แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 13 - Pattayatech...การอ นท เกรตฟ งก ช นตร โกณม ต บางคร งจะอย

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 13 รหัสวิชา 3000-1406 วิชา แคลคูลสัพื้นฐาน หน่วยที ่ 6 ชั่วโมงที ่ 37-39 ชื่อหน่วย การอินทิกรัลไมจ่ ากัดเขต

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด การอินทิกรัลไม่จ ากดัเขต (Indefinite Integral) คือ การหาค่าของฟังก์ชัน เมื่อมีการก าหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชันมาให้ โดยเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชันท่ีก าหนดมาให้ว่า อินทิแกรนด์ฟังก์ชนั อีกความหมายของการ อินทิกรัลไมจ่ ากัดเขต เราเรียกว่า ปฏิยานุพันธ ์ (Antiderivative) ในการค านวณหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันต่างๆ นั้น อาจแทนค่าได้โดยตรง หรืออาจต้องมีการแปลงฟังก์ชันท่ีต้องการอินทิเกรตให้เป็นฟังก์ชันใหม่ที่ง่ายขึ้น

สาระการเรียนรู้ 1. ความหมายของปฏยิานุพันธ์ 2. การหาค่าของปฏิยานุพันธ ์3. การหาค่าอินทิกรลัไม่จ ากัดขอบเขตของฟังก์ชันพีชคณิต

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง 1. บอกความหมายของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันได้ 2. หาค่าของปฏิยานุพันธ์ได ้3. ค านวณหาค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันพีชคณิตได ้4. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ที่อาจารย์สามารถสังเกตเห็นได้ ในด้านความมี

มนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรับผิดชอบ ความเช่ือมั่นในตนเอง ความสนใจใฝ่รู้ ความรักสามัคค ีความกตัญญูกตเวที

กิจกรรมการเรียนการสอน ขั้นน าเข้าสู่บทเรียน 1. อาจารย์ซักถามกับนักศึกษาถึงเรื่องที่เรียนมาแล้วว่ามีความเข้าใจมากน้อยแค่ไหน ซึ่งเป็นพื้นฐานของเรื่องที่จะเรียน

ต่อไป

ขั้นสอน 2. อาจารย์แจกใบความรู้พร้อมทั้งอธิบายความหมาย การหาค่าของปฏิยานุพันธ์ และการหาค่า

อินทิกรัลไม่จ ากัดขอบเขตของฟังก์ชันพีชคณิต พร้อมตัวอย่างเพื่อให้นักศึกษาเข้าใจและน าไปใช้ได้ 3. อาจารย์ยกตัวอย่างบนกระดานเพิ่มเติมจากใบความรู้ เปิดโอกาสให้นักศึกษาซักถามและช่วยกันคิด

ตัวอย่างท่ี 1 จงหา dx)x( 527 ในที่น้ี u ควรจะเป็น 7x + 2 เราอาจใช้การแปลง dx ให้เป็น du จะได้เป็น d(7x + 2) = 7dx

dx = 727 )x(d

ซึ่งเราจะได้ว่า

dx)x( 527 =

727

27 5 )x(d)x(

= )x(d)x( 272771 5

= 71

1527 15

)x(

+ C

= 71

627 6)x(

+ C

dx)x( 527 = 421

(7x + 2)6 + C

ตัวอย่างท่ี 2 จงหา 23xdx

ให ้ u = 3x + 2 du = d(3x + 2) = 3dx

dx = 3du

= 323 )x(d

23xdx

=

))(x()x(d32323

= 31

2323

x)x(d

= 31

ln3x + 2 + C

23xdx

= 31

ln3x + 2 + C

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาค่าของ y ในเทอมของ x จากสมการ dxdy

= 3x2 + 2x และหาค่าของ C

เมื่อ x = 2 , y = 9

จาก dxdy

= 3x2 + 2x

dy = (3x2 + 2x) dx อินทิเกรตทั้งสองข้าง เราจะได้ว่า

dy = dx)xx( 23 2

dy = dxx23 + xdx2

y = 3

12

12x + 2

11

11x + C

y = 3 3

3x + 2 2

2x + C

y = x3 + x2 + C เนื่องจาก x = 2, y = 9 ดังนั้น

9 = 23 + 22 + C

C = 9 – 8 – 4 = – 3 C = – 3

ดังนั้น y = x3 + x2 – 3 4. อาจารย์ให้นักศึกษาท าเอกสารแนะแนวทางโดยถามกันได้เพื่อช่วยกนัระดมความคดิ หาค าตอบ 5. อาจารย์และนักศึกษาช่วยกันเฉลยเอกสารแนะแนวทาง

ขั้นสรุปและการประยุกต ์6. อาจารย์และนักศึกษาช่วยกันสรุปสูตรของ การหาค่าของปฏิยานุพันธ์ 7. นักศึกษาท าแบบประเมินผลการเรยีนรู้ที ่6.1 8. อาจารย์ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6.1 และช้ีแจงข้อบกพร่องหรือข้อผิดพลาดให้นักศึกษาทราบ

สื่อการเรียนการสอน 1. หนังสือเรียนวิชา แคลคูลสัพื้นฐาน (3000-1406) 2. ใบความรู ้3. เอกสารแนะแนวทาง

การวัดผลและการประเมินผล วิธีวัดผล 1. สังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล 2. ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6.1 3. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์

เคร่ืองมือวัดผล 1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล 2. แบบประเมินผลการเรียนรู้ที ่6.1 3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และนักศึกษาร่วมกันประเมิน

เกณฑ์การประเมินผล 1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล เกณฑ์ผ่าน ต้องไม่มช่ีองปรับปรุง 2. แบบประเมินผลการเรียนรู้ที ่6.1 ท าถูกต้อง 70% ขึ้นไป 3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค ์คะแนนข้ึนอยู่กับการประเมนิตามสภาพจริง

ใบความรู้

ความหมายของปฏิยานุพันธ์ ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) เป็นการด าเนินการทางคณติศาสตร์อย่างหนึ่งที่ตรงข้าม หรือผันกลบักับการหาอนุพันธ์ของ

ฟังก์ชัน เราเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า การอินทิเกรต (Integration) เช่น ก าหนดให้ y = f(x)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับ x คือ dxdy

= f (x)

ค่าเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คือ dy = f (x)dx

การอินทิเกรต คือ การหาว่า f (x)dx เป็นค่าเชิงอนุพันธ์ (differential) ของฟังก์ชันใดๆ ซึ่งผลลัพธ์ของการอินทิเกรตนี้ เรา

เรียกว่า อินทิกรลั (Integral) ซึ่งเราจะได้ว่า อินทิกรลัตัวหนึ่งของ f (x)dx คือ f(x) ค่าอินทิกรัลของ f (x)dx นี้ มีหลายค่าด้วยกัน

f(x)+c เป็นอินทิกรัลไม่จ ากัดเขตของ f (x)dx เพราะว่าค่าคงตัว c จะมีค่าใดๆ ก็ไดไ้ม่จ ากดั

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) เป็นค าตอบหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ์ dy = f (x)dx และ f(x) หาอนุพันธ์ได้ และ )x(dxdf

= f

(x) แล้วเรียก f(x) ว่า เป็นอินทิกรัลของ f (x) เทียบกับ x

ถ้า f(x) เป็นอินทิกรัลของ f (x) เทียบกับ x แล้ว f(x) + c จะเป็นอินทิกรัลของ f (x) เทียบกับ x ด้วย เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ เพราะค่า

]c)x(f[dxd

= cdxd

)x(fdxd

= f (x) + 0 = f (x) นั่นเอง

การหาค่าของปฏิยานุพันธ์

ค่าของปฏิยานุพันธ์ท่ีได้มคีวามหมายเดียวกับการหาค่าอินทิกรลัไม่จ ากัดเขตของ f(x)dx หรือ f(x)dx ซึ่งเราต้องทราบ f(x) = f(x) แล้วค าตอบที่ได้ f(x) + c

การหาค่าอินทิกรัลไม่จ ากัดขอบเขตของฟังก์ชันพีชคณิต

ในการหาค่าอินทิกรลัไมจ่ัดเขตของฟังก์ชันพีชคณิต สามารถหาได้โดยการใช้สูตร โดยให้นึกถึงความรู้เรื่องค่าเชิงอนุพันธ์ (Differential) ของฟังก์ชันก่อน แล้วย้อนไปหาฟังก์ชันเดิม ก็จะท าให้เราสามารถหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันพีชคณิตเหล่านั้นไดเ้สมอ เช่น f(x) = x2

f (x) = 2x ดังนั้น )x(f dx = f(x) + C

x2 dx = 2x + C

เมื่อก าหนดให้ u, v และ w เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ (เช่น x) ซึ่งเราสามารถหาอนุพันธ์ได ้ a, n และ c เป็นค่าคงตัวแล้ว เราจะใช้สูตรของคา่เชิงอนุพันธ์ เทียบกับสูตรการหาค่าอินทิกรัลดังนี ้

นิยาม

สูตรค่าเชิงอนุพันธ ์ สูตรของการหาค่าอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต 1. du = du 2. dau = a du 3. d(u + v – w) = du + dv – dw 4. dun = 1nnu du

5. d(ln u) = u1

du

1. du = u + C 2. adu = dua 3. d (u + v – w) = du + dv dw

4. duu n = 1

1

nu n

+C เมื่อ n –1

5. udu

= lnu+C

ตัวอย่างท่ี 1 จงหา dx)x( 32

dx)x( 32 = xdx2 + dx3 = xdx2 + dx3

=

11211x

+ 3x + C

= 22 2x

+ 3x + C

dx)x( 32 = x2 + 3x + C

ตัวอย่างท่ี 2 จงหา

dxx

xx4

24 76

dxx

xx4

24 76 = dx

xx4

4

– dxxx4

2

6 + 47xdx

= dx – dxx 26 +

dxx 47

= x – 6 12

12

x + 147

14

x + C

= x – 6 1

1

x + 37 3

x + C

dxx

xx4

24 76 = x + x

6 – 337x

+ C

เอกสารแนะแนวทาง

1. จงหาค่าของ dx)x( 32 ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...………………………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาค่า dx)xx( 532 ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...…………………………………………………………………………………………………………………..

3. จงหาค่า ds)s( 243 ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...…………………………………………………………………………………………………………………..

4. จงหาค่า dxx)x( 223 32 ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...………………………………………………………………………………………………………………….. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………………………………………………………..

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง

1. จงหาค่าของ dx)x( 32

วิธีท า dx)x( 32 = xdx2 + dx3

= xdx2 + dx3

= 2

22x + 3x + C

dx)x( 32 = x 2 + 3x + C ตอบ

2. จงหาค่า dx)xx( 532

วิธีท า dx)xx( 532 = dxx 2 + xdx3 – dx5

= dxx 2 + xdx3 – dx5

= 3

3x + 23 2x

– 5x + C

dx)xx( 532 = 3

31x + 2

23x – 5x + C ตอบ

3. จงหาค่า ds)s( 243

วิธีท า ds)s( 243 = 243 )s( 3

43 )s(d

= 31

243 )s( d(3s + 4)

= 31

1243 12

)s(

+ C

= 31

343 3)s(

+ C

ds)s( 243 = 91

(3s + 4) 3 + C ตอบ

4. จงหาค่า dxx)x( 223 32

วิธีท า dxx)x( 223 32 = 23 2)x( d(x 3 + 2)

= 122 123

)x(

+ C

dxx)x( 223 32 = 32 33 )x(

+ C ตอบ

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 14 รหัสวิชา 3000-1406 วิชา แคลคูลสัพื้นฐาน หน่วยที ่ 6 ชั่วโมงที ่ 40-42 ชื่อหน่วย การอินทิกรัลไมจ่ ากัดเขต

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด การอินทิเกรตฟังก์ชันตรโีกณมิติบางครั้งจะอยู่ในรูปผลคณูของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันคูณกัน หรืออยู่ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ยกก าลัง จะไม่สามารถอินทิเกรตได้ทันทีต้องมีการดัดแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านั้นก่อน จึงจะสามารถอินทิเกรตไดส้ะดวกขึ้น แบ่งลักษณะโจทย์ดังกล่าวออกเป็น 6 ลักษณะ คือ

1. xdxsin n หรือ xdxcosn

2. dxxcossin nm

3. Bxdxcos.Axsin , Bxdxsin.Axsin , Bxdxcos.Axcos

4. xdxtann หรือ xdxcot n

5. xdxsecn หรือ xdxcosecn

6. xdxsec.xtan nm หรือ xdxcosec.xcot nm

สาระการเรียนรู้ 4. การหาค่าอินทิกรลัไม่จ ากัดขอบเขตของฟังก์ชันอดิศัยโดยใช้สูตร

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง 4. ค านวณหาค่าอินทิกรัลไม่จ ากดัขอบเขตของฟังก์ชันอดิศัยโดยใช้สูตรได้ 5. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ที่อาจารย์สามารถสังเกตเห็นได้ ในด้านความมี

มนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรับผิดชอบ ความเช่ือมั่นในตนเอง ความสนใจใฝ่รู้ ความรักสามัคค ีความกตัญญูกตเวที

กิจกรรมการเรียนการสอน ขั้นน าเข้าสู่บทเรียน 1. อาจารย์แจกใบงานของเรื่องที่แล้วให้นักศึกษาลองท าเพื่อเป็นการทบทวน

ขั้นสอน 2. ในหัวข้อน้ีจะมีตัวอย่างการหาค าตอบโดยการใช้สตูรที่เรียนมาเป็นพืน้ฐาน เพราะฉะนั้นอาจารย์ จะแจกใบความรู้ที่สรุป

สูตรมาให้นักศึกษาไว้ท่องจ าเพื่อเป็นการทบทวน 3. อาจารย์ยกตัวอย่าง อธิบายให้นกัศึกษาฟังและคิดตามพร้อมท้ังมีการซักถามในขณะที่อธิบายได้เตม็ที่

ตัวอย่างท่ี 1 จงหา dx)xsin( 32

ใช้สูตร udusin = Cucos

โดยเลือกให ้ u = 32 x du = d(2x + 3) = 2dx

ดังนั้น dx = 2du

= 232 )x(d

dx)xsin( 32 =

232

32)x(d

)xsin(

= )x(d)xsin( 323221

= C)xcos( 3221

ดังนั้น dx)xsin( 32 = C)xcos( 3221

ตัวอย่างท่ี 2 จงหา xdxcos4

xdxcos4 = 24

2121

))xcos(( dx

= 22121

))xcos(( dx

= )xcosxcos( 222141 2

dx

= xcosxdxcosdx 241

2241

41 2

dx

= 22

22121

41

2241

41

))x(cos(()x(dxcosx dx

= )xcos(xsinx 4181

241

41

dx

= 44

481

81

241

41 xd

.xcosdxxsinx

= xdxcosxxsinx 44321

81

241

41

ดังนั้น xdxcos4 = Cxsinxsinx 4321

241

83

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาค่าของ xdxcos.xsin 23

xdxcos.xsin 23 = xcosxdcos.)xcos( 22

1321

= xcosxdcos).xcos( 221

= xcosxdcosxcosxdcos 42

= Cxcosxcos 53

51

31

ดังนั้น xdxcos.xsin 23 = Cxcosxcos

35

31

51

4. อาจารย์ให้นักศึกษาท าแบบประเมินผลการเรียนรู้ที ่6.2 ส่งในช่ัวโมงต่อไป

ขั้นสรุปและการประยุกต ์5. อาจารย์ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6.2 และช้ีแจงข้อบกพร่องหรือข้อผิดพลาดให้นักศึกษาทราบ 6. อาจารย์และนักศึกษาช่วยกับสรุปสูตรอีกครั้ง

สื่อการเรียนการสอน 1. หนังสือเรียนวิชา แคลคูลสัพื้นฐาน (3000-1406) 2. ใบความรู ้3. ใบงาน

การวัดผลและการประเมินผล วิธีวัดผล 1. สังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล 2. ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6.2 3. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์

เคร่ืองมือวัดผล 1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล (ภาคผนวก ข) 2. แบบประเมินผลการเรียนรู้ที ่6.2 3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และนักศึกษาร่วมกันประเมิน

เกณฑ์การประเมินผล 1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล เกณฑ์ผ่าน ต้องไม่มช่ีองปรับปรุง 2. แบบประเมินผลการเรียนรู้ที ่6.2 ท าถูกต้อง 70% ขึ้นไป 3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค ์คะแนนข้ึนอยู่กับการประเมนิตามสภาพจริง

ใบงาน

1. nxdx

มีค่าเท่ากับข้อใด

ก. 11

nnx + C ข. 11

1

nx)n( + C

ค. 11nnx

+ C ง. 111

nx)n( + C

2. dxx)x( 1 มีค่าเท่ากับข้อใด

ก. 25

23

51

31

xx + C ข. 25

23

52

32

xx + C

ค. 25

23

52

32

xx + C ง. 25

23

51

31

xx + C

3. dx)x( 22 1 มีค่าเท่ากับข้อใด

ก. 5

5x + 32 3x

+ x + C ข. 4

5x + 2

3x + x + C

ค. 5

5x + 3

3x + 2

x + C ง. 4

5 5x + 23 2x

+ x + C

4. dx)x( 327 มีค่าเท่ากับข้อใด

ก. 321 2x

+ 38x

+ x + C ข. 728 3x

+ 73 2x

+ 72x

+ C

ค. 427 4)x(

+ C ง. 2827 4)x(

+ C

5. dxxx 2213 มีค่าเท่ากับข้อใด

ก. 43

(1 – 2x 2 ) 23

+ C ข. 32

(1 – 2x 2 ) 23

+ C

ค. 21

(1 – 2x 2 ) 23

+ C ง. 31

(1 – 2x 2 ) 23

+ C

6. dx)x()x( 223 32 มีค่าเท่ากับข้อใด

ก. 21

(x 3 + 2) 2 + C ข. 21

(x 3 + 2) 3 + C

ค. 31

(x 3 + 2) 2 + C ง. 31

(x 3 + 2) 3 + C

เฉลยใบงาน

1. ข 2. ค 3. ก 4. ง 5. ค 6. ง

ใบความรู ้

1. d sin u = cos u du

cos u du = d sin u

ดังนั้น cos u du = sin u + C สูตรที่ 1 2. d cos u = –sin u du

sin u du = –d cos u

ดังนั้น sin u du = –cos u + C สูตรที่ 2 3. d tan u = sec2u du

sec2 u du = d tan u

ดังนั้น sec2 u du = tan u + C สูตรที่ 3 4. d cot u = –cosec2 u du

cosec2 u du = –d cot u

ดังนั้น cosec2 u du = –cot u + C สูตรที่ 4 5. d sec u = sec u.tan u du

sec u.tan u du = d sec u

ดังนั้น sec u.tan u du = sec u + C สูตรที่ 5 6. d cosec u = –cosec u.cot u.du

cosec u.cot u.du = –d cosec u

ดังนั้น cosec u.cot u.du = –cosec u + C สูตรที่ 6 เราสามารถน าความรูจ้ากเรื่อง ค่าเชิงอนุพันธ์มาประยุกต์หรือดัดแปลงสร้างสูตรเพิ่มเติมได้อีก 4 สูตร ดังนี ้

7. tan udu = ln sec u + C

tan udu = ucosucosd

= – ln cos u + C

= ln (cos u) 1 + C

= ucos

nl1

+ C

ดังนั้น tan udu = ln sec u + C สูตรที่ 7

8. cot udu = ln sin u + C

พิสูจน์จาก cot udu = duusinucos

= usinusind

= ln sin u + C

ดังนั้น cot udu = ln sin u + C สูตรที่ 8

9. sec udu = ln sec u + tan u + C

พิสูจน์จาก sec udu =

utanusec)utanu.(secusec

du

=

utanusecutan.usecusec2

du

=

utanusecdu)usecutan.u(sec 2

=

utanusec)utanu(secd

= ln sec u + tan u + C

ดังนั้น sec udu = ln sec u + tan u + C สูตรที่ 9

10. cosec udu = ln cosec u – cot u + C

พิสูจน์จาก cosec udu =

ucot u cosec)ucot u cosec( u cosec

=

ucot u cosecdu)ucot. u cosec u(cosec2

=

ucot u cosec u)ducosecucot. u (cosec 2

=

ucot u cosec)ucot ud(cosec

ดังนั้น cosec udu = ln cosec u – cot u + C สูตรที่ 10

การอินทิเกรตฟังก์ชันตรโีกณมิติบางครั้งจะอยู่ในรูปผลคณูของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันคูณกัน หรืออยู่ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติยกก าลัง จะไม่สามารถอินทิเกรตได้ทันทีต้องมีการดัดแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านั้นก่อน จึงจะสามารถอินทิเกรตไดส้ะดวกขึ้น แบ่งลักษณะโจทย์ดังกล่าวออกเป็น 6 ลักษณะ คือ

1. xdxsin n หรือ xdxcosn

2. dxxcossin nm

3. Bxdxcos.Axsin , Bxdxsin.Axsin , Bxdxcos.Axcos

4. xdxtann หรือ xdxcot n

5. xdxsecn หรือ xdxcosecn

6. xdxsec.xtan nm หรือ xdxcosec.xcot nm

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 15 รหัสวิชา 3000-1406 วิชา แคลคูลสัพื้นฐาน หน่วยที ่ 6 ชั่วโมงที ่ 43-45 ชื่อหน่วย การอินทิกรัลไมจ่ ากัดเขต (ต่อ)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด

เมื่อจัดฟังก์ชันเข้าไปในลักษณะของ Binomial ’s coefficient จะจัดได้ใน 3 รูปแบบ คือ ,22 au 22 au และ 22 ua ซึ่งจะมีสูตรมาช่วยในการอินทิเกรต คือ

1. 22 au

du = a

uarctana1

+ C

2. 22 au

du = au

aulna

21

+ C

3.

22 uadu

= uaua

lna

21

+ C

เมื่อการอินทิเกรตอยู่ในรูปของรากท่ีสองของ cbxax 2 เราจะสนใจเฉพาะกรณีที ่ax2 + bx + C > 0 เทา่นั้น นั่นคือ

เราจะสนใจในกรณ ี (1) เมื่อ a > 0 และ B > 0 (2) เมื่อ a < 0 และ B < 0 และ B < u2

สาระการเรียนรู้ 5. การหาค่าอินทิกรลัไม่จ ากัดขอบเขตของฟังก์ชันช้ีก าลัง 6. การหาค่าของไบโนเมียลอินทิกรลั 7. การหาค่าอินทิกรลัของฟังก์ชันท่ีอยู่ภายใตเ้ครื่องหมายรากท่ี 2

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง 5. ค านวณหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันช้ีก าลังได ้6. ค านวณหาค่าของอินทิกรัล โดยใช้หลักการไบโนเมียลได ้7. ค านวณหาค่าของอินทิกรัลฟังก์ชันที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากได้ 8. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ที่อาจารย์สามารถสังเกตเห็นได้ ในด้านความมี

มนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรับผิดชอบ ความเช่ือมั่นในตนเอง ความสนใจใฝ่รู้ ความรักสามัคค ีความกตัญญูกตเวที

กิจกรรมการเรียนการสอน ขั้นน าเข้าสู่บทเรียน 1. อาจารยส์นทนากับนักศึกษาเกี่ยวกับการอินทิกรัลเพื่อเป็นการทบทวน ขั้นสอน

2. อาจารย์จดัการเรียนเป็นกลุ่มๆ โดยเลือกประธาน เลขานุการ ผู้ประเมิน และให้นักศึกษาท าเอกสารแนะแนวทางที่ 1-3 เรื่อง การหาคา่อินทิกรัลไม่จ ากดัขอบเขตของฟังก์ชันช้ีก าลัง การหาค่าของไบโนเมยีลอินทิกรลั และการหาค่าอินทิกรลัของฟังก์ชันที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากท่ี 2

3. อาจารย์และนักศึกษาช่วยกันสรุปและเฉลยเอกสารแนะแนวทางบนกระดาน โดยใหส้่งตัวแทนกลุ่มทีม่ีความเข้าใจ เพื่อฝึกการถ่ายทอดให้กับเพื่อนๆ

4. ท าแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6.3 5. อาจารย์เฉลยแบบประเมินผลการเรียนรู้ที ่6.3 บนกระดาน

ขั้นสรุปและการประยุกต ์6. อาจารย์และนักศึกษาช่วยกันสรุปสูตรของการหาค่าอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต 7. นักศึกษาท าแบบประเมินผลการเรยีนรู้ที่ 6.4 และ 6.5 ส่งตามก าหนด 8. อาจารย์ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6.4 และ 6.5 และช้ีแจงข้อบกพร่องหรือข้อผิดพลาดให้

นักศึกษาทราบ

สื่อการเรียนการสอน 1. หนังสือเรียนวิชา แคลคูลสัพื้นฐาน (3000-1406) 2. ใบความรู ้

การวัดผลและการประเมินผล วิธีวัดผล 1. สังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล 2. สังเกตพฤติกรรมการเข้าร่วมกิจกรรมกลุม่ 3. ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6.3, 6.4 และ 6.5 4. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์

เคร่ืองมือวัดผล 1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล 2. แบบสังเกตพฤติกรรมการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่ม 3. แบบประเมินผลการเรียนรู้ที ่6.3, 6.4 และ 6.5 4. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และนักศึกษาร่วมกันประเมิน

เกณฑ์การประเมินผล 1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏิบตัิงานรายบุคคล เกณฑ์ผ่าน ต้องไม่มช่ีองปรับปรุง 2. แบบสังเกตพฤติกรรมการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่ม เกณฑผ์่าน 50% ขึ้นไป 3. แบบประเมินผลการเรียนรู้ที ่6.3, 6.4 และ 6.5 ท าถูกต้อง 70% ขึ้นไป 4. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค ์คะแนนข้ึนอยู่กับการ

ประเมินตามสภาพจริง

เอกสารแนะแนวทางที่ 1 เรื่อง การหาค่าอินทิกรัลไม่จ ากัดขอบเขตของฟังก์ชันชี้ก าลัง

สูตรที ่1 ua du = aln

a u

+ C

สูตรที ่2 ue du = ue + C

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาค่า X33 dx

ในที่น้ี a = 3, u = 3x

du = d3x = 3dx

3du

= dx

ua du = aln

a u

+ C

33

33xdX = 33

33

ln

X

+ C

X24 dx = 42

42

ln.

X

+ C

ตัวอย่างท่ี 2 จงหา Xdx23

Xdx23

= X23 dx

= 22

3 2

)x(dX

= )x(dX 2321 2

=

33

21 2

ln

X

+ C

= 323 2

ln

X

+ C

Xdx23

= 323 2

ln

X

+ C

1. จงหา X24 dx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหา 532

xex dx

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลย

1. จงหา X24 dx

X24 dx =

X24 . 22xd

= xdX 2421 2

= 44

21 2

ln.X

+ C

X24 dx = 42

42

ln.

X

+ C

2. จงหา 532

xex dx

532

xex dx = 3

5353 )x(d

e x

= )x(de x 531 353

532

xex dx = 53

31 xe + C

เอกสารแนะแนวทางที่ 2 เรื่อง การหาค่าของไบโนเมียลอินทิกรัล

เมื่อจัดฟังก์ชันเข้าไปในลักษณะของ Binomial ’s coefficient จะจัดได้ใน 3 รูปแบบ คือ ,22 au 22 au และ 22 ua ซึ่งจะมีสูตรมาช่วยในการอินทิเกรต คือ

1. 22 au

du = a

uarctana1

+ C 2. 22 au

du = au

aulna

21

+ C

3.

22 uadu

= uaua

lna

21

+ C

ตัวอย่างท่ี 1 จงหา 169 2x

dx

169 2x

dx =

22 43 )x(

dx =

22 43

331

)x(xd

แทนค่า u = 3x, a = 4 ในสตูร จะได้ว่า

169 2x

dx = )

xarctan()( 4

3431

+ C สูตรที่ 1

169 2x

dx = 4

3121 x

arctan + C

ตัวอย่างท่ี 2 จงหา 94 2x

dx

94 2x

dx =

22 32 )x(

dx =

22 32

221

)x()x(d

โดยที่ u = 2x, a = 3 ดังนั้น

94 2x

dx = 32

32321

xx

ln)( + C สูตรที่ 2

94 2x

dx = 32

3261

xx

ln + C

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาค่าของ

294 zdz

294 zdz

=

22 323

31

)z()z(d

เลือกให้ a = 2, u = 3z

ดังนั้น

22 323

31

)z()z(d

=

zz

ln)( 3232

221

31

+ C สูตรที่ 3

= zz

ln 3232

121

+ C

1. จงหา 29102 xx

dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาค่า xxdx42

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………เฉลย

1. จงหา 29102 xx

dx

พิจารณา x2 + 10x +29 = x2 + 10x +25+4 = (x + 5)2+22

ให ้ u = x + 5 du = dx และ a = 2 ดังนั้น

29102 xx

dx =

22 255

)x()x(d

= )x

arctan( 25

21

+ C

ดังนั้น 29102 xx

dx = )

xarctan( 2

521

+ C

2. จงหาค่า xxdx42

พิจารณา x2 – 4x = x2 – 4x + 4 – 4 = (x – 2 )2 – 22

ดังนั้นให ้ u = x – 2 du = d(x – 2) และ a = 2

xxdx42 =

22 222

)x()x(d

จากสูตร 22 au

du = au

aulna

21

+ C

ดังนั้น

22 222

)x()x(d

= 2222

221

)x()x(

ln)( + C

xxdx42 = x

xln

441

+ C

เอกสารแนะแนวทางที่ 3 เรื่อง การหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่ 2

สูตรช่วยในการอินทิเกรตเพิ่มเติม 7 สูตร คือ

1.

22 uadu

= au

arcsin + C

2. 22 auu

du = a

uarcseca1

+ C

3. 22 au

du = 22 auuln + C

4. 22 au

du = 22 auuln + C

5. 22 ua du = a

uarcsin

auau 22

1 222 + C

6. 22 au du = 22

222

221

auulna

auu + C

7. 22 au du = 22

222

221

auulna

auu + C

ตัวอย่าง จงหา

21625 xdx

21625 xdx

=

22 45 )x(dx

=

22 454

41

)x()x(d

ให ้ u = 4x, a = 5

จากสูตร

22 uadu

= au

arcsin + C

22 454

41

)x()x(d

= 54

41 x

arcsin + C

ดังนั้น

21625 xdx

= 54

41 x

arcsin + C

1. จงหา 94 2xx

dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………2. จงหา 522 xx dx …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………เฉลย

1. จงหา 94 2xx

dx

94 2xx

dx =

22 322

22

21

)x()x

(

)x(d =

22 322

2)x()x()x(d

ให้ u = 2x และ a = 3

จากสูตร 22 auu

du = a

uarcseca1

+ C

22 3222

)x()x()x(d

= 32

31 x

arcsec + C

2. จงหา 522 xx dx

522 xx dx = 4122 )xx( dx

= 22 21)x( d(x –1)

ให้ u = x – 1 du = d(x –1) และ a = 2

จากสูตร 22 au du = 22

222

221

auulna

auu + C

22 21)x( d(x –1) =

22 21121

)x()x( 222

21122

)x()x(ln + C

ดังนั้น 522 xx dx = 52121 2 xx)x( 5212 2

xx)x(ln + C