Analisis de Sensibilidad Metodo Simplex

Investigación de Operaciones

Programación Lineal

Análisis de Sensibilidad

Contenido

• Cambio en el vector del lado derecho.

• Cambio en los costos.

• Cambio en los coeficientes de las restricciones (coef. tecnológicos)

• Introducción de una nueva variable.

• Introducción de una nueva restricción.

• Eliminación de una variable.

Objetivo del Análisis de Sensibilidad

Responder estas preguntas:

¿En qué rango de valores de los parámetros se mantiene la misma base de solución óptima?

¿Cómo se ve afectada la solución óptima si cambia alguna de las condiciones iniciales del problema?

• Obs.: Sólo un cambio a la vez.

• Obs.: Enfoque matricial permite varios cambios a la vez.

Ejemplo Una dueña de casa produce dos tipos de pastel (de chocolate y vainilla) para aumentar sus ingresos. Se puede vender cada pastel de chocolate a $18 y cada pastel de vainilla a $28. Cada pastel de chocolate tarda 20 minutos en hornearse y requiere 3 huevos. Cada pastel de vainilla tarda 40 min en hornearse y requiere de 2 huevos. Se dispone de 8 horas para hornear en el día y de 36 huevos. Además la dueña de casa ha ordenado a su hijo que le compre en el supermercado 10 Kg. de harina. Se sabe que cada pastel de chocolate requiere de 0.5 Kg. de harina, en cambio cada pastel de vainilla requiere 1 kg. Formule un modelo PL para maximizar el ingreso de la dueña de casa.

¿Cuántos pasteles de chocolate y vainilla se deben producir para que la dueña de casa logre maximizar su ingreso?

Modelo del Ejemplo

Tableau Final

v.b. C V H1 H2 H3 Base

Z’ 0 0 0 2 24 312

H1 0 0 1 0 -40 80

C 1 0 0 ½ -1 8

V 0 1 0 -1/4 3/2 6

PRECIOS SOMBRA

W1 W2 W3

Obs 1: Los precio Sombra se encuentran buscando debajo de las Holguras de Z

Obs 2: Si tuviera déficit y artificiales se busca el precio sombra debajo del déficit pero se cambia el signo

Cambio en el l.d. de un restricción

Cambio en el l.d. de un restricción

Cambio en el l.d. de un restricción

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝐵 −1 ? DEL TABLEAU FINAL

v.b. C V H1 H2 H3 Base

Z’ 0 0 0 2 24 312

H1 0 0 1 0 -40 80

C 1 0 0 ½ -1 8

V 0 1 0 -1/4 3/2 6

𝑩 −𝟏

Cambio en el l.d. de un restricción

• Si algún elemento de 𝑋′ 𝐵 es menor que cero (negativo), la solución pasa a ser infactible. Por lo tanto hay que cambiar la base para obtener el nuevo óptimo.

• En este caso se reemplazan los valores de 𝑋 𝐵 por los

de 𝑋′ 𝐵 y se usa el algoritmo simplex dual para obtener la nueva solución óptima.

Caso 1: Suponga que dispone de 40 huevos.

Este aumento, ¿Le permite mejorar su ingreso? ¿A cuánto?

𝑍′ = 𝑍 + ∆𝑏 𝜋 = 312 + 4 ∗ 2 = 320 𝑍 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 312 𝐴𝑈𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 = 320 − 312 = 8

PRIMERA FORMA DE HACER

SI, a $8

SEGUNDA FORMA DE HACER

𝑋′𝐵 =8086

+

1 0 −400 1/2 −10 −1/4 3/2

∗040

𝑿′𝑩=𝑿𝑩 + 𝑩−𝟏∆𝒃

DELTA HUEVOS YA QUE CAMBIAN DE 36 A 40

𝑋′𝐵 =8086

+02−1

= 80105

𝑍 = 10 ∗ 18 + 5 ∗ 28 = 320

Caso 1: Suponga que dispone de 40 huevos.

¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por cada huevo?

𝑋′𝐵 =8086

+

1 0 −400 1/2 −10 −1/4 3/2

∗0∆𝑏20

=8086

+

01/2∆𝑏2−1/4∆𝑏2

𝑋′𝐵 =

808 + ∆𝑏2/26 − ∆𝑏2/4

≥ 0 8 +

∆𝑏22

≥ 0

∆𝑏2 ≥-16

6 − ∆𝑏2/4 ≥ 0 ∆𝑏2 ≤ 24

−16 ≤ ∆𝑏2 ≤ 24 𝑤2 = 2

Hasta $2 por huevo, precio sombra

¿Se podría mejorar los ingresos aumentando la cantidad de huevo sobre cuarenta unidades?¿Hasta cuantos?

Si, hasta 60 huevos por lo menos (36+24)

Caso 2: Suponga que se ha ganado una cocina en un premio de lotería.

¿Le permite esto mejorar sus ingresos? ¿En cuánto?

¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por una hora más de horneado?

¿Cuántas horas de horneado le sobran a la señora?

NO, PORQUE TENGO HORAS DE SOBRA.

$0 PRECIO DE SOMBRA.

HOLGURA DE HORNEADO 80 MIN.

Caso 3: Suponga que una persona le vende huevos adicionales a 3 pesos la unidad.

¿Cuántos le compraría?

¿Hasta cuanto está dispuesto a pagar la señora por cada huevo?

CERO PORQUE MI PRECIO DE SOMBRA ES 2.

HASTA $2 POR HUEVO.

Caso 4: Suponga que una persona le vende huevos adicionales a 1,5 pesos la unidad.

¿Cuántos le compraría?

¿En cuánto mejora el ingreso de la señora por la compra de más huevos?

Z’=312 + 24 (2-1,5) = 324 MEJORA EN $12.

24 POR LO MENOS, LO DEMAS NO SE SABE CON CERTEZA.

Cambio en los coef. de costo/beneficio

Cambio en los coef. de costo/beneficio

Sea 𝐶′ = 𝐶 + ∆𝐶 𝐶′: es el vector con los nuevos coeficientes de la función objetivo. ∆𝐶 : es el vector que indica la cantidad en que varian los 𝐶𝑗

Se sabe que 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗= 𝐶𝐵 ∗ 𝑌𝑗 − 𝐶𝑗

𝑌𝑗 : es la columna asociada a la variable j en el tableau

En sí: 𝑍′𝑗 − 𝐶′𝑗= 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 + ( 𝐶𝐵 ∗ 𝑌𝑗 − 𝐶𝑗)

Obs: Si 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 < 0 implica que la solucion no es optima, luego, deben cambiar los valores

y se continua iterando

Caso 5: Suponga que el precio de los pasteles de chocolate disminuye en $6. ¿Qué consejo le puede dar

a la dueña de casa?

𝒁′𝒋 − 𝑪′𝒋= 𝒁𝒋 − 𝑪𝒋 + ( 𝑪𝑩 ∗ 𝒀𝒋 − 𝑪𝒋)

𝑍′2 − 𝐶′2= 0 + 0 −6 0 ∗001

− 0 = 0

𝑍′3 − 𝐶′3= 0 + 0 −6 0 *100

−0 =0

𝑍′4 − 𝐶′4= 2 + 0 −6 0 *

01/2−1/4

−0 =-1

𝑍′5 − 𝐶′5= 24 + 0 −6 0 *−40−13/2

−0 =30

𝑍′6 − 𝐶′6= 312 + 0 −6 0 *8086

−0 =264

𝑍′1 − 𝐶′1= 0 + 0 −6 0 *010

− −6 =0

Z 0 0 0 2 24 312

H1 0 0 1 0 -40 80

C 1 0 0 ½ -1 8

V 0 1 0 -1/4 3/2 6

PRIMERA OPCION

Z 0 0 0 -1 30 264

H1 0 0 1 0 -40 80

C 1 0 0 1/2 -1 8

V 0 1 0 -1/4 3/2 6

v.b. C V H1 H2 H3 Base

Z’ +6 0 0 2 24 312

H1 0 0 1 0 -40 80

C 1 0 0 ½ -1 8

V 0 1 0 -1/4 3/2 6

Z 0 0 0 -1 30 264

H1 0 0 1 0 40 80

C 1 0 0 1/2 -1 8

V 0 1 0 -1/4 3/2 6

Z 2 0 0 0 28 280

H1 0 0 1 0 -40 80

H2 2 0 0 1 -2 16

V 1/2 1 0 0 1 10

SEGUNDA OPCION

𝒁 = 𝟐𝟖𝟎

Ejemplo: Una compañía se dedica a la fabricación de tres tipos de artículos, A, B y C a fin de maximizar el beneficio total a través del siguiente PL: Donde Xi representa el número de artículos i. La tabla óptima es: a) Determine el intervalo de sensibilidad para el precio de la variable X1 de tal manera que la base se mantenga óptima b) Se pueden obtener 15 unidades de material a un costo adicional de $10. ¿Resulta beneficioso llevar a cabo esa opción? c) Si las unidades de mano de obra aumentan hasta 55. ¿Cómo afecta este cambio a la solución óptima? d) Si se añade la restricción de control 1 2 3 2x + x + 3x £15 . ¿Queda afectada la solución óptima actual? (Sólo explicar con palabras el procedimiento a realizar, no resolver).

Cambio en los coef. Tecnologicos

Los cambios en A para variables básicas resultan en cálculos muy complicados, siendo mejor recalcular con el simplex. Para cambio de coeficientes de la matriz A de restricciones, en variables no básicas, sólo interesa manejar los de ellas, pues el resto queda igual. Se procede así:

1ra. Etapa.-Usando la fórmula de Zj - Cj = CB B-1 A - C = YA - C se revisa si el coeficiente indicador Zj - Cj cambia de signo. Si no ocurre el cambio de signo en tal coeficiente no es necesario aplicar la 2ª. Etapa, ya que el cambio propuesto no afecta la optimalidad del problema. Cuando el coeficiente Zj - Cj cambia de signo, se entiende que el cambio propuesto, sí provoca la pérdida de optimalidad de la solución que se está revisando y en tal caso se procede a la siguiente etapa. 2ª. Etapa.-Se aplica utilizando la fórmula A* = B-1 A con la cual se calcula la nueva columna a*j. Se aplica el simplex hasta reoptimizar.

Cambio en los coef. Tecnologicos

Ejemplo

𝐵−1

𝐴 =1 0 20 2 1

Era -1

Se saca de acá

𝐶𝐵= 3 −1 X1 X2