416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes

8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes

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IME ITA


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Apostila ITA

E 01

Matrizes

Uma matriz de ordem , informalmente, uma tabelacom

n linhas e mnm

colunas, em que linhas so as filas horizontais e colunas so as filas verticais.Comesta idia temos a seguinte representao para amatriz

de ordem :A nm

aa a1 1 12 1 m

aa aA = 21 2 2 2 m .

aa an n nmnm1 2

O smbolo representa o elemento dalinha i e coluna .a jij

Uma definio formal para uma matriz:

{ } { } Considerando os conjuntos e . Uma matriz , deIn

= 1, 2, . .. , Im

= 1, 2,... , An m

( )ordem , uma funo , que associa cada par ordenado anm

AII

: ij,n m

um nmero real .aij

()= representa uma matriz deordem

A notao Aa nm

ae o elemento ij nm i j

chamado de termogeral.

( )Exemplo: Amatriz

Aa= , com determinada pelo clculo detodos

= -aij 2 2i j i j23

os elementos de acordo com a lei de formao, ouseja: a =- =21 1 1 a = - =-21 2 2 a = - =-21 3 72 2 2

1 1 1 2 1 3

=- = = - = = - =-a 22 1 3 a 22 2 0 a 22 3 52 2 22 1 2 2 2 3

desta forma temos:--127

A =-30 5

23

Observaes sobre a linguagem: ( ) O conjun to de todas as ma tr ize s r eais de o rdem denotado por nm

Mnm

() ( ) Na matriz Aa= sequncia a i - sima linhaaa a,,,ij n m i i im12

() ( ) Na matriz Aa= a sequncia aa a,,, a - sima colunajij n m 1 2jj nj


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Matemtica

G Jaaa a a ... ...G J1 1 1 2 1 3 1 1 jn

aaa a a ... ...G J2 1 22 2 3 2 2 j nG J... ... ... ... ... ... .

..G Jaa a a a ... ...G Ji i i ij in12 3G K J... ... ... ... ... ... .

..Hi- sima linha aa a a a ... ...

m m m mj mnmn1 2 3

j-sima coluna( ) ( ) Sejam e duas matrizes reais. Diz-se que as matrizes e= = AA

aBb

ij mn i j m n

{ }eso iguais, e escreve-se , se, e somente se, , im 1, 2, 3, ...,= =B A B ab

ij i j

{}. jn 1, 2, 3, ...,

Cla ss ificaes dematrizes

Matriz linha: toda matriz formada por apenas umalinha.Matriz coluna: toda matriz formada por apenas umacoluna.Matriz retangular: toda matriz deordem

com . nm

nm

Matriz nula: toda matriz com todos os elementosnulos.Matriz quadrada: toda matriz deordem

. Neste caso dizemos que a matriz de

nn

( )ordem n . Em uma matriz quadrada os elementos da

sequnciaaa a,,,

( )1 1 2 2 n n

formam a diagonal principal e os elementos dasequncia

forma aaa a,,,()nn11 -n 1 2

diagonal secundria.

Matriz triangular Superior: toda matriz quadrada deordem

n , em que se=a 0i j

, ou seja, os elementos abaixo da diagonal principal sonulos.

ij>

Matriz triangular Inferior: toda matriz quadrada deordem

n, em que se ,=


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Apostila ITA

Matriz transposta() ( )= , a matriz transposta de = emSeja Aa , indicada por A , e AbtA t

ij n m i j m n

que . Em outros termos, a matr iz transposta obtida trocando linha por coluna

b

a=

i j ji

da matrizoriginal.Exemplo:

13--127

A = A =- 20t-30 5

--752332

Observaes: Quando A

A= dizemos que a matriz

simtrica.At

Quando =- dizemos que a mat ri zAA

antisimtrica.

At

Operaes com matrizes

Adio de matrizes

() ( )Sejam e duas matrizes quaisquer. A soma de com ,= = A BAa

B

bij mn ij m n

+ab cujo termo geral que indicaremos por , amatriz

mn , isto :+A Bijij++ +ab ab ab ...

1 1 1 1 1 2 12 1 1 nn

ab a b a b++ + ...+=A

B

2 1 21 2 2 2 2 2 2 nn

... ... ... ...

aba b a b++ + ...m mm m mnmnm n11 2 2

Multiplicao por escalar

( ) , Dados a matriz e um nmero real k, o produto indicado por kA

=Aa

i j m n

a matriz mn cujo termo geral , isto :ka

ij

ka ka

ka

...1 1 1 2 1 n

ka kaka

...k

A

= 2 1 2 2 2 n... ... ... ...

ka kaka

...mm mnm n1 2

3


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Matemtica

Multipl icao dematrizes

( ) ( )Consideremos as matrizes e . O produto de por ,= = A BAa

Bb

ij mn jk nt

indicado por , amatriz

cujo termo geral

, em que:A B mt

cik

n

==+++

cababab ab.. ..

... .i k i j

jkik i k innk11 22

=j 1

Observao: Para que o produto de matrizes seja possvel necessrio que onmero de colunas da primeira matriz seja igual ao nmero de linhas dasegundamatriz.A matriz identidade deordem

n , denotada por , a mat riz quadrada naqual

In

todos os elementos da diagonal principal so iguaisa

e os demais elementos iguais1a 0 , ou seja:

10 001 0

I =00 0n

00 1nn

Propriedades

( )1. Para a adio de matrizes temos :ABCM

,,n m

A adio de matrizes associativa : () () AB C ABC

+ + = + +

A B BA

+ =+

A adio de matrizes comutativa :

( ) A adio de matrizesadmite

elementoneutro

: Existe umamatriz

OM Rtalnm

+ =+=.que A OOA A( ), ex iste uma matriz

indicada Existe matriz oposta: Para todamatriz

A MRmn

, chamadap or , t ambm de ordem nm matriz oposta de , tal que- A A.+ -=-+=A

AAAO()() ()2. Para a multiplicao por escalar

temosek

k, AB

M,

12 n m

( ) ( ) kkA kkA

= 12 12

() kkAkAkA

+ = + 12 1 2( ) +=+kAB

kAkB111

( ) ()3. Para a multiplicao de matrizestemos

, eAM

BM

m n n p

( )CM

p q

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Apostila ITA

A multiplicao de matrizes

associativa : . = ()() A BC

ABC () = .ABBA

ttt

Vale a propriedade distributiva esquerda:

. +=+ A B C ABAC

()

Vale a propriedade distributiva direita:

.+ =+() BC ABACA Existe elemento

neutro:.A

IIAA ==

n m

.( ) ( )()kAB AkB k

AB==

1 11

Exerccios

1 29a2 bBac

=01. (UFG) Sejam as matrizes e . Para que elas sejam=A 163

- -27 4

iguais, deve-se ter:a) 3 a =- e 4 bc=- =

= e 4 ==- b) 3 a bc

c) 3 a = e 4 bc=- =-

=- e 4 ==-d) 3 a bc

e) 3 a =- e bc== 42

4 1 - 3 2P= 3 Q = 4 P- 2Q02. (UFBA) Se e , a matriz transposta de :

- 2 5

- - -10 8 2 12 1 7a) b) c)

- 11 - - -3 5 5 1 1

- 2 8 10 11d) e)

- 5 5 - 83

2 1 - 1

x 0 1- y2

03. (SANTA CASA - SP) Se a matriz simtrica, ento ovalor-x y 3 1

de xy

+ :

a) 3 b) 1 c) 0d) -- 2 e) 3

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Matemtica

= -A A04. (SANTA CASA - S P) Se uma matriz quadrada tal que t ela Achamada anti-simtrica. Sabe-seque

anti-simtricae,

M

4 + a ... ...

M = a b + 2 ...

b c 2c - 833

Os termos a12 , a13 e a23 da matriz Mvalemrespectivamente:a) , e .- 4 - 2 4

b) , e .4 2 - 4c) , e .4 - 2 - 4d) , e .2 - 4 2e) n.d.a.

05. (FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes , e Cso, respectivamente,A B( )3 , 3r e 2s . Se a matrizt de ordem 34 , ento igualAB

C- rst++

a:a) 6

b) 8c) 10d) 12e) 14

06. (FATEC) Uma indstria automobilstica produz carros e nas verses standart,X Yluxo e superluxo. Peas , e Cso utilizadas na montagem desses carros.A BPara um certo plano de montagem, dada a seguinteinformao:

Carro X YCarroAPea 4 3BPea 3 5C 2Pea 6

Standard Luxo SuperluxoXCarro 2 4 3YCarro 3 2 5

Em termos matriciais,temos:

6


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Apostila ITA

43

=matriz pea-carro

35

62

243matriz carro-verso .=

325

A matriz pea-verso: 17 22 27 17 22 27 17 22 27

a) 21 28 34 b) 21 34 22 c) 21 22 28

18 28 22 18 28 28 18 34 28

17 22 27 17 22 27

d) 21 22 34 e) 21 28 28

18 28 28 18 34 22

07. (FUVEST) Considere as matrizes:( )= = -A a a i j4 7, , definida por ;i j ij( )B = b b = i7 9, , definida por ;i j i j( )=C c =C A

B, .ij

cO elemento :6 3- 18a) . b) .- 112

- 9c) . d) 112.e) no existe.

OC nA B08. (ITA) Sejam , e matrizes reais quadradas de ordem e a matriznula

n

ntambm de ordem . Considere as afirmaes:I. AB = BA

= =AB

AC B C II.

A = O A = O2III. n n() ()AB C = A B C IV.

() - = - +2A B A 2AB

B2 2V.Ento podemos afirmar que:a) apenas a I falsa. b) apenas a IV verdadeira.c) V verdadeira. d) II e III so verdadeiras.e) III e IV so verdadeiras.

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Matemtica

E 02

Operao Elementar Sobre Linhas

()Uma operao elementar sobre linhas de umamatriz

qualquerAM

mn

uma das transformaes: multiplicao de uma linhade

por uma constante real nonula

k;A

permuta de duas linhas de ;A

subst ituio da - sima linha de p or u ma l inha f ormad a pela s omada

-r A r

ssima l inhacom

kvezes a - sima linha, sendo kum escalar arbitrrioe

.rs

23 5Exemplo: Sendo , temos:A =

7111323

46 5

A multiplicao da primeira linhapor .2: 711132 3

71113 A permuta da primeira com a segundalinha:

.23 5

2 3

A substituio da primeira linha pela primeira linha soma da primeira linhacom 16 25 31

duas vezes a segunda linha:71113

2 3

Cada operao elementar sobre linhas de umamatriz

pode ser representadaA pela multiplicao por uma matriz quadrada,observe: A multiplicao da primeira linha

por:2

20 2 3 5 4 610.=

0 1 7 11 13 7 11 13 2 2 2 3 23

A permuta da primeira com a segundalinha:

0 1 2 3 5 7 11 13.=

10 71113 2 3 5 22 23 23

A substiruio da primeira linha pela soma dela com duas vezes asegunda:

12 2 3 5 162531=

01 71113 7 11132 2 2 3 23

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Apostila ITA

Matrizelementar

Definio:( )Uma matriz dita elementar

se algumatransformao

EM

EA

m m

( )elementar sobre linhasde

, para todamatriz

.A AM

mn

Usando a linguagem:() ( ) ( ), ,... e , podemose = 10 0 e = 01 0 e = 00 1

1 1 2 1 m m m m 1

formar as matrizeselementares:

Permutao da i - sima linha coma

- sima linhaj

e1

- e i simalinhaj

.P =i j - e j simacolunai

em

Exemplo:e 01 0

2

e 10 0P == (Permutao da primeira linha com a segunda

linha)1

1 2

e 00 1m m m

Multiplicaoda

i - sima linha por uma constante nonula

k:

e1

() .Mk kei

= - simalinhai i

em

Exemplos:3 30 0e

1

e 01 0()M 3 == 21

e 00 1m

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Matemtica

e 10 01

5 05 0 e() ==M 5 22

e 00 1m

Substituio da i - sima linha pelo resultado da somada

i - sima linha comuma constante karbitrria multiplicada

pela- sima linha:j

e1

+ -ekei

simalinha()

i j

.=Sk

i

j

ej

em

Exemplos:ee

+5 15 012

e 01 0() ==S 51 22

e 00 1m

+ee

7 107 01 3

e 010 02

()Se

7 001 0==13 3

e 000 1m

e 100 01

ee

+11 11 1 0 0

()2 1

Se

11 001 0==213

e 000 1m

Matriz inversaDefinio: ( Inversa esquerda)

( )Diremos que uma matriz tem inversa esquerda, denotada por AM

Lm n

( )(uma matriz pertencente ), se:Mnm

LA I = .n

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Apostila ITA

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Exemplo: Se ja amatriz

, observamos que 131L = uma=-A 10251

31 -

inver sa esquerda de , po is :A11

131 10.LA= - = 10

251 0131 -

Definio: ( Inversa direita )( )Diremos que uma matriz tem inversa direita, denotada por A

MR

mn

( )(uma matriz pertencente ), se:Mnm

ARI

= .m

48

=Exemplo: Seja a matriz037

A umaR = - 57025, observamos que - 23

inversa direitade

, pois:A48

037 10.= - =A

R57

025 01- 23

Definio: (Matriz inversa)( )Diremos que uma matriz tem inversa, denotada por A , se:A

M

- 1

m m

, ==AA A AI

- -11

m

ou seja, se possui inversa direita e esquerda simultaneamente.

Observaes: Se uma matriz possui inversa direita e inversa a esquerda elas sero iguais,A

ou seja:

Se e , ento .LA I = ARI

= LR=

( ) Se inversvel, A tambem o e .- 1A A A =- 1 - 1

() Se e so inversveis, tambm o e .A B A B = -- - AB B

A

1 1 1

Chamamos de matriz ortogonal matriz que satisfaz condio: =A

A

- 1 t

As matrizes elementares so inversveis,note: ( ) - 1 =P

Pi j i j

11


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Matemtica

() 1() , 0k-Mk Mk

1 =ii

( )() ()- 1 = -Sk Sk

ii

j j

Se n uma matriz inversvel deordem

, ento ex iste umasequncia

A

( )de matrizes elementares talque

, ou sejaEEE

,,, EE E AI

=...1 2 p 12 p

. Tal sequncia garante um mtodo para a obteno damatriz

= AEEE

...- 112 p

inversa conhecido como mtodo de Gauss-Jordan.

213

Exemplo: Para a obteno da matriz inversade

criamos amatriz:

A =- 112

435

213100

=-AI 112010435001

Note que ao efetuarmos uma transformao elementarem

, a matrizAI

transformao elementar fica registrada na parte correspondente matrizidentidade,observe:

100213100

()()MAI

- =- - -2 224020 M -= -20202 2

435001 001.

Quando forem efetuadas todas as transformaes elementaresem

213100

-112010

435001

at transform-laem - 11 2 5

22100 3 1 --010 1 22001 3 72 1 2 --

,

temos que

12


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Apostila ITA

- 11 2 522

3 1=--A 1- 1 22372 1 2 --

Este procedimento conhecido como mtodo de Gauss-Jordan.A obteno de uma matriz inversa, feita passo passo, pode serexemplificadapor:

11 1 -

A = -11 2

21 3 -

- - -11 1100 11 11 0 0 11 11 0 0

- - -11 2010 00 11 10 21 30 0 1

-- -21 3001 21 30 0 1 00 11 10

- - -11 11 0 0 11 11 0 0 1102 1 0

- - - 01 12 0 1 01 011 1 0101 1 1

00 11 1 0 00 11 1 0 0011 1 0---

- 1001 2 1 121-

.=-- 0101 1 1 A 11 1- 1

-0011 1 0 - 110

Exerccios

01. Usando a definio determine a inversa dasmatrizes

= =a) 23A b) 62B14 10 4

-1 2 1

02. (ITA) Sendo , ento o elemento da terceira linha e

primeira

A = 0 - 3 2

- -3 1 2

coluna, de sua inversa, ser igual a:

5 9 6 2 1a) b) c) e)-

8 11 11 13 13d)

13


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Matemtica

03. Usando o mtodo de Gauss-Jordan determine a inversa de cada matriz:

2100- -12 3-10 11a) b)A = 210 =B

0111425 -

- 10 0 3

+- =23 5xyz+ -=-04. O sistema linear pode se associado equao

matricialxyz

22 1+ +=33 12xy

z23 1 5 - x 23 1 - x 5

. Sendo , e , responda12 2 1 - =- y A = - 12 2 Xy

= B =- 1

33 1 12 z 33 1 z 12

o que se pede:

a) Determine A .- 1

= = , determine a soluo dob) Observando que A AX A B X AB

---11 1

sistema apresentado.

05. Observando o procedimento apresentado na questo anterior, resolva o sistema:

27+ =xy- +=xzw 6

+ +=yzw 8

- + =xw 312

06. (PUC SP) Sendo e matrizes inversveis de mesma ordeme

uma matriztal

A B X

()que , ento:XAB

= t

a) XAB

= - 1 t

= b) XBA

t - 1

()c) X

BA

= t

()d) XAB

= t

e) n.d.a

14


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Apostila ITA

E 03

Determinantes

Ordem de uma permutao{ }= uma bijeo deUma permutao dos elementos do conjunto In 1, 2,3,...,

n

I e I . Note que existem ! n bijees.n n

{ }Exemplo: As permutaes dos elementos do conjunto 1, 2, 3 so:

( )s = 111 1 1()s : s = 222 21 1s = ()333 3 1

( )s = 111 1 2 ()s : s = 232 32 2s = ()323 2 2

( )s = 121 2 3()s : s = 212 13 3s = ()333 3 3

( )s = 121 2 4

()s : s = 232 34 4s = ()313 1 4

( )s = 131 3 5()s : s = 212 15 5

s = ()323 2 5

( )s = 131 3 6 ()s : s = 222 26 6s = ()313 1

6

15


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Matemtica

Como os elementos do domnio de uma permutao sempre podem estar emsuaordem natural, uma permutao fica inteiramente determinada ao ordenarmosasimgens, assim as permutaes do exemplo anterior podem ser escritascomo: s .s = s = s= s = s = =123 132 213 231 312 321

1 2 3 4 5 6

Observando as permutaes da esquerda para a direita, temos quenapermutao os elementos esto posic ionados em sua ordem natural nos = 123

1

havendo nenhuma inverso entre os elementos, neste caso dizemos que apermutao ( )s = . Na permutao ordem zero, ou seja o 0 temos o 3 antes do e dos = 321 2

1 6

(sof rendo duas inver ses) e o an te s do ( sofr endo uma inver so), ou seja,1 2 1houveram 3 inverses, o que diz que a permutao de ordem 3, que receber

as

6

( )notao o s = . Desta forma temos a seguinte sequncia de permutaes e suas36

respectivas ordens:

permutao ordem

( )o s = 0s = 1231 1( )s =s = o 1132

2 2

( )s =s = o 12133 3

( )o s = 2s = 2314 4

( )s =s = 312 o 25 5

( )s =s = o 33216 6

Determinante()Definio: Um determinante, denotado por det , uma

funodet : M

n n

dada por:

() ( ) n o! () ,det 1 ...Aaaa

=- s i() ( ) ( )1 1 2 2ss s nn

i ii=i 1

ou

aa a1 1 12 1 n

aa a aa a ()n o! ()s=- 1 ...

21 22 2 n

.i

( ) ( )()

sss11 2 2 nni i i

i=1

aa an n nn1 2

Desta forma o determinante de uma matriz deordem

calculadofazendo:

2

16


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Apostila ITA

() ( ) ()() ( )=- +- det 1 1Aaa aa sso o 1 2() ( ) () ( )s ss s1 1 2 2 1 1 2 21 1 2 2

()() ()=- +- det 1 1A aa aa 011 1 2 2 1 2 2 1

()det A aa a a=-,1 1 2 2 1 2 2 1

que na prtica pode o produto dos elementos da diagonal principal menos oprodutodos elementos da diagonal secundria.

aa aa aa=-. . 11 12 .

aa 11 2 2 1 2 212 1 2 2

Desta forma o determinante de umamatriz

de ordem 3 ser calculado daAseguinte forma:

() ( ) ()() ()=- +- +ssdet 1 1Aaaaaaa

o o 12

() ( ) () () ( ) ()s ss s ss11 2 2 33 11 2 2 3 311 1 222

() ()() ()1 1 +- +- +o oss aa a aa a34() () () () () ()1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3ss s ss s

33 3 4 4 4

() ()() ()+- +- 1 1 o oss aa a aa a5 6() ( ) () () () ()11 2 2 3 3 11 2 2 33ss s ss s

555 66 6

()() () ()=- +- +- det 1 1 1A aa a aa a a aa0 1 11 1 2 2 3 3 1 1 2 3 32 1 2 2 1 3 3

() () ()+- +- +- 1 1 1 aaa aaa aaa2231 2 2 3 3 1 1 3 21 3 2 1 3 2 2 31

() =--+det A aaa aaa aaaaaa

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 2 2 3 3 1

+ -aaaaaa1 3 2 1 3 2 13 2 2 3 1

52 3

Exemplo: O determinante damatriz

:A = - 02 1

43 1

() ( ) ( )det 5 21 5 1 3 2 01 2 1 4 30 3 3 2 4 7A = -- - + - +- =-

O uso da definio muito dispendioso para o clculo dos determinantes, poreste motivo existem algumas regras prticas que tornam o clculo mais rpido.Umadestas regras a de Sarrus que ser apresentada a seguir.

Regra de SarrusA regra de Sarrus uma regra prtica para o clculo de determinantes dematrizesde ordem 3 e dado pelo diagrama aseguir:

17


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Matemtica

aaaaa1 1 1 2 13 1 1 1 2

() =det A aaaaa2 1 22 2 3 2 1 22

aaaaa3 1 3 2 33 3 1 3 2

( )det .. .. .. .. .. ..A aaa aaa aaa aaa aaa aaa=++---1 1 22 33 12 23 3 1 13 21 32 13 22 31 1 1 23 3 2 12 21 33

Lema deLaplaceUma submatr iz de qualquer matriz obtida pela eliminao de linhas

ouA

colunas (ou ambos) da matriz .A52 3

Exemplo: As matrizes 523 e 23 so submatrizes de .02 1 --431 21

43 1

Definio (Matriz menor complementar): A submatriz obtida pela eliminaodeuma linha e uma coluna de uma matriz quadrada chamada de matrizmenorcomplementar. Ao eliminarmos alinha

i e a coluna da matriz obtemos a matrizj A

menor complementar que ser denotadapor

.Ai j

52 3-21 52

= =Exemplo: Sendo , ento: A AA = - 02 131 43, .1 1 2 3

43 1

Definio (Cofator): O cofator doelemento

da matriz , denotado por , a Ai j i j

o nmero( )()=- . 1det A+ij

i j ij

( ) dado por:Lema (Laplace): O determinante damatriz

AMnn

() {}n , em que pode ser qualquer elemento de 1 , 2 ,. ..,n= det Aa

ji j i j

i= 1

ou

() {}ndet Aa = , em que ipode ser qualquer elemento de 1, 2, ...,n .ij ij

=j 1

52 3

Exemplo: Para calcular o determinantede

primeiro escolhemos umaA = - 02 1

43 1

linha (ou uma coluna) e usamos o segundo somatrio do lema de laplace, nestecaso = , da:existe vantagem em escolher a segunda linha, ou seja2

i

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Apostila ITA

( ) = + + .det Aa a a21 2 1 22 2 2 2 3 2 3

Calculando os cofatores: Como no h necessidade de calcular o

cofator.a = 0

2 1 2 1

53() =- =- 17+22412 2

52() n =- =- 17 X+2 3432 3 i

i = 1

() ( )( ) ( )= +- +- - =-.det 0 2 7 1 7 7A2 1

Exerccios

01. (FUVEST) Calcule os determinantes:10 0 3

10 a 114A = 011 B a= -e

00 0 3-011

0114

= = -Aa () aij 202. (UFSE) O determinante da matriz , onde , igual a:ij 33 ij

a) - 12 b) 8 -c) 0d) 4e) 6

120

- 11 k03. (UFPA) Qual o valor de k para que o determinante damatriz

seja

01 k

nulo?

-12a)

21b)22c)

22d)-48e)

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Matemtica

=()

Aa04. (SANTA CASA) Seja a matriz quadrada , de ordem , tal que2ij

pcos se

2a ij ij= -

=o determinantede

igual a:Apij

sen seij ij+

a) 34 b) 1 4 c) 0

d) - 1 e) - 34 4

05. (UF UBERLNDIA) Sabendo-se que o determinante da matriz igual a 3 - ,A

p pqual o valor do sen x , 3 ==x ?

2 2cos 1x 1

A =- 01 4

0 cos 0x

- 3 - 2a) b) - 1 c)2 22

3d) e) 1

2 2

280xx

06. (UNESP) Se a e b so as razes da equao log logxx

0 = , onde022 2

123

x > 0 ab+, ento igual a:

a) 23 b) 3 4 c) 3 2

d) 4 3 e) 4 5

07. (CESESP) Se uma matriz quadrada de ordem 3e

a matrizidentidade

A I

tambm de ordem 3,ento

um polinmio de grau 3 em .det ( )AI

-

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Apostila ITA

Assinale a alternativa correspondente ao conjunto das razes do polinmioacimadefinido, onde

111

=A 111

111

{ } { }a) 0, 2 b) 0, 3{ }c) 1, 0, 3d)-{1 , 1, 0}

e) -{1, 1, 3}

08. (Determinante da matriz de Vandermonde) Demonstreque:

111

()()()a) x yz yxzyzx=---

xy

z

2 22

1111

xyzw yx zy zx wz wywx

()()()()( )()b) = --- - - -xyzw

2 22 2

xyz

w

3 33 3

09. (UF UBERLNDIA) O determinante11 1 1

log log log log8 80 800 8000vale:

()( )( )( )log log log log8 80 800 800022 2 2

()( )( )( )log log log log8 80 800 800033 3 3

a) log ( . . . )8 80 800 8000

b) 12

log 824c)

+ ++d) log log log log8808008000 e) 24

21


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416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes

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