คู่มือพร้อมเฉลย คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอมที่ 1 บทที่ 2...

บทที่ 2พหุนามและเศษสวนของพหุนาม (18 ช่ัวโมง)

2.1 ทบทวนพหุนาม (2 ช่ัวโมง) 2.2 การคูณพหุนาม (4 ช่ัวโมง) 2.3 การหารพหุนาม (4 ช่ัวโมง) 2.4 เศษสวนของพหุนาม (1 ช่ัวโมง) 2.5 การคูณและการหารเศษสวนของพหุนาม (3 ช่ัวโมง) 2.6 การบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม (4 ช่ัวโมง)

สาระของบทนี้เปนความรูตอเนื่องที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 1 ในบทนี้จะไดกลาวถึงการคูณระหวางพหุนามที่มีตัวแปรไมเกินสองตัว ดีกรีของผลลัพธไมเกิน 5 และการหารพหุนามดวยพหุนามที่มีตัวแปรเดียว สัมประสิทธิ์ของตัวตั้งตัวหาร ผลหารและเศษ เปนจํานวนเต็ม ทั้งเปนการหารลงตัวและไมลงตัว สําหรับเศษสวนของพหุนามจะกลาวถึงการบวก ลบ คูณ และหารเศษสวนของพหุนามอยางงายกลาวคือ ทั้งตัวเศษและตัวสวนเปนเอกนามหรือเปนพหุนามที่มีไมเกินสองพจน มีตัวแปรเดียว มีดีกรีของพหุนามไมเกินสอง และถาพหุนามตัวเศษและพหุนามตัวสวนมีตัวประกอบรวม สามารถหาตัวประกอบรวมนั้นไดโดยใชสมบัติการแจกแจง สวนผลลัพธควรเปนพหุนามที่มีไมเกินสามพจนและจะตองทาํใหอยูในรปูของเศษสวนของพหนุามในรปูผลสําเรจ็ สําหรับการหาตวัประกอบรวมโดยการแยกตวัประกอบดวยวธีิอ่ืน ๆ นกัเรยีนจะไดเรียนในชัน้มธัยมศกึษาปที ่3 ครูควรใหนักเรียนทําแบบฝกหัดในเรื่องการบวก ลบ คูณ หารพหุนามและเศษสวนของพหุนามใหมากพอ เพราะเนื้อหาเหลานี้เปนพื้นฐานที่สําคัญของการเรียนพีชคณิตในชั้นที่สูงขึ้น ตัวอยางกิจกรรมเสนอแนะและแบบฝกหัดเพิ่มเติมในแตละหัวขอ มีไวเพื่อใหครูเลือกใชหรืออาจปรับใชไดตามความตองการ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. บวก ลบ คูณ และหารพหุนามได 2. บวก ลบ คูณ และหารเศษสวนของพหุนามอยางงายได

18

แนวทางในการจัดการเรียนรู

2.1 ทบทวนพหุนาม (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บวก ลบ พหุนามอยางงายได 2. คูณเอกนามกับพหุนามได 3. หารพหุนามดวยเอกนามได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนการบวก ลบ เอกนาม ทั้งที่เปนเอกนามที่คลายกันและไมคลายกันใหนักเรียนตอบปากเปลา เชน หาผลบวกหรือผลลบของเอกนามตอไปนี้ 1) 7x2 + (-5x2) 2) 8x – 10y 3) -5z3 + (-4z2) 4) -11y2 – 20y2

2. ในการทบทวนการบวกและการลบพหุนาม ครูอาจทบทวนวิธีการหาผลลัพธทั้งในแนวนอนและแนวตั้ง รวมถึงวิธีการถอดวงเล็บซึ่งอาจมีการเปลี่ยนเครื่องหมายและใหสังเกตวาในตัวอยาง เมื่อเขียนการลบพหุนามในแนวนอนจะเปลี่ยนการลบเปนการบวกดวยพจนตรงขามของตัวลบกอน เพื่อไมใหนักเรียนสับสนเกี่ยวกับเครื่องหมาย 3. ในการทบทวนการคูณระหวางเอกนามกับพหุนาม ครูควรทบทวนการคูณที่เปนทั้งการคูณเอกนามดวยพหุนามและการคูณพหุนามดวยเอกนาม ดังตัวอยางที่ 4 และตัวอยางที่ 5 และควรใหนักเรียนเขียนคําตอบในรูปพหุนามที่มีการเรียงดีกรีจากมากไปนอย 4. ในการทบทวนการหารพหุนามดวยเอกนาม นอกจากครูจะทบทวนหลักการหารแลว ควรเนนถึงความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร และผลหารดวย และควรใชคําถามที่ช้ีใหนักเรียนสังเกตวิธีการตรวจสอบผลหารจากความสัมพันธ ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร

19

ผลบวกของพจนหนาคูณพจนหลังกับพจนหลังคูณพจนหนา

(x)(-5) + (2)(x)

ผลคูณของพจนหนา(x)(x)

ผลคูณของพจนหลัง(2)(-5)

2.2 การคูณพหุนาม (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลคูณของพหุนามได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 และแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก และ 2.2 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรยกตัวอยางการคูณระหวางพหุนามดีกรีหนึ่งกับพหุนามดีกรีหนึ่งในหนังสือเรียนแลวช้ีใหนักเรียนสังเกตวิธีใชพหุนามใดพหุนามหนึ่งเปนตัวตั้งและอีกพหุนามหนึ่งเปนตัวคูณโดยใชสมบัติการแจกแจงดวย ครูอาจใชเสนโยงใหเห็นพจนที่คูณกันโดยแยกพิจารณาการคูณทีละขั้นตอน เชน การหาผลคูณของ x + 2 กับ x – 5 ดังนี้

ขั้นที่ 1 พิจารณาการจับคูคูณของ (x + 2)(x – 5) x2 – 5x ขั้นที่ 2 พิจารณาการจับคูคูณของ (x + 2)(x – 5) 2x – 10

จะได (x + 2)(x – 5) = (x2 – 5x) + (2x – 10) = x2 – 5x + 2x – 10

= x2 – 3x – 10 หรือ = x2 + (-3x) + (-10)

2. ครูอาจใหนักเรียนทําแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก และ 2.2 ข เพื่อใหนักเรียนมีทักษะในการคูณและสังเกตไดวาผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง แตละพจนเกี่ยวของกับจํานวนใดที่คูณกัน ครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นแบบรูปการคูณจากผลคูณ เชน (x + 2)(x – 5) ดังนี้

x2 + (-3x) + 10

3. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ประกอบการเรียนการสอนเพื่อใหนักเรียนเห็นภาพการคูณพหุนามเปนรูปธรรมโดยใชพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก 4. การสอนวิธีคูณในแนวตั้ง ครูอาจตั้งคูณเหมือนการคูณจํานวนเต็มที่นักเรียนคุนเคยในลักษณะดังนี้ก็ได เชน

20

ตอบ -4x3 + 37x2 – 66x + 21

กอนที่จะตั้งคูณ ครูควรแนะนําใหนักเรียนเรียงดีกรีของพจนทั้งพหุนามตัวตั้งและพหุนามตัวคูณในลักษณะเดียวกันซึ่งนิยมเรียงดีกรีจากมากไปนอยและควรใหเรียงดีกรีของผลลัพธในทํานองเดียวกันดวย 4. ในแบบฝกหัด 2.2 ก ขอ 1 ขอยอย 16) มีการหาผลคูณ (x – 1)(x – 1)2 ครูอาจแนะนําใหหาผลคูณ (x – 1)2 ในแนวนอนเปน (x – 1)(x – 1) = x2 – 2x + 1 กอนแลวหาผลคูณ (x – 1)(x2 – 2x + 1)ในแนวตั้งก็ได 5. ครูอาจใชแบบฝกหดัเพิม่เตมิ 2.2 ค เพือ่ฝกทกัษะการบวก ลบ และคณูพหนุาม

2.3 การหารพหุนาม (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลหารของพหุนามได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนการหารพหุนามดวยเอกนามและเนนวา เอกนามตัวหารตองไมเปนศูนย จากนั้นจึงยกตัวอยางโจทยการหารพหุนามดวยพหุนามและใหขอตกลงกับนักเรียนเชนกันวา พหุนามตัวหารตองไมเปนศูนย 2. กอนใหตัวอยางการหารพหุนามดวยพหุนาม ครูควรทบทวนวิธีการหารจํานวนเต็มแบบการหารยาวกอน เพื่อใหเห็นวาวิธีหารพหุนามดวยพหุนามจะมีวิธีการที่คลายกับการหารยาวที่นักเรียนคุนเคยมาแลว 3. ครูควรย้ําถึงความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร ผลหารและเศษในรูปของตวัตัง้ = (ตวัหาร × ผลหาร) + เศษ และควรแนะนาํนกัเรยีนใหมกีารตรวจสอบผลลพัธ โดยใชความสมัพนัธดงักลาว ในตัวอยางการหารพหุนามทุกตัวอยางไดแสดงการตรวจสอบผลลัพธไวใตคําตอบทุกตัวอยางครูควรนํามาอธิบายและทําความเขาใจกับนักเรียนเปนบางตัวอยางก็ได สําหรับแบบฝกหัดของนักเรียนจะแสดงการตรวจสอบผลลัพธหรือไม ใหอยูในดุลพินิจของครู

4x2 – 9x + 3 - x + 7 28x2 – 63x + 21-4x3 + 9x2 – 3x-4x3 + 37x2 – 66x + 21

×

21

4. นกัเรยีนสวนใหญจะขาดทกัษะในเรือ่งการลบและการหารพหนุาม ดงันัน้ครคูวรใหแบบฝกหดัในเรือ่งการหารใหมากพอ เพราะจะชวยใหนกัเรยีนมทีกัษะการลบพหนุามไปดวย ครูไมจาํเปนตองใหโจทยที่มีดีกรีสูงและควรใหสัมประสิทธิ์ของแตละพจนมีคาไมมาก สัมประสิทธิ์ของแตละพจนของผลหารหรือเศษในชั้นนี้ใหเปนจํานวนเต็มเทานั้น 5. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3 สําหรับเด็กที่ยังขาดทักษะการหารพหุนาม

2.4 เศษสวนของพหุนาม (1 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนรูจักเศษสวนของพหุนามและเศษสวนพหุนามในรูปผลสําเร็จ

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก และ 2.4 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจยกตัวอยางเศษสวนของพหุนามหลาย ๆ ตัวอยาง ทั้งที่ตัวเศษและตัวสวนเปนเอกนามหรือเปนพหุนาม พรอมทั้งย้ํากับนักเรียนวา พหุนามตัวสวนตองไมเปนศูนย 2. ครูควรยกตัวอยางพหุนามงาย ๆ ที่สามารถใชสมบัติของการแจกแจงในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ใหนักเรียนไดฝกเขียนในรูปการคูณของพหุนามกอน เชน 5x – 10 = 5(x – 2) 9x3 – 3x2 = 3x2(3x – 1) 4x2y + 2xy2 = 2xy(2x + y) ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก ประกอบดวย 3. ครูอาจยกตัวอยางเศษสวนของพหุนามอยางงายที่สามารถใชสมบัติการแจกแจง ทําใหตัวเศษและตัวสวนมีพหุนามหนึ่งเปนตัวรวมแลวนําพหุนามที่เปนตัวรวมนั้นไปหารตัวเศษและตัวสวน ซ่ึงจะสามารถทําใหเศษสวนของพหุนามนั้นเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จได เชน

10 5x 6 3x

−

− = 2) 5(x 2) 3(x

−

−

= 53

4. ในการทําเศษสวนของพหุนามใหเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ครูควรย้ําใหระมัดระวังเกี่ยวกับนําตัวรวมไปหารตัวเศษและตัวสวนของเศษสวนของพหุนาม เชน

2x y4x + เปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จแลว แตอาจมีนักเรียนเขาใจผิดและทอนตอ

ไปอีกไดเปน 2x y4x + = 2 + y ซ่ึงเปนวิธีการที่ผิด ดังนั้นครูจะตองย้ําใหนักเรียนเห็นวาพหุนามที่เปน

ตัวหารจะตองเปนตัวคูณรวมของตัวเศษและตัวสวนของเศษสวนของพหุนามนั้น เชน x + 3 ใน

2

1

22

3) x(x )3)(x (x 2

++ − 1 เมื่อนํา x + 3 ไปหารทั้งตัวเศษและตัวสวนแลวจะได x

x 2 1 −

4. ครูอาจใชแบบฝกหดัเพิม่เตมิ 2.4 ก และ 2.4 ข ใหนกัเรยีนฝกทกัษะในเรือ่งเหลานีเ้พิม่เตมิได

2.5 การคูณและการหารเศษสวนของพหุนาม (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. หาผลคูณของเศษสวนพหุนามอยางงายในรูปผลสําเร็จได 2. หาผลหารของเศษสวนพหุนามอยางงายในรูปผลสําเร็จได


ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูยกตวัอยางการคณูเศษสวนของพหนุามดงัตวัอยาง แตอาจแบงใหตวัอยางและใหแบบฝกหดัเปน 2 ช่ัวโมง ไดตามความยากงายของโจทยและใหเหมาะสมตามระดับความสามารถของนักเรียน 2. ในการเขียนคําตอบถึงแมไมมีคําสั่งใหทําเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ครูก็ควรให

นักเรียนเขียนคําตอบเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ เชน 3 −+

x 1) 2x(x หรือ 3 −

+x

2x 2x 2 ก็ได

3. การสอนในเรื่องการหารเศษสวนของพหุนาม อาจดําเนินการในทํานองเดียวกันกับการคูณเศษสวนของพหุนามและอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.5 เพื่อฝกทักษะการคูณ การหารเศษสวนของพหุนามและการนําไปใช

1

1

23

2.6 การบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถหาผลบวกและผลลบของเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จได


ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจทบทวนการบวกและการลบเศษสวนที่ตัวเศษและตัวสวนเปนจํานวนเต็มกอนเพื่อใหนักเรียนไดเห็นวาการบวกและการลบเศษสวนของพหุนามจะที่เรียนตอไปนั้นมีวิธีการบวกและลบในทํานองเดียวกัน 2. ในกรณีที่พหุนามตัวสวนไมเทากัน ครูควรใหนักเรียนทําพหุนามตัวสวนใหเทากันโดยหาพหุนามมาคูณทั้งพหุนามตัวเศษและพหุนามตัวสวน ไมควรบอกวาใหหา ค.ร.น. เพราะบทเรียนที่ผานมาไมเคยกลาวถึงการหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ของพหุนาม 3. ครูควรสอนการบวกเศษสวนของพหุนามและใหทําแบบฝกหัดการบวกกอนจึงสอนการลบเศษสวนของพหุนาม ทั้งนี้เพราะเรื่องการลบพหุนามนักเรียนตองใชความรอบคอบในการถอดวงเล็บซึ่งอาจมีการเปลี่ยนเครื่องหมายทําใหยุงยากขึ้น สําหรับการเขียนผลลัพธที่ไดจากการบวกหรือการลบเศษสวนของพหุนามนั้น ก็ควรใหนักเรียนทําใหเปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จเชนกัน สําหรับนักเรียนระดับชั้นนี้ยอมใหเขียนคําตอบอยูในรูปการคูณของพหุนามไดดังเชนตัวอยางที่ 4 4. ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.6 เพื่อเสริมทักษะการบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม 5. สําหรับกรอบความรูเร่ือง แบบรูปกับพหุนาม ในตอนทายของบทเรียนนี้มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นแบบรูปของจํานวนที่สามารถนําไปหาขอสรุปในรูปทั่วไปซึ่งเปนพหุนามที่ใชตัวแปร นอกจากนั้นยังตองการเชื่อมโยงความรูเดิมของนักเรียนเกี่ยวกับการหาผลบวกของจํานวนนับที่มีรูปแบบดังเชน1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 ซ่ึงนักเรียนเคยหาโดยวิธีการจับคูมา แตยังไมเคยทราบมากอนวาสามารถหา

ผลบวกจํานวนนับตั้งแต 1 ถึง n ไดจากสูตร 21) n(n + เมื่อ n แทนจํานวนนับใด ๆ

24

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. 1) x2 + 9x – 5 และ 3x2 –3x –5 2) -4x2 + 5x – 3 และ 10x2 + 5x – 5

3) 7x2 + 5x + 9 และ -x2 – 9x +3 4) x2 + 3y2 + 3x + y และ x2 + 3y2 – 3x – y 5) 6xz + 6x - 6z2 และ 8xz – 4x + 6z2

6) y2z + 8y2 + yz และ 7y2z – yz – 6y2

7) -xy2 + 8x3 – 12x2y + 3y2 และ -xy2 + 6x3 – 8x2y – 3y2

8) 5x3 – 4x2 – 4x – 6 และ 13x3 – 6x2 + 4x –10 9) -6x3+ 4x2 + 8x – 3 และ 8x3 – 8x2 – 2x – 5 10) 2x3 + 6xy2 และ 6x2y + 2y3

2. 1) -24x + 3x2 2) 36x3 – 28x 3) 10x3 – 6x 4) 11x3 + 77x2

5) 18x – 30x2 – 42x3 6) x4 + x3 + x2

7) -16x3 + 18x4 8) 45x5 – 20x3

9) -14x5 + 13x4 10) 3x5 – 12x4 + 9x3 – 3x2

3. 1) 7 + 5x – x2 2) -9x2 + 6x + 5

3) -2x2 + 5x 4) -5 + 3x 5) -2x2 + 5x + 6 6) -3x3 – 7x2 – 7x 7) 7x2 – 10x + 5 8) 4x2y2 – 3x2y + 6x – 1

25

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก

1. 1) x2 + 9x + 18 2) x2 + x – 2

3) x2 – 8x + 15 4) x2 + x – 6 5) x2 + 6x + 9 6) x2 – 1 7) x2 – 25 8) 2x2 – 5x + 2 9) 2x2 + 9x – 5 10) 6x2 + 11x + 3 11) 6x2 – 7x – 3 12) -15x2 + 7x + 2 13) -8y2 + 26y – 21 14) 7x3 + 14x2 + 4x + 8 15) x3 – x2 – x + 1 16) x3 – 3x2 + 3x – 1

17) 4x3 – 6x2 + 2x – 3 18) 12x3 – 36x2+ 27x

2. 1) 72x2 – 133x + 26 2) -30x3 + 84x2 – 70x + 196 3) -40x3 – 32x2 + 42x 4) 6x3 – 2x2 –38x – 30

5) -40x4 + 32x3+ 65x2 –52x 6) 3x4 + 26x2 – 40 7) -40x4 + 126x2 – 72 8) 18x4 + 65x2 + 7

9) 12x4 + 17x3 +6x2 10) x4 – x2

11) 42x4 – 20x3 – 150x2 12) 2x4 – 2x3 –x2 – x – 1 13) -11x4 –3x3 +83x2 +24x + 40 14) -4x4 + 51x3 – 122x2 + 91x – 8 15) -2y4 – 28y3 – 49y2 – 5y + 84 16) 3x5 + x3 – 3x2 – 1 17) 27x5 + 6x3 + 3x 18) x5 – x3 – x2 + 1

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข

1. 1) x2y + 5y 2) -2x2y + 6xy

3) 6x2y + 3xy2 4) 40x2y3 – 30x3y2

5) -2y2z + 2yz2 –8z3 6) -9y3z3 + 7y3z2 + 2y2 z3

7) 7x2 – 54y2 – 33xy 8) 60y4 – 120y3z + 55y – 110z 9) 14xy2 – 14x3 – 3xy3 + 3x3y 10) 20xy3 – x3y – 8x2y2

11) -44x3z+32x2z+66x2z2–64xz2+24z3 12) -27x4 – 36x3y –4xy3 + 42x2y2 + 5y4

26

13) x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 14) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

15) x3 + y3 16) x3 – y3

คําตอบกิจกรรม “คิด” 1 : 14 แนวคิด พื้นที่ของสวนที่แรเงา เทากับ [ 2

1 (15x × 10y) – 21 (10x × 8y) – (10x × 2y) – 2

1 (5x × 2y)]

= 75xy – 40xy – 20xy – 5xy = 10xy

จะได แรเงาสวนที่ไมพื้นที่ของงาสวนที่แรเพื้นที่ของ = 140xy

10xy

= 141

คําตอบแบบฝกหัด 2.3

1. 1) -2 2) 3 เศษ 2 3) x – 2 4) x + 3 เศษ 36 5) 3x 6) 4x + 5 7) 4x – 2 เศษ 23 8) -3x + 8 9) 6x – 7 10) 4 เศษ -3x – 6 11) y2 – 5y + 3 12) 3y2 + 12y + 3 เศษ -40 13) 2x2 – 3x + 1 14) y2 + 2y – 1 เศษ -5 15) y2 – y + 1 เศษ -2 16) 4x2 – x + 6

17) 4y + 3 เศษ 3y + 8 18) 9y – 5 เศษ -2y + 19 19) -6x + 7 เศษ 9x + 4 20) 10x2 – 13x – 5 เศษ 16x + 4

2. 1) C = x – 2 D = 6x + 4 2) C = 5x2 – 6x + 7 D = 0 3) C = 4y + 6 D = 2y – 1 4) C = y + 5 D = -y + 6

27

3. 1) A = 5x3 – x2 + 16x + 14 2) A = -2x4 + 13x3 – 25x2 + 59x – 45 3) A = 24x4 + 32x3 – 6x2 + 9x – 1 4) A = -15x4 + x3 + 53x2 + 7x – 29

4. 1) ถูก 2) ผิด

3) ผิด 4) ผิด

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู” A = x3 + 5x – 2 B = x3 – x2

C = x2 + 5x – 2 D = x2 – x E = 6x – 2 F = 6x – 6


1.

1) 56x 2

2) -3

3

y4x

3) - 20ca 2

4) x

5) 5 −+

3x 5 2x 6) 7

2

7) 1 ++

x x 3x 2

8) 3y

9) 235x

1 10) y y2

2−

−6y

28

2.

1) 2ab1 2) 3y

10x

3) - 53 4)

3x3

5) 2x2 + 1 6) 3 y −3y

7) 1) 4(x 3

−

− )3x(x หรือ 4 4x

−

− 9x 3x 2 8) -8

9) (x + 1)(x – 1) หรือ x2 – 1 10) (x + 3)(x – 3) หรือ x2 –9


1. 2x 2. x1

3. 103x 1 − 4. x

2

5. 1528x − 6. 1

7. 1 8. 5

9. 1 10. 6b13

11. 8x7- 12. 2xy

yx 2 2 +

13. 68x − 14. )2(x

17x 1 −

−

15. 1)5(x 3 5x 17x 2

−

− + หรือ 55x 3 5x 17x 2

−

− + 16. 25 26−5x

-

17. 6) 4)(x (x 7x

−

−−

+4 x 2

หรือ 242x x7x

2

−−

−− 4 x 218. 8

5

19. 3)12(x28x 2

15x

+− หรือ 3612x

28x 2

15x

+− 20. 1x

2x 2

3 x

−−−

29

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

30

กิจกรรมเสนอแนะ 2.2

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการนําพหุนามไปใชในเรื่องพื้นที่

กําหนดให รูปสี่เหล่ียมมุมฉากแตละรูปมีขนาดความยาวของดาน ดังนี้

ใหนักเรียนเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ โดยพิจารณาจากรูปที่กําหนดให1. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

1) AD ยาวเทากับ…………หนวย [x + 1 หนวย]2) AB ยาวเทากับ………….หนวย [x + 2 หนวย]

3) ความยาวรอบรูปของ ABCD เทากับ………….หนวย [2(x + 1) + 2(x + 2) = 4x + 6 หนวย] 4) พื้นที่ของ ABCD เขียนในรูปการคูณของความยาวของดานไดเปน……….. [(x + 1)(x + 2) ตารางหนวย] 5) พื้นที่ของ ABCD เทากับ……………..ตารางหนวย [x2 + 3x + 2 ตารางหนวย] 6) ถาแทน x ดวย 7 แลว พื้นที่ของ ABCD จะเปนเทาใด [72 ตารางหนวย]

2. กําหนดให PQRS เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส

1) PQ ยาวเทากับ…………..หนวย [x + y หนวย]2) PS ยาวเทากับ…………...หนวย [x + y หนวย]

3) ความยาวรอบรูปของ PQRS เทากับ…………….หนวย [4x + 4y หนวย] 4) พื้นที่ของ PQRS เขียนในรูปการคูณของ ความยาวของดานไดเปน [(x + y)(x + y) ตารางหนวย] 5) พื้นที่ของ PQRS เทากับ……………ตารางหนวย [x2 + 2xy + y2 ตารางหนวย]

x

x

C

1

D

A B1

1

x

x

S R

P Qy

y

x

x

x

1

x

y

11

yy

31

6) ถาแทน x ดวย 4 และแทน y ดวย 2 พื้นที่ของ PQRS จะเปนเทาใด [36 ตารางหนวย]3. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

1) AB ยาวเทากับ………………หนวย [x + y หนวย] 2) AD ยาวเทากับ………………หนวย [2y + 2 หนวย] 3) ความยาวรอบรูปของ ABCD เทากับ……………..หนวย [2(x + y) + 2(2y + 2) หนวย] = ……………..หนวย [2x + 6y + 4 หนวย] 4) พื้นที่ของ ABCD เทากับ…………..ตารางหนวย หรือ…………..ตารางหนวย [(x + y)(2y + 2)] หรือ [2xy + 2x + 2y2 + 2y ตารางหนวย] 5) ถาแทน x ดวย 5 และแทน y ดวย 3 แลว พื้นที่ของ ABCD จะเปนเทาใด [64 ตารางหนวย]4. กําหนดให PQRS เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

1) พื้นที่ของ PQRS เทากับผลคูณของพหุนาม …………….กับ……………. [2x + 1] กับ [x + 3] 2) พื้นที่ของ PQRS เทากับ …………….ตารางหนวย [2x2 + 7x + 3 ตารางหนวย]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ก

จงเขียนผลคูณของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้ 1. (x – 1)(x + 1) = …………………………….. [x2 – 1] 2. (x + 1)(x – 1) = …………………………….. [x2 – 1] 3. (x – 4)(x + 4) = …………………………….. [x2 – 16] 4. (x + 4)(x – 4) = …………………………….. [x2 – 16] 5. (2x – 1)(2x + 1) = …………………………….. [4x2 – 1] 6. (2x + 1)(2x – 1) = …………………………….. [4x2 – 1] 7. (3x – 2)(3x + 2) = …………………………….. [9x2 – 4]

x C

y

y

B1

D

A

1

y

x

Rx

P Q

1S

x

11

32

8. (3x + 2)(3x – 2) = …………………………….. [9x2 – 4] 9. (x – y)(x + y) = …………………………….. [x2 – y2]10. (x + y)(x – y) = …………………………….. [x2 – y2]11. (x + 1)(x + 1) = …………………………….. [x2 + 2x + 1]12. (x – 3)(x – 3) = …………………………….. [x2 – 6x + 9]13. (x + 5)(x + 5) = …………………………….. [x2 + 10x + 25]14. (2x – 3)(2x – 3) = …………………………….. [4x2 – 12x + 9]15. (1 + 3x)(1 + 3x) = …………………………….. [1 + 6x + 9x2]16. (5 – 2x)(5 – 2x) = …………………………….. [25 – 20x + 4x2]17. (x + 2)2 = …………………………….. [x2 + 4x + 4]18. (3x – 1)2 = …………………………….. [9x2 – 6x + 1]19. (x – y) 2 = …………………………….. [x2 – 2xy + y2]20. (x + y) 2 = …………………………….. [x2 + 2xy + y2]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ข

จงเขียนผลคูณของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้ 1. (x + 2)(x + 3) = …………………………….. [x2 + 5x + 6] 2. (x – 2)(x – 3) = …………………………….. [x2 – 5x + 6] 3. (x – 2)(x + 3) = …………………………….. [x2 + x – 6] 4. (x + 2)(x – 3) = …………………………….. [x2 – x – 6] 5. (x + 3)(x + 3) = …………………………….. [x2 + 6x + 9] 6. (x – 3)(x – 3) = …………………………….. [x2 – 6x + 9] 7. (x – 3)(x + 3) = …………………………….. [x2 – 9] 8. (x + 3)(x – 3) = …………………………….. [x2 – 9] 9. (x + 5)(2x + 1) = …………………………….. [2x2 + 11x + 5]10. (x – 5)(2x – 1) = …………………………….. [2x2 – 11x + 5]11. (x – 5)(2x + 1) = …………………………….. [2x2 – 9x – 5]12. (x + 5)(2x – 1) = …………………………….. [2x2 + 9x – 5]13. (3x + 2)(x + 4) = …………………………….. [3x2 + 14x + 8]14. (3x – 2)(x – 4) = …………………………….. [3x2 – 14x + 8]15. (3x – 2)(x + 4) = …………………………….. [3x2 + 10x – 8]

33

16. (3x + 2)(x – 4) = …………………………….. [3x2 – 10x – 8]17. (2x + 1)(3x + 2) = …………………………….. [6x2 + 7x + 2]18. (2x – 1)(3x – 2) = …………………………….. [6x2 – 7x + 2]19. (2x – 1)(3x + 2) = …………………………….. [6x2 + x – 2]20. (2x + 1)(3x – 2) = …………………………….. [6x2 – x – 2]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ค

1. จงหาผลลัพธตอไปนี้ 1) (7x + 3) – (3x – x2) + (5x + 3x2) [4x2 + 9x + 3] 2) (7x2 + 1) + (7x + 1) – (2x2 + 8) [5x2 + 7x – 6]

3) (4x + 3) – (5x + 7) – (6x2 + 1) [-6x2 – x – 5]4) (4x2 + 1) – (8x – 1) + (x2 + 5) [5x2 – 8x + 7]5) 5x(x2 + 1) + 2x(3x2 + 3) – (x – 1) [11x3 + 10x + 1]

2. จงหาผลลัพธตอไปนี้ 1) 7x(x – 1) + (x + 1)2 [8x2 – 5x + 1]

2) (x)(x2 + 1) – (9x + 6)(x – 1) [x3 – 9x2 + 4x + 6] 3) (2x2 + 5x + 9) – 9(x + 1)2 [-7x2 – 13x]

4) 2x(x2 + 3) + (x + 5)2(3 – 4x) [-2x3 – 37x2– 64x + 75]5) 3x(3x2 + 2x + 2) – (x2 – 3x + 4) – (x – 1) [9x3 + 5x2+ 8x – 3]

3. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมคางหมูมีดานคูขนานยาว 5x + 1 เมตร และ 9x + 4 เมตร สูง 2x เมตร จงหาพื้นที่ของ ABCD [14x2 + 5x ตารางเมตร]

4. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสมีดานยาว 4x + 1 หนวย ถาตัดมุมแตละมุมเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาที่ กวาง x – 1 หนวย และ ยาว x + 2 หนวย จะเหลือพื้นที่อยูเทาใด [12x2 + 4x + 9 ตารางหนวย]

4x + 1

x + 2x – 1

D C

A B

4x + 1

34

5. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผา จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาที่เกิดจากการตัดพื้นที่มุมเปนรูปสี่เหล่ียม ผืนผาตามความยาวของแตละดานที่กําหนดใหดังรูป [15x2 – 3x – 8 ตารางหนวย]

6. ถังน้ําทรงลูกบาศกขนาดภายในแตละดานกวาง 3x + 4 เซนติเมตร ใสน้ําไวต่ํากวาขอบ x – 3 เซนติเมตร น้ําในถังมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร [18x3 + 111x2 + 200x + 112 ลูกบาศกเซนติเมตร]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.3

จงหาผลหารของพหุนามเติมลงในชองวางตอไปนี้ 1. (x2 + 4x + 3) ÷(x + 1) = …………………………….. [x + 3] 2. (x2 – 4x + 3) ÷(x – 1) = …………………………….. [x – 3] 3. (x2 – 2x – 3) ÷(x – 3) = …………………………….. [x + 1] 4. (x2 + 2x – 3) ÷(x + 3) = …………………………….. [x – 1] 5. (x2 + 10x + 25) ÷(x + 5) = …………………………….. [x + 5] 6. (x2 – 10x + 25) ÷(x – 5) = …………………………….. [x – 5] 7. (x2 – 25) ÷(x + 5) = …………………………….. [x – 5] 8. (x2 – 25) ÷(x – 5) = …………………………….. [x + 5] 9. (2x2 + 7x + 6) ÷(2x + 3) = …………………………….. [x + 2]10. (2x2 – 7x + 6) ÷(2x – 3) = …………………………….. [x – 2]11. (2x2 + x – 6) ÷(x + 2) = …………………………….. [2x – 3]12. (2x2 – x – 6) ÷(x – 2) = …………………………….. [2x + 3]13. (3x2 + 10x + 3) ÷(3x + 1) = …………………………….. [x + 3]14. (3x2 – 10x + 3) ÷(3x – 1) = …………………………….. [x – 3]15. (3x2 – 8x – 3) ÷(x – 3) = …………………………….. [3x + 1]

3x

3x4x

2

CD

A 4 B

35

16. (3x2 + 8x – 3) ÷(x + 3) = …………………………….. [3x – 1]17. (6x2 + 11x + 4) ÷(2x + 1) = …………………………….. [3x + 4]18. (6x2 – 11x + 4) ÷(2x – 1) = …………………………….. [3x – 4]19. (6x2 – 5x – 4) ÷(3x – 4) = …………………………….. [2x + 1]20. (6x2 + 5x – 4) ÷(3x + 4) = …………………………….. [2x – 1]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ก

จงใชสมบัติการแจกแจงเขียนพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปการคูณของเอกนามกับพหุนาม หรือพหุนามกับเอกนาม ตัวอยาง 5x – 25 = 5(x – 5) หรือ (x – 5)(5) 1. 3x + 27 [3(x + 9) หรือ (x + 9)(3)] 2. 14x – 28y [14(x – 2y) หรือ (x – 2y)(14)] 3. 6x – 2y [2(3x – y) หรือ (3x – y)(2)] 4. 3y + 9xy [3y(1 + 3x) หรือ (1 + 3x)3y] 5. -x2 + x [(-x)(x – 1) หรือ (x – 1)(-x)] 6. 10x2 – 35 [5(2x2 – 7) หรือ (2x2 – 7)(5)] 7. 4x2 + 2x [2x(2x + 1) หรือ (2x + 1)(2x)] 8. x2 + 8x3y [x2(1+ 8xy) หรือ (1 + 8xy)x2] 9. -20x2 – 40x [(-20x)(x + 2) หรือ (x + 2)(-20x)]10. 2x2y – 16x2 [2x2(y – 8) หรือ (y – 8)(2x2)]11. 3x2y3 + x3y [x2y(3y2 + x) หรือ (3y2+ x)(x2y)]12. 15x3y2 – 5x2y2 [5x2y2 (3x – 1) หรือ (3x – 1)(5x2y2)]13. 3x2 – 6x + 12 [3(x2 – 2x + 4) หรือ (x2 – 2x + 4)(3)]14. 7y3 + 21y2 – 14y [7y(y2 + 3y – 2) หรือ (y2 + 3y – 2)(7y)]15. 2x2y + 5xy2 – xy [xy(2x + 5y – 1) หรือ (2x + 5y – 1)xy]

36

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.4 ข

จงทําเศษสวนของพหุนามตอไปนี้เปนเศษสวนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ 1) 2 x

4 2x ++ [2]

2) 4x 210x 5

−

− [ 25 ]

3) 2x 14 7) 2(x

++ [1]

4) x x

x2

2

−

[ 1 x x−

]

5) 14 2x 7) 2x(x

++ [x]

6) 3y x 15y 5x

−

− [5]

7) 1) (x xy xy y x 2

−

− [1]

8) 6x 6x1) 3(x

3

2

+

+ [ 2x 1 ]

9) 2

2

2x 10y20y 4x

+

+ [2]

10) )2

2

22

x 5y 1)( (3x 25y 5x-

−+

+ [ 1 3x 5+

]

37


1. จงหาผลคูณของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้ 1) 3

1 x − × 1 −+

x 1 x [ 3

1 x + ]

2) 1 2x 5 x +− × 5 −x

7 [ 1 +2x7 ]

3) 33 2x + × 12 8x

3 x +− [ 12

3 x − ]

4) 2x4 x − × 8 2x −

y3x 4 [ 2

y3x 2]

5) 2 x 7y-+

× 314y-4 2x + [

2y1 ]

2. จงหาผลหารของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้

1) 10y 4x 1) (x 2

−

+ ÷ 5y 2x −+1 x [ 2

1 x + ]

2) (x – 3)2 ÷ 1 x 3 x

+− (x – 3)(x + 1) หรือ x2 – 2x – 3

3) 52x 1− ÷

210x-10x 5 − [ 5

2x- 2]

4) 1 x 2x x 2

+−− 3 ÷ 1 −

−

2x 3 x [2x – 1]

5) 6 7x ++

+22x

4 2x ÷ 3 2x 2 x +− [ 2 −x

2 ]

3. ลูกตะกั่วทรงลูกบาศกมีขนาดความยาวของดานแตละดานเปน x – 2 หนวย ถาตองการนําลูกตะกั่ว ดังกลาวมาหลอมเพื่อทําเปนตะกั่วทรงลูกบาศกลูกใหญที่มีขนาดความยาวของดานแตละดานเปน 2x – 4 หนวย จะตองใชลูกตะกั่วทั้งหมดกี่ลูก (8 ลูก)4. เหล็กแทงทรงสี่เหล่ียมมุมฉากกวาง 2x2 + 2x หนวย ยาว 4x3 + 4x2 หนวย สูง 3x + 3 หนวย เมื่อนํา เหล็กมาหลอมแลวทําเปนลูกบาศกเล็ก ๆ ที่มีความยาวของแตละดานเปน x2 + x หนวย จะไดลูกบาศก ทั้งหมดกี่ลูก (24 ลูก)

38


จงหาผลลัพธของเศษสวนของพหุนามตอไปนี้

1. 3xx 2

+ x1 [ 3x

3 x 2 + ]

2. x – x1 [ x

1 x 2− ]

3. x4 –

2x2x [ x

2 ]

4. 2x

x 1 − + 2x3 [

22x5x 2 − ]

5. 3 z 6 − + z

4 [ 3z12 6z z 2 +− ]

6. 2yy 5 − + 3

2y [ 6y15 3y 4y 2

−+ ]

7. xx 3 + – 3x

1 2x + [ 3x8 x + ]

8. 1 2x 2 4x

++ – x

3 [ x3 2x − ]

9. 2x y− + yx

x2

++ xy [ 2

y 3x − ]

10. 2y 2x y))(x y(x

−

− + – 2x y+ [0]

11. yx 3−

+ yx 4+

[22 y x

y 7x −

− ]

12. 2 3x 4x 6x 2

−− – 2

1 2x − [ 21 2x + ]

13. 52y – 2y

y 1 + + y5 [ 10y

45 5y 4y 2 +− ]

14. 43x – 2

2x – x5 [ 4x

20 2x x 34−− ]

15. 22x 1 − – 3x

1 + 3x 1 + [ 6x

8x 2 2 x −− ]

คู่มือพร้อมเฉลย คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอมที่ 1 บทที่ 2...

Documents