· คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 โดย นางธันยนันท์ จันเต ตัวอย่างที่ 1 f(x) 3x 2 2x,

www.kroo

bann

ok.co

m

เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 2

คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต

ความรเกยวกบลมตมความส าคญมากในทางคณตศาสตร โดยเฉพาะอยางยงในวชาแคลคลส (Calculus) “ใหนกศกษาพจารณาฟงกชน f(x) ซง

2xf(x) วา คาของฟงกชน f(x) เปนอยางไร เมอ x เขาใกล 2” ( คาของ 2x ) ดงตาราง

2<x 2x >

x 2xf(x) x 2xf(x)

1 3 3 5

1.5 3.5 2.5 4.5

1.9 3.9 2.1 4.1

1.99 3.99 2.01 4.01

1.999 3.999 2.001 4.001

1.9999 3.9999 2.0001 4.0001

จะเหนวาเมอ x เขาใกล 2 โดยท ( 2<x ) คาของฟงกชนจะเขาใกล 4

และเมอ x โดยท ( 2x > ) เขาใกล 4

ลมตและความตอเนอง (Limit and Continuity)

1. ลมตของฟงกชน

www.kroo

bann

ok.co

m



จะเหนไดวา เมอ x เขาใกล 2 โดยท ( 2<x ) และเมอ x เขาใกล 2 โดยท ( 2x > ) คาของฟงกชน

จะเขาใกลจ านวนเดยวกน คอ 4 นนแสดงวา ฟงกชน 2xf(x) มลมตของฟงกชน โดยคาของลมต

เทากบ 4

โดยทวไป เมอ a เปนจ านวนใด ๆ

1. x เขาใกล a โดยท a<x จะเรยกวา x เขาใกล a ทางดานซาย เขยนแทนดวยสญลกษณ

-ax และคาของฟงกชน f(x) เขาใกลจ านวนจรง L เมอ x a ทางดานซายแลว ลมต

ของฟงกชน f ท x เขาใกล a ทางดานซาย เขยนแทนดวย Lf(x) lim ax

2. x เขาใกล a โดยท ax > จะเรยกวา x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวยสญลกษณ

ax และคาของฟงกชน f(x) เขาใกลจ านวนจรง L เมอ x a ทางดานขวาแลว ลมต

ของฟงกชน f ท x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวย Lf(x) lim ax

ซง ถา Lf(x) limf(x) lim

axax

แลว Lf(x) lim ax

เรยก L วา คาลมต

ของฟงกชน f ท a หรอกลาววา

Lf(x) lim ax

กตอเมอ Lf(x) limf(x) lim axax

ดงนนจากตารางขางตน จะไดวา

42)(x lim2)(x lim 2x2x

จะได 42)(x lim2)(x lim 2x2x

ดงนน 42)(x lim

2x

www.kroo

bann

ok.co

m



วธพจารณาคาของ f(x) lim ax

ม 3 วธ คอ

1) การหาคาลมตโดยวธแทนคาในตาราง

2) การหาคาลมตโดยวธพจารณากราฟ

3) การหาคาลมตโดยใชทฤษฎเกยวกบลมต

การหาคาลมตโดยวธแทนคาในตาราง

ใหนกเรยนพจารณาตวอยางตอไปน เพอท าความเขาใจเกยวกบการหาคาลมตโดยวธแทนคา ในตาราง

ตวอยางท 1-4 จงสรางตารางแสดงคาของฟงกชนทก าหนดให ณ จดใกล ๆ a ( a) ทก าหนดให เพอสรปคาของ f(x) lim

ax

, f(x) lim ax

และ f(x) lim ax

(ถาลมตมคา)

www.kroo

bann

ok.co

m



ตวอยางท 1 2a2x,3xf(x) 2

วธท า สรางตาราง ดงน

2<x 2x >

x 2x3xf(x) 2 x 2x3xf(x) 2

1 1 3 21

1.5 3.75 2.5 13.75

1.9 7.03 2.1 9.03

1.99 7.90 2.01 8.10

1.999 7.990 2.001 8.01

1.9999 7.998 2.0001 8.0008

จะไดวา 82x)(3x lim และ 82x)(3x lim 22

2x2x

นนคอ 82x)(3x lim2x)(3x lim 22

2x2x

ดงนน 82x)(3x lim 22x

ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m



ตวอยางท 2 0a,4xx

4xxf(x) 2

3


0<x 0x >

x 4xx

4xxf(x) 2

3

x

4xx

4xxf(x) 2

3

-1 -1 1 -0.6

-0.5 -1.074 0.5 -0.833

-0.1 -1.023 0.1 -0.973

-0.01 -1.002 0.01 -0.997

-0.001 -1.000 0.001 -0.999

-0.0001 -1.000 0.0001 -0.999

จะไดวา 14xx

4xxlim และ 14xx

4xx lim 2

3

2

3

0x0x

นนคอ 14xx

4xxlim4xx

4xx lim 2

3

2

3

0x0x

ดงนน 14xx

4xxlim 2

3

0x

ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m



ตวอยางท 3 8a,1xf(x)


8<x 8x >

x 1xf(x) x 1xf(x)

7 2.82842 9 3.16227

7.5 2.91547 8.5 3.08220

7.9 2.98328 8.1 3.01662

7.99 2.99833 8.01 3.00166

7.999 2.99983 8.001 3.00016

7.9999 2.99998 8.0001 3.00001

จะไดวา 31xlim และ 31x lim 8x8x

นนคอ 31xlim1x lim 8x8x

ดงนน 31xlim 8x

ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m



ตวอยางท 4 4a,4x

2xf(x)


4<x 4x >

x 4x2xf(x)

x 4x

2xf(x)

3 0.26794 5 0.23606

3.5 0.25834 4.5 0.24264

3.9 0.25158 4.1 0.24845

3.99 0.25015 4.01 0.24984

3.999 0.25001 4.001 0.24998

3.9999 0.25000 4.0001 0.24999

จะไดวา 0.254x

2xlim และ 0.254x

2x lim 4x4x

นนคอ 0.254x

2xlim4x

2x lim 4x4x

ดงนน 0.254x

2xlim 4x

ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m



การหาคาลมตโดยวธพจารณากราฟ ใหนกเรยนพจารณาตวอยางท 5-8 การหาคาลมตโดยวธพจารณากราฟ ดงน

ตวอยางท 5

4 >x เมอ 4x

4 <x เมอ2x 8xf(x) เมอ x

วธท า เขยนกราฟ ดงน

ภาพท 1

เมอพจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 4 ทางดานซาย และดานขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 0 เพยงคาเดยว

ตวอยางท 6 54xxf(x) 2 เมอ x 2 วธท า เขยนกราฟ ดงน

ภาพท 2

เมอพจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 2 ทางดานซาย

และดานขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 1 เพยงคาเดยว

www.kroo

bann

ok.co

m



ตวอยางท 7 12xf(x) เมอ x 1 วธท า เขยนกราฟ ดงน

ภาพท 3


และดานขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 1 เพยงคาเดยว

ตวอยางท 8

1 x เมอ 1)(x

1 <x เมอx 2

f(x) 2

เมอ x 1

ภาพท 4


คาของ f(x) มคาเขาใกล 1 และเมอ x มคาเขาใกล 1 ทางดานขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 0

www.kroo

bann

ok.co

m



จากบทนยาม 2.1 – 2.2 ส าหรบนกเรยนทเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลาย อาจท าความเขาใจกบ

บทนยามนคอนขางทจะเขาใจยาก ดงนนเพอใหนกเรยนไดเขาใจนยามของลมตงายขน จะขอใหนยาม

ของลมตในอกลกษณะหนง ดงน

“เราจะกลาววา Lf(x) lim ax

กตอเมอ x f(x) เขาใกล L

2. นยามของลมต

นยาม 2.1 ลมตทางขวา

ให f a f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x

มคาเขาใกล a ทางขวามอ (เขยนแทนดวย Lf(x) lim ax

) กตอเมอส าหรบแตละจ านวนจรง

0>ε จะตองมจ านวนจรง 0> ซงท าใหส าหรบทก ๆ fDx ถา δa<x<a

แลวจะได <Lf(x)

นยาม 2.2 ลมตทางซาย

ให f a f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x

มคาเขาใกล a ทางซายมอ (เขยนแทนดวย Lf(x) lim ax

) กตอเมอส าหรบแตละจ านวนจรง

0>ε จะตองมจ านวนจรง 0> ซงท าใหส าหรบทก ๆ fDx ถา a<x<a δ

แลวจะได <Lf(x)

www.kroo

bann

ok.co

m



3.1 กฎเกณฑหรอทฤษฎเกยวกบลมต

การพจารณาคาลมตของฟงกชน f(x) เมอ x a โ

x a ตารางหรอกราฟไมสะดวกรวดเรวเทาทควร เพอให

วธการหาคาลมตสะดวกและรวดเรวขนจงจ าเปนตองศกษากฎเกณฑและทฤษฎส าคญ

เพอน ามาใชในการค านวณ กฎทกกฎสามารถพสจนได แตในทนเราจะไมศกษาวธพสจน

เพยงแตจะศกษาถงวธน ากฎเกณฑไปใชในการค านวณเทานน

ทฤษฎบทท 1

เมอ a , L และ M เปนจ านวนใด ๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปน

สบเซตของจ านวนจรง โดยท Mg(x) limและLf(x) lim axax

แลว

1) ถา cf(x) เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

2) af(x) lim ax

3) nn ax lim ax

, I n

4) Lcf(x) limcf(x)c lim axax

เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

5) MLg(x)f(x) lim g(x)][f(x) lim

axax

6) MLg(x)f(x) lim g(x)][f(x) lim

axax

3. กฎเกณฑหรอทฤษฎเกยวกบลมตและการค านวณคาลมตของฟงกชน

www.kroo

bann

ok.co

m



ฟงกชนพหนาม คอ ฟงกชนทเขยนในรป 011n

1nn

n axa...xaxa p(x)

โดยท n, n-1,...,1 เปนจ านวนเตมบวก และ 01nn a,,a ,a ... เปนจ านวนจรง รายละเอยดเพมเตมนกเรยนสามารถศกษาไดตามตวอยาง ดงน

7) 0MML

g(x) lim

f(x) lim

g(x)f(x) lim

ax

axax

,

8)

I n,Lf(x) limf(x) lim n

n

axn

ax

9) 1I n,Lf(x) limf(x) lim nnax

nax

และ RLn

หมายเหต กฎเกณฑเหลานใชไดกบลมตทางซายและลมตทางขวา


ถา p(x) เปนฟงกชนพหนามแลว ส าหรบจ านวนจรง a ใด ๆ p(a) p(x)lim ax

www.kroo

bann

ok.co

m



3.2 การหาคาลมตของฟงกชน

การหาคาลมตของฟงกชน คอ การหาวาฟงกชนมคาเขาใกลจ านวนจรงใด เมอก าหนดให

ตวแปรอสระมคาเขาใกลจ านวนจรงจ านวนหนง ซงการหาคาลมตนสามารถใชกฎเกณฑ

เกยวกบลมตมาชวยในการหาคาลมตของฟงกชนได ใหนกเรยนพจารณาตวอยาง ดงน

ตวอยางท 9 จงหาคาของ 7)8x(x lim 2

3x

วธท า โดยกฎขอ 5) สามารถเขยนคาลมตไดดงน

7 lim8x limx lim7)8x(x lim 3x3x3x3x

22

7(8)(3))(3 2

7249

8

87)8x(x lim 23x

ตอบ

ตวอยางท 10 จงหาคาของ 1)4x(x lim 2

1x

วธท า โดยกฎขอ 5) สามารถเขยนคาลมตไดดงน

1 lim4x limx lim1)4x(x lim 1x1x1x1x

22

1(4)(1))(1 2

141

2

21)4x(x lim 21x

ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m



ตวอยางท 11 จงหาคาของ 1x

35x lim 2

2x

วธท า พจารณาตวสวนของเศษสวน 1x

35x2

จะเหนวา

5121 limx lim1)(x lim 2222x2x2x

โดยกฎขอ 7) และ 5) สามารถเขยนคาลมตไดดงน

1)(x lim

3)(5x lim

1x

35x lim 2

2x

2x22x

1limx lim

3 lim5x lim

2x

2

2x

2x2x

1)(2

35(2) 2

14310

5

13

5

13

1x

35x lim 22x

ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m



ตวอยางท 12 จงหาคาของ 2x4x lim

2

2x

วธท า พจารณาตวสวนของเศษสวน 2x4x

2


0222 limx lim2x lim 2x2x2x

ดงนนไมสามารถใชกฎขอ 5) หาคาลมตนได จะหาคาลมตนไดตองอาศย

ความรเรองการแยกตวประกอบของพหนาม ดงน

2x

2)2)(x(x lim2x4x lim

2x2x

2

2)(x lim 2x

โดยกฎขอ 5) สามารถเขยนคาลมตไดดงน

2 limx lim 2x2x

22

4

42x4x lim

2

2x

ตอบ

www.kroo

bann

ok.co

m




1x lim 21x

วธท า พจารณาตวสวนของเศษสวน23x

1x 2


022242312)3x( lim 221x

ดงนนไมสามารถใชกฎขอ 5) หาคาลมตนได จะหาคาลมตนไดตองอาศย

ความรเรองเสรดคสงยคของ 23x 2 คอ 23x 2 ดงน

23x

23x

23x

1x lim23x

1x lim 2

2

22 1x1x

2)3x2)(3x(

2)3x1)((x lim 22

2

1x

43x

2)3x1)((x lim 2

2

1x

1x

2)3x1)((x lim 2

2

1x

1)1)(x(x2)3x1)((x lim

2

1x

11231

2

2

223x

1x lim 21x

ตอบ

โดยกฎขอ 3.1 สามารถเขยนคาลมตไดดงน

www.kroo

bann

ok.co

m




x lim 2

1x

วธท า พจารณาตวสวนของเศษสวน1x

x 2

จะเหนวา 0111)(x lim 1x

(คาลมตของตวสวนมคาเทากบ 0)

จะไดวา 1x

x lim 2

1x

หาคาลมตไมได

หาคาลมตไมได ตอบ


ถา 0LL,f(x) lim ax

และ แลว 0g(x) lim ax

0L,0L

g(x)f(x) lim

ax

หาคาไมได หรอ ไมมลมต

ไมยากใชไหมครบทกคน www.kroo

bann

ok.co

m

· คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 โดย นางธันยนันท์ จันเต ตัวอย่างที่ 1 f(x) 3x 2 2x,

Documents