942,60 + $ 4.313,04 + $3.252,37 = $ 8.508,01

13) Sabendo-se que um título no valor de $ 1.500,00 pagou juros de 2% para os primeiros 30

dias, 4% para os 30 dias subsequentes e mais 3,50% por outros 30 dias, determinar seu valor de

resgate.

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 1500. (1 +2

100)

1

𝐹𝑉 = $ 1.530,00

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

$ 1.500,00

2,0% 4,0% 3,5%

1 mês 1 mês 1 mês

$ 1.530,00 $ 1591,20

$ 1.646,89

$ 4.313,04

$ 5.000,00

5 meses

3%

$ 3.252,37

$ 4.000,00

7 meses

3%

12

𝐹𝑉 = 1530. (1 +4

100)

1

𝐹𝑉 = $ 1.591,20

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 1591,2. (1 +3,5

100)

1

𝐹𝑉 = $ 1.646,89

O valor de resgate do título será de $ 1.636,89.

14) Uma dívida de $ 1.000,00 deve ser paga em 3 parcelas e à taxa composta de 5% a.m. Se a

primeira no valor de $ 500,00 é paga no fim de 30 dias, a segunda no valor de $ 400,00 no fim

de 90 dias, determine o valor da terceira e última parcela sabendo que deve ser paga no fim de

130 dias.

1ª parcela:

𝑃𝑉 = $ 1.000,00

𝑖 = 5% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 1 𝑚ê𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 1000. (1 +5

100)

1

𝐹𝑉 = $ 1.050,00

Como foi pago um valor de $ 500,00, a dívida foi reduzida para:

𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎 = 1050 − 500 = $ 550,00

2ª parcela:

𝑃𝑉 = $ 550,00

$ 500,00

$ 1.000,00

5%

$ 400,00 $ 220,24

5% 5%

1 mês 2 meses 1,3 meses

13

𝑖 = 5% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 2 𝑚ê𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 550. (1 +5

100)

2

𝐹𝑉 = $ 606,38

Como foi pago um valor de $ 400,00, a dívida foi reduzida para:

𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎 = 606,38 − 400 = $ 206,38

3ª parcela:

𝑃𝑉 = $ 206,38

𝑖 = 5% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 130 − 90 = 40 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 + 10 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 1 𝑚ê𝑠 +10

30 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 1, 3̅ 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 206,38. (1 +5

100)

1,3

𝐹𝑉 = $ 220,

Portanto, a última parcela para liquidar a dívida será:

𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎 = 1050 − 500 = $ 550,00

15) Para uma taxa composta de 2% a.m., quanto devemos pagar hoje para liquidar dois títulos

no valor de $ 500,00 cada, o primeiro vencido há 30 dias e o segundo com vencimento em 2

meses?

Os valores dos títulos foram todos trazidos ao presente, conforme ilustrado a seguir:

$ 500,00

$ 510,00 + $ 480,58 = $ 990,58

1 mês 2 mês

2% 2%

$ 500,00

PASSADO PRESENTE FUTURO

14

Do passado para o presente:

𝑃𝑉 = $ 500,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 1 𝑚ê𝑠

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛

𝐹𝑉 = 500. (1 +2

100)

1

𝐹𝑉 = $ 510,00

Do futuro para o presente:

𝐹𝑉 = $ 500,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.

𝑛 = 2 𝑚ê𝑠

𝑃𝑉 =𝐹𝑉

1 + 𝑖 . 𝑛

𝑃𝑉 =500

1 +2

100 . 2

𝑃𝑉 = $ 480,58

Portanto, o valor a ser pago será os valores somados no presente:

𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $ 510,00 + $ 480,58 = $ 990,58

16) Se um investimento cresceu à razão de 20% em 3 anos, quanto ele montará em 10 anos?

𝑖𝑡 = 20% 𝑒𝑚 3 𝑎𝑛𝑜𝑠

𝑛𝑡 = 3

𝑛𝑞 = 10

𝑖𝑞 = (1 +20

100)

103

− 1

𝑖𝑞 = 83,63% em 10 anos

15

SÉRIES DE PAGAMENTOS

1) Calcular o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1.000,00, nas hipóteses abaixo:

ITEM TAXA DE JUROS PRAZO

a 2,0% a.m. 24 meses

b 3,0% a.m. 12 meses

c 2,5% a.m. 36 meses

d 10,0% a.t. 8 trimestres

e 15,0% a.s. 5 semestres

Levando todas os pagamentos (PMT) ao presente temos:

𝑃𝑉 =𝑃𝑀𝑇

(1 + 𝑖)1+

𝑃𝑀𝑇

(1 + 𝑖)2+

𝑃𝑀𝑇

(1 + 𝑖)3+ ⋯ +

𝑃𝑀𝑇

(1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 . [1

(1 + 𝑖)1+

1

(1 + 𝑖)2+

1

(1 + 𝑖)3+ ⋯ +

1

(1 + 𝑖)𝑛]


(1 + 𝑖)1 . [1 +

1

(1 + 𝑖)1+

1

(1 + 𝑖)2+ ⋯ +

1

(1 + 𝑖)𝑛]

Em uma progressão geométrica, temos que a soma dos termos em um intervalo fechado (com

q ≠ 1) é:

𝑆𝑛 =𝑎1 . (𝑞𝑛 − 1)

𝑞 − 1

Onde:

𝑆𝑛 soma da série

𝑎1 = 1 primeiro termo da série

𝑞 = 1/(1 + 𝑖) razão da série

PV

PMT PMT PMT

n

𝑃𝑀𝑇

(1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑀𝑇

(1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑀𝑇

(1 + 𝑖)𝑛

3 2 1

16

𝑛 número de termos da série

Logo:


(1 + 𝑖)1 . 𝑆𝑛

𝑆𝑛 =𝑎1 . (𝑞𝑛 − 1)

𝑞 − 1=

1 . [(1

1 + 𝑖)

𝑛

− 1]

11 + 𝑖

− 1=

[1

(1 + 𝑖)𝑛 − 1]

11 + 𝑖

− 1=

1 − (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛

1 − (1 + 𝑖)1 + 𝑖

=

1 − (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛

−𝑖1 + 𝑖


1 + 𝑖 .

1 − (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛

−𝑖1 + 𝑖

= 𝑃𝑀𝑇 .1 − (1 + 𝑖)𝑛

−𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

Portanto:

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

Item a:

𝑃𝑀𝑇 = $ 1000,00

𝑖 = 2,0% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 1000 .(1 + 0,02)24 − 1

0,02 . (1 + 0,02)24

𝑃𝑉 = $ 18.913,93

Item b:

𝑃𝑀𝑇 = $ 1000,00

𝑖 = 3,0% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 1000 .(1 + 0,03)12 − 1

0,03 . (1 + 0,03)12

𝑃𝑉 = $ 9.954,00

Item c:

𝑃𝑀𝑇 = $ 1000,00

𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚.


17

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 1000 .(1 + 0,025)36 − 1

0,025 . (1 + 0,025)36

𝑃𝑉 = $ 23.556,25

Item d:

𝑃𝑀𝑇 = $ 1000,00

𝑖 = 10,0% 𝑎. 𝑡.

𝑛 = 8 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 1000 .(1 + 0,1)8 − 1

0,1 . (1 + 0,1)8

𝑃𝑉 = $ 5.334,93

Item e:

𝑃𝑀𝑇 = $ 1000,00

𝑖 = 15,0% 𝑎. 𝑠.

𝑛 = 5 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 1000 .(1 + 0,15)5 − 1

0,15 . (1 + 0,15)5

𝑃𝑉 = $ 3.352,16

2) Qual é o preço à vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 200,00, se as taxas e

prazos abaixo forem considerados:





d 4,0% a.m. 24 meses

Item a:

𝑃𝑀𝑇 = $ 200,00

𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚.


18

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 200 .(1 + 0,025)18 − 1

0,025 . (1 + 0,025)18

𝑃𝑉 = $ 2.870,67

Item b:

𝑃𝑀𝑇 = $ 200,00

𝑖 = 3,0% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 200 .(1 + 0,03)18 − 1

0,03 . (1 + 0,03)18

𝑃𝑉 = $ 2.750,70

Item c:

𝑃𝑀𝑇 = $ 200,00

𝑖 = 2,0% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 200 .(1 + 0,02)24 − 1

0,02 . (1 + 0,02)24

𝑃𝑉 = $ 3.782,79

Item d:

𝑃𝑀𝑇 = $ 200,00

𝑖 = 4,0% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 200 .(1 + 0,04)24 − 1

0,04 . (1 + 0,04)24

𝑃𝑉 = $ 3.049,39

19

3) Um terreno é vendido por $ 10.000,00 de entrada e 36 prestações mensais de $ 500,00.

Sabendo-se que taxa de juros corrente no mercado é de 2,5% a.m., até que preço vale a pena

comprar o terreno à vista?

𝑃𝑀𝑇 = $ 500,00

𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 500 .(1 + 0,025)36 − 1

0,025 . (1 + 0,025)36

𝑃𝑉 = $ 11.778,13

𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $ 10.000,00 + $ 11.778,13 = $ 21.778,13

Somente vale a pena comprar o terreno à vista se o preço for menor que $ 21.778,13.

4) Numa seção de classificados anuncia-se uma casa por $ 250.000,00 à vista ou em 4 prestações

trimestrais de $ 77.600,00. Qual é a melhor opção de compra, uma vez que a taxa de juros

corrente é de 10% a.t.?

𝑃𝑀𝑇 = $ 77.600,00

𝑖 = 10% 𝑎. 𝑡.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 77600 .(1 + 0,1)4 − 1

0,1 . (1 + 0,1)4

𝑃𝑉 = $ 245.981,56

Neste caso é melhor comprar a casa a prazo, pois o valor presente da série de pagamento é

menor do que o valor oferecido à vista.

5) Um magazine tem como política de vendas oferecer um desconto de 10% nas compras à vista.

Nas vendas a prazo, os clientes deverão pagar 12 prestações iguais a 10% do valor à vista.

Supondo-se que a taxa de juros corrente seja de 2,5% a.m., qual é a melhor alternativa para o

comprador?

Supondo um valor de $ 1.000,00

À vista:

Considerando o desconto de 10%

20

𝑃𝑉 = 1000 .90

100

𝑃𝑉 = $ 900,00

A prazo:

𝑃𝑀𝑇 = 900 .10

100= $ 90,00

𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 90 .(1 + 0,025)12 − 1

0,025 . (1 + 0,025)12

𝑃𝑉 = $ 923,20

Neste caso é melhor pagar à vista, pois o valor a prazo será maior que o valor à vista, dando uma

diferença de $ 23,20.

6) Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço à vista é de $ 10.000,00, caso

ocorram as seguintes hipóteses sobre as taxas e respectivos prazos:





d 3,0% a.m. 36 meses

e 10,0% a.t. 10 trimestres

f 10,0% a.a. 2 anos

Item a:

𝑃𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100000 .0,025 . (1 + 0,025)12

(1 + 0,025)12 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 974,87

Item b:

𝑃𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚.

21


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100000 .0,025 . (1 + 0,025)24

(1 + 0,025)24 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 559,13

Item c:

𝑃𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 3,0% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100000 .0,03 . (1 + 0,03)12

(1 + 0,03)12 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 1.004,62

Item d:

𝑃𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 3,0% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100000 .0,03 . (1 + 0,03)36

(1 + 0,03)36 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 458,04

Item e:

𝑃𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 10,0% 𝑎. 𝑡.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100000 .0,1 . (1 + 0,1)10

(1 + 0,1)10 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 1.627,45

Item f:

22

𝑃𝑉 = $ 10.000,00

𝑖 = 10,0% 𝑎. 𝑎.

𝑛 = 2 𝑎𝑛𝑜𝑠

𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100000 .0,1 . (1 + 0,1)2

(1 + 0,1)2 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 5.761,90

7) Um sítio é posto à venda por $ 300.000,00 à vista, ou a prazo nas seguintes condições: 10%

de entrada e o restante em 50 meses, juros de 3% a.m. Qual é o valor das prestações?

À vista:

𝑃𝑉 = $ 300.000,00

A prazo:

𝑃𝑉 = 300000 − 10

100 . 300000 = $ 270.000,00

𝑖 = 3% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 270000 .0,03 . (1 + 0,03)50

(1 + 0,03)50 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 10.493,68

8) O gerente financeiro de uma cadeia de lojas que operam com crediário deseja estabelecer

fatores que serão aplicados ao preço à vista para cálculo da prestação mensal. A taxa de juros

da empresa é de 2%a.m.; portanto, quais são estes fatores por unidade de capital, nos prazos

abaixo:

a) 6 meses

b) 12 meses

c) 18 meses

d) 24 meses

e) 30 meses

f) 36 meses

Considerando um valor à vista de $ 100,00 que equivale a 100% do capital, temos:

23

Item a:

𝑃𝑉 = $ 100,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100 .0,02 . (1 + 0,02)6

(1 + 0,02)6 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 17,85

Portanto o fator que será aplicado ao valor à vista para o cálculo das prestações será:

𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 = 17,85% = 0,1785

Item b:

𝑃𝑉 = $ 100,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100 .0,02 . (1 + 0,02)12

(1 + 0,02)12 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 9,46


𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 = 9,46% = 0,0946

Item c:

𝑃𝑉 = $ 100,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100 .0,02 . (1 + 0,02)18

(1 + 0,02)18 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 6,67


𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 = 6,67% = 0,0667

Item d:

24

𝑃𝑉 = $ 100,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100 .0,02 . (1 + 0,02)24

(1 + 0,02)24 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 5,29


𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 = 5,29% = 0,0529

Item e:

𝑃𝑉 = $ 100,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100 .0,02 . (1 + 0,02)30

(1 + 0,02)30 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 4,46


𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 = 4,46% = 0,0446

Item f:

𝑃𝑉 = $ 100,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 .𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑃𝑀𝑇 = 100 .0,02 . (1 + 0,02)36

(1 + 0,02)36 − 1

𝑃𝑀𝑇 = $ 3,92


𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 = 3,92% = 0,0392

25

9) Uma firma revendedora de automóveis usados oferece o seguinte plano na venda de um

carro:

a) Entrada = $ 1.000,00 mais 6 prestações mensais de $ 181,55

b) Entrada = $ 500,00 mais 12 prestações mensais de $ 148,01

Sendo a taxa de mercado 2% a.m., qual é a melhor alternativa?

Opção a:

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = $ 1.000,00

𝑃𝑀𝑇 = $ 181,55

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 181,55 .(1 + 0,02)6 − 1

0,02 . (1 + 0,02)6

𝑃𝑉 = $ 1.016,00

𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $1.000,00 + $ 1.016,00 = $ 2.016,00

Opção b:

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = $ 500,00

𝑖 = 2% 𝑎. 𝑚.

𝑃𝑀𝑇 = $ 148,01


𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑃𝑉 = 181,55 .(1 + 0,02)6 − 1

0,02 . (1 + 0,02)6

𝑃𝑉 = $ 1.565,26

𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $ 500,00 + $ 1.565,26 = $ 2.065,26

Comparando ambas as opções no valor presente e suas respectivas entradas, a opção a é a

melhor alternativa, pois apresenta uma economia de $ 49,26 em relação à opção b.

10) O preço de uma motocicleta é de $ 20.000,00 à vista; caso o cliente deseje as facilidades do

crediário, poderá pagá-la a prazo. No segundo caso, exigem-se 24 prestações mensais de $

1.245,46. Que taxa de juros mensal está sendo cobrada?

𝑃𝑉 = $ 20.000,00

26

𝑃𝑀𝑇 = $ 1.245,46

𝑛 = 24 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 .(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛

𝑖 = 3,5% 𝑎. 𝑚.

Exercícios Matemática Financeira

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