ANALISIS DE VARIANZA

ANALISIS DE VARIANZA

Mario Briones L.MV, MSc

2005

Herramienta mediante la cual la variación totalpresente en un conjunto de datos se distribuye en

varios componentes. Asociada con cada uno de estoscomponentes hay una fuente específica de variación,de modo que en el análisis es posible averiguar la

magnitud de las contribuciones de cada una deestas fuentes a la variación total.

La base del ANDEVA radica en la partición de las varianzas

En el siguiente cuadro observe:

La diferencia entre los promedios

grupo 1 grupo 22 2 63 2 71 2 5

promedio 2 6suma 6 18

suma de cuadrados (x 2i) 2 2

media generalsuma total de cuadrados

428



La similitud de la suma de cuadradosal interior de cada grupo

grupo 1 grupo 22 2 63 2 71 2 5




428



El contraste con la magnitudde la suma total de cuadrados

grupo 1 grupo 22 2 63 2 71 2 5




428



La diferencia se debe a ladiferencia entre los promedios

grupo 1 grupo 22 2 63 2 71 2 5




428

DEP VAR: VALOR N: 6 MULTIPLE R: 0.926 SQUARED MULTIPLE R: 0.857

ANALYSIS OF VARIANCE

SOURCE SUM-OF-SQUARES DF MEAN-SQUARE F-RATIO P

GRUPO 24.000 1 24.000 24.000 0.008

ERROR 4.000 4 1.000

Se observa que la suma total de cuadrados (28) fue divididaen una variabilidad dentro de grupo (2+2=4) y una variabilidad

debida a las diferencias entre promedios (28-(2+2)=24).

Suma de cuadrados del error (SCError) ySuma de cuadrados de efectos (SCEfecto)

La suma de cuadrados dentro de grupos también se lellama Varianza del Error. Denota el hecho de que esuna fracción de la varianza que no podemos explicar

con el diseño elegido.Podemos explicar la fracción de varianza en la SCEfecto.

PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA

En el análisis de varianza, la realización de pruebas designificancia se basa en una comparación de la varianzadebida a la variabilidad ENTRE GRUPOS (CMEfecto)y a la variabilidad DENTRO DE GRUPOS (CMError).

Bajo la hipótesis nula, aún puede haber pequeñasfluctuaciones en la media de dos grupos, especialmentesi las muestras son pequeñas, por lo tanto, de acuerdocon esta hipótesis, la variabilidad en ambas fuentes

debería ser más o menos la misma.La prueba de F, evalúa la tasa de las estimaciones de

ambas varianzas para determinar si es significativamentemayor que uno.

1. Modelo. El modelo consiste en una representaciónsimbólica de un valor típico tomado de losdatos que se están analizando.

2. Supuestos. Se especificarán las suposiciones quefundamentan el modelo.

3. Hipótesis. Se indicarán las hipótesis que puedenprobarse de acuerdo al modelo.

4. Cálculos. Cálculos aritméticos apropiados.5. Tabla de ANDEVA. Resumen de los cálculos

aritméticos6. Decisión. Decisión estadística acerca del rechazo

o aceptación de la hipótesis nula.

2

Peso final

YiYi

Yi

YiYi

Yi

Yi

Yi

Yi

Yi

Yi

Yi

Yi

Yi

YijYij

Yij

YijYij

Yij

Yij

Yij

Yij

Yij

Yij

Yij

Yij

Yij

Modelo lineal de explicación de loscomponentes de varianza.

Yij= + i +ij

Yij: observación individual: media generali: efecto del i ésimo grupo (i=1,2): error residual inexplicado

Una representación diagramática del Análisis de varianza

A1

A2

A3Mediageneral

Media delgrupo A2

Desviaciónindividual

Efectos fijos versus efectos aleatorios

Efectos fijos

escogidos específicamentepor el experimentador.

Para probar hipótesis acerca de los promediosde los grupos.

Las conclusiones se aplicansólo a los niveles del factorconsiderado en el análisisy no a tratamientos similaresque no fueron considerados

Efectos aleatorios

En este caso los tratamientosson una muestra al azar deuna población mayor detratamientos posibles.

En esta situación interesaextender las conclusionesa todos los tratamientosposibles, hayan sidoconsiderados explícitamenteo no.

Análisis de varianza de un factor (efectos fijos)Datos: observaciones MediaGrupo 1 Y11 Y12 .... Y1n + A1

Grupo 2 Y21 Y22 .... Y2n + A2

. . . . .Grupo k Yk1 Yk2 .... Ykn + Ak

Modelo Lineal

Yij= Ai + ij

i=1,...k; j=1,...n

dondeYij= observaciones= media generalAi = desviaciones del i-ésimo grupo desde la media general

ij = error residual inexplicado

Yi.=Yij n

j=1= suma de los observaciones individuales j dentro de cada grupo, desde j=1 hasta n (el total de cada grupo)

Y..=Yij = n k

Notación

gran total, suma de observaciones, primerodentro de grupos y luego a través de grupos, desde i=1 hasta k (total de grupos)

j=1 i=1

Hipótesis= H0: no hay diferencia entre las medias, Ai= 0 H1: existen diferencias entre medias de grupos

Calculo de ANDEVA simplificado (efectos fijos)

Fuente de grados de suma de cuadrado FVariación libertad cuadrados medio

entre grupos k - 1

(Yi.)2

n

k

i=1

(Y..)2

N

dentro degrupos

(residual)N - k por diferencia

Total N - 1 Y2.. - ( (Y..)2

)N

SCG

k - 1

SCRN- k

CMG

CMR

N= nk

SCG= suma de cuadrados de gruposSCR= suma de cuadrados residualCMG/CMR= cuadrado medio grupos/cuadrado medio residual

Suponga que 30 pollitos de un día fueron asignados al azar a tres grupos, en cada uno de ellos se adicionó un antibiótico promotor del crecimiento diferente, A, B, y C. Al termino de la recría los pesos de los pollitos fueron los siguientes (en gramos):

ANTIBIOTICO

A B C72 78 8570 76 8374 73 8073 75 7973 74 8071 74 8273 75 8971 76 7675 70 7970 75 83

Hipótesis nula: no hay diferencias entre los promedios de los grupos, equivalente a: los efectos de los grupos son iguales a cero.

Promedio 72.2 74.6 81.6

A B C72 78 8570 76 8374 73 8073 75 7973 74 8071 74 8273 75 8971 76 7675 70 7970 75 83

Yi. 722 746 816 Y.. = 2284Y2

i. 52154 55692 66706 Y2.. = 174552

(Y..)2

N= 173888.53

Suma de cuadrados Totales= Suma de Cuadrados + Suma de Cuadradosde tratamientos del error

El total de la varianza está representado por la suma de cuadrados totales,que se divide o reparte en las causas de variación identificadas en eldiseño: variación entre tratamientos o grupos y variación dentro de grupos.

Calculo de ANDEVA simplificado (efectos fijos)


entre grupos 2

dentro degrupos(residual)

por diferencia

Total 29174552 - 173888.53

477.07

186.6 27

N= nk


27

174365.6-173888.53

477.07

663.47

186.4

2

238.5

6.91

238.5

6.91

34.5

Si los promedios son diferentes

Comparaciones pareadas: comprobar H0: A-B 0

BA

BA

nns

xxt

112

Donde A y B son los grupos comparados, dentro del experimentoy s2 es el cuadrado medio residual

La comparación se efectúa con los grados de libertad del términode error o residual en la tabla de t

En el ejemplogrupo promedioA 72,2B 74,6C 81,6

comparación diferencia valor de t calculado significanciaA-B -2,4 -2,042 no significativoA-C -9,4 -7,996 significativoB-C -7 -5,954 significativo

s2 6,91valor crítico t(alfa=0.05) gl= 27 2,05

Otras pruebas Tukey Duncan Scheffé Diferencia mínima significativa (LSD) Bonferroni Student Newman Keuls

ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR CON EFECTOSALEATORIOS.

MODELO

Yij= + Ai + iji= 1,... k; j= 1,.....n j= 1,....ni (distinto n)

Donde Yij= observaciones individuales = media general ij= error residual, y ij: NID (0,2)

A diferencia del análisis de varianza con efectos fijos, la hipótesis nula en este caso es:

H0= 2A= 0 además, normalmente k es de gran tamaño

Calculo de ANDEVA simplificado (efectos aleatorios)


entre grupos k - 1

(Yi.)2

n

k

i=1

(Y..)2

N

dentro degrupos

(residual)k(n-1) por diferencia

Total nk - 1 Y2.. - ((Y..)2

)N

SCG

k - 1

SCRk(n-1)

CMG

CMR

N= nk


Ejemplo: Análisis de Varianza con más de un factor

Dos razas de ovejas, Suffolk y Scottish Blackface, son ubicadas en dosdiferentes ambientes, A: llanura regada y B: montaña. Durante lacrianza de los corderos se controla el peso de destete de un grupo de120 corderos de cada raza (60 en cada ambiente)

1. H0: no hay diferencias en los pesos de destete entre las dos razas HA: existe diferencia en los pesos de destete de las dos razas.2. H0: no hay diferencias entre los dos ambientes para el peso al destete HA: el peso de destete es diferente en los dos ambientes.

Las sumatorias de los datos son las siguientes:

Raza Predio Suffolk SBFace valle montaña X 1962 1970 1899 2033 X2 64680 66526 61115 70091

Calculo de ANDEVA asumiendo sólo efecto de la raza


entre razas 1

dentro derazas(residual)

por diferencia

Total 119131206-128838.5

0.56

2366.8 118

118

128839.1-128838.5

0.56

2367.4

2366.84

1

0.56

20

0.56

20

0.028

Modelo: Yij= + Ri + ij Yij: observación individual: media generalRi: efecto de la iésima razaij: error residual

Calculo de ANDEVA asumiendo sólo efecto del predio


entre predios 1

dentro depredios(residual)

por diferencia

Total 119131206-128838

150

2217.9 118

118

128988.1-128838.5

150

2368

2217.9

1

150

18

150

18

8.3

Modelo: Yij= + Pi + ij Yij: observación individual: media generalPi: efecto del iésimo predioij: error residual

ANALISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES CON EFECTOSFIJOS.

MODELO

Yijk= + Pi + Rj + ijk i= 1,..s; j=1,...t; k= 1,...n

ijk: NID (0,2)

Pi= 0 Ri= 0i=1

s

j=1

t

Ejemplo: dos o más razas de ovejas son evaluadas en su productividaden dos o más predios (o regiones).

Yijk: observación individual: media generalPi: efecto del iésimo predioRj: efecto de la iésima razaijk: error residual inexplicado

Calculo de ANDEVA dos factores (efectos fijos, igualnúmero de observaciones por nivel)


entre predios

s - 1

(Yi..)2

tn

s

i=1

(Y...)2

N

entrerazas t -1

Total nst - 1Y2... - (

(Y...)2

)N

SCpredios

s - 1

SCrazas

t - 1

(Y.j.)2

sn

t

j=1

(Y...)2

N

Residual nst-s-t+1 Por diferencia SCresidual

nst-s-t+1

CMpredios

CM res

CMrazas

CM res

Fpredios= Fs-1, nst-s-t+1

Frazas= Ft-1, nst-s-t+1

Calculo de ANDEVA dos factores (efectos fijos, igualnúmero de observaciones por nivel)


entre predios

1

entrerazas 1

Total 119

Residual 117 2216.8



131206-128838 2368

128988.1-128838.5

150128839.1-128838.5

0.56

16.6150

0.56

9

Según el valor de F para 1 grado de libertad de razas y 117 para errory 95% de probabilidad (aprox 3.92), se acepta la primera hipótesis nula

Según el valor de F para 1 grado de libertad de predios y 117 para error1 95 % de probabilidad (3.92), se rechaza la segunda hipótesis nula.

Estarán identificadas ahora todas las causas de variación en el modelo?

Grados de libertad según fuente de variación:

Total de predios: s= 2 (Yi..)

Total de razas: t= 2 (Y.j.)

Total de observaciones por nivel: n= 60

1 2 Efecto A

Variable

Efecto B Efecto B

1 2 Efecto A

Variable

Efecto B Efecto B

1 2 Efecto A

Variable

Efecto B

Efecto B

INTERACCION

1 2 Efecto A

Variable

Efecto B

Efecto B

INTERACCION

Cálculo de ANDEVA dos factores con interacción (efectos fijos)


entre predios

s - 1

entrerazas t -1

Total nst - 1

SCpredios

s - 1

SCrazas

t - 1

Residual resta SCresidual

nst-s-t+1

CMpredios

CM res

CMrazas

CM res



interacción(s-1)(t-1) resta

Y2... - (Yij.)2

n

SCinterac

(s-1)(t-1)

CMinterac

CM res

F interacción= F(s-1)(t-1), residual

131206-128838 2368

128988.1-128838.5

150128839.1-128838.5

0.56

1. H0: no hay diferencias en los pesos de destete entre las dos razas HA: existe diferencia en los pesos de destete de las dos razas.2. H0: no hay diferencias entre los dos ambientes para el peso al destete HA: el peso de destete es diferente en los dos ambientes.3. H0: no hay efecto combinado del predio y la raza. HA: existe efecto combinado del predio y la raza

Predio 1 raza 1 1034 34.47Predio 1 raza 2 928 30.93Predio 2 raza 1 865 28.83Predio 2 raza 2 1105 36.83

Yi.. Y



entre predios 1

(Yi..)2

tn

s

i=1

(Y...)2

N

entrerazas 1

Total 119 Y2... - ((Y...)2

)N

SCpredios

s - 1

SCrazas

t - 1

(Y.j.)2

sn

t

j=1

(Y...)2

N


nst-s-t+1

CMpredios

CM res

CMrazas

CM res




Y2... - (Yij.)2

n

SCinterac

(s-1)(t-1)

CMinterac

CM res




entre predios

s - 1

entrerazas t -1

Total nst - 1

SCpredios

s - 1

SCrazas

t - 1


nst-s-t+1

CMpredios

CM res

CMrazas

CM res




Y2... - (Yij.)2

n

SCinterac

(s-1)(t-1)

CMinterac

CM res


131206-128838 2368

128988.1-128838.5

150128839.1-128838.5

0.56

ANALISIS DE VARIANZA

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