Add m6-1-chapter2

บทที่ 2การแจกแจงปกติ

(20 ชั่วโมง)

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง1. นําความรูเร่ืองคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล2. หาพื้นที่ใตเสนโคงปกติและนําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ใตเสนโคงปกติไปใชได

ขอเสนอแนะ1. ความสําคัญของคะแนนมาตรฐาน

คะแนนมาตรฐานจะบอกใหทราบวาคาสงัเกตนัน้ๆ อยูหางจากคาเฉลีย่เลขคณติเปนกีเ่ทาของสวนเบีย่งเบนมาตรฐาน และอยูในทศิทางใดเมือ่เทยีบกบัคาเฉลีย่ เนือ่งจาก XZ −µ

=σ

คาสงัเกตทีม่คีามากกวาคาเฉลีย่จะมคีะแนนมาตรฐานเปนบวกสวนคาสงัเกตทีม่คีานอยกวาคาเฉล่ียเลขคณติจะมคีะแนนมาตรฐานเปนลบ คาสงัเกตทีม่คีาเทากบัคาเฉลีย่เลขคณติพอดจีะมคีะแนนมาตรฐานเปนศนูย

สวนใหญแลวเราจะแปลงคาสงัเกตหรอืหาคะแนนมาตรฐานของคาสงัเกตแตละชดุทีม่ีการแจกแจงแบบสมมาตรเพือ่ใหมมีาตรวดัเดยีวกนัเนือ่งจากคะแนนมาตรฐานเปนคะแนนทีไ่มมหีนวยจากนั้นจึงทําการเปรียบเทียบคาสังเกตโดยพิจารณาจากคะแนนมาตรฐานของคาสังเกตนั้นๆ เชนเปรียบเทียบสวนสูงของนักเรียนสองคนที่มีอายุตางกันโดยการแปลงสวนสูงของนักเรียนแตละคนใหเปนคะแนนมาตรฐานเมื่อเทียบกับคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนในกลุมอายุนั้น ๆ คะแนนมาตรฐานของสวนสูงจะบอกใหทราบวานักเรียนแตละคนมีความสูงอยูในตําแหนงใดในการแจกแจงของกลุมนักเรียนอายุเดียวกันนั้น

การแปลงหรอืหาคะแนนมาตรฐานเปนการแปลงแบบเชงิเสน (linear transformation)การแปลงแบบเชิงเสนนี้ไมทําใหการแจกแจงของคาสังเกตกอนและหลังการแปลงเปลี่ยนแปลงไป และคาเฉลีย่เลขคณติและสวนเบีย่งเบนมาตรฐานของขอมลูหลังการแปลงกห็าไดโดยวธีิงาย ๆ อนึง่คาทีไ่ดจากการแปลงแบบเชิงเสนของขอมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติจะยังคงมีการแจกแจงแบบปกติ นอกจากนี้คะแนนมาตรฐานของการแจกแจงแบบใดๆ ก็ตามที่คํานวณจากขอมูลประชากรทั้งหมด(กลาวคือใชสูตร i

iXZ −µ

=σ

เมื่อ i คือ 1, 2, 3, ..., N) คะแนนมาตรฐานนั้นจะมีคาเฉลี่ยเลขคณิต(µ ) เปน 0 และสวนเบีย่งเบนมาตรฐาน (σ ) เปน 1 ทาํใหไดวาคะแนนมาตรฐานจากขอมลูเดมิทีม่กีารแจกแจงแบบปกตมิีคาเฉลี่ยเลขคณิตµ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ที่มีคาใดๆ จะมีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต µ= 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 1

68

การแจกแจงของคะแนนมาตรฐานของขอมลูไมจาํเปนตองมกีารแจกแจงแบบปกต ิขึน้อยูกบัลักษณะของขอมูลชุดนั้นๆ เวนเสียแตวาขอมูลเดิมมีการแจกแจงแบบปกติ

2. ตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีหลายแบบกลาวคือ (1) แสดงเพียงครึ่งดานขวาการแจกแจง โดยแสดงคา z ที่เปนศูนยเปนตนไป (z ≥ 0)และคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เร่ิมจาก z = 0 ถึง คา z ที่ตองการ ใหสังเกตเมื่อ z = 0.00 คาที่แสดงคือ .0000

(2) แสดงเพียงดานขวาของการแจกแจง โดยแสดงคา z ที่เปนศูนยเปนตนไป และคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เร่ิมจาก z = ∞− ถึง คา z ที่ตองการ ใหสังเกตเมื่อ z = 0.00 คาที่แสดงคือ .5000

69

(3) แสดงการแจกแจงทั้งหมด โดยแสดงคา z ที่เปนลบดวย เชน –3.40 เปนตนไปและคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เร่ิมจาก z = ∞− ถึง คา z ที่ตองการ

3. การแจกแจงของขอมลูมหีลายชนดิ การแจกแจงของอายกุารใชงาน มกัมกีารแจกแจงแบบอืน่ทีไ่มใชแบบปกต ิ เชน การแจกแจงแบบชีก้าํลัง การแจกแจงแบบสม่าํเสมอ

การแจกแจงแบบปกติ (normal) การแจกแจงแบบสม่ําเสมอ (uniform)

การแจกแจงแบบชี้กําลัง (exponential)

70

กิจกรรมเสนอแนะกิจกรรมที่ 1 คะแนนมาตรฐาน

ใหนักเรียนเก็บขอมูลคะแนนสอบวิชาใดวิชาหนึ่งของทุกคนในหองแปลงคะแนนดิบเหลานั้นใหเปนคะแนนมาตรฐานโดยสูตร i

iXZ −µ

=σ

(หรือใหนักเรียนแตละคนหาคะแนนมาตรฐานของคะแนนสอบทีต่นเองได โดยผูสอนคาํนวณคาเฉลีย่เลขคณติและสวนเบีย่งเบนมาตรฐานไวให) จากนั้นใหรวมกันตอบคําถามตอไปนี้

1. มนีกัเรยีนกีค่นทีไ่ดคะแนนมาตรฐานเปนบวก คดิเปนรอยละเทาใดของนกัเรยีนทัง้หมดและคะแนนมาตรฐานที่เปนบวกนี้หมายความวาอยางไร 2. มนีกัเรยีนกีค่นทีไ่ดคะแนนมาตรฐานเปนลบ คดิเปนรอยละเทาใดของนกัเรยีนทัง้หมดและคะแนนมาตรฐานที่เปนลบนี้หมายความวาอยางไร 3. ผูที่ไดคะแนนมาตรฐานระหวาง –1 ถึง 1 มีกี่คน คิดเปนรอยละเทาใดของทั้งหมดและผูที่ไดคะแนนในชวงนี้หมายความวาอยางไร 4. ตีความหมายคะแนนมาตรฐานของนักเรียนแตละคน 5. หาคาเฉลีย่เลขคณติ (µ ) และหาสวนเบีย่งเบนมาตรฐาน (σ ) ของคะแนนมาตรฐานของนกัเรยีนทัง้หอง (ใหใชสูตรทีค่าํนวณจากขอมลูระดบัประชากร) สังเกตคาเฉลีย่เลขคณติและสวนเบีย่งเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานวามีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนศูนยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปนหนึ่งหรือไม

แนวคดิในการทาํกจิกรรมนี ้หากนกัเรยีนในหองมจีาํนวนมากพอและการแจกแจงของคะแนนสอบคอนขางสมมาตรหรือใกลเคียงกับการแจกแจงแบบปกติ ผูที่ไดคะแนนมาตรฐานเปนบวกและลบจะมีพอๆ กัน หรือรอยละ 50 ของนักเรียนทั้งหมด (ถามีการแจกแจงเปนแบบปกติจริง) ผูที่มีคะแนนมาตรฐานอยูระหวาง –1 ถึง 1 ควรมีประมาณ รอยละ 68 อยางไรก็ตามไมวาการแจกแจงของคะแนนสอบจะเปนอยางไร คาเฉลีย่เลขคณติของคะแนนมาตรฐานจะตองเปนศนูยและสวนเบีย่งเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานตองเปนหนึง่เสมอ

หมายเหตุ คาสของ Zi ขางตน อาจเรียกไดหลายชื่อ เชน คะแนน z (z score) หรือคา z (z value)หรือคะแนนมาตรฐาน (standard score) หรือ คามาตรฐาน ซ่ึงเปนชื่อกลาง ๆ ใชไดทั่วไปไมวาคาของ xi จะเปนคะแนนหรือไมเปนคะแนน เชนอาจเปนน้ําหนักตัว หรือ ราคาสินคา ฯลฯ

กิจกรรมที่ 2 รูปกราฟของการแจกแจงแบบปกติหากนักเรียนสามารถเขาถึงอินเทอรเน็ตได ใหคนและศึกษารูปการแจกแจงแบบปกติที่มี

คาเฉลี่ยเลขคณิตตางๆ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตางๆ เปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนศูนยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปนหนึ่ง เวบ็ไซตทีแ่นะนาํ ซ่ึงมภีาพเคลือ่นไหวแสดงรปูรางของการแจกแจงแบบปกตติางๆ รวมทัง้ความสัมพันธกับฟงกชันของการแจกแจงแบบปกติเมื่อกําหนดคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบน

71

มาตรฐานไดแก http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html แลวคลิกที่ Flash Demo byJuha Puranen ภายใตหัวขอ Other Sites หรือไปที่ http://noppa5.pc.helsinki.fi/koe/flash/flash.html โดยตรง ไปที่หัวขอ Distributions จากนั้นเลือก Normal distribution

กิจกรรมที่ 3 (เพิ่มเติมในกรณีท่ีมีเวลาพิเศษ)ใหนกัเรยีนลองหาพืน้ทีใ่ตเสนโคงปกตมิาตรฐาน กรณทีีม่ตีารางแจกแจงความนาจะเปนสะสม

แบบตางๆ ตามที่เสนอไวในขอเสนอแนะ

การประเมินผลเนือ่งจากในการเรยีนการสอนเรือ่ง การแจกแจงแบบปกต ิ ใหความสาํคญักบัการนาํความรู

เร่ืองคามาตรฐานไปใชในการเปรยีบเทยีบขอมลู และการหาพืน้ทีใ่ตเสนโคงปกตแิละนาํความรูเกีย่วกบัพื้นที่ใตเสนโคงปกติไปใชได ดังนั้นในการประเมินผลผูสอนอาจประเมินจากแบบฝกหัด ขอสอบที่เนนการนําความรูเร่ืองคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล ความหมายของคามาตรฐานที่คํานวณได ความสมัพันธระหวางคะแนนดิบและคะแนนมาตรฐาน และการหาพื้นที่ใตเสนโคงปกติ นอกจากนั้นอาจประเมินผลโดยพิจารณาจากกิจกรรมกลุมที่ใหคํานวณคะแนนมาตรฐาน ความหมายของคาทีไ่ด และการหาพืน้ทีใ่ตเสนโคงปกตมิาตรฐานกรณทีีม่ตีารางแจกแจงความนาจะเปนสะสมแบบตางๆ หากมีเวลาในการสอนเพิ่มเติมเกี่ยวกับตารางเหลานี้

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท1. สมมุติวา คะแนนทดสอบ IQ สําหรับผูที่มีอายุระหวาง 20 ถึง 34 ป มีการแจกแจงที่

ประมาณไดวาเปนแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต (µ ) 110 และ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ ) 251.1 จะมีรอยละเทาใดของผูที่อยูในชวงอายุนี้ที่มีคะแนน IQ มากกวา 160

1.2 รอยละ 95 ของผูที่มีอายุในชวงนี้ ซ่ึงเปนรอยละที่อยูชวงกลางของการแจกแจงมีคะแนน IQ อยูระหวางคาใด

2. ถาเด็กหญิงคนหนึ่งสอบ SAT วิชาคณิตศาสตรได 680 คะแนน สมมุติวาคะแนนสอบSAT นี้มีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 500 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน100 คะแนน และถาเด็กชายคนหนึ่งทําคะแนนสอบ ACT วิชาคณติศาสตรได 27 คะแนน สมมตุิวาคะแนนสอบ ACT นีม้กีารแจกแจงแบบปกตทิีม่คีาเฉล่ียเลขคณติ 18 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 คะแนน ถาการทดสอบทัง้สองแบบวดัความสามารถ เชงิคณติศาสตรแบบเดยีวกนั เดก็ชายหรอืเดก็หญงิ มีคะแนนสอบดีกวากัน

3. จงใชตารางแจกแจงปกตมิาตรฐาน เขยีนรูปและแรเงาพืน้ทีใ่ตโคงเพื่อตอบคําถามตอไปนี้ 3.1 พื้นที่ใตโคงที่มีคา z < 2.85

3.2 พื้นที่ใตโคงที่มีคา z > 2.85

72

3.3 พื้นที่ใตโคงที่มีคา z > –1.66 3.4 พื้นที่ใตโคงที่มีคา –1.66 < z < 2.854. สมมุติวาความกวางของศีรษะของผูขับขี่มอเตอรไซตรับจางมีการแจกแจงแบบปกติที่

มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 22.8 นิ้วและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.1 นิ้ว ในการทําหมวกกันน็อคตองทําคราวละมากๆ ใหทกุคนใสไดยกเวนผูทีม่คีวามกวางของศรีษะเลก็เกนิไป หรือใหญเกนิไป กลุมละ 5%ซ่ึงจะตองสั่งเปนพิเศษ อยากทราบวาผูที่มีขนาดศีรษะเทาใดที่จะตองสั่งหมวกกันน็อคเปนพิเศษ

5. เครื่องกดน้ําอัดลมเครื่องหนึ่งไดถูกตั้งไวใหจายน้ําอัดลมโดยเฉลี่ย 7.00 ออนซ ตอถวยสมมุติวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําอัดลมที่จายคือ 0.10 ออนซ และปริมาณน้ําอัดลมที่จายมีการแจกแจงแบบปกติจงหา 5.1 เปอรเซน็ตทีเ่ครือ่งกดน้าํอดัลมนีจ้ะจายน้าํอดัลมระหวาง 7.10 ถึง 7.25 ออนซ

5.2 เปอรเซน็ตที่เครื่องกดน้ําอัดลมนี้จะจายน้ําอัดลมอยางนอย 7.25 ออนซ5.3 เปอรเซน็ตทีเ่ครือ่งกดน้าํอดัลมนีจ้ะจายน้าํอดัลมระหวาง 6.80 ถึง 7.25 ออนซ

6. ถาฉลากขางกระปองของแฮมที่นําเขามาจากตางประเทศระบุวามีน้ําหนัก 9.00 ปอนดแตในการตรวจสอบพบวาน้ําหนักที่ซ่ึงไดมีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 9.20 ปอนดและสวนเบีย่งเบนมาตรฐาน 0.25 ปอนด จงหาวา 6.1 จะมแีฮมบรรจกุระปองทีม่นี้าํหนกันอยกวาน้าํหนกัทีร่ะบไุวบนฉลากในสดัสวนเทาใด

6.2 ถาบริษัทที่นําเขาตองการลดสัดสวนของแฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักนอยกวาที่ระบุไวบนฉลากโดยมีทางเลือกสองทางไดแก

วธีิที ่ 1 เพิม่น้าํหนกัโดยเฉลีย่ใหเปน 9.25 ปอนดโดยใหสวนเบีย่งเบนมาตรฐานมคีาคงเดมิ วิธีที่ 2 ลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 0.15 ปอนดโดยใหน้ําหนักเฉลี่ยมีคาคงเดิมทานจะแนะนําใหใชทางเลือกใด

7. ถายอดขายประจําปของนวนิยายเรื่องหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติแตไมทราบคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบีย่งเบนมาตรฐาน อยางไรกต็ามจากขอมลูทีเ่กบ็มาทราบวารอยละ 40 ของทัง้หมดมียอดขายเกนิ 470,000 บาท และรอยละ 10 ของทัง้หมดมยีอดขายเกนิ 500,000 บาท แลวคาเฉลีย่เลขคณติและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของยอดขายควรมีคาเทาใด

8. ถาคะแนนสอบเชาวปญญาของผูทีม่อีาย ุ20 ถึง 34 ป และผูทีม่อีาย ุ60 ถึง 64 ป มกีารแจกแจงปกตโิดยประมาณ โดยกลุมทีม่อีาย ุ20 ถึง 34 ป มคีาเฉลีย่เลขคณติ 110 คะแนน สวนเบีย่งเบนมาตรฐาน 25 คะแนน และกลุมทีม่อีาย ุ60 ถึง 64 ป มคีาเฉลีย่เลขคณติ 90 คะแนน สวนเบีย่งเบนมาตรฐาน 25คะแนน

นางสาวชวนชืน่มอีาย ุ 30 ป สอบไดคะแนน 135 คะแนน ในขณะทีน่างชวนชมซึง่เปนแมมอีาย ุ 62 ป สอบได 120 คะแนน ใครสอบไดคะแนนดกีวากนัเมือ่เปรยีบเทยีบกบัผูสอบในกลุมอายุนั้นๆ (รอยละของผูที่ไดคะแนนต่ํากวาชวนชื่นและชวนชมในกลุมอายุนั้นๆ เปนเทาใด)

73

9. พืน้ทีใ่ตโคงปกตมิาตรฐานตัง้แตควอรไทลทีห่นึง่ไปทางดานซายมอืมพีืน้ทีเ่ทาใด ควอรไทลทีห่นึง่และควอรไทลที่สามของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีคาเทาใด

เฉลยแบบทดสอบประจําบท1. 1.1 ประมาณ 2.28 % 1.2 ระหวาง 60 ถึง 1602. เด็กหญิงมีคะแนนมาตรฐาน 1.8 สวนเด็กชายมีคะแนนมาตรฐาน 1.5 ดังนั้นเด็กหญิงสอบได

คะแนนดีกวาเด็กชาย3. 3.1 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9978 3.2 พื้นที่ใตโคงคือ 0.0022 3.3 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9515 3.4 พื้นที่ใตโคงคือ 0.94934. ผูที่มีขนาดศีรษะนอกชวง 22.8± 1.81 นิ้ว หรือผูที่มีศีรษะเล็กกวา 21 นิ้ว หรือใหญกวา 24.6 นิ้ว

โดยประมาณจะตองสั่งหมวกกันน็อคเปนพิเศษ5. 5.1 15.25% (จากคา z เทากับ 1 ถึง 2.5) 5.2 0.62% 5.3 97.10% (จากคา z เทากับ -2 ถึง 2.5)6. 6.1 รอยละ 21.19 6.2 การเพิ่มน้ําหนักเฉลี่ย ทําใหไดคา z เทากับ –1.00 และใหคาสัดสวนคือ 0.1587 การลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานทําใหไดคา z เทากับ –1.33 และใหคาสัดสวนคือ 0.0918 ดังนั้นการลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานลงจะเปนทางเลือกที่ดีกวาเพราะทําใหมีสัดสวนของ แฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักต่ํากวามาตรฐานนอยกวา7. จาก 470,000 0.25−µ

=σ

และ 500,000 1.28−µ=

σ ทําใหไดคาเฉลี่ยเทากับ 462,719 บาท

และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 29,126 บาทโดยประมาณ8. คะแนนมาตรฐานของชวนชื่นคือ 1 ขณะที่คะแนนมาตรฐานของชวนชมคือ 1.2 ดังนั้นแมของ

ชวนชืน่มคีะแนนสมัพทัธทีสู่งกวา (แตชวนชืน่มคีะแนนดบิสงูกวา) หรือพจิารณาจากเปอรเชน็ไทลของชวนชื่นคือ 84 ขณะที่เปอรเซ็นไทลของชวนชมคือ 88.5 โดยประมาณ

9. พืน้ทีน่บัตัง้แตควอรไทลทีห่นึง่ไปทางซายมอืของการแจกแจงแบบใดๆ ตองเปน 0.2500 ควอรไทล ที่หนึ่งและควอรไทลที่สามของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานคือ –0.675 และ 0.675 โดยประมาณ

74

เฉลยแบบฝกหัด 2.1

1. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 = 157075−

= 31

คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.4 = 208080 −

= 0คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 สูงกวาคามาตรฐานของคะแนนในชั้น ม.4 แสดงวาวิชัยเรียนคณิตศาสตรในชั้น ม.3 ไดดีกวา

2. ถาให µ คือคาเฉลี่ยเลขคณิตจะไดวา 1 = 1.112 µ−

µ = 12 – 1.1µ = 10.9

ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเปน 10.9 วินาที

3. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย = 158580 −

= 31

−

คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ = 207560−

= 43

−

คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร = 56570 −

= 1ดังนั้น จิตราเรียนวิชาวิทยาศาสตรไดดีที่สุด

4. คามาตรฐานของอายุคนงาน 2 = 225x −

x = 4 + 25x = 29

ดังนั้น คนงานที่มีอายุตั้งแต 29 ปขึ้นไป จึงจะมีโอกาสไดรับเลือกเขาเปนคนงานของโรงงานนี้

5. คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนาย ก = 57070 −

= 0

คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนาย ก = 107075−

= 21

คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนาย ก = 158075−

= 31

−

75

ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยของวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนาย ก = 331

210 −+

= 181

คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนางสาว ข = 57075−

= 1

คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนางสาว ข = 107050 −

= –2

คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนางสาว ข = 158095−

= 1

ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยอขงวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนางสาว ข = 3121 +−

= 0แตเกณฑของหนวยงานผูสอบคัดเลือกไดจะตองไดคามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา

ไมต่ํากวา 0ดังนั้น นาย ก และนางสาว ข จะสอบคัดเลือกไดทั้งสองคน

6. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ σ จะไดวา 3 = 650 − µσ

3µ + σ = 650 (1)และ 1.9 = 540 − µ

σ1.9µ + σ = 540 (2)

จาก (1) และ (2) จะได 1.1σ = 110 σ = 100

และ µ = 650 – 300 µ = 350

ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ 350 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบคือ 100 คะแนน

7. (1) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐอลาสกา = 5428990 −

= –3.69ดังนั้น โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงนอยกวารัฐอื่น ๆ

76

(2) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐคาลิฟอรเนีย = 54289240−

= –0.91

คามาตรฐานของผูปวยโรคมะเร็งในรัฐคาลิฟอรเนีย = 31200166−

= –1.10ดังนั้น ในรัฐคาลิฟอรเนียโรคหัวใจมีความรุนแรงมากกวาโรคมะเร็ง เมื่อเทียบกับที่พบในรัฐอื่น ๆในระดับประเทศ

8. เนื่องจาก zi = ix −µσ

(1) 2 = 520x −

x = 10 + 20x = 30

(2) –1 = 325x −

x = –3 + 25 x = 22

(3) –1.5 = 10100x −

x = –15 + 100 x = 85

(4) 2.5 = ( )x 100.2− −

0.5 = x + 10 x = 0.5 – 10 x = –9.5

77

เฉลยแบบฝกหัด 2.2

1. (1) ให x เปนคาของขอมูล โดยกําหนดให µ = 400 และ σ = 100จาก z = x −µ

σ

จะได z = 100400538−

= 1.38

จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.38 เทากับ 0.4162ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเมื่อ z > 1.38 เทากับ 0.5 – 0.4162 = 0.0838นั่นคือ มีขอมูล 8.38% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 538

(2) จะได z = 100400179−

= –2.21

จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –2.21 ถึง z = 0 เทากับ 0.4864ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > –2.21 เทากับ 0.5 + 0.4865 = 0.9864นั่นคือ มีขอมูล 98.64% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 179

0 1.38 Z

Z0-2.21

78

(3) จะได z = 100400356−

= –0.44

จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.44 ถึง z = 0 เทากับ 0.1700ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.44 เทากับ 0.5 – 0.1700 = 0.3300นั่นคือ มีขอมูล 33% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 356

(4) จะได z = 100400621−

= 2.21

จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.21 เทากับ 0.4864ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปก เมื่อ z < 2.21 เทากับ 0.5 + 0.4864 = 0.9864นั่นคือ มีขอมูล 98.65% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 621

0-0.44Z

Z0 2.21

79

(5) จะได z1 = 100400318−

= –0.82

z2 = 100400671−

= 2.71

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.71 เทากับ 0.4966จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.82 ถึง z = 0 เทากับ 0.2939ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –0.82 < z < 2.71 เทากับ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905นั่นคือ มีขอมูล 79.05% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 318 และ 671

(6) จะได z1 = 100400484 −

= 0.84

z2 = 100400565−

= 1.65

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.84 เทากับ 0.2995จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.65 เทากับ 0.4505ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ 0.84 < z < 1.65 เทากับ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510นั่นคือ มีขอมูล 15.09% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 484 และ 565

Z0-0.82 2.71

Z0 1.650.84

80

(7) จะได z1 = 100400249−

= –1.51

z2 = 100400297−

= –1.03

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.51 ถึง z = 0 เทากับ 0.4345จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.03 ถึง z = 0 เทากับ 0.3485ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.51 < z < –1.03 เทากับ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860นั่นคือ มีขอมูล 8.6% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 249 และ 297

2. (1) ให x เปนน้ําหนักของกาแฟ (กรัม) โดยกําหนด µ = 115.5 และ σ = 0.3จาก z = x −µ

σ

จะได z1 = 3.05.115115−

≈ –1.667

z2 = 3.05.1155.115 −

= 0

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.66 เทากับ 0.4515 และ z = 0 ถึง z = 1.67 เทากับ 0.4525

จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ

0.4515 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0007.0001.0

= 0.4522

Z0-1.51 -1.03

Z0-1.667

81

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.667 < z < 0 เทากับ 0.4522นั่นคือ มีขวดกาแฟ 45.22% ของขวดกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง 115 กรัม และ 115.5 กรัม

(2) จะได z1 = 3.05.1159.114 −

= –2

z2 = 3.05.1155.115 −

= 0

จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2 < z < 0 เทากับ 0.4772นั่นคือ มีขวดกาแฟ 47.72% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง114.9 กรัม และ 115.5 กรัม

(3) จะได z1 = 3.05.1152.115 −

= –1

z2 = 3.05.1159.115 −

≈ 1.333


จะได พื้นที่เสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.333 เทากับ

0.4082 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0003.00017.0

= 0.4087

Z0-2

Z0-1 1.333

82

และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1 ถึง z = 0 เทากับ 0.3413ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1 < z < 1.333 เทากับ 0.4087 + 0.3413 = 0.75นั่นคือ มีขวดกาแฟ 75% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง

115.2 กรัม และ 115.9 กรัม

(4) จะได z1 = 3.05.1157.114 −

≈ –2.667

z2 = 3.05.115115−

≈ –1.667


จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.667 เทากับ 0.4961+0.00007=0.49617และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2.667 < z < –1.667 เทากับ 0.49617–0.4522 = 0.0440นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.4% ของกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง114.7 กรัม และ 115 กรัม

(5) จะได z = 3.05.1155.115 −

= 0ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > 0 เทากับ 0.5นั่นคือ มีขวดกาแฟ 50% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา115.5 กรัม

Z0-2.667 -1.667

Z0

83

(6) จะได z = 3.05.115115−

≈ –1.667จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1.667 เทากับ 0.5 – 0.4522 = 0.0478นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.78% ขวดกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา115 กรัม

3. (1) ให x เปนคะแนนสอบของนายไผท โดยกําหนด µ = 64 และ σ = 8จาก z = x − µ

σ

จะได z = 86462−

= –0.25

จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.25 ถึง z = 0 เทากับ 0.0987ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.25 เทากับ 0.5 – 0.0987 = 0.4013นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนไผท คือ 40.13 ในกลุมนักเรียนชาย

Z0-1.667

Z0-0.25

84

(2) ให x เปนคะแนนสอบของอาภัสรา โดยกําหนด µ = 60 และ σ = 10

จาก z = 106073−

= 1.3จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.3 เทากับ 0.4032

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.3 เทากับ 0.5 + 0.4032 = 0.9032นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 90.32 ในกลุมนักเรียนหญิงคะแนนของอาภัสราในกลุมนักเรียนชาย โดยกําหนด

จะได z = 86473−

= 1.125


จะไดพื้นที่ใตเสนโคงระหวาง z = 0 ถึง z = 1.125 เทากับ 0.3686 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0005.00022.0

= 0.3697ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.125 เทากับ 0.5 + 0.3697 = 0.8697นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 86.97 ในกลุมนักเรียนชาย

Z0 1.3

Z0 1.125

85

4. (1) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P25 เทากับ 0.25

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2518 คา z เทากับ 0.68พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2486 คา z เทากับ 0.67

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.25 คา z เทากับ 0.67 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

0032.00014.001.0

≈ 0.6744

จาก z = x − µσ

–0.6744 = 1272x −

x = 72 – 8.0928 x = 63.91

นั่นคือ คะแนน ที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 คือ 63.91

(2) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P90 เทากับ 0.90 – 0.5 = 0.4



⎜⎝⎛ ×

0018.00003.001.0

≈ 1.2817

Z0P25

0.25

Z0 P90

86

จาก 1.2817 = 1272x −

x = 72 + 15.3804 x = 87.38

นั่นคือ คะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 คือ 87.38

5. ให x เปนความหนาของแผนพลาสติกจาก z = x −µ

σ

จะได z1 = 0025.00625.00595.0 −

= –1.2

z2 = 0025.00625.00659.0 −

= 1.36

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.36 เทากับ 0.4131และจะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.2 เทากับ 0.3849ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.2 < z < 1.36 เทากับ 0.4131 + 0.3849 = 0.7980นั่นคือ มีแผนพลาสติก 79.8% ของพลาสติกทั้งหมดที่ผลิตไดมีความหนาอยูระหวาง 0.595เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร

6. เพราะวา 50.04% ของนาฬิกาทั้งหมดที่ผลิตไดมีความคลาดเคลื่อนระหวาง x กับ 0.136วินาทีจาก z = x −µ

σ

z = 4.000.0136.0 −

= 0.34

Z0-1.2 1.36

87

จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.34 เทากับ 0.1331จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก z = 0 ถึง x เทากับ 0.5004 – 0.1331 = 0.3673จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3686 คา z เทากับ 1.12

พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3665 คา z เทากับ 1.11


⎜⎝⎛ ×

0021.00008.001.0

≈ 1.1138

จะได –1.1138 = 4.000.0x −

x = –0.446นั่นคือ x เทากับ –0.446 วินาที

7.

จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก x = 11.88 ถึง µ = 12.00 เทากับ 0.5–0.1151 = 0.3849จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3849 คา z เทากับ 1.20จาก z = x −µ

σ

–1.20 = 11.88 12.00−σ

σ = 2.112.0

−− = 0.1

ดังนั้น ความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถ่ัวที่ผลิตโดยบริษัทนี้เทากับ 0.01

Z0 0.136X

50.04%

Zµ = 12.00X = 11.88

88

8. (1) กําหนด σ = 3, x = 6 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.09


ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.09 คา z เทากับ 1.34 + 0.01 0.00010.0016×⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1.3406

จะได –1.3406 = 63−µ

µ = 6 + 4.0218 µ = 10.0218

ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตประมาณ 10.0218 เปนคา a ที่ตองการ

(2) กําหนด µ = 10, x = 12 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.60จากรูป พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง µ ถึง x = 12 เทากับ 0.6 – 0.5 = 0.1



⎜⎝⎛ ×

0039.00013.001.0

≈ 0.2533

จะได 0.2533 = 12 10−σ

σ = 20.2533

σ ≈ 7.90ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.90 เปนคา b ที่ตองการ

Z0X = 6

X = 12µ

0.09

0.41

89

(3) กําหนด µ = 10, σ = 2 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.18จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1808 คา z เทากับ 0.47

พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1772 คา z เทากับ 0.46


⎜⎝⎛ ×

0036.00028.001.0

= 0.4678

จะได –0.4678 = 210x −

x = 10 – 0.9356 x = 9.0644

ดังนั้น คะแนนที่สนใจศึกษาประมาณ 9.06 เปนคา c ที่ตองการ

(4) กําหนด µ = 3, σ = 1 และ x = 2

จะได z = 132 −

= –1จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1 เทากับ 0.5 – 0.3413 = 0.1587

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนนที่ต่ํากวา 2 เทากับ 0.1587 เปนคา d ที่ตองการ

X µ

z = –1 µ

90

9. (1) ให x เปนคะแนนสอบ SAT โดยกําหนด µ = 505 และ σ = 111จาก z = x −µ

σ

จะได z1 = 111505400−

= –0.946

z2 = 111505600−

= 0.856จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.94 เทากับ 0.3264

พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.95 เทากับ 0.3289จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.946 เทากับ

0.3264 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0006.00025.0

= 0.3279

จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.85 เทากับ 0.3023พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.86 เทากับ 0.3051

จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.856 เทากับ

0.3023 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0006.00028.0

= 0.30398

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่อยูระหวาง 400 และ 600 เทากับ 0.3279 + 0.30398 = 0.63188

(2) จะได z = 111505700−

≈ 1.757

Z-0.946 0 0.856

Z1.7570

91



0.4599 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0007.00009.0

= 0.46053

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่มากกวา 700 เทากับ0.5 – 0.46053 = 0.03947

(3) จะได z = 111505450−

≈ –0.495



0.1879 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

01.0005.00036.0

= 0.1897

ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่นอยกวา 450 เทากับ0.5 – 0.1897 = 0.3103

Z-0.495 0

Add m6-1-chapter2

Education