CAPITULO 1 ANALISE VETORIAL No estudo da eletricidade e do magnetismo, pode-se conseguir uma grande sirnpl fi- cacao na cornplexidade da notacao, utilizando-se a n01arrao da analise vetorial. Ao proper- cionar esta valiosa taquigrafia, a analise vetoria! tambem eleva, a primeiro plano, as ideias fisicas expressas pelas equacoes, 0 objetivo deste capitulo e dar urna breve, mas cornpleta, exposicao da analise vetorial basica e prcporcionar urn conhecimento mais uti! do campo que seria necessaria para urn tratarnento da eletricidade e do magnetisrno. A ueles que ja estiverern familiarizados corn a analise vetoriaJ verao que e uma revisao uti] e urna introdu- yao a notacao do texto. 1 - 1 DEFINI~OES No estudo da ffsica elernentar varias especies de quantidades tern sido encontradas; em particular, fez-se a divisao em vetores e escalares, Para a finalidade que ternos em vista sera suficiente definir urn escalar da seguinte forma: Urn escalar e uma quan tid ade completame nt e determinada par sua magnitude . Exernplos de escalares sao numerosos: rnassa, tempo, volume, etc. Uma simples ex- tensao da ideia de urn escalar e urn campo escalar , isto e, uma funcao da posicao que esta completamente especificada por sua magnitude em todos os pontos do espaqo. U rn vetor pode ser definido como segue: Um vetor Ii uma quantidade que estd completamente caracteriza a par seu modulo, direcdo e sentido. Como exernplos de vetores, citamos posicao a partir de uma origem fixa, velocidade, ace- leracao, forca, etc. A generalizacao para urn campo vetorial dol urna funcao da posirrao que est a cornpletamente especificada por seu modulo, direcao e sentido em todos os pontes do espaco. Estas deflnicces podem ser mais precisas e arnpliadas; na realidade, no Apendice I elas sao substitui as pOI definicoes rnais sutis em terrnos de propriedades de transforma- yao. Alern disso , especies mais complicadas de quantidades, como os tensores, sao as vezes encontradas, Escalares e veto res serao contudo suficien tes aos 1105S0S prop6sitos ate 0 Capitulo 22. 1 5
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
No estudo da eletricidade e do magnetismo, pode-se conseguir uma grande sirnplifi-
cacao na cornplexidade da notacao, utilizando-se a n01arrao da analise vetorial. Ao proper-
cionar esta valiosa taquigrafia, a analise vetoria! tambem eleva, a primeiro plano, as ideias
fisicas expressas pelas equacoes, 0 objetivo deste capitulo e dar urna breve, mas cornpleta,
exposicao da analise vetorial basica e prcporcionar urn conhecimento mais uti! do campo
que seria necessaria para urn tratarnento da eletricidade e do magnetisrno. Aqueles que ja
estiverern familiarizados corn a a na lis e vetoriaJ verao que e um a revisao u t i ] e urna introdu-yao a notacao do texto.
1-1 DEFINI~OESNo estudo da ffsica elernentar varias especies de quantidades tern sido encontradas;
em particular, fez-se a divisao em vetores e escalares, Para a finalidade que ternos em vista
sera suficiente definir urn escalar da seguinte forma:
Urnescalar e uma quantidade completamente determinada par sua magnitude.
Exernplos de escalares sao numerosos: rnassa, tempo, volume, etc. Uma simples ex-tensao da ideia de urn escalar e urn cam po escalar , isto e, uma funcao da posicao que esta
completamente especificada por sua magnitude em todos os pontos do espaqo.
Urn vetor pode se r d efin id o como segue:
Um vetor Ii uma quantidade que estd completamente caracterizada par seu modulo, direcdo e
sentido.
Como exernplos de vetores, citamos posicao a partir de uma origem fixa, velocidade, ace-
leracao, forca, etc. A generalizacao para urn campo vetorial dolurna funcao da posirrao que
est a cornpletamente especificada por seu modulo, direcao e sentido em todos os pontes
do espaco.Estas deflnicces podem ser mais precisas e arnpliadas; na realidade, no Apendice I
elas sao substituidas pOI definicoes rnais sutis em terrnos de propriedades de transforma-
yao. Alern disso , especies mais complicadas de quantidades, como os tensores, sao as vezes
encontradas, Escalares e veto res serao contudo suficien tes aos 1105S0S prop6sitos ate 0
Como a algebra dos escalares e familiar ao leitor, usa-la-ernos para desenvolver a al-
gebra vetorial, Para continuar com este desenvolvimento convern possuir uma representa-
~ao de vetores e, com este propositovintroduzimos um sistema coordenado cartesiano tri-dimensional. Este sistema tridimensional sera represen tado pelas tres variaveis x, y, z au,
quando for rnais convenien te, Xl, X2 ,X3. Com respeito a este sistema de coordenadas, urn
vetar sera. especificado por suas componentes x-i y- e z-. Assim, urn vetor" V sera especifi-
cado por suas componentes Vx) Vy,V ..,onde Vx =IVlcOS(l}, Vy =IVlcOS(l2, Vz=IVI
cos (ll, seodo (l os angulos entre Ve os eixos coordenados apropriados. 0 escalar IVI =V V ; + V; + V; eo modulo do vetor V, au seu comprimento .No caso dos campos veto-
riais, cada uma das cornponentes deve ser considerada como urna funcao de x,ye z. Deve-
se salientar aqui que introduzimos uma representacao de vetores relativos a urn sistema de
coordenadas cartesianas somente para simplificar e facilitar a cornpreensao ; todas as defi-
nieces e operacoes sao, na realidade, independentes de qualquer escolha especial de coor-
denadas,
Define-se a soma de dois vetores como 0 vetor cujas cornponentes sao as somas das
cornponentes correspondentes dos vetores originais. Assim, se C for a Soma de A e 8, es-
creveremos
C=A +8 (1-1)
e
(1-2)
Esta definicao da soma vetorial e completamente equivalente a conhecida regra do parale-
lograrno para a adicao de vetores.
Define-se a subtracao vetorial em termos do negativo de urn vetor, que eo vetor cu-
ja s componentes sao o s negativ es das compcnentcs correspondentes do vetor original. As-
sim, se A for urn vetor, - A s e r a definido por
(-A)x = -Ax. (-A)y ~ -Ay, (-A)z =-A". 11-3)
A operacao de subtracao e entao definida como a adicao do negativo; a que e expresso
como
A - B =A + (- B). (1-4)
Urna vez que a adicao de nurneros reais e associativa e comutativa, segue-se que a
adicao vetorial (e a subtracao) tarnbern sera associativa e comutativa. Na notaeao vetoria!
isto se apresenta como
A + (8 + C ) = (A + B) + C = (A + C ) + B =A + B + c. (l·S)
Em outras palavras, as parenteses nao sao necessaries, como se mostra na ultima forma,
Passarido agora ao processo da multiplicacao, notamos que 0 produto mais simples e
* As quantidades vetoriais seriio impressas em negrito.
dos positives de x,y, Z, respectivarnente, terernos
j k
AxB= Ax Ay A %
Bx By B~z(1-9)
Se este detenninante for resolvido pelas regras usuais, 0 resultado sent precisamen te nossa
definicao de produto vetorial.
As operacoes algebricas expostas acima podern ser combinadas de rnuitas formas, A
rnaioria dos resultados assim obtidos e obvia; entre tanto, ha dais produtos triples de irn-
portancia suficiente para rnerecer mencao exphcita. Ve-se facilmente que 0 produto esca-
Ia r triplo D = A • B x C e dado pelo determinante
A x A y A =
D =A - B x C = Bx By B= =-B . A x C.c, c, C:
(l-1O)
Este produto nao varia ao se fazer a perrnuta entre 0 ponto e a cruz ou urna perrnutacao
ciclica dos tres vetores; paren teses nao sao necessaries, uma vez que 0 produ to vetorial de
Urn escalar par urn vetor nao esta definido. 0 outro produto triplo interessante e 0 produ-
to vetorial triplo 0 = A x (B x C). Atraves de uma aplicacao repetida da definicao de pro-
duto vetorial, Eq. (I-S), obternos
o = A x (B x C) = B (A . C ) - C (A • B ), (I-II)
que e freqiientemente conhecida como regra do [ator media. Deve-se observar que no pro-duto vetorial os paranteses sao vitals; sem eles, 0 produto nao ficara corretarnente defini-
do.
Neste ponto poder-se-ia pergun tar sobre a possibilidade da divisflo vetorial. A divi-
sao de um vetor par urn escalar pode ser natural mente definida como a rnultiplicacao pe-
10 rec iproco do escalar. A divisao de urn vetor par outro vetor, no entanto, somente sera
possfvel se as dais vetores forern paralelos. Por outre lado, e possfvel expressar solucoes
gerais de equacoes vetoriais e, desta forma, efetuar alga parecido com a divisao, Conside-
remos a equacao
c=A· X, (1-12)
onde c e urn escalar conhecido, A e urn vetor conhecido e X e urn vetor desconhecido.
Urna solucso geral desta equacao e
X = ~ + B (1-13)A· A '
onde B e urn vetor de modulo arbitrario. perpendicular a A, isto e, A . B =0.0 que fize-
mas, foi muito semelhante a dividir c par A; mais corretamente, achamos a forma geral
do vetor X que satisfaz a Eq. (1-12). Nao existe uma solucao (mica e este fato explica 0
vetor B. Do mesmo modo, pcdernos considerar a cquacao vetorial
C = A x X , (1-14)
onde A e C sao vetores conhecidos e X e um vetor desconhecido. A solucao geral desta
se C • A =0, onde k e urn escalar arbitrario, Se C • A * 0 nao existira nenhuma solucao.
Isto, novamente, e quase 0quociente de C pOTA; 0escalar k leva em conta a nao unicida-de do processo. Se X for necessaria para satisfazer tanto a Eq. (1.12) como a Eq. (l-14),
entao a resultado sera unico (se existir) e dado par
X=CXA +~.A'A A'A
(1-16)
1·3 GRADlENTE
As extensces das ideias introduzidas acima para a diferenciacao e a integracao, isto
e , para 0 calculo vetorial, serao consideradas agora. A rnais simples destas e a relacao entre
urn campo vetorial particular e as derivadas de urn campo escalar. E conveniente introdu-
zir em primeiro lugar a ideia da derivada direcional de uma funcao de diversas variaveis.
Isto e exatamente a taxa de variacao da funyao em uma direcao e sentido especificados, A
derivada direcional de uma funcao escalar I{ ! e usualmente representada par dl{!/ds; deve ser
entendido que ds representa urn deslocamento infinitesimal na direcao e sentido conside-
rados e que ds eo valor escalar de ds, Se ds tiver par eomponentes dx, dy , dz entao
d q 1 = lim qJ{x +x, y +y, :: + A:) - q 1 ( x , Y , z )
ds .15-0 As S"rnr::"1 _I(J ... I" flS LEI.o
.j;£ ilf 'e;ttA<:,..Oe' C O l " " " " " " ve.io-
KI!.I E A~ LE.,r llf\; l~a\"JA
J~. r " r 2 u ( J ' ! >
ocp dx oqJ dy ccp d:
=--+--+--a x ds o y ds 0:: ds'
Para esclarecer a ideia de uma derivada direcional, consideremos uma funcao escalar
de duas variaveis. Entao, I{!(x,y) representa urn campo escalar bidimensional. Podemos
construir 0 grafico de 'f como funyao de x e y da rnesma forma que na Fig .. 1-1 foi feito
para a funcso 'f(x ,y) = x2 + y2. A derivada direcional no pontoxo,Yo depende da dire-
yaO e do sentido. Se escolhermos 0 sentido correspondente a dyfdx =- »slv«. obterernos
d q 1 i = O q 1 d x + O I P dy = [ 2 ' x o _ 2 y o x o ] d x = . ([-17a)
ds xo.yo a x ds o y ds Yo ds
Altemativamente, se escolhermos dyldx =Yo /xo, ohteremos
dcp i = (2.\:0 + 2 Y 6 ) 2 Xo 2 = 2. jX5 + yg,ds xo.'o .\:0 Xo + Yo
(I-J7b)
uma vez que ds = ..J(dx)2 + (dy)2. Como uma terceira possibilidade, escolhemos dy [dx =
a, entao
(I-17c)
Se este resultado for diferenciado em relacao a a e a derivada feita igual a zero, 0valor de
a para 0 qual a derivada tera urn maximo ou urn minimo tera sido achado. Quando efe-
tuarmos estas operacoes, obteremos a = Yo/xo que significa sirnplesmente que a dire!fao
de maxima taxa de variacao da fum;lio I{ !=x2 + y2 e a direcao radial. Se 0 sentido for ra-
dialmente para fora, entao 0 maximo sera a taxa maxima de crescirnento ; se for radial-
mente para dentro sera uma taxa maxima de decrescimo au taxa minima de crescirnento.
Na direcao especificada par dyjdx = - xo/Yo, a taxa de variacao de x2 +y2 e zero. Esta
direcao e tangente ao cfrculo x 2 + y2 =x 5 + y~. Evidenternente, nesta curva, ip =X2 +y2 nao varia. A direcao em que d'fJ/ds se anula da a direcao da curva < p = constante atraves
do ponto considerado. Estas linhas, que sao circulos no casu da funyao X2 + y2 , sao com-
pletamen te anilogas a s ja familiares linhas de nivel, ou linhas deal titude constante, que
aparecern nos mapas topograficos. A Fig. 1-2 ilustra a funcao < p = X2 + y2 reconstituida
graficarnen te como urna curva de nivel .
. . . . . .
j~ t= ~ Figura 1·1 Grafico da fUI1"ao ",(x, y) = = x, +y' em fun~ao de x e y em tres dimensdes.
Pode-se generaiizar a ideia das curvas de n ivel estendendo-a a uma funyao de tres va-
riaveis, em cujo caso as superficies < p ( x , y , z) = constante sao denominadas superficies de
nivel ou superficies eqiiipotenclais, 0 analogo tridimensional da Fig. 1-2 e a unica rnanei-
fa pratica de representar graficamente urn campo escalar Dum espaco tridimensional.
Igualand 0 as coeficien tes das dife renci ais das variaveis inde pende ntes em ambos os lados
da equacao , obternos
d . o c p . o c p k o c pgra tp = Ia x + J o y + Jz (1-20)
em coordenadas retangulares, Nurn caso rnais complicado, 0 procedimento e 0 rnesmo.
Em coordenadas polares esfericas, com r, e , ¢Como sao definldos na Fig. }-4, ternos
Jcp a c p a c pdc p = a , : dr + a e de + a rb d¢ , ( \-21)
e
ds =a , dr + a ur dO + a d >r sen 0 d¢ , (1-22)
onde a.; a(1 e a , p sao vetores unitarios nas direcoes e sentidos positivos de r, f J e ¢ i respecti-
vamen teo Aplicando a Eq. (1-19) e igualando as coeficientes das variaveis independentes,
temos
o c p 1 o c p 1 a t pgrad cp = a , a r + a ll - r a e + a < l> - - -
r sen ( J o ¢(1-23)
em coordenadas esfericas,
1-4 INTEGRA~AO VETORlAL
Existem naturalrnente outros aspectos da diferenciacao que envolvem vetores; en-
tretanto, convern discutir em prirneiro lugar a integracao veto rial. Dentro do nosso objeti-vo, podemos considerar tres tipos de integrais: de linha, de superffcie e de volume, de
acordo com a natureza da diferencial que aparece na integral. 0 integrando pode ser urn
vetor ou urn escalar ; entre tanto , certas combinacoes de integrandos e diferenclais dao ori-
gem a integrais sern interesse. As de maior interesse aqui sao a integral escalar de linha de
urn vetor, a integral escalar de superf'(cie de urn vetor e as integrals de volume de vetores
e escalares,
Se F for urn vetor, a integral de linha de F sera expressa.corno
b
r F'dl, (1-24)'gc
onde C e a curva ao longo da qual a integracao e efetuada, a e b sao os pontos inicial e fi-
nal da curva e dl e urn vetor deslocamento infinitesimal ao iongo da curva C. Como
F •dl e urn escalar, esta claro que a integral de linha e urn escalar, A definicao da integral
de linha e muito semelhante a definicao de Riemann da integral definida. 0 segmento de
C entre a e b e dividido num grande nurnero de pequenos incremen tos 61,; para cada in-
cremento e escolhido urn ponto interior e determinado 0 valor de F neste ponto. 0 pro-
duto escalar de cada incremento com 0 valor correspondente de Fe determinado e a soma
destes cornputada. Define-se entao a integral de linha como 0 limite desta soma a medida
que 0 nurnero de incrementos se toma infinito, de forma a que cada incremento tenda a
zero. Pode-se expressar compactamente est a definicao comob N
f F· dl = lim . L Fi . ~Ii.! I : i Ic ."ti-co ,= l:
f i F _ •+ .1 .x .1 .y 6 .-:: 8:- - J FAxo, y, ::} dv d:
- J Fl'(, Y o , = ) dx d : - J FAx. y, = 0 ) dx dY), (1-30)
o sinal rnenos associado Com os ultimos tres terrnos explica 0 fato de que a normal dirigi-
da para fora esta, nestes cases, no sentido negative dos eixos. 0 limite e facilrnente obtido
e 0 divergente encontrado, em coordenadas re tangulares, e
, F c 7 F x { 1 FJ
( ' F _div =- +-+-'ex ?y c . - : : -
(1-31)
Em coordenadas esfericas, 0 procedirnento e semelhante. 0 volume encerrado pelos
intervalos de coordenadas I1 r, t::.e , t::.¢ e escolhido como volume de integracao. Este volu-
me e ,2 sen 8 t :: .r t :: .e 61/1. Como a area encerrada p elo s in te rv alo s de coordenadas depende
dos valores das coordenadas [note-se que este n'ao e a caso das coordenadas rctangulares),
e melhor escrever F •n t::.a em sua forma exphcita:
F . n Sa = F,r2 sen 0 60 t'l¢ + Ft.r sen (I .1.¢ 6r + F ",I" 6r 60, (1-32)
B evidente, at raves desta expressao, que , 2 F; sen (), ao inves de somente Fr, deve ser des-
dobrado em serie de Taylor. De rnaneira sernelhante , e 0 coeficiente dos produtos dos in-
tervalos de coordenadas que deve ser expandido em outros termos. Fazendo estas expan-
soes e usando-as para calcular a integral de superf'icic na definicao do divergente , obtemos
di I / a 2IV F= hm.2 f) A. An A..I, 1 - : : ; - (F,r sen 0) 6r 6f) 6¢
v-o I sen Lli Ll(l Ll,+, or
a a \+ ~O (F er sen 0) 60 6r 6¢ + >l..l, (F q , 1 " ) 6¢ 6r 68/,
o (''+'
(1-33)
Tomando 0 limite, a forma explicita do divergente, em coordenadas esfericas, e
, 1 a 2 1 il I a F q ,
div F = 2: - ( I ' F ,) + -- - (sen O F n ) +-- - -,r tir r sen U 8 0 r sen (} o¢
(J -34)
Este metoda de encontrar a forma exphctta do divergente e aplicavel a qualquer sistema
de coordenadas contanto que as formas dos elementos de volume e de superficie au, alter-
nativamente, os elementos de comprimento sejam conhecidos.
Cornpreende-se logo a significado ffsico do divergente at raves de um exernplo torna-
do da mecanica dos fluidos. Se V for a velocidade de urn fluido, dado como funcao da po-
si9ao, e p for sua densidade, entso PsPV • n da sera evidenternente a quantidade lfquidade fluido , por unidade de tempo, que deixa 0 volume encerrado par S. Se 0 fluido for in-
cornpressfvel, a integral de superftcie medira a fonte total de fluido encerrada pela super-
f'icie. A definicao anterior do divergente indica, entao, que 0 mesmo pede ser interpreta-
do como a limite da intensidade da fonte pa r unidade de volume, au a densidade da fonte
Pode-se agora enunciar e dernonstrar urn teorema extrernamente importante que en-
valve 0divergente.
Teorema do divergente. A integral do divergente de um vetor sobre um volume V e igual aintegral de superficie da componente normal do vetor sobre a superftcie que limite V. Isto e ,
r div F dv = [ F· n da.-v Is
Considerernos 0 volume a ser subdividido nurn grande nurnero de pequenas celulas, Seja
~Vi 0 volume da celula de ordern je suponhamos que 0 mesrno esteja limitado pela su-
perficie Sj. E evidente que
L J F· n da = F· n da,i s; js
(1-35)
onde em cada integral da esquerda, a normal se dirige para fora do volume considerado.
Como 0 sentido para fora de uma celula e 0 sentido para dentro da celula adjacente apro-
priada, todas as contribuicoes do lado esquerdo da Eq. (1-35) se cancelam, exceto as que
provem da superficie S.Assim a Eq. (1-35) esta essencialmente demonstrada. Obtern-se
agora 0 teorema do divergente fazendo 0 nurnero de celulas if ao infinite de forma a que
o volume de cada celula tenda a zero.
( 1-36)
No limite, a soma sobre iconverte-se numa integral sobre Ve a razao entre a integral so-
bre SI e ~ Vi torna-se 0 divergen te de F. Assim,
( F· n da = r div F dv,Is 'v
(1-37)
que e 0 teorema do divergente. Terernos, freqiientemente, ocasiao para tirar partido deste
teorema, tanto no desenvolvimento de aspectos te6ricos da eletricidade e magnetismo
quanto na resolucao pratica de integrais.
1-6 ROTACIONAL
o terceiro operador vetorial diferencial que interessa e 0 rotacional. 0 rotacional deurn vetor, expresso por rot F, e deflnido como segue:
o rotacional de urn vetor e o limite da razdo entre a integral de sell produto vetorial com a
normal dirigida para fora, sabre uma superflcie [echada, eo volume encerrado pela superficie
quando 0 volume tende a zero. Isto e .I.
ro t F = lim - f n x Fda,v-o V s
~ incontestavel 0paralelismo entre esta definicao e a definicjlo do divergente; ao inves do
prcduto escalar do vetor com a normal dirigida para fora, tern-se 0 produto verorial. No
rnais, as definicoes sao iguais, Uma definicao diferente, mas de igual valor, sen! mais util,Esta definicao alternativa e
(1-38)
A componente do rot Fno direcao do vetor uniuirio a Ii0 limite de uma integral de linha por
unidade de area, quando a area encerrada tende a zero, sendo esta drea perpendicular Q a.
onde a curva C, que limita a superf(cie 5, esta em urn plano normal a a. B facil ver a equi-
valencia das duas definicoes, considerando uma curva plana Ceo volume varrido por esta
curva quando esta for deslocada uma distancia t na direcso da normal a seu plano, como e
ilustrado na Fig. 1-6. Se a for normal a este plano, entao , tornando-se 0 produto escalarde a com a prirneira definicao do rotacional, Eq. (1-38), obtemos
a • rot F=u r n _ . ! . _ { a' n x Fda.1-0 V. s
(l-40)
1 Figura 1-6 Volume varrido pelo desloca-
mente da curva plana C no sentido de sua
normal, B.
Como a e paralelo a normal em toda a superfjcie limitadora, exceto na estreita Iaixa limi-
tad a por C e C', sornente se deve considerar a integral sabre esta superffcie , Obscrvamos
que nesta superficie a x n cia e exatarnente t dl, onde dl e urn deslocarnento infinitesi-
mal ao longo de C. Uma vez que, alern disso, V =!;5, limite da integral de volume, e exa-
tarnente
a . rot F=H ~ <;~) ~ r~F . dl,que se reduz Ii segunda forma de nossa definicao apos 0 cancelarnento dos r Pode-se de-
monstrar esta equivalencia sem 0 emprego do volume especial utilizado aqui; entretanto,
faze-lo assim, sacrifica muito a sirnplificacao do que demonstramos anteriormente.
A forma do rotacional em varies sistemas de coordenadas pode ser calculada de rna-
neira sernelhante a do divergente. Em coordenadas retangulares, e conveniente 0 volume
flx fly flz. Para a componente x do rotacional , sornente contribuern as faces perpendicu-lares aos eixos y e z. Recordando que j x k = +-k x j = i,as contribuicoes nao elirninaveis
das faces do paralelepjpedo a cornponente x do rotacional, dao
. 1(rot F}~ =11m - {[ ~ Flx, y. z + ~::)+ F , , ( . x , y, = )] ~x 1'1y
v-+ o V
+ [ F A x , y + 6y, ::) - Fz(x. y, z ) ] 6, ~ = } . (1-41)
Fazendo-se urna expansao em serie de Taylor e tornando-se a limite, obtern-se
8Fz er,(rot F) = -- - -x o y a z (1.42)
para a componente x do rotacional. As componentes y e z podem sec obtidas da me sma
Pode-se recordar facilmente a forma do rotacional em coordenadas retangulares, se obser-
vannos que ele e justarnente a expansao de urn detenninante tres por tres, ou seja,
j k
rot F = 8 a ae x c y G Z ( 1-44)
F ; r F y F z
o problema de determinar a forma do rotacionaJ em outros sistemas de coordenadas e li-
geiramente mais cornplicado e e deixado para exercfcios como no caso do divergerrte,
encontrarno-nos com urn importante e util teorerna que envolve a rotacional, conhecido
como teorema de Stokes.
Teorema de Stokes ..A integral de linha de urn vetor segundo uma curva fechada e igual aintegral da componente normal de seu rotacional sobre qualquer superjtcie limitada pela
curva . Isto e ,
[ F· d l = r rot F . n do,Ie -s (l-4S)
onde C e uma curva fechada que limita a superffcie S. A dernonstracao deste teorerna ebastante analoga Ii prova do teorerna do divergente. A superffcie S e dividida em grande
nurnero de celulas. A superfrcie da celula de ordem ie denominada tJ.Sj e a curva que a li-
mita e Cj• Uma vez que cada uma destas celulas deve ser atravessada no rnesrno sentido , eeviderue que a soma das integrals de linha segundo os C, e justamente a integral de llnha
segundo a curva limitadora; todas as outras contribuicees se cancelam. Como consequen-
cia,
Falta apenas tamar 0 limite quando o.nurnero de celulas tender ao infinito, de modo que
a area de cada uma tenda a zero. 0 resultado deste processo de limite e
~, 1 .Ie F- d l =r:~ASit F· d l ss,
= i rot F . n do.' 0 ' 5
que e 0 teorema de Stokes. TaJ teorerna, assirn como a divergente, e util tanto no desen-
volvimento da teoria eletromagnetica, como na resolucao de integrals. Talvez valha a pena
observar que ambos os teorernas, 0 do divergente e 0 de Stokes, sao essencialrnente inte-
gracoes parciais.
1 -7 OPERADOR DIFERENCIAL VETORIALV
Introduziremos agora uma notacao alternativa para os tres tipos de diferenciacao
vetoriaJ que expusernos - ou seja, gradiente, divergente e rotacional. Esta e expressa pelo
operador vetorial diferencial del, definido em coordenadas cartesianas como
8 ( O F - C F y) ('I ( O F .x O F _ )V - (V x F) =- _- - _ + - _ - _" + ... =0
ox 8y (lz B y az ax '
ou
V . V x F = V x V . F = O .
(l-50)
O u tra possfvel operacao de segunda ordem consiste em tomar 0rotacional do rotacional de
urn campo vetorial. Deixou-se como exercicio a dernonstracao de que em coordenadas
retangulares,
V x (V x F) = V(V . F) - V2F, (1-51)
onde 0 laplaciana de urn vetor e 0 vetor cujas componentes retangulares sao as laplacia-nos das componentes retangulares do vetor original. Em qualquer sistema de coordenadas
que nao seja a retangular, define-se a laplaciano de urn vetor pela Eq, (1-51).
O utra rnaneira pela qual as operadores diferenciais vetoriais se podem desdobrar
consiste na sua aplicacao a varies produtos de dais vetores e escalates. Existern seis possi-
veis cornbinacoes de operadores diferenciais e produtos; estao listadas na Tabela 1-1.
Estas identidades podern ser faciJmente verificadas em coordenadas retangulares, 0 que
e suficiente para assegurar sua validade em qualquer sistema de coordenadas. U rna deriva-
da de urn produto de mais de duas funeoes, au uma derivada maior do que a derivada de
segunda ordern de uma funcso, pode ser calculada por aplicacoes repetidas das identida-
des da Tabela l-l , 0 que se constitui num processo exaustivo. As fo rmulas podem ser fa·cilrnente recordadas a partir das regras da algebra vetorial e da diferenciacao ordinaria; a
(mica ambiguidade poderia estar em (1-1-6) onde ocorre F • V (nao V • F).
Tabela I-I Identidades Vetoriais Difcrenciais
v . Vcp = Vlcp
V·VxF=O
\" 1 x V cp = 0
V x (V x F) = V(V . F) - V2F
V(cpl/l) = (VqJ)1/!+ cpV~1
V (F' G ) = (F, V )G + F x (V x G ) + (G • V)F + G x (V x F)
V . (cpF) = (V cp) . F + cpV . F
V - (F x G) = (V x F)' G - (V x G) . F
V x (cpF) =(V cp) x F + cpV x F
IV x (F x G ) = (V , G lF - (V , f)G + (G · V )F - (F ' V )G
(1-1-1)
(1-1-2)
(1-1-3)
(I 1-4)
(1-1-5)(1-1-6)
(1-1- 7)
(I-I-g)
(1-1-9)
(1-1-10)
AJguns tipos particulares de funcoes surgern tantas vezes na teoria eletromagnetica
que vale a pena anotar agora suas varias derivadas, Para a funcao F = r,
Para uma funcao que depende somente da distancia r = Ir l = .JXl +y2 + Z2,
r d< p ( r ) au F ( r ) : V =--.
r dr(1-53)
Para uma Iuncao que depende do argurnento A . r, onde A e urn vetor constante,
< p ( A • r) aud
F(A +r]: V = A d(A . c ) " (1-54 )
Para uma funcao que depende do argumento R= r - r ', onde r ' e tratado como uma ori-
gem constan te
V =VR:
V . a . a aR = 1 a x + J o Y + k e z :
(l-55)
onde R = X i + Y j +Zk. Se ao inves dlsso , r for tratado como constante ,
v= -V' (I-56)
onde
V' _. a . iJ a-1-;-; +J-a , +k:lt'
ox y oz
Existem varias possibilidades para a extensao do teorerna do divergente e do teore-
rna de Stokes. A mais interessante e 0 teorerna de Green, que e
r ( I / l 'V lc p - < p V z ! / I ) d e = f ( ! / I V < p - r p V I j J ) . n d a .'v . s
Este teorerna provern da aplicacao do teorerna do divergente ao vetor
(l-57)
Usando este Fno teorerna do divergente , obternos
r V · [ 1 / l V r p - < p V I / l ] dv ~ f (IjJV(P - c p V 1 fr ) . n da .. v . s
(I-58)
Usando a identidade (Tabela 1-1) para a divergcnte de urn escalar vezes urn vetor, ternos
(1-59)
Combinando as Eqs. (I-58) e (1-59), obtern-se 0 teorema de Green. Alguns outros teore-
mas de integrais estao listados na Tabela 1-2.
Isto conclui nossa breve exposicao de analise vetorial. Par concisao, as provas demuitos resultados foram deixadas como cxercfcios. Nenhurna tentativa foi feita para al -
cancar urn alto grau de rigor; baseou-se 0 procedimento num criterio unicarnente utilita-
rista. 0 necessario foi desenvolvido; tudo rnais, omi tido.