Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Notas de Aula Prof. Cristiano Santos 1. COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE O CURSO 1.1. INTRODUÇÃO O curso de matemática financeira tem como objetivo introduzir o aluno no universo das aplicações financeiras da economia cotidiana, dimensionando o real valor do conhecimento de operações financeiras simples do dia-a-dia de todos. Nesse sentido, é desejável que o aluno, ao final do curso, esteja apto a avaliar as vantagens e desvantagens de realizar determinadas transações de natureza monetária, como a aplicação de investimentos em fundos ou poupança, adquirir um bem à vista com desconto ou a prazo, a tomada de empréstimos de longo prazo, entre outros. 1.2. CONTEÚDO DO CURSO O curso versa sobre os seguintes tópicos da área da matemática financeira: - O Valor do Dinheiro no Tempo; - Juros Simples; - Juros Compostos; - Equivalência de Fluxo de Caixa; - Desconto; - Sistemas de Amortização; - Anuidades; - Inflação e Cálculo de Taxa Over; - Taxa Interna de Retorno e Valor Presente Líquido dos Investimentos; 1.3. AVALIAÇÂO A avaliação do curso será por meio de duas provas, 1 P e 2 P , de conteúdos diferentes, cujas datas serão estabelecidas no primeiro dia em que houver aula. A nota do aluno, NT, será calculada como uma média simples entre as duas provas:
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Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Notas de Aula
Prof. Cristiano Santos
1. COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE O CURSO
1.1. INTRODUÇÃO
O curso de matemática financeira tem como objetivo introduzir o aluno no universo das aplicações
financeiras da economia cotidiana, dimensionando o real valor do conhecimento de operações
financeiras simples do dia-a-dia de todos.
Nesse sentido, é desejável que o aluno, ao final do curso, esteja apto a avaliar as vantagens e
desvantagens de realizar determinadas transações de natureza monetária, como a aplicação de
investimentos em fundos ou poupança, adquirir um bem à vista com desconto ou a prazo, a
tomada de empréstimos de longo prazo, entre outros.
1.2. CONTEÚDO DO CURSO
O curso versa sobre os seguintes tópicos da área da matemática financeira:
- O Valor do Dinheiro no Tempo;
- Juros Simples;
- Juros Compostos;
- Equivalência de Fluxo de Caixa;
- Desconto;
- Sistemas de Amortização;
- Anuidades;
- Inflação e Cálculo de Taxa Over;
- Taxa Interna de Retorno e Valor Presente Líquido dos Investimentos;
1.3. AVALIAÇÂO
A avaliação do curso será por meio de duas provas, 1P e 2P , de conteúdos diferentes, cujas datas
serão estabelecidas no primeiro dia em que houver aula. A nota do aluno, NT, será calculada como
uma média simples entre as duas provas:
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2
221 PP
NT+
=
Será considerado aprovado o aluno que obter NT maior ou igual a 7 (sete).
1.4. BIBLIOGRAFIA
As notas de aula não substituem as referências bibliográficas. Nelas sempre se encontrará uma
descrição mais detalhada de cada tópico, com muitos exercícios e alternativas de nomenclatura e
abordagem aos temas. Recomendo, basicamente, quatro livros, mas, na maioria dos casos, muitos
se eqüivalem. Deixo ao critério de cada um escolher aquele livro com o qual se identifique com a
linguagem e metodologia:
- ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 9ª edição – São
Paulo: Atlas, 2006
- PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada – São Paulo: LTC
Editora, 2000;
- VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira – 7ª edição – São Paulo:
Atlas, 2001;
- JUER, Milton. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada – 5ª edição – Rio de Janeiro:
IBMEC, 1995.
2. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
O conceito de dinheiro foi evoluindo ao longo do tempo. Nos primórdios da civilização não havia
um conceito de moeda fiduciária propriamente dito. O escambo, que era a simples troca de
mercadoria por mercadoria, sem equivalência de valor, predominava. Ao poucos algumas
mercadorias começaram a se estabelecer como moedas-mercadoria. Estas eram aceitas por
todos, assumindo a função de intermediação, circulando como elemento de troca e servindo para a
avaliação de valor. Exemplos de moedas-mercadoria são o gado e o sal.
Aos poucos as relações de troca foram sendo estabelecidas através de metais, por estes
possuírem vantagens como a possibilidade de entesouramento, divisibilidade, raridade, facilidade
de transporte e beleza. A moeda de papel aparece apenas na Idade Média, surgindo com o
costume de se guardar valores em ourives, que eram pessoas que negociavam objetos de ouro e
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prata. Estes, como garantia, entregavam recibos. Com o tempo, estes recibos passaram a ser
utilizados para efetuar pagamentos, circulando de mão em mão e dando origem à moeda de papel.
No Brasil, os primeiros bilhetes de banco, precursores das cédulas atuais, foram lançados pelo
Banco do Brasil, em 1810. Tinham seu valor preenchido à mão, tal como, hoje, se faz com os
cheques.
O dinheiro, seja em que forma se apresente, não vale por si, mas pelas mercadorias e serviços que
pode comprar. É uma espécie de título que dá a seu portador a faculdade de se considerar credor
da sociedade e de usufruir, através do poder de compra, de todas as conquistas do homem
moderno.
A moeda não foi, pois, genialmente inventada, mas surgiu de uma necessidade e sua evolução
reflete, a cada momento, a vontade do homem de adequar seu instrumento monetário à realidade
de sua economia.
Por este mesmo motivo, uma determinada quantia hoje, não “vale” a mesma coisa amanhã, pois o
dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos. O que quantifica o crescimento do dinheiro são
os juros aplicados ao longo de um período.
Neste sentido, valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas. Valores
de datas diferentes só podem ser comparados após serem movimentados para uma mesma data,
com a correta aplicação dos juros. Estes são, usando termos coloquiais, o “aluguel pago pelo uso
do dinheiro”. Pode-se dizer então, que o juro é a remuneração do capital, a qualquer título, ou o
custo do capital de terceiros, ou ainda, a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o
capital nelas aplicado.
O conceito que mais trabalhamos neste curso, além do conceito de juros em si, é o de taxa de
juros, que nada mais é que a taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano,
semestre, trimestre, mês, dia), da aplicação dos juros sob um dado capital.
Abaixo seguem exemplos de taxas de juros e a nomenclatura adotada:
- 12 % ao ano = 12 % a. a.;
- 4 % ao semestre = 4 % a. s.;
- 1 % ao mês = 1 % a. m..
4.1. FORMAÇÃO DA TAXA DE JUROS
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A taxa de juros hoje é um dos elementos centrais do mundo das finanças. A ela se dá uma
importância crucial, sobretudo por ser a responsável pela rentabilidade das empresas financeiras,
que negociam seus ativos no mercado levando em conta sempre os riscos imanentes ao sistema.
Estes riscos podem estar associados a muitas e diversas causas. Cada risco é objeto de minuciosa
análise e existem áreas inteiras nas grandes corporações para avaliações dessa natureza.
Neste sentido, podemos escrever a taxa de juros i do mercado, como uma combinação de vários
fatores (que aqui chamamos de prêmios):
RVLRIILR PPPPii ....=
A taxa LRi é o que se chama de taxa livre de risco, ou taxa de juros real, aquela que seria cobrada
caso não existisse nenhum risco inerente ao empréstimo do dinheiro, tal como o risco de inflação,
representado por IP . Este risco, ou prêmio, é dado por não se saber ao certo qual será a inflação
no futuro, desde o momento da concessão do empréstimo até a data de seu pagamento. Da
mesma maneira, RIP , representa o risco de inadimplência. Este é calculado baseando-se no perfil
do tomador do dinheiro, calculando-se a probabilidade de que um elemento no mesmo grupo
venha a não ter condições de honrar suas dívidas. O prêmio de liquidez, LP , está relacionado à
capacidade de o título garantidor da operação de crédito ser negociado em mercados secundários.
O grau de dificuldade de comercialização do título reflete o peso da componente na composição da
taxa de juros. É que, se a comercialização for facilitada, o emprestador terá a oportunidade de
reaver o capital antes do tempo previsto, isentar-se do risco da operação e reciclar o capital
envolvido.
4.2. REGIMES DE JUROS E FLUXOS DE CAIXA
A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no
tempo. A noção principal é a de que o dinheiro perde valor com o passar do tempo. Portanto, é
fácil admitir que mil reais em 2005 tivessem um determinado poder de compra. Hoje
conseguiríamos comprar menos produtos com os mesmos mil reais.
Para estudar essa evolução do dinheiro, adotamos regimes de capitalização dos juros. Há hoje na
economia dois deles: regime de juros simples e regime de juros compostos. No regime de juros
simples, apenas o capital inicial (ou principal), rende juros. Nesse modelo não se somam os juros
do período ao capital para o cálculo de novos juros, ou seja, juros não rendem juros. As equações
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de evolução dos juros são, portanto, lineares fazendo com o que o dinheiro cresça em progressão
aritmética ao longo do tempo.
No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o cálculo de novos
juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. Nesse caso, as
equações que regem a dinâmica dos juros são exponenciais e o dinheiro cresce em progressão
geométrica.
Para facilitar a visualização da evolução de operações monetárias ao longo do tempo, utiliza-se
uma ferramenta gráfica chamada fluxo de caixa, como mostrado abaixo. Este representa um
conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. O eixo horizontal representa
o tempo que sempre cresce da esquerda para a direita, discretamente. Setas verticais para cima
representam entradas e setas para baixo representam retiradas. Quanto maior a seta, maior o
valor da operação.
Podem-se ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações
financeiras etc. É indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e
no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos.
5. REGIME DE JUROS SIMPLES
Vamos derivar uma fórmula para juros simples, considerando a seguinte nomenclatura:
- PV (valor presente ou capital): é a quantidade monetária envolvida em uma transação
financeira, referenciada na data local zero;
- FV (valor futuro ou montante): é a quantidade monetária resultante de uma transação
financeira, referenciada em uma data futura;
- n: número de períodos (expressa em termos de tempo);
- J (juros): é a remuneração exigida na utilização do capital de terceiros;
- i (taxa de juros): é o coeficiente obtido pela relação estabelecida entre o valor do juro
de um período e o capital emprestado.
. . . nn - 11 2 3 4 n - 2
Tempo
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Para a derivação, consideremos uma aplicação PV, que remunera a uma taxa de juros i, por n
períodos e que paga, ao final deste tempo um montante FV. A tabela e o fluxo de caixa abaixo
representam o ganho período a período.
Período Valor Presente Juros Saldo Final dos Juros
1 PV PV . i ( )iPVFV += 11
2 PV PV . i ( )iPVFV += 12
3 PV PV . i ( )iPVFV += 13
... ... ... ...
n – 1 PV PV . i ( )iPVFVn +=− 11
n PV PV . i ( )iPVFVn += 1
Sendo assim, o valor futuro total pode ser calculado como:
( )niPVFVFVFVFVFVFV nn
n
jj .1... 121
1
+=++++== −=∑
5.1. TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS SIMPLES
Nos cálculos efetuados em matemática financeira, é preciso que o prazo e a taxa estejam
representados na mesma unidade de tempo.
. . . nn - 11 2 3 4 n - 2
PVFV
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Podemos dizer que duas taxas são equivalentes em juros simples quando aplicadas num mesmo
capital inicial, durante um mesmo prazo, resultam em juros iguais. Um exemplo simples seria
calcular a taxa anual equivalente a 1 % a. m.:
12,001,0.12.1201,0 ===⇒= mam iii
Logo, a taxa de 12% a. a. é equivalente à taxa de 1 % a. m..
5.2. JURO EXATO E JURO COMERCIAL
Existe uma distinção conceitual entre juro simples exato e juro simples comercial. O exato utiliza
efetivamente o calendário do ano civil (365 dias) enquanto o comercial admite o mês com 30 dias,
sendo o ano, portanto, de 360 dias.
5.3. TAXA DE DESCONTO E TAXA DE RENTABILIDADE
Taxa de Desconto: O conceito básico de taxa de desconto a juros simples é muito utilizado em
determinadas operações bancárias, tais como desconto de notas promissórias e desconto de
duplicatas.
Suponhamos inicialmente as seguintes definições:
Sejam d a taxa de desconto em cada período, PV o principal e FV o montante e n o prazo. Convém
então lembrar que a taxa de rentabilidade i é aplicada sobre o principal PV, durante n períodos,
para gerar o montante FV. Por outro lado, a taxa de desconto é aplicada sobre o montante FV,
durante n períodos, para produzir o principal PV. Assim teremos:
).1(.1
ndFVni
FVPV −=
+=
Para explicitarmos a taxa de rentabilidade i ou a taxa de desconto d, obteremos:
nd
di
.1−= ou
ni
id
..1+=
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Como o valor principal PV é menor que o montante FV, dizemos que ele é obtido do desconto do
montante FV. O desconto utilizado com a taxa de desconto é conhecido como desconto comercial,
ou por fora. O desconto realizado com o uso da taxa de rentabilidade i é conhecido como desconto
racional, ou por dentro.
EXEMPLO: Qual o desconto de um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagamento em quatro anos
com a taxa de 10% a. a. se o tomador quita a dívida com um ano de antecedência?
Resposta: Podemos fazer o cálculo diretamente, simplesmente calculando os valores do montante
para n = 3 e para n = 4 e descontando um do outro.
Para n = 3:
( ) 130003.1,0110000).1(1 =+=+= niPVFV
Para n = 4:
( ) 140004.1,0110000).1(2 =+=+= niPVFV
O que dá um desconto de:
1000130001400012 =−=−= FVFVD
No caso, o desconto será de R$ 1000,00.
Utilizando a fórmula para encontrar a taxa de desconto por fora:
3,1
1,0
3.1,01
1,0
..1=
+=
+=
ni
id
Colocando na fórmula para encontrar FV:
13000
3,11
10000
3,13,01
10000
.11 ==−
=−
=nd
PVFV
Fazendo o mesmo para n = 4, obteremos os mesmo R$ 14.000,00 o que resulta em um desconto
de R$ 1.000,00.
5.4. VALOR ATUAL – REAJUSTE DE SALÁRIOS E INFLAÇÃO
5.4.1. Cálculo do Valor Atual
Assim como os produtos, também os salários são reajustados utilizando a mesma Matemática de
juros compostos.
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Reajuste em um único período: Seja S o salário ou o preço inicial, e r a taxa de reajuste no
período. Então:
( )rSSr += 1
Onde Sr é o valor do salário ou preço reajustado. Para um único período o conceito é o de juros
simples.
EXEMPLO: Vamos supor que o salário mínimo seja R$ 100,00. Se o governo resolve aplicar um
reajuste de 10%, teremos r = 0,1:
110)1,01(100 =+=rS
Reajuste com taxas diferentes em cada período: Suponhamos que um produto ou um salário tenha
reajustes diferentes em cada período com taxas nrrr ,...,, 21 respectivamente:
( )( ) ( )nr rrrSS +++= 1...11 21
Se rrrr n ==== ,...,21 , então
( )nr rSS += 1
5.5. TAXA DE REAJUSTE ACUMULADO
Seja acumr a taxa de reajuste acumulado durante todos os períodos, então:
( )acumr rSS += 1
Comparando-se com a fórmula anterior
( )( ) ( ) 11...11 21 −+++= nacum rrrr
EXEMPLO: A gasolina teve o seu preço reajustado em 8% em 2005, 10% em 2006 e 5% em 2007.
Então, qual foi o reajuste acumulado nesses três anos?
Nesse caso, 05,0;1,0;08,0 321 === rrr
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( )( ) ( )%74,242474,0
105,01...1,0108,01
==−+++=
acum
acum
r
r
5.6. INFLAÇÃO
Taxa de um aumento médio no período que sofrem os preços de determinados produtos,
escolhidos para formar a chamada "CESTA BÁSICA" e de alguns itens essenciais (aluguel,
transporte, vestuário, etc.)
Se a inflação foi de 20% em um determinado período, isto significa que os preços foram
reajustados em média de 20% no período. Afirmamos que o CUSTO DE VIDA aumentou em 20%.
A inflação acumulada acumI pode ser expressa como:
( )( ) ( ) 11...11 21 −+++= nacum IIII
onde I1, I
2......I
n são as taxas de inflação relativas a cada período.
Temos vários indicadores de preços INPC-IBGE, IPC-FIPE, IGP-M da FGV, ICV do DIEESE etc.
EXEMPLO: Calcule a inflação acumulada no período de abril de 2008 a março de 2009, segundo o
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( ) ( ) ( ) ( )432 1
5750
1
750
1
750
1
7504600
iiii ++
++
++
+=
%97,17=i a. s.
12.3 OBRIGAÇÕES (BÔNUS)
As obrigações (bônus) são também títulos de renda fixa de longo prazo, emitidos por órgãos
governamentais ou empresas privadas, visando financiar seus investimentos.
Os títulos conhecidos por zero coupon bond (título de cupom zero) não emitem cupons de juros,
sendo lançados no mercado com desconto. Outros títulos costumam prever juros pagos aos
investidores a cada semestre, ocorrendo a amortização do principal no momento do resgate.
Outras formas de pagamentos de juro e principal podem também ocorrer, porém com menos
freqüência.
Os juros dos títulos que prevêem pagamentos periódicos são representados por cupons, cujos
percentuais vigoram até o vencimento. Os rendimentos são padronizados pelo mercado em taxas
nominais, geralmente expressos em taxa anual com capitalização semestral. Assim, para se obter
a taxa de juro semestral do título, basta dividir a taxa anual por dois.
O título é adquirido no mercado pelo seu valor de face, geralmente fixado em R$ 1.000,00. Este
valor pode, no entanto, sofrer alterações determinadas pelas condições de mercado e saúde
financeira da empresa emitente do título. Nestas condições, o título é negociado no mercado com
ágio ou deságio em relação a seu valor previsto no vencimento (valor de face)
12.3.1 ZERO COUPON BOND
O zero coupon bond, ou título de cupom zero, é um título normalmente emitido se cupom, sendo
negociado no mercado com desconto. Seu preço de negociação equivale ao valor presente de seu
valor de face, descontado a uma taxa de juro que reflete a expectativa de remuneração de
investidores.
Graficamente, tem-se a seguinte representação de um título de cupom zero:
0PnC
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onde:
nC = valor de resgate do título no vencimento;
0P = valor de negociação do título, sendo obtido por
K
CP n
+=
10
K equivale a taxa de retorno exigida na aplicação.
Por exemplo, admita um título com vencimento para um ano e valor de face de R$ 1000,00. A taxa
de desconto do título é fixada em 9% a. a. O preço de negociação do título no mercado atinge a R$
917,43, ou seja:
Exemplo:
1. Admita que um governo tenha emitido um título de cupom zero pagando taxa de 11% a. a.
O valor de face do título é fixado em R$ 1.000,00, a ser resgatado no momento do
vencimento. O prazo to título é de 3 anos. Pede-se determinar o fluxo de caixa do título.
Solução:
Para o investidor, o fluxo de caixa apresenta-se da forma seguinte:
0 n
43,91709,1
10000 ==P 1000
( ) 19,73111,1
100030 ==P 1000
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A rentabilidade efetiva da operação atinge, evidentemente, a taxa de 11% a. a.
12.3.2 RELAÇÃO ENTRE PRAZO DE EMISSÃO E TAXA DE DESCONTO COM O VALOR DO
TÍTULO
O valor de um título de cupom zero aproxima-se de seu valor de face à medida que se aproxima
seu vencimento. Para ilustrar, admita um título com maturidade de 10 anos e taxa de emissão de
8%. O valor do título no vencimento é de R$ 1000,00.
O valor do título modifica-se (aproxima-se de seu valor de face) quanto mais próxima a data de
vencimento. Os cálculos a seguir demonstram este comportamento do valor do título em relação ao
prazo de vencimento.
- 1 ano: ( ) 2,50008,11000 90 ==P ;
- 3 anos: ( ) 5,58308,11000 70 ==P ;
- 5 anos: ( ) 5,78308,11000 50 ==P ;
- 9 anos: ( ) 9,92508,110000 ==P ;
Apesar da tendência demonstrada, os valores apurados podem ser diferentes em função das
alterações das taxas de juros de mercado.
A taxa de juro, usada para descontar o fluxo de caixa, e o valor do título apresentam uma relação
proporcionalmente inversa. Quando os juros sobem, o valor do título cai; ao contrário, ocorrendo
uma redução na taxa de desconto, verifica-se uma valorização no preço do título.
A tabela a seguir ilustra o valor de um título com maturidade de 10 anos e valor de face de R$
1000,00, admitindo diferentes taxas de desconto.
Taxa de JuroAnos
transcorridos 6% a. a. 8% a. a. 10% a. a.
0 ano 558,4 463,2 385,5
3 anos 665,1 583,5 513,2
9 anos 943,4 925,9 909,1
10 anos 1000,00 1000,00 1000,00
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O valor do título diminui à medida que se eleva a taxa de desconto. Quanto maior o prazo de
emissão do título, seu preço converge ao valor de face.
12.3.3 BÔNUS COM CUPONS
Títulos com cupons oferecem geralmente juros periódicos (semestrais) e devolução do principal
aplicado ao final do prazo de emissão. Esses títulos são geralmente de longo prazo, variando a
maturidade de 5 a 30 anos.
Os juros dos cupons são pagos de acordo com a taxa prometida pelo título, garantindo um
determinado fluxo de rendimentos ao aplicador.
Se o investidor aceitar os juros oferecidos pelo cupom, o título é negociado por seu valor de face,
ou seja, ao par. Ocorrendo alterações nas taxas de juros, o valor do título também sofre alterações,
sendo cotado com ágio ou deságio em relação a seu valor de face.
12.3.4 PREÇO DE MERCADO
O preço de negociação no mercado é obtido pelo valor presente dos fluxos esperados de
rendimentos descontados a uma taxa de atratividade requerida pelos investidores, ou seja:
( ) ( ) ( ) ( )
++++
++
++
+=
nnn
K
PC
K
C
K
C
K
CP
1...
111 33
221
0
Exemplo:
1. Admita uma obrigação com valor de face de R$ 1000,00 com maturidade de seis anos. A
remuneração prometida são juros semestrais de 4%. Se os investidores aceitarem
descontar esse título somente à taxa de 10% ao ano, calcular seu preço de mercado.
Calcular também o preço de mercado do título se a taxa de desconto se elevar para 13%
ao ano.
Solução:
Taxa de desconto: 10% ao ano
( ) ( ) ( ) ( )
++++= 12320
05,1
1040...
05,1
40
05,1
40
05,1
40P
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4,9110 =P
Taxa de desconto: 13% ao ano
( ) ( ) ( ) ( )
++++= 12320
065,1
1040...
065,1
40
065,1
40
065,1
40P
03,7960 =P
13. RENDA VARIÁVEL
Os valores mobiliários, representados por ações e debêntures, são emitidos pelas sociedades
anônimas de acordo com aprovação prévia da CVM (Comissão de Valores Mobiliários). Cabe à
CVM o disciplinamento da emissão e fiscalização do mercado de negociações de ações, opções e
debêntures.
A ação representa uma fração do capital social de uma sociedade anônima, sendo
caracteristicamente definida como ativo de risco. A debênture, por seu lado, representa um título
de crédito cujos rendimentos são calculados de maneira semelhante aos títulos de renda fixa,
como já estudado. O mercado de opções de ações será estudado com um pouco mais detalhe em
breve.
13.1 Avaliação de Ações
Identicamente às demais operações financeiras, na avaliação de ações é necessário construir-se
os fluxos de caixa, isto é, os fluxos dos benefícios econômicos de caixa esperados.
Fundamentalmente, os benefícios de caixa das ações são representados pelos dividendos, parcela
do lucro líquido que as empresas distribuem aos seus proprietários periodicamente, e valorização
de sua cotação, ou seja, ganhos de capital promovidos pelo aumento dos preços das ações.
O preço que uma ação está sendo normalmente negociada no mercado é denominado valor de
mercado ou cotação. O valor presente do fluxo de benefícios esperados de caixa, descontados a
uma dada taxa de juros (taxa de atratividade da aplicação), é definido por valor teórico de mercado
ou valor intrínseco de uma ação. Estes dois valores são iguais caracteristicamente em condições
de mercado eficiente.
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As ações são consideradas aplicações de renda variável, pois seus benefícios de caixa
(dividendos e valorização) não são geralmente estabelecidos no momento de aquisição, variando
em cada período como resultado de diversos fatores.
13.1.1 Aplicações em Ações com Prazo Determinado
Para o caso mais simples de uma aplicação financeira em ação por determinado período no qual
não está previsto distribuição de dividendos, o fluxo de caixa pode ser estabelecido a partir da
seguinte representação gráfica:
Sendo:
0P : preço de mercado (aquisição) da ação 0t . Pode também representar o valor presente do fluxo
de benefícios esperados de caixa;
nP : preço de mercado esperado no momento da venda da ação.
A expressão de cálculo assume a forma seguinte:
K
PP n
+=
10
onde K representa a taxa de desconto da operação, ou seja, a taxa de retorno periódica exigida
pelo investidor.
Exemplo
Admita uma ação cujo valor de mercado atinja, em determinado momento R$ 15,00. Sendo de 5%
ao mês a taxa de retorno exigida por um investidor, pede-se:
a) demonstrar a atratividade da compra dessa ação pelo investidor prevendo-se que o seu preço
de mercado suba para R$ 16,00 ao final de um mês;
0PnP
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b) se o investidor estimar que o preço de mercado dessa ação irá alcançar o valor de R$ 15,50 ao
fim de um mês, qual o preço máximo que ele poderia pagar hoje de maneira que apure um
retorno mínimo de 5% ao mês?
Solução
a)
K
K
PP n
+=
+=
1
00,1600,15
10
K = 6,67%
O rendimento produzido nesta situação esperada atinge 6,67% no período, marca superior à taxa
de retorno exigida pelo investidor de 5%. Logo, alternativa de aplicação, considerando os
benefícios esperados de caixa, é economicamente atraente.
b)
açãoP
K
PP n
/76,1405,01
00,161
0
0
=+
=
+=
O preço máximo que investidor poderia pagar pela ação, de forma a obter a rentabilidade mínima
desejada de 5% ao mês, é de R$ 14,76. Logo, diante das expectativas de valorização da ação, o
preço atual de mercado de R$ 15,00 é alto para o investidor, não sendo atraente a sua compra.
13.2 Opções
De uma forma geral, opção é o direito de uma parte comprar ou vender para outra parte, até
determinada data, uma quantidade de um determinado ativo por um preço previamente conhecido.
Deve-se notar que no mercado de opções não negociamos o produto em si (chamado título objeto)
mas apenas os direitos sobre ele. Isso significa que o titular da opção tem o direito de realizar uma
ação. Porém, este direito não precisa ser exercido. A opção só fornece este direito.
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O titular da opção só vai exercer o seu direito de compra se lhe for conveniente. Por outro lado, o
vendedor da opção terá que aceitar a decisão do comprador se este optar pelo exercício da opção.
Para facilitar o entendimento vamos enumerar os conceitos básicos utilizados no mercado de
opções.
Titular: o titular é o proprietário ou comprador da opção, ou seja, aquele que detém o direito de
comprar ou vender. O titular paga um preço ou prêmio por este direito.
Ativo-objetivo: é o ativo que o titular pode comprar (se tiver uma opção de compra) ou vender (se
tiver uma opção de venda). Este ativo é, portanto, o produto que referencia a opção, por exemplo,
ações, ouro, dólar etc.
Opção de compra (call): uma opção de compra é aquela que permite ao seu titular o direito de
comprar um ativo em determinada data por determinado preço. No mercado, a opção de comprar
também é chamada de call.
Opção de venda (put): uma opção de venda é aquela que permite ao seu titular o direito de vender
um ativo em certa data por determinado preço. No mercado, a opção de venda também é chamada
de put.
Lançador: o lançador é o vendedor da opção, ou seja, é aquele que cede o direito ao titular.
Portanto, deve comprar ou vender o ativo do titular se este desejar.
Prêmio: é o preço de negociação da opção, ou preço de mercado, ou cotação da opção em bolsa
de valores ou de mercadorias. Em outras palavras, é o preço que o titular para pela opção. O
prêmio sempre será pago pelo titular ao lançador da opção. Este valor é pago no ato da
negociação de comprar e venda da opção e não é devolvido mesmo que a opção não seja
exercida.
Preço de exercício: é o valor futuro pelo qual o bem será negociado ou preço pelo qual o titular
pode exercer o seu direito (comprar se tiver uma opção de compra, vender se tiver uma opção de
venda). No mercado, o preço de exercício também é conhecido com strike price.
Data de vencimento: é o dia em que a posição será exercida ou em que cessam os direitos do
titular de exercer sua opção.
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Opção americana: são opções que podem ser exercidas a qualquer hora, até a data de
vencimento.
Opção européia: são opções que podem ser exercidas apenas na data de vencimento.
Séries de uma opção: as bolsas quando lançam opções sobre um determinado ativo o fazem por
séries, onde fixam o preço de exercício para uma mesma data, sendo cada série identificada por
um código.
Em resumo, para serem negociadas em mercados organizados as opções devem ser
padronizados no que se refere ao ativo-objeto, data de exercício etc. No entanto, o mercado é livre
para negociar o valor do prêmio pelo qual as opções vão ser negociadas.
13.2.1 Classificação das Opções
Para facilitar a negociação das opções, tendo em vista que existem várias em negociação, as
bolsas criaram um sistema que agrupa as opções por tipo, classe e série. Estes elementos
especificam um contrato de opção e identificam o ativo objeto, o prazo de vencimento e o preço de
exercício das opções.
O tipo de uma opção é definido por ser ela uma call ou put. A série da opção é dada por seu preço
de exercício e a classe pelo prazo de vencimento.
As opções negociadas em bolsa são escriturais, as posições (lançadoras e titulares) são
registradas individualmente para cada cliente, e emitidos relatórios diários das posições individuais
de cada participante.
Outra classificação muito utilizada pelo mercado é feita de acordo com a possibilidade de exercício
das opções. Esta classificação compara o preço de exercício da opção como preço do ativo-objeto,
conforme o quadro abaixo:
Classificação Opção de Compra Opção de VendaDentro do Dinheiro Preço de exercício menor que o
preço do objetoPreço de exercício maior que opreço do objeto
No dinheiro Preço de exercício igual aopreços do objeto
Preço de exercício igual aopreço do objeto
Fora do dinheiro Preço de exercício maior que opreço do objeto
Preço de exercício menor que opreço do objeto
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A diferença entre o preço atual e o preço de exercício é chamada de valor intrínseco da opção e é
uma medida intuitiva do seu valor.
Exemplo
Dada uma call (opção de compra) preencha as colunas de valor intrínseco e de classificação da
tabela abaixo:
Preço Atual Preço de Exercício Valor Intrínseco ClassificaçãoR$ 80,00 R$ 100,00R$ 90,00 R$ 100,00R$ 100,00 R$ 100,00R$ 110,00 R$ 100,00R$ 120,00 R$ 100,00
Solução
A tabela deve ser preenchida como se segue:
Preço Atual Preço de Exercício Valor Intrínseco ClassificaçãoR$ 80,00 R$ 100,00 R$ 0,00 Fora do dinheiroR$ 90,00 R$ 100,00 R$ 0,00 Fora do dinheiroR$ 100,00 R$ 100,00 R$ 0,00 No dinheiroR$ 110,00 R$ 100,00 R$ 10,00 Dentro do dinheiroR$ 120,00 R$ 100,00 R$ 20,00 Dentro do dinheiro
Como pode ser visto, o valor intrínseco de uma call com preço de exercício de R$ 100,00 com
preço atual é zero. Isso significa que o titular vai preferir deixar vencer o título-objeto a exercê-lo,
uma vez que poderia comprar a ação no mercado a um preço menor que aquele que tem
garantido.
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LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Descreva sucintamente o comportamento das taxas de juros praticadas pelos bancos em
dois cenários diferentes:
a) Num ambiente de recessão, em que o Banco Central tenciona estimular a demanda;
b) Num ambiente de inflação em alta, em que o Banco Central tenciona conter as
pressões inflacionárias.
2. Há indícios, encontrados por meio de análises econométricas, de que uma redução de 1%
na taxa SELIC representa variação negativa de cerca de 0,4% nas taxas de juros
praticadas pelas instituições financeiras. Dado que, para os dias atuais, a SELIC se
encontra a 9,25% a. a. e que os juros do cartão de crédito giram em torno de 10% a. m.,
qual o limite inferior da taxa praticada no cartão de crédito no sistema financeiro brasileiro?
3. Suponha que uma financeira possui um produto vinculado ao crédito consignado (em que
há desconto diretamente em folha salarial), que oferece uma taxa nominal bruta de 2% a.
m. mais uma tarifa de abertura de crédito no valor de 0,5% do total do empréstimo.
Desenhe um diagrama de fluxo de caixa e calcule o custo efetivo para o tomador no caso
de:
a) Prazo de liquidação de dois meses, pagamento dos juros mensal e pagamento do
montante ao final do período de contrato;
b) Prazo de liquidação de quatro meses, pagamento dos juros e montante ao final do período
de contrato;
c) Prazo de liquidação de dois meses, pagamentos iguais e mensais.
4. Um determinado banco possui um grupo significativo de correntistas com o perfil de
tomador de recursos do cheque especial por um prazo médio de 8 dias mensais. Dado que
o empréstimo mensal previsto para esse tipo de cliente supõe uma taxa de 1,5% a. m. qual
o limite da taxa do cheque especial que o banco pode cobrar para que o cheque especial
continue sendo a solução mais atrativa para o cliente.
5. Considere um correntista que necessita tomar emprestado 30% do seu salário líquido
nominal mensalmente para suprir suas despesas e que o custo efetivo deste empréstimo
seja de 2% a.m., via empréstimo pessoal, ou 9% a. m. via cheque especial.
a) Calcule a melhor alternativa para este cliente nos casos de:
I) Necessidade dos recursos por 4 dias ao mês;
II) Necessidade dos recursos por 15 dias ao mês;
b) Considerando as duas modalidades apresentadas para suprir o déficit financeiro,
calcule em quanto tempo o cliente terá comprometido 10% de seu salário para o
pagamento de juros mensais, no caso de necessidade dos recursos extras por 4 dias.
6. Um determinado correntista de um banco realizou as seguintes operações financeiras num
determinado mês:
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Dia 2 – saque de R$ 200,00;
Dia 10 – saque de R$ 500,00;
Dia 12 – depósito de R$ 400,00,
Dia 20 – desconto de cheque no valor de R$ 130,00;
Dia 28 – saque de R$ 50,00.
Supondo que havia um saldo positivo em R$ 100,00 no primeiro dia do mês, utilize o
método hamburguês para determinar os juros que serão debitados sobre o saldo devedor
médio do cliente no último dia do referido período.
7. Defina uma equação que vincule a taxa real bruta com a taxa real líquida, tanto para o
caso do imposto de renda ser cobrado no início da aplicação, quanto no final.
8. Admita uma aplicação de R$ 20.000,00 num título de renda fixa, pelo prazo de dez meses,
com rendimentos mensais equivalentes à taxa nominal bruta prefixada de 13% ao ano. Os
rendimentos nominais são tributados à alíquota de 9% e pagos por ocasião da aplicação.
Determinar o valor total da aplicação, o rendimento mensal e indicar o modelo de cálculo
da rentabilidade líquida auferida pelo poupador.
9. Suponha que se queira comparar um título de renda fixa prefixado com outro título,
também de renda fixado, porém pós-fixado e tendo sua taxa de correção vinculada à
variação cambial. Descreva as melhores alternativas de investimento para os casos em
que:
a) Dólar estável em relação ao real e inflação com tendência de queda;
b) Apreciação do dólar frente ao real e valores estáveis dos produtos da cesta do
indicador de preços ao consumidor;
c) Cenário de forte desvalorização do real frente ao dólar e uma inflação interna em
queda;
10. Admita que uma mercadoria seja vendida a vista e adquirida com um prazo de pagamento
de 4 meses. Essa mercadoria permanece ainda dois meses em estoque antes de ser
revendida. Sabe-se que a empresa vem conseguindo aplicar suas disponibilidades de
caixa à taxa de juros de 2,3% ao mês no mercado financeiro. Nessas condições, a
empresa recebe uma oferta de venda a vista dessa mercadoria por R$ 1693,00 a unidade.
No entanto, sabe-se que seu preço de custo (compra) é de R$ 1760,00. Pode a empresa
aceitar essa oferta? Suponha simplesmente a inexistência de outras despesas sobre
vendas.
11. Certa loja incorre nos seguintes custos para cada R$ 100,00 de compra de uma
mercadoria:
- Frete: 1%, pago a vista;
- ICMS (crédito): 12%, prazo de recuperação de 16 dias;
- IPI: 15%, pagamento a vista, no ato da compra;
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- Condições de pagamento da compra: 2 pagamentos iguais, respectivamente, em 30 e 60
dias.
Calcular o preço total líquido da compra admitindo um taxa de juros de 2,2% a.m. e o valor
nominal da mercado em R$ 170,00.
12. Decomponha a taxa prefixada de 18% ao ano de um investimento mensal, cuja inflação
projetada para o próximo ano seja de 6,9% e uma alíquota de imposto de renda 15%
incidente sobre o rendimento total. Assuma ainda que a taxa livre de risco do mercado seja
de 0,7%.
13. Um título prefixado é emitido pelo prazo de seis meses, pagando juros nominais de 9,5%
ao semestre. Para um investidor que deseja obter um ganho real de 1,0% a. m., qual deve
ser o valor máximo de inflação no semestre?
14. Calcule o custo de captação mensal que uma instituição financeira possui por ter que
recolher compulsoriamente ao Banco Central 40% de suas aplicações em um título que
para 10% ao ano nos dois casos abaixo:
a) Quando o Banco Central não remunera o compulsório;
b) Quando o Banco Central remunera o compulsório à taxa SELIC de 8% ao ano.
15. Qual o deságio de uma debênture de valor de emissão de R$ 100,00 que promete 18% de
rentabilidade anual com pagamento de juros semestralmente e taxa efetiva anual de juros
de 20% ao ano.
16. Admita um título com vencimento para um ano e valor de face de R$ 1000,00. A taxa de
desconto do título é fixada em 4% ao ano. Qual o preço de negociação que o título atinge