-
Apostila: Matrizes e Determinantes Prof. Andr Lus Rossi de
Oliveira
1 Matrizes
1.1 Conceitos Bsicos
Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas
e colunas.
Exemplos:
(1) Considere a tabela abaixo:
Altura (metros) Peso (quilos) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Ao abstrarmos os significados das linhas e colunas, obtemos a
matriz
1,70 70 231,75 60 451,60 52 251,81 72 30
(2) Os elementos de uma matriz podem ser nmeros, funes etc, como
nas
matrizes abaixo:
[ ]2
3
1 05 22
31 3
xsen x ex
xx
+
1
-
Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por
11 12 1
21 22 2
1 2
,
n
nm n ij m n
m m mn
a a aa a a
A a
a a a
= =
""
# # % #"
onde o elemento caracterstico da matriz, com i representando a
linha e j, a coluna. ija
Definio: Duas matrizes e m n ij r s ijm n r sA a B b = = so
iguais, ou seja, A B= , se elas tm o mesmo nmero de linhas ( m r= )
e colunas ( n s= ) e todos os seus elementos correspondentes so
iguais ( ). ij ija b=
Exemplo:
2
0
2 ln1 90 4 0 13 0 9 3 0
cos90 1 3 0 1 3
osen 3
=
1.2 Tipos Especiais de Matrizes
Seja uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos
importantes de matrizes
so os seguintes:
m nA
(a) Quadrada: aquela cujo nmero de linhas igual ao nmero de
colunas
( m ). n=
[ ]1 13 3
2 0 94 8 7 42 8 6
2
-
(b) Nula: . 0 ,ija i= j
0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0
(c) Coluna: . 1n =
61
04
83
7
Uma matriz coluna chamada de vetor-coluna.
(d) Linha: . 1m =
[ ] [ ]3 7 4 6 4 1 8
Uma matriz linha chamada de vetor-linha.
(e) Diagonal: uma matriz quadrada onde 0ija i j= .
2 0 00 1 00 0 4
(f) Identidade: uma matriz diagonal onde todos os elementos da
diagonal so
iguais a 1, ou seja, 1 e 0ii ija a i j= = .
3
-
1 0 00 1 00 0 1
(g) Triangular Superior: uma matriz quadrada onde todos os
elementos abaixo
da diagonal so nulos, isto , 0ija i j= > .
4 3 2 90 1 0 10 0 3 40 0 0 1
(h) Triangular Inferior: uma matriz quadrada onde todos os
elementos acima
da diagonal so iguais a zero, isto , 0ija i j= < .
2 0 0 03 2 0 03 3 4 02 4 8 9
(i) Simtrica: uma matriz quadrada onde ,ij jia a i j= .
1 2 42 3 14 1 2
1.3 Operaes com Matrizes
Adio: , onde ij ij m nA B a b + = + e m n ij m n ijA a B b = =
.
4
-
Exemplo: 1 5 0 8 1 133 3 7 1 4 24 2 9 0 13 2
+ =
Propriedades da adio: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem
mxn, temos:
(i) A B B A+ = + (comutatividade) (ii) ( ) ( )A B C A B C+ + = +
+ (associatividade) (iii) , onde 0 a matriz nula mxn. 0A+ = A
Demonstrao: Exerccio!
Multiplicao por escalar: . ij m nk A ka = , onde ij m nA a = e k
um nmero real.
Exemplo: 0 3 0 21
74 5 28 35
=
Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem mxn e nmeros
reais ,
temos:
1 2, e k k k
(i) ( )k A B kA kB+ = +(ii) ( )1 2 1 2k k A k A k A+ = +(iii) 0.
0A =(iv) ( ) ( )1 2 1 2k k A k k A=
Demonstrao: Exerccio!
Transposio: Dada uma matriz ij m nA a = , a matriz transposta de
A definida como , cujas linhas so as colunas de A, isto , T ij n mA
b = ,ij jib a i j= .
Exemplos:
5
-
3 83 0 0
0 78 7 3
0 3
4 2 4 22 1 2 1
T
T
A A
B B
= = = =
Propriedades:
(i) Uma matriz simtrica se, e somente se, ela igual sua
transposta, ou seja, TA A= . (ii) ( )TTA A= (iii) ( )T T TA B A B+
= + (iv) ( )T TkA kA=(v) ( )T T TAB B A=
Demonstrao: Exerccio!
Multiplicao de Matrizes: Sejam [ ] e ij rs n pm nA a B b = = .
Definimos o produto matricial [ ]uv m pAB c = por
1 11
n
uv uk kv u v un nvk
c a b a b a=
= = + + " b
Perceba que s possvel efetuar o produto de duas matrizes e m n l
pA B se n l= , ou seja, se o nmero de colunas da matriz que aparece
pr-multiplicando for igual ao nmero
de linhas da matriz que aparece ps-multiplicando.
Exemplos:
6
-
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
1 1 2 3
2 1 2
3 1
3 1 5 4 3 0 5 73 5 1 0 17 354 1 6 4 4 0 6 74 6 4 7 20 42
1 3 1 5 3 9 325
2 8 2 5 8 9 829
4 0 4 5 0 9 20
2 8 9 2 8 93 9 0 3 92 1 3 2
x x x xA x x Ax x x
x x
+ + = = + + + = + = +
+ + = = = + 2 33x x
+
Propriedades:
(i) Em geral, AB BA .
Exemplo: Se , ento 1 1 1 1 2 33 2 1 2 4 62 1 0 1 2 3
A B = =
0 0 0 11 6 10 0 0 e 22 12 20 0 0 11 6 1
AB BA = =
importante perceber que 0AB = sem que 0 ou 0A B= = . Desde que
estejam bem definidas as operaes, as seguintes propriedades so
vlidas:
(ii) AI IA A= = (iii) ( )A B C AB AC+ = + (iv) ( )A B C AC BC+ =
+ (v) ( ) ( )AB C A BC= (vi) ( )T T TAB B A= (vii) 0. 0 e .0 0A A=
=
7
-
1.4 Matriz Inversa
Definio: Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A,
denotada por , aquela
que satisfaz a condio .
1A
1 1AA A A I = =
Obs.: (i) Nem toda matriz quadrada possui inversa. Se uma matriz
quadrada possui
inversa, ela chamada de no-singular. Se ela no possui inversa,
chamada de singular.
(ii) Se existe a matriz inversa, ento ela nica.
Exemplos: Se e 3 10 2
A =
1 13 6
102
B
= , ento
3 1 2 1 6 0 1 01 1 .0 2 0 3 0 6 0 16 6
AB I = = = =
Podemos verificar facilmente que BA I= , de forma que 1B A= e .
1A B=
Propriedades:
(i) ( ) 11A A = (ii) ( ) 1 1 1AB B A = Demonstrao: Seja C a
inversa de AB. Ento CAB I= , de forma que
1 1 1 1 1 1.CABB A IB A B A = =
Mas tambm verdade que
1 1 1 1 ,CABB A CAIA CAA CI C = = = =
o que implica 1 1C B A = .
8
-
(iii) ( ) ( )1 1 TTA A =
1.5 Sistemas de Equaes Lineares e Matrizes
Um sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas um
conjunto de
equaes do tipo:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + + = + + + =m+ + + =
""
#"
onde os , so nmeros reais. , 1 ,1ija i m j n
)Uma soluo do sistema acima uma lista de n nmeros (n-upla) do
tipo
( 1 2, , , nx x x que satisfaa simultaneamente as m equaes. O
sistema pode ser escrito na forma matricial como
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
ou ,
n
n
m m mn n n
a a a x ba a a x b
Ax b
a a a x b
= =
# # % # # #
onde A a matriz dos coeficientes, x o vetor das incgnitas e b o
vetor dos termos
independentes.
Outra matriz importante a matriz ampliada do sistema:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn n
a a a ba a a b
a a a b
# # % # #
9
-
Exemplo: Considere o sistema 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 57
5 9
x x xx x x
x x x
743
+ = + = + + = . A sua forma matricial
1
2
3
2 3 5 71 7 1 4 .
1 5 9 3
xxx
=
Operaes Elementares
(i) Permuta da i-sima e j-sima linhas ( i jL L )
Exemplo: 1 2L L
2 0 4 24 2 2 0
5 1 5 1
(ii) Multiplicao da i-sima linha por um escalar (nmero real) no
nulo k ( ) i iL kL
Exemplo: 3 32L L
2 0 2 04 2 4 2
5 1 10 2
j
(iii) Substituio da i-sima linha pela i-sima linha mais k vezes
a j-sima linha
( i iL L kL + )
Exemplo: 2 2 3L L + 1L
2 0 2 04 2 10 2
5 1 5 1
10
-
Se A e B so matrizes mxn, dizemos que B linha-equivalente a A se
B pode ser
obtida de A atravs de um nmero finito de operaes elementares
sobre as linhas de A. A
notao para isso . ou A B A B
Exemplo: , pois 1 0 1 04 1 0 1
3 4 0 0
2 2 1 3 3 1
2 2 3 3 2
4 3
4
1 0 1 0 1 04 1 0 1 0 1
3 4 3 4 0 4
1 0 1 00 1 0 10 4 0 0
L L L L L L
L L L L L
+
Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas
equivalentes so equivalentes, ou
seja, toda soluo de um dos sistemas tambm soluo do outro.
Demonstrao: No ser apresentada.
Forma Escada
Definio: Uma matriz mxn linha-reduzida forma escada se:
(a) O primeiro elemento no nulo de uma linha no nula 1;
(b) Cada coluna que contm o primeiro elemento no nulo de alguma
linha tem todos
os seus outros elementos iguais a zero;
(c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linha no
nulas;
(d) Se as linhas 1, so as linhas no nulas, e se o primeiro
elemento no nulo da
linha i ocorre na coluna , ento
, r
ik 1 2 rk k k< <
-
(1) A matriz no satisfaz as condies (b) e (c). 1 4 00 0 00 1
0
(2) A matriz no satisfaz as condies (a), (b) e (d). 0 3 01 0 20
0 1
(3) A matriz est na forma escada. 0 1 0 2 20 0 1 0 30 0 0 0
0
Teorema: Toda matriz linha-equivalente a uma nica matriz
linha-reduzida forma
escada.
m nA
Dem.: No ser apresentada.
Definio: Dada uma matriz m nA , seja m nB a matriz
linha-reduzida forma escada
equivalente a A. O posto de A, denotado por p, o nmero de linhas
no nulas de B. A
nulidade de A igual ao nmero n-p.
Exemplo: Considere a matriz 1 2 1 01 0 3 5
1 2 1 1A
= . Efetuamos as seguintes operaes:
22 2 12
3 3 1
31 1 2 1 1 33
3 3 2 2
2
2 34 8
1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 01 0 3 5 0 2 4 5 0 1 2 5 2
1 2 1 1 0 4 0 1 0 4 0 1
1 0 3 5 1 0 3 50 1 2 5 2 0 1 2 5 20 0 8 11 0 0 1 11 8
LL L L LL L L
LL L L L L LLL L L L
+
+ +
2 32
1 0 0 7 80 1 0 1 40 0 1 11 8L L
O posto de A 3 e a nulidade 4-3=1.
12
-
Podemos interpretar a matriz A como sendo a matriz ampliada do
seguinte sistema
linear:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 00 3
2 1
x x xx x x
x x x
+ + = 5 + + = + =
Pelo que foi demonstrado acima, esse sistema equivalente ao
seguinte sistema:
1
2
3
7814
118
x
x
x
= = =
Solues de Sistemas de Equaes Lineares
Considere o sistema formado de apenas uma equao e uma incgnita .
Nesse
caso, h trs possibilidades:
ax b=
(i) : Existe uma nica soluo 0a bxa
= .
(ii): : Neste caso, o sistema torna-se 00 e 0a b= = 0x = e
qualquer nmero real uma soluo.
(iii) : Neste caso, o sistema torna-se 0 e 0a b= 0x b= e no
possui soluo.
Analogamente, no caso de um sistema de m equaes lineares e n
incgnitas, h trs
casos possveis: uma nica soluo, infinitas solues ou nenhuma
soluo. No primeiro
caso, o sistema dito possvel (ou compatvel) e determinado, no
segundo, possvel e
indeterminado, e, no terceiro, impossvel (ou incompatvel).
O seguinte teorema traz alguns resultados sobre a existncia de
solues.
13
-
Teorema:
(i) Um sistema de m equaes e n incgnitas admite soluo se, e
somente se, o posto da
matriz ampliada igual ao posto da matriz de coeficientes;
(ii) Se as duas matrizes tm o mesmo posto p e p n= , a soluo
nica. (iii) Se as duas matrizes tm o mesmo posto e p
-
Podemos observar que 2, 2, 4c ap p m n= = = = , de forma que h 2
graus de liberdade. As variveis 3 e 4x x so livres. Se fizermos 3 1
4 e x x 2 = = , obteremos as seguintes solues do problema:
1 1
2 1
3 1
4 2
52
xxxx
2
2
= += ==
2 Determinantes
2.1 Definio e propriedades bsicas
Considere o sistema de apenas uma equao e uma incgnita , com ax
b= 0a . A soluo desse sistema bx
a= . O denominador a est associado matriz de coeficientes do
sistema, [ ]a . Em um sistema 2x2 do tipo 11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
a x a x ba x a x b
+ = + =, a soluo dada por
1 22 2 12 2 11 1 211 211 22 12 21 11 22 12 21
e .b a b a b a b ax xa a a a a a a a
= =
Perceba que os denominadores so iguais. Alm disso, de maneira
anloga ao caso de
uma equao e uma incgnita, os denominadores esto associados
matriz de coeficientes
do sistema, qual seja
11 1221 22
a aa a
Em um sistema 3x3, as solues 1 2, e 3x x x so fraes com
denominadores iguais a
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31,a a a a a
a a a a a a a a a a a a a + +
15
-
que tambm esto relacionados matriz de coeficientes do sistema,
dada por
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
Os denominadores mencionados acima so chamados de determinantes
das matrizes
de coeficientes.
Para podermos definir determinante, precisamos da noo de
inverso, dada a seguir:
Definio: Dada uma permutao dos inteiros 1, , existe uma inverso
quando um
inteiro precede outro menor do que ele.
2, , n
Podemos agora definir o conceito de determinante.
Definio: O determinante de uma matriz quadrada ijA a = definido
como ( )
1 21 2det 1 ,
n
Jj j njA a a
= a
onde o nmero de inverses da permutao ( 1 2, , , nJ J j j j= ) (
)1 2, , , nj j j e indica que a soma ocorre sobre todas as
permutaes de ( )1,2, ,n (existem permutaes). !n
Podemos fazer as seguintes observaes com relao a essa
definio.
Obs.: (i) Em cada termo do somatrio, existe um e apenas um
elemento de cada linha e um,
e apenas um, elemento de cada coluna da matriz;
(ii) O determinante tambm pode ser definido atravs da frmula
( )1 21 2
det 1 ,n
Jj j j nA a a
= a
Exemplos:
(1) [ ]det a a= (2) 11 12 11 22 12 21
21 22
deta a
a a a aa a =
16
-
(3)
11 12 13
21 22 23 11 22 33 11 23 32 12 21 33
31 32 33
12 23 31 13 21 32 13 22 31
deta a aa a a a a a a a a a a aa a a
a a a a a a a a a
= + +
Propriedades:
(1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A
so nulos, ento
. det 0A =Dem.: Segue-se imediatamente da observao (i).
(2) det det TA A= . Dem.: Se ijA a = , sabemos que T ijA b = ,
onde ij jib a= . Sendo assim,
( )( )
1 2
1 2
1 2
1 2
det 1
1
det ,
n
n
Jij j j nj
Jj j j n
ij
b b b
a a a
a
= =
=
b
pela observao (ii).
Exemplo: , .a b a c
ad bc ad bcc d b d
= =
(3) Se a linha de uma matriz multiplicada por uma constante, o
determinante fica
multiplicado por esta constante.
Dem.: Segue-se imediatamente da observao (i).
Exemplo: ( ) .ka kb a bkad kbc k ad bc kc d c d
= = =
(4) A troca da posio de duas linhas (ou colunas) altera o sinal
do determinante,
mas no o seu valor numrico.
Dem.: Quando duas linhas so trocadas, alterada a paridade do
nmero de
inverses dos ndices, o que significa que o sinal dos termos
trocado.
Exemplo: ( ), .a b c dad bc cb ad ad bcc d a b
= = =
17
-
(5) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou
colunas) iguais zero.
Dem.: Quando as posies das linhas iguais so trocadas, o
determinante troca
de sinal, pela propriedade (4). Por outro lado, a matriz que
resulta da troca de
linhas (ou colunas) a mesma de antes, o que significa que o
determinante tem
que ser o mesmo. Portanto, a nica possibilidade que o
determinante seja nulo.
(6) Se uma linha (ou coluna) um mltiplo de outra linha (ou
coluna), ento o valor
do determinante zero.
Dem.: Mesmo argumento utilizado acima, utilizando tambm a
propriedade (3).
(7) O determinante no se altera se for somada a uma linha (ou
coluna) outra linha
(ou coluna) multiplicada por uma constante.
Exemplo: ( ) ( ) .a b aa d kb b c ka ad bcc ka d kb c d
= + + = =+ +b
)
(8) ( ) ( )(det det detAB A= B
2.2 Desenvolvimento de Laplace
O determinante de uma matriz A de dimenso 3x3 pode ser escrito
como
( ) ( ) ( )
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 23 31
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
22 23 21 23 21 2211 12 13
32 33 31 33 31 32
11 11 12 12 13 13 ,
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a a
a a a a a a
a A a A a A
= + + = + = += +
onde ijA a submatriz da matriz inicial que resulta da retirada
da i-sima linha e da j-sima
coluna.
Defina agora ( )1 i jij ijA+ = , chamado de o cofator do
elemento . A frmula do desenvolvimento de Laplace a seguinte:
ija
1
det ,n
n n ij ijj
A a=
=
18
-
onde podemos observar que o determinante foi desenvolvido pela
i-sima linha. Uma
frmula anloga vale para o desenvolvimento a partir de uma
determinada coluna.
Exemplos:
(1)
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )12 22 321 2 32 1 1 2 1 1 2 2 1 8 1 7
52 1 2
A
= = + + = + +
,=
onde ( ) ( ) ( )1 2 2 2 3 212 22 322 1 1 3 1 31 2, 1 8 e 12 2 2
2 2 1+ + = = = = =
+ .
(2)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )
1 1 2
1 1 23 3 2
72 2
2
3 72 2
1 2 3 4 5 2 3 45 3 4
4 2 0 0 0 2 0 02 1 5 3 0
1 2 3 0 5 2 3 08 3 1
2 5 3 1 8 5 3 1
5 3 4 10 0 410 4
2 5 3 0 2 5 3 0 2 3 113 1
8 3 1 13 0 1
6 10 52 372.
C C C
L L LL L L
+
+ + +
= =
= = = = =
2.3 Clculo da matriz inversa
Definio: A matriz de cofatores de uma matriz n nA definida como
ijA = .
Exemplo: Considere a matriz 2 1 03 1 4
1 6 5A
= . Ento
( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 311 12 131 4 3 4 3 11 19, 1 19, 1 19,6 5 1
5 1 6+ + + = = = = = =
e assim por diante, de maneira que
19
-
19 19 195 10 11
4 8 5A
.
=
Definio: Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta
de A como sendo a
transposta da matriz dos cofatores de A.
Exemplo: Para a matriz A do exemplo anterior, temos
19 5 4
19 10 8 .19 11 5
adj A =
Teorema: ( ) ( )detT nAA A adj A A I= = . Dem.: (Para ) 3n =
Considere uma matriz A de dimenso 3x3. Ento
( ) 11 12 13 11 21 3121 22 23 12 22 3231 32 33 13 23 33
,ij
a a aA adj A a a a c
a a a
= =
onde
11 11 11 12 12 13 1312 11 21 12 22 13 23
det,
c a a ac a a a
= + + == + +
A
e assim por diante. Podemos verificar que corresponde ao
desenvolvimento de Laplace
de
12c
11 12 13
11 12 13
31 32 33
a a aa a aa a a
, que igual a zero porque duas linhas so iguais.
Analogamente, , de forma que det e 0,ii ijc A c i= = j
( ) ( ) 3det 0 0
0 det 0 det .0 0 det
AA adj A A A I
A
= =
Dada uma matriz quadrada A de ordem n que possua inversa, temos
que
20
-
( ) ( )( )1 1det det det .AA A A =
Alm disso, sabemos que 1 nAA I = e que det 1nI = , de maneira
que
( )( )1det det 1A A = . Podemos ento concluir que, se A tem
inversa, ento (i) det 0A (ii) 1 1det
detA
A = ,
ou seja, uma condio necessria para que A tenha inversa. Mas essa
condio
tambm suficiente, pois sabemos que
det 0A ( )detTAA A= I , de forma que, se , ento det 0A
11 e det det
T 1 TA A I A AA A
= = . Isso conduz ao seguinte resultado:
Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se,
det . Nesse caso, 0A ( )1 1 .
detA adj A
A =
Exemplo: Seja . Ento 4 1 10 3 23 0 7
A =
99 0B = e a matriz de cofatores
3 2 0 2 0 30 7 3 7 3 0
21 6 91 1 4 1 4 1
7 31 30 7 3 7 3 0
5 8 121 1 4 1 4 13 2 0 2 0 3
.
=
Portanto, e 21 7 56 31 89 3 12
adj A =
21
-
121 7 5
1 6 31 899
9 3 12A
=
2.4 Regra de Cramer
Considere um sistema de n equaes lineares e n incgnitas:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x bn
+ + + = + + + = + + + =
""
#"
Seja A a matriz de coeficientes desse sistema e denote por i o
determinante da matriz obtida substituindo a i-sima coluna de A
pela coluna dos termos independentes. A
regra de Cramer estabelece a seguinte relao entre determinantes
e a soluo do sistema:
Teorema: O sistema acima tem uma nica soluo se, e somente se,
det . Nesse caso,
a soluo nica dada por
0A
1 21 2, , ,det det detn
nx x x .A A A = = =
preciso enfatizar que a regra de Cramer s pode ser utilizada
para resolver sistemas
de equaes lineares com o mesmo nmero de equaes e incgnitas e
quando det 0A . Na verdade, se det , o teorema no diz se o sistema
tem soluo ou no. 0A =
Exemplo: Considere o sistema 2 3 13 5 2
2 3
x y zx y z
x y z81
+ = + + = = . O determinante da matriz de coeficientes
desse sistema 2 3 1
det 3 5 2 221 2 3
A
=
= . Alm disso,
22
-
1 2 3
1 3 1 2 1 1 2 3 18 5 2 66, 3 8 2 22, 3 5 8 44.1 2 3 1 1 3 1 2
1
= = = = = =
Utilizando a regra de Cramer, obtemos
31 23, 1, 2.det det det
x y zA A A
= = = = = =
2.5 Exemplos de Economia e Econometria
2.5.1 Economia
Considere uma economia com dois bens em que as funes de demanda
e oferta so
lineares. Temos ento as seguintes relaes em um mercado
competitivo:
10 1 1 2 2
10 1 1 2 2
1 1
20 1 1 2
20 1 1 2
2 2
0
0,
d
s
d s
d
s
d s
Q a a P a PQ b b P b PQ QQ PQ PQ Q
= + += + + == + += + + =
2
2
PP
onde os e so parmetros das funes de demanda e oferta do bem 1 e
os ia s jb s i s e
j s so parmetros das funes de demanda e oferta do bem 2,
respectivamente. Podemos substituir a primeira e a segunda equaes
na terceira, e a quarta e a quinta
equaes na sexta, para obter o seguinte sistema de equaes nos
preos e : 1P 2P
1 1 2 2 01 1 2 2 0
,c P c P c
P P + = + =
onde e , 0,1,2i i ic a b i = , 1, 2,3i i i i = . Podemos aplicar
a regra de Cramer a esse sistema, desde que o determinante da
matriz de coeficientes seja diferente de zero. Suponha que 1 2 2
1c c . Ento
23
-
1 2 1 2 2 11 2
det 0,c c
A c c = =
e o mtodo pode ser aplicado.
Os outros determinantes de que necessitamos so
0 21 0
0 2
1 02 1
1 0
c cc c
c cc c
2 2 0
0 0 1
= = + = = +
A soluo ento dada por:
2 0 0 2 1 1 01 21 21 2 2 1 1 2 2 1
, .det det
oc c c cP PA c c A c c
= = = =
Para que os preos sejam positivos, preciso que os numeradores
tenham o mesmo
sinal que o denominador, o que introduz novas restries sobre os
parmetros.
As quantidades de equilbrio podem ser encontradas por substituio
dos preos de
equilbrio nas funes de oferta ou demanda.
Outra aplicao a modelos de Teoria dos Jogos. O problema mais
conhecido em
Teoria dos Jogos e o Dilema dos Prisioneiros, que pode ser
representado pela matriz de
payoffs abaixo:
No confessar Confessar
No confessar -2,-2 -10,-1
Confessar -1,-10 -5,-5
No jogo acima, Confessar (C) uma estratgia dominante para ambos
jogadores e o
perfil (C,C) um equilbrio de Nash.
O jogo abaixo est na forma extensiva e conhecido como o Jogo da
Cerveja-Quiche
(Beer-Quiche):
24
-
Natureza
Forte Fraco
1 1
s s w w 2 2
O jogo se desenvolve como a seguir. O jogador 1 observa um
movimento aleatrio da
natureza que determina o seu tipo: ele forte (S) com
probabilidade 0,9 e fraco (W), com
probabilidade 0,1. Aps tomar conhecimento do seu tipo, o jogador
1 envia um de dois
sinais ao jogador 2: s (Eu sou forte) ou w (Eu sou fraco).
Enviar um sinal verdadeiro
no custa nada, mas enviar um sinal falso custa 10 unidades de
payoff. Aps receber o
sinal, o jogador 2 decide se luta (l) ou recua (r). Se decidir
lutar, ele ganhar 10 unidades de
payoff se o jogador 1 for fraco e perder 10 se ele for forte. O
jogador 1, por outro lado,
perder 20 unidades de payoff se ocorrer a luta
(independentemente do seu tipo).
Cada jogador tem 4 estratgias puras. Para o jogador 1, elas so:
sempre s (ss), s
quando S, w quando W (sw), w quando S, s quando W (ws), e sempre
w (ww). As
estratgias do jogador 2 so: recuar quando s, lutar quando w
(rl), sempre recuar (rr),
sempre lutar (ll), e lutar quando s, recuar quando w (lr).
A matriz de payoffs :
rl rr ll lr
ss -1,0 -1,0 -21,-8 -21,-8
sw -2,1 0,0 -20,-8 -18,-9
ws -28,-9 -10,0 -30,-8 -12,1
ww -29,-8 -9,0 -29,-8 -9,0
2010
00
3010
3010
100 10
0 2010
00
l l l l r r r r
25
-
Para entender melhor os payoffs da matriz, observe o perfil
(ws,rf). O payoff do
jogador 1 pode ser recalculado como
( )( ) ( )( )0.9 30 0.1 10 28, + = enquanto o payoff do jogador
2
( )( ) ( )( )0.9 10 0.1 0 9. + = Os equilbrios de Nash com
estratgias puras so (ss,rf) e (ww,fr). Agora suponha que
estejamos interessados em encontrar os equilbrios de Nash com
estratgias mistas. Sejam
as estratgias mistas do jogador 1 representadas pelo vetor ( )1
1 2 3 4, , ,x x x x = e as do jogador 2, por . ( )2 1 2 3, , ,y y y
y = 4
Observe que em qualquer equilbrio de Nash, pois ff estritamente
dominada
por rr. Observe tambm que
3 0y =3 0x = em qualquer equilbrio de Nash, pois ws no
racionalizvel.
Queremos determinar as condies sob as quais (ss,sw) pode fazer
parte de um
equilbrio de Nash com estratgias mista, isto , onde e . Sabemos
que para
isso ser verdade preciso que
1 0x > 2 0x >( ) ( )1 2 1, ,u ss u sw 2 = , onde
( ) ( ) ( )( )
1 2 1 2 3 4 1 2 3
2 2 1 2 3 4 1 3 4
, 21 21 21
, 2 0 20 18 2 20 18 .
u ss y y y y y y y y
u sw y y y y y y y
= = + += + =
4
Lembrando que , obtemos a seguinte equao: 3 0y = ( )1 2 4 1 4 1
2 421 2 18 3 0.y y y y y y y y + = =Combinando essa equao com 1 2 4
1y y y+ + = , obtemos um sistema de equaes que
pode ser resolvido como a seguir:
2 2 1
2 1 1 22 2
1 1 3 0 1 1 3 01 1 1 1 0 2 4 1
11 1 3 0 1 0 12
1 10 1 2 0 1 22 2
L L L
L L L LL
+
Esse sistema tem uma infinidade de solues. Fazendo 4y = ,
obtemos
26
-
1 21 1, 22 2
y y . = + = Se 1 10 = , por exemplo, ento 1 6 10y = e 2 3 10y =
.
2.5.2 Econometria
Suponha que a relao entre a varivel dependente e vrias variveis
independentes
(explicativas) seja a seguinte:
1 1 2 2 , 1, ,i i i K iK iy x x x i .n = + + + + =" A relao
acima chamada de equao de regresso, onde a varivel dependente,
y,
explicada pelas variveis 1, , Kx x . O subndice i indexa as
observaes, que totalizam n. O termo o erro aleatrio. Esse erro
surge por diversas razes, sendo a principal o fato de que no
possvel captar todas as influncias sobre uma determinada varivel y.
O
resultado lquido de todos os fatores omitidos est refletido no
erro. Outro elemento
capturado pelo erro aleatrio so os erros de medio, que esto
presentes em qualquer
amostra.
Por exemplo, suponha que estejamos interessados em estudar o
comportamento da
renda dos indivduos e que tenhamos postulado o seguinte modelo
de regresso simples:
0 1educao .renda = + +
Esse modelo no leva em considerao que outros fatores alm do nvel
de educao
podem afetar a renda do indivduo, como idade e nvel de educao
dos pais. Portanto, o
erro aleatrio refletir a omisso dessas variveis. Alm disso,
bastante provvel que a varivel educao esteja medida com erro, mesmo
porque no h consenso sobre como ela
deve ser medida. Isso tambm capturado pelo erro aleatrio.
A equao de regresso na verdade um conjunto de equaes, uma para
cada
observao:
1 1 11 2 12 1 1
2 1 21 2 22 2 2
1 1 2 2
K K
K K
n n n K nK n
y x x xy x x x
y x x x
= + + + += + + + +
= + + + +
""
"
27
-
Essas equaes podem ser representadas na forma matricial como a
seguir:
,y X = + onde
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
, ,
K
K
n n n nK K
y x x xy x x x
y X
y x x x
1
2,
n
= = = =
""
# # # % # #"
#
O objetivos principais de uma anlise de regresso so estimar os
parmetros
desconhecidos i , usar os dados disponveis para estudar a
validade de proposies tericas e usar o modelo para testar hipteses
e fazer previses sobre a varivel dependente.
Para obter estimativas dos parmetros, o mtodo mais utilizado o
de mnimos
quadrados ordinrios. Esse mtodo procura encontrar os
coeficientes que minimizam a
soma dos quadrados dos resduos
21
,n
Ti
ie e e
==
onde o vetor de resduos, sendo o resduo da i-sima observao
definido por
e a estimativa de
1
2
n
ee
e
e
= #
( )1 1 2 2i i i i iK Ke y x b x b x b= " ib i . A soluo do
problema de minimizao
( ) 1 .T Tb X X X y= Podemos ento calcular os resduos como
( )
( )( )1
1.
T T
T T
e y Xb y X X X X y
I X X X X y My
= = = =
A matriz M tem grande importncia para a anlise de regresso, e
apresenta
propriedades interessantes. Alm de ser simtrica, essa matriz
idempotente, o que
significa que 2M M= . De fato,
28
-
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 12
1 1 1
1 1
1 1
2
2
T T T T
T T T T T T T
T T T T
T T T T
T T
M I X X X X I X X X X
1 TI X X X X X X X X X X X X X X X X
I X X X X X X X IX
I X X X X X X X X
I X X X X M
= = += += += =
T
e
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 1
11
1.
T TT T T T T
TT TT T T T
T T
M I X X X X I X X X X
I X X X X I X X X X
I X X X X M
= = = =
= =
29
MatrizesConceitos BsicosTipos Especiais de MatrizesOperaes com
MatrizesMatriz InversaSistemas de Equaes Lineares e Matrizes
DeterminantesDefinio e propriedades bsicasDesenvolvimento de
LaplaceClculo da matriz inversaRegra de CramerExemplos de Economia
e EconometriaEconomiaEconometria