8 IZVIJANJE STAPA.ppt - VPTS · 8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirast temperature ∆∆∆∆T koje će izazvati izvijanje štapa Dato: llll, IIII, A,

Osnovne vrste naprezanja:

Aksijalno naprezanje

Smicanje

Uvijanje

Savijanje Savijanje

Izvijanje

1

Pri projektovanju konstrukcija potrebno je osigurati njenu: čvrstoćukrutosti stabilnost

ŠTAPOVI OPTEREĆENI NA PRITISAK

z

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno opterećenog prizmatičnog štapa silom pritiska,prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):F prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):

� materijal je homogen i izotropan

� veza napona i deformacije je prema Hukovom zakonu σ=E⋅ε

� uslovi ravnoteže se formiraju na nedeformisanoj geometrijinosača

� prav štap pri opterećenju ne menja oblik, tj. uzdužna osa štapase samo skraćuje i ostaje prava ⇒deformacijska forma štapa je stabilna

2

Štap male vitkosti:

Duktilni materijal

Tkr AFF σ⋅==

Krti materijal

Mkr AFF σ⋅==

Dimenzionisanje:

Uslov deformacije:

M

M

T

Tdopz

fili

fA

F σσ=σ≤=σUslov nosivosti:

doplAE

lFl ∆≤

⋅

⋅=∆

3

Kod vitkih štapova aksijalna sila pritiska može izazvati i savijanje IZVIJANJEštapaprava deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.

Kritična sila izvijanja⇒sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.

4

IZVIJANJE PRIZMATIČNOG ŠTAPAEULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

pojava momenta

savijanja

5

Izvijanje štapa u elastičnoj oblasti

20

min2

kr)(

Pl

IE ⋅π=

gde su:Pkr - kritična sila izvijanjaE – modul elastičnostiE – modul elastičnostiImin – minimalni aksijalni momenat inercijel0 – dužina izvijanja

Dužina izvijanja štapa zavisi od dužine štapa i od načina oslanjanja štapa.Ojler je definisao četri osnovne dužine izvijanja

6

Prema načinu učvršćenja krajeva štapa razlikujemo četiri osnovna slučaja izvijanja (a, b, c i d).

7

Kritični napon izvijanja

A

P;

)(P kr

kr20

min2

kr =σ⋅π

=l

IE

20

min2

kr)(A l

IE

⋅

⋅π=σ

Ai

Ai min2

minmin

minII

=→=

2

2

2

min

0

2

20

2min

2

kr

i

)(

i

λ

π=

π=

⋅π=σ

E

l

E

l

E

gde je:λ- vitkost štapaimin –minimalni poluprečnik inercije

min

0

i

l=λ

8

Vitkost štapa, u praktičnom računanju, određujemo tako da, kod poprečnih presjeka štapa koji imaju različite momente inercije u odnosu na glavne ose, u račun uzmemo manji moment inercije jer tako dobijamo veću proračunsku vitkost:

Granična vitkost

pgr

E

σπ=λ

gde je:λgr- granična vitkost štapaσp –granica proporcionalnosti materijala

9

Dimenzionisanje

σp

σm

σkr

Tetmajerova prava

Kritični napon za kratke grede

I. područje: λ<λλ<λλ<λλ<λm

Štapovi se proracunavaju napritisnu čvrstocu, a izvijanje se ne uzima u obzir

II. područje: λλλλm<λ<λ<λ<λ<λ<λ<λ<λgr

Štapovi se proračunavaju na izvijanje pomoću Tetmajerovog

Ojlerova hiperbola

λλgrλm

σp

I II III

izvijanje pomoću Tetmajerovogizraza ili nekog drugog empirijskogizraza.

III. područje: λλλλgr<λ<λ<λ<λ

Štapovi se proračunavaju na izvijanje pomoću Ojlerovog obrasca

10

Materijal λλλλm λλλλgr σσσσkr (kN/cm2)

0<λ<λm λm<λ<λgr

Čelik (JUS Č. 0370) 60 100 24 28.9-0.082λ

Čelik (JUS Č. 0545) 60 100 31.2 46.9-0.262λ

Liveno gvoždje 0 80 76.1 76.1-1.18λ+0.0052λ2

Drvo (četinari) 0 60 4 4-0.02λ

Eksperimentalni obrasci za kritičan napon izvijanja

Koeficijenti sigurnosti

izv

krizv

n

σ=σ Najviše dopušteni napon koji se može desiti u gredi

izv

krizv

nA

F σ=σ≤=σkontrola napona se sprovodi prema

11

ω-postupak

σdop-dopušteni napon kada nema izvijanja

ω

σ=σ

dopizv

ω-koeficijent izvijanja koji zavisi od vitkosti grede i koji je za raznematerijale eksperimentalno određen (ω>1)

ω

σ≤=σ

dop

A

F

kontrola napona se sprovodi prema

12

λ2

Čelik 0370 Čelik 0545 DrvoLiveno

gvožđe

0 1,00 1,00 1,00 1,00

10 1,01 1,01 1,09 1,01

20 1,02 1,03 1,20 1,05

30 1,05 1,07 1,33 1,11

40 1,10 1,13 1,47 1,22

50 1,17 1,22 1,65 1,39

60 1,26 1,35 1,87 1,67

70 1,39 1,54 2,14 2,21

vrednosti koeficijenta izvijanja ω

70 1,39 1,54 2,14 2,21

80 1,59 1,85 2,49 3,50

90 1,88 2,39 2,95 4,43

100 2,36 3,55 3,60 5,45

110 2,86 4,29 4,43 -

120 3,40 5,11 5,36 -

130 4,00 5,99 6,39

140 4,63 6,95 7,53 -

150 5,32 7,98 8,78 -

160 6,05 9,08 - -

170 6,83 10,25 - -

180 7,66 11,49 - -

190 8,53 12,80 - -

200 9,46 14,18 - - 13

8.1 Odrediti kritičnu silu izvijanja grede na sliciE=21 MN/cm2 λλλλgr=100 l=150 cm Profil NP I 16

15

0I 16

Rešenje

Iz tablica za I 16 čitamo geometrijske karakteristike

Imin=54,7 cm4 A=22,80 cm2 imin=1,55 cm

0lOdređivanje vitkosti:min

0

i

l=λ

dužina izvijanja (Ojler): lo=2⋅⋅⋅⋅l=2⋅⋅⋅⋅150=300 cm gr

min

0 5,19355,1

300

iλ>===λ

l

kritična sila izvijanja je:

kN97,125300

7,541021

)(P

2

32

20

min2

kr =⋅⋅⋅π

=⋅π

=l

IE

14

8.2 Vitki štap je vezan za nepomične oslonce. Odrediti prirasttemperature ∆∆∆∆T koje će izazvati izvijanje štapaDato: llll, IIII, A, α

t

Rešenje

∆∆∆∆llll=αt⋅⋅⋅⋅l⋅∆⋅∆⋅∆⋅∆Tizduženje usled temperatureF

ll ll ∆∆∆∆T ∆∆∆∆T

izduženje usled sileAE

F

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆

llllllll

ukupno izduženje jednako nuli

llll⋅⋅⋅⋅F

F

ll ll ∆∆∆∆T ∆∆∆∆T

0000TTTTllllllll

====∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅αααα−−−−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅t

AE

F

krFFFtAE ========∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅αααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ TTTT

tAT

EtAE

2

2

2

2

αααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅ππππ====∆∆∆∆→→→→

⋅⋅⋅⋅ππππ====∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅αααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

llll

IIII

llll

IIIITTTT

za l=100 cm d=3 cm αt=1,25⋅⋅⋅⋅10-5 1/C

C4,44T o====∆∆∆∆ 15

8.2 Odrediti nosivost čeličnog stuba od 2U20 profila. Stub jestatičkog sistema kao na slici.a) Određivanjem kritičnog napona izvijanja ako je koeficijent sigurnosti nizv=2,2b) Po ωωωω postupku ako je σσσσdop=16 kN/cm2

profil štapa 2U20

600

600

600

600 2U16

16

Za U 200 iz tablica imamo

A=32.2 cm2

Za 2 U 200 iz tablica imamo

A=32.2 *2=64.40cm2A=32.2 cm2

Wy=191cm3

Wz=27 cm3

Iy=1910 cm4

Iz=148 cm4

iy=7.70 cm

iz=2.14 cm

A=32.2 *2=64.40cm

Wy=191*2=382 cm3

Wz=299 cm3

Iy=1910*2=3820 cm4

Iz=2240 cm4

iy=7.70 cm

iz=5.89 cm17

Kako dobijamo vrednosti za 2U200

1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na 1. Računamo momenat inercije za osu z za ukupno težište koje je sada na polovini profila

4221

szz cm223749.52.3221482)01.25.7(A2I2I =⋅⋅+⋅=−⋅+=

Otporni momenat je 3

zz cm2985.7/2237b/IW ===

cm89.54.64/2237A/Ii zz ===

Poluprečnik inercije je

18

Minimalni poluprečnik inercije je

cm89.5ii minz ======== cm4206007,00 ====⋅⋅⋅⋅====llll

10030,7189,5

420

i

lgr

min

o====λλλλ<<<<============λλλλ

MPa53,2303,7182,028982,0289kr ====⋅⋅⋅⋅−−−−====λλλλ⋅⋅⋅⋅−−−−====σσσσ

kN74,6744,6405,23A

F krkr ====

⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅σσσσ==== kN74,674

2,2nF

izv

krkr ============

b) ω postupak

41,130,71 ====ωωωω→→→→====λλλλ

kN78,73041,1

4,6416AF

dopkr ====

⋅⋅⋅⋅====

ωωωω

⋅⋅⋅⋅σσσσ====

19