คณิตศาสตร์เพิ่มเติมphysicscenter.com/picnews/book/s_1319185260.ExamMathPerm[Ps].pdf · 10.8...

คณตศาสตรเพมเตม

สรปสตรและเนอหาทสำคญ

สำหรบทบทวนและเตรยมตวสอบแบบเรงรด

กวยา เนาวประทป

โครงการตำราเรยน สำนกพมพฟสกสเซนเตอร ชอหนงสอ Examination Notes คณตศาสตรเพมเตม

เรยบเรยงโดย กวยา เนาวประทป

ราคา 39 บาท

ISBN 978-974-434-511-0

จดพมพจำหนายเมอ กมภาพนธ 2554

ตดตอสงซอไดท สำนกพมพฟสกสเซนเตอร 45, 47 ซอยจรญสนทวงศ 40 ถนนจรญสนทวงศ แขวงบางยขน เขตบางพลด กรงเทพฯ 10700 โทร. 0-2433-7755-7, 0-2433-7704-6 แฟกซ. 0-2433-7703 ธนาณตสงจาย ปณ. พระปนเกลา ในนาม หจก. สำนกพมพฟสกสเซนเตอร บรรณาธการ พรทพย แฟงสด

ปก/รปเลม ฝายศลปกรรม

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตลขสทธเนอหา รปเลม และภาพประกอบในหนงสอเลมนเปนลขสทธของสำนกพมพฟสกสเซนเตอร

หามคดลอก ยกเวนไดรบอนญาต

พมพทหจก.สำนกพมพฟสกสเซนเตอรเลขท 52 หมท 4 ถนนศาลายา-บางภาษ ตำบลคลองโยง อำเภอพทธมณฑล จงหวดนครปฐม 73170 โทร. 0-3429-8288-91 แฟกซ. 0-3429-8292

ผพมพผโฆษณานายปราโมทย เนาวประทป website : www.physicscenter.com e-mail : [email protected]

ขอมลทางบรรณานกรมของหอสมดแหงชาตกวยา เนาวประทป Examination Notes คณตศาสตรเพมเตม. - - กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร, 2554. 156 หนา. 1. คณตศาสตร. I. ชอเรอง. 510 ISBN 978-974-434-511-0

คำนำ เนองจากสภาวะความกดดนจากการสอบแขงขนเขา

ศกษาตอตามสถาบนชนนำในประเทศทำใหนกเรยนตองศกษา

คนควาและทบทวนบทเรยนเปนจำนวนมากสำนกพมพฟสกส-

เซนเตอรไดเลงเหนถงความเหนอยยากของนกเรยนทจะตองทำ

การสรปขอมลความรจากแหลงตางๆ เขาไวดวยกนเพอใชทบทวน

ในการสอบจงไดทำการสรปเนอหาสาระทสำคญของวชา

คณตศาสตรเพมเตมเขาไวในหนงสอชด“Examination Notes”

เพอเปนคมอใหนกเรยนไดใชในการเตรยมตวสอบ โดยในหนงสอ

เลมนจะมการสรปสตรและเทคนคทสำคญไวอยางเปนหมวดหม

ทำใหงายตอการทบทวนและทำความเขาใจในระยะเวลาจำกด

ผจดทำหวงเปนอยางยงวา หนงสอ Examination Notes

คณตศาสตรเพมเตม เลมน จะเปนประโยชนแกนกเรยนและผท

สนใจศกษาวชาคณตศาสตรบางไมมากกนอย

กวยา เนาวประทป

4

คำนำสำนกพมพ การเรยนการสอนในปจจบน คร-อาจารยผสอนจะตอง

รจกปรบเปลยนรปแบบการสอนดวยการออกแบบกจกรรม

การเรยนรวชาคณตศาสตรดวยการใหคำแนะนำและสรางเจตคต

ใหแกผเรยน เพอใหผเรยนจะไดมทกษะในการคดวเคราะห

สงเคราะห ตามความสามารถและความแตกตางระหวางบคคลของ

ผเรยนได รวมทงตองปลกฝงใหผเรยนมสขภาวะทดในการเรยน

รจกนำความรไปใชใหเกดประโยชนทงตอตนเองและสงคม ซงจะ

มผลตอประเทศชาตในอนาคตและคร-อาจารยผสอนจะตองเนน

ในเรองทจะใหเดกเรยนอยางไรจงจะไดรบผลสำเรจตามความ

คาดหวงของหลกสตรตลอดจนแผนพฒนาการศกษาและปฏรป

การศกษาของชาต

ดงนน สำนกพมพฟสกสเซนเตอร จงไดจดทำหนงสอ

Examination Notes คณตศาสตรเพมเตมเลมนขนเพอใหผเรยน

คร-อาจารยผสอนและผปกครองไดนำไปใชประโยชนในการเรยน

การสอนตอไป

สำนกพมพฯ หวงเปนอยางยงวา หนงสอเลมนคงจะ

อำนวยประโยชนใหแกผเรยน คร-อาจารยผสอน และผทสนใจ

ในการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรไดเปนอยางดอกเลมหนง

ฝายวชาการ

สำนกพมพฟสกสเซนเตอร

5บทท 1 ตรรกศาสตร

สารบญ บทท 1 ตรรกศาสตร 13

1.1 ประพจน 13

1.2 คาความจรงของประพจนทมตวเชอม 13

1.3 สมมลนเสธและสจนรนดร 14

1.4 ตวบงปรมาณ 16

1.5 การอางเหตผล 19

บทท 2 ระบบจำนวนจรง 20

2.1 จำนวนเตม 20

2.2 จำนวนตรรกยะ 22

2.3 จำนวนอตรรกยะ 22

2.4 จำนวนจรง 23

2.5 การแกสมการพหนาม 24

2.6 การไมเทากนของจำนวนจรง 28

2.7 ชวง 29

2.8 อสมการ 31

2.9 คาสมบรณ 32

บทท 3 ทฤษฎจำนวนเบองตน 35

3.1 สจพจนของระบบจำนวนจรง 35

3.2 สมบตความบรบรณ 36

3.3 สมบตของจำนวนเตม 36

6

3.4 สมบตการหารลงตว 36

3.5 จำนวนเฉพาะ 37

3.6 ขนตอนวธการหาร 37

3.7 จำนวนคและจำนวนค 38

3.8 ตวหารรวมมาก:ห.ร.ม. 38

3.9 ตวคณรวมนอย:ค.ร.น. 39

3.10 ความสมพนธระหวางห.ร.ม.และค.ร.น.

ของจำนวนเตมใดๆ 39

บทท 4 เมตรกซและดเทอรมนนต 40

4.1 เมตรกซ 40

4.2 การเขยนสญลกษณแทนเมตรกซ 41

4.3 การเทากนของเมตรกซ 41

4.4 เมตรกซทรานสโพส 42

4.5 เมตรกซศนย 42

4.6 การบวกเมตรกซ 43

4.7 การคณเมตรกซดวยสเกลาร 44

4.8 การคณเมตรกซดวยเมตรกซ 45

4.9 เมตรกซจตรส 45

4.10 อนเวอรสการคณของเมตรกซ2x2 46

4.11 ดเทอรมนนตของเมตรกซ2x2 47

4.12 ดเทอรมนนตของเมตรกซnxn 48

4.13 อนเวอรสการคณของเมตรกซnxn 50

4.14 สรปสมบตทวไปเกยวกบเมตรกซ

ทควรทราบ 51

7บทท 1 ตรรกศาสตร

บทท 5 เรขาคณตวเคราะห 55

5.1 เสนตรง 55

5.2 ภาคตดกรวย 62

บทท 6 ฟงกชน 75

6.1 ฟงกชน 75

6.2 ฟงกชนจากAไปB 76

6.3 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด 77

6.4 ฟงกชนทควรทราบ 77

6.5 ฟงกชนคอมโพสท 79

6.6 ฟงกชนอนเวอรส 79

6.7 พชคณตของฟงกชน 80

บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

และฟงกชนลอการทม 81

7.1 เลขยกกำลง 81

7.2 การบวกการลบการคณและการหาร

จำนวนตรรกยะทอยในรปกรณฑ 82

7.3 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล 83

7.4 ลอการทม 84

7.5 ฟงกชนลอการทม 85

บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต และการประยกต 87

8.1 ฟงกชนตรโกณมต 87

8.2 ความสมพนธของฟงกชนตรโกณมต

ทควรทราบ 89

8

8.3 ฟงกชนของมมหรอจำนวนจรง

+ และ - 89

8.4 ฟงกชนของมมหรอจำนวนจรง2 90

8.5 การเปลยนฟงกชนผลคณเปนผลบวก

หรอผลตาง 90

8.6 การเปลยนฟงกชนผลบวกหรอผลตาง

เปนผลคณ 91

8.7 อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต 91

8.8 ความสมพนธระหวางอนเวอรสของ

ฟงกชนตรโกณมต 91

8.9 การแกสามเหลยม 92

บทท 9 เวกเตอร 94

9.1 เวกเตอร 94

9.2 เวกเตอรใน2มตและ3มต 97

บทท 10 จำนวนเชงซอน 103

10.1 จำนวนจนตภาพ 103

10.2 จำนวนเชงซอน 103

10.3 การเทากนของจำนวนเชงซอน 103

10.4 การบวกจำนวนเชงซอน 104

10.5 การคณจำนวนเชงซอน 104

10.6 สงยคของจำนวนเชงซอน 105

10.7 คาสมบรณของจำนวนเชงซอน 106

10.8 การเขยนจำนวนเชงซอนใหอย

ในรปเชงขว 107

9บทท 1 ตรรกศาสตร

10.9 การคณและการหารจำนวนเชงซอน

ในรปเชงขว 108

10.10 คาของznและ เมอn I+ 108

10.11 การแกสมการ 108

บทท 11 ทฤษฎกราฟเบองตน 109

11.1 กราฟ 109

11.2 กราฟออยเลอร 112

11.3 การประยกตของกราฟ 113

บทท 12 ความนาจะเปน 114

12.1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 114

12.2 แฟกทอเรยลn 114

12.3 วธเรยงสบเปลยน 115

12.4 วธจดหม 116

12.5 ทฤษฎบททวนาม 116

12.6 ทฤษฎเบองตนของความนาจะเปน 117

บทท 13 การวเคราะหขอมลเบองตน 119

13.1 การเกบรวบรวมขอมล 119

13.2 แหลงขอมล 119

13.3 การจำแนกขอมล 119

13.4 การนำเสนอขอมล 120

13.5 การแจกแจงความถ 121

13.6 ความหมายของสญลกษณ 121

13.7 การวดคากลางของขอมล 122

10

13.8 การวดตำแหนงของขอมล 125

13.9 การวดการกระจายของขอมล 129

13.10 ความสมพนธระหวางเสนโคงแจกแจง

ความถคากลางและการกระจาย

ของขอมล 132

บทท 14 การแจกแจงปกต 134

14.1 คามาตรฐาน 134

14.2 การแจกแจงปกตและเสนโคงปกต 134

บทท 15 ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล 139

15.1 ความสมพนธเชงฟงกชนทมกราฟ

เปนเสนตรง 139

15.2 ความสมพนธเชงฟงกชนทมกราฟ

เปนรปพาราโบลา 139

15.3 ความสมพนธเชงฟงกชนทมกราฟ

เปนรปเอกซโพเนนเชยล 140

บทท 16 ลำดบและอนกรม 141

16.1 ลำดบ 141

16.2 อนกรม 144

บทท 17 แคลคลสเบองตน 146

17.1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 146

17.2 อนพนธของฟงกชน 148

17.3 การอนทเกรต 150

11บทท 1 ตรรกศาสตร

บทท 18 กำหนดการเชงเสน 152

18.1 ระบบอสมการเชงเสนตวแปรตวเดยว 152

18.2 ระบบอสมการเชงเสนของสองตวแปร 152

18.3 ตวอยางปญหากำหนดการเชงเสน 153

คณตศาสตรพนฐาน

3.1 สจพจนของระบบจำนวนจรง

สจพจน 1 ถาa, b Rจะไดa + b R

สจพจน 2 ถาa, b, c Rจะได(a + b) + c = a + (b + c)

สจพจน 3 ถา0 Rจะได0 + a = a สำหรบทกa R

สจพจน 4 ถาa Rจะได-a R ซง-a + a = 0

สจพจน 5 ถาa, b Rจะไดa + b = b + a

สจพจน 6 ถาa, b Rจะไดab R

สจพจน 7 ถาa, b, c Rจะได(ab)c = a(bc)

สจพจน 8 ม1 R, 1 0ซง1a = aสำหรบทกa R

สจพจน 9 ถาa R, a 0จะมa-1 Rซงa-1a = 1

สจพจน 10 ถาa, b Rจะไดab = ba

สจพจน 11 ถาa, b, c Rแลวa(b + c) = ab + ac

สจพจน 12 มสบเซต R+ ของRซง0 R+และถาa R และ

a 0แลวa R+ หรอ-a R+ประการใด

ประการหนง

สจพจน 13 ถา a, b R+ แลวa + b R+

สจพจน 14 ถา a, b R+ แลวab R+

บทท 3 ทฤษฎจำนวนเบองตน

36

สจพจน 15 ถา S , S R และSมขอบเขตบนแลวSจะมคา

ขอบเขตบนนอยสด

3.2 สมบตความบรบรณ

สมบตความบรบรณ(The Axiom of Completeness)เปนสมบต

ประการสดทายของระบบจำนวนจรงซงมชออกอยางหนงวา“สจพจนการมคา

ขอบเขตบนนอยสด”(Least Upper Bound Axiom)

บทนยามใหS Rกลาววาจำนวนจรงaจะเปนคาขอบเขตบน

ของSกตอเมอaไมนอยกวาสมาชกใดๆของS

3.3 สมบตของจำนวนเตม

บทนยาม กำหนดใหaและbเปนจำนวนเตมโดยทb 0

bหารaลงตวกตอเมอมจำนวนเตมmซงa = bm

สญลกษณb | a หมายถงbหารaลงตว

สญลกษณb aหมายถงbหารaไมลงตว

นนคอb | aจะไดa = mbเมอm I

3.4 สมบตการหารลงตว

ทฤษฎบทท 1 ถาa | bและb | cแลวจะไดa | c

ทฤษฎบทท 2 ถาaและbเปนจำนวนเตมบวกซงa | b จะไดa b

37บทท 3 ทฤษฎจำนวนเบองตน

ทฤษฎบทท 3 ถาa, bและcเปนจำนวนเตมซงa | b และa | c

จะไดa | (bx + cy)โดยxและyเปนจำนวนเตม

ใดๆ

3.5 จำนวนเฉพาะ

บทนยามจำนวนเตมp 0จะเปนจำนวนเฉพาะกตอเมอp 1,

p -1และถาจำนวนเตมxหารpลงตวจะไดx {-1, 1, -p, p}

จำนวนอนๆนอกจาก0, -1, 1และจำนวนเฉพาะ(Prime Numbers)

เรยกวา“จำนวนประกอบ”(Composit Numbers)

ทฤษฎบทท 4 ทกจำนวนเตม n ทมากกวา 1 จะสามารถแยก

ตวประกอบเฉพาะดงตอไปนไดรปเดยว

n =

โดย p1 < p

2 < p

3 < ... < pk เปนจำนวนเฉพาะ

c1 < c

2 < c

3 < ... < ck เปนจำนวนเตมบวก

3.6 ขนตอนวธการหาร

ทฤษฎบทท 5 ใหm เปนจำนวนเตมn 0 จะมจำนวนเตมq

และrชดเดยวซงm = nq + rโดย0 r < | n |

เรยกqวา“ผลหาร”และrวา“เศษ”

คณตศาสตรพนฐาน

13.1 การเกบรวบรวมขอมล

วธการเกบรวบรวมขอมลสถตแบงไดเปน4วธใหญๆดงน

1. การเกบรวบรวมขอมลจากทะเบยนประวต

2. การเกบรวบรวมขอมลจากการสำรวจ

3. การเกบรวบรวมขอมลจากการทดลอง

4. การเกบรวบรวมขอมลจากการสงเกต

13.2 แหลงขอมล

1. แหลงปฐมภม(Primary Source)คอขอมลทไดจากแหลงกำเนด

ของขอมล

2. แหลงทตยภม(Secondary Source)คอขอมลทไดจากแหลงท

เกบรวบรวมไวแลว

13.3 การจำแนกขอมล

1. จำแนกตามคณภาพ (Qualitative Classification)

2. จำแนกตามปรมาณ(Quantitative Classification)

3. จำแนกตามเวลา(Chronological Classification)

4. จำแนกตามภมศาสตร(Geographical Classification)

บทท 13 การวเคราะหขอมลเบองตน

120

13.4 การนำเสนอขอมล การนำเสนอขอมล คอ การแสดงขอมลทรวบรวมไดใหผสนใจได

ศกษาเปนการเผยแพรขอมลเพอนำไปวเคราะหตอไปวธนำเสนอขอมลมวธการ

ใหญๆ2วธคอ

1. การนำเสนอขอมลอยางไมเปนแบบแผนซงประกอบดวย

1. การนำเสนอขอมลในรปของบทความ

2. การนำเสนอขอมลในรปของบทความกงตาราง

2. การนำเสนอขอมลอยางเปนแบบแผนประกอบดวย

1. การนำเสนอในรปตาราง

2. การนำเสนอในรปแผนภมแทง แผนภมแทงแบงออกเปน6

ชนดคอ

2.1 แผนภมแทงเชงเดยว

2.2 แผนภมแทงเชงซอน

2.3 แผนภมแทงเชงประกอบ

2.4 แผนภมแทงบวก-ลบ

2.5 แผนภมแทงซอนกน

2.6 แผนภมแทงพระมด

3. การนำเสนอในรปแผนภมกง

4. การนำเสนอในรปแผนภมรปภาพ

5. การนำเสนอในรปแผนทสถต

6. การนำเสนอในรปของกราฟม5ชนดคอ

6.1 กราฟเชงเดยว

6.2 กราฟเชงซอน

6.3 กราฟเชงประกอบ

6.4 กราฟดล

6.5 กราฟกงลอการทม

121บทท 13 การวเคราะหขอมลเบองตน

13.5 การแจกแจงความถ การแจกแจงความถคอการจดขอมลทยงไมเปนระเบยบหรอขอมลดบ

ใหเปนระเบยบเพอความสะดวกในการวเคราะหขอมล ซงการจดระเบยบของ

ขอมลทำได2วธคอ

1. จดเรยงลำดบขอมลหรอคะแนนทงหมดจากนอยไปมาก หรอ

มากไปนอยกได

2. จดเรยงลำดบขอมลหรอคะแนนเปนกลมและจำนวนคะแนนใน

แตละกลมเรยกวา“ความถ” (frequency)ชวงของคะแนนในแตละกลมเรยกวา

“อนตรภาคชน” (class interval)

การแจกแจงความถเปนแผนภม

1. ฮสโทแกรม(Histogram)

2. รปหลายเหลยมของความถ(Polygon Frequency)

3. โคงของการแจกแจงความถ(Curve of Frequency Distribution)

13.6 ความหมายของสญลกษณ

1.

2.

3.

4.

5.