8 Hi-kvadrat Vježbe

Zdravstveno veleuilite u Zagrebu Vjebe iz statistike

1

2 test

2 test (hi-kvadrat) je statistiki postupak koji je veoma praktian i esto se koristi, a slui da

bi utvrdili odstupaju li dobivene - opaene frekvencije (fo) od frekvencija koje bismo oekivali uz

odreene hipoteze (teoretske ili oekivane frekvencije - ft ). Drugim rijeima, je li odstupanje

izmeu opaenih i teoretskih frekvencija dobiveno sluajno uslijed greke pri uzorkovanju, ili je to

prava razlika?

Opaene frekvencije su one koje dobijemo nekim istraivanjem, npr. broj ljudi s odreenom

dijagnozom, broj puaa u nekom uzorku, broj prijevremeno roene djece kod majki s dijabetesom i

kod majki bez dijabetesa itd. Oznaava se grkim slovom hi. I on, kao i t-test, spada u

inferencijalnu statistiku.

( )

t

2

to2

f

f-f= pri emu fo znai opaene frekvencije,

a ft teoretske ili oekivane frekvencije.

No, za razliku od t-testa i nekih drugih rauna koji se mogu primijeniti samo na

kvantitativne podatke, hi2 je primjenjiv i kada su podaci izraeni na nominalnoj ljestvici, dakle kada

se radi o kvalitativnim podacima (kategorije kao to su spol, rasa, mjesto roenja). Takoer, t-test se

smije raunati samo ako su podaci rasporeeni prema normalnoj ili barem simetrinoj raspodjeli,

dok hi2 moemo primijeniti i ako je distribucija rezultata znaajno razliita od normalne. Dakle,

kada ne moemo upotrijebiti tzv. parametrijsku statistiku, koja zahtijeva normalnu distribuciju i

kvantitativne podatke, koristi se hi2 koji spada u tzv. neparametrijsku statistiku.

Bitno je naglasiti da se 2 test rauna samo na frekvencijama (brojene vrijednosti, npr. broj

bolesnika na odjelu, broj novina koje se svaki dan prodaju na kiosku, broj pobaaja kod

maloljetnica u Hrvatskoj, broj studenata koji su proli na ispitu itd.) i u raun nije doputeno uvrstiti

nikakve mjerene vrijednosti, mjerne jedinice ni postotke. Osnovni podaci u istraivanju dakako,

mogu biti i mjerene vrijednosti, ali se u 2 test unose samo njihove frekvencije. Npr. ako imamo

podatke o plaama radnih terapeuta u Hrvatskoj, te o njihovom zadovoljstvu poslom, potrebno je

plae kategorizirati u dvije ili tri kategorije (npr. 2000-3500 kn niska; 3501-5000 srednja; 5001-

6500 visoka), te pobrojiti frekvencije u svakoj kategoriji. Zadovoljstvo poslom moemo

kategorizirati kao ZADOVOLJAN ili NEZADOVOLJAN, odnosno takoer se moe iskazati u tri

kategorije (nisko, srednje, visoko).


2

Hi-kvadrat doputa provjeru razliitih hipoteza; pri emu se raunski izvodi uvijek na isti

nain, samo je razliit nain odreivanja teoretskih frekvencija.

2 test moemo upotrijebiti u ovim sluajevima:

1. Kad imamo frekvencije JEDNOG UZORKA i provjeravamo razlikuju li se dobivene frekvencije

od frekvencija koje oekujemo uz neku hipotezu - npr.:

hipoteza o sluajnoj raspodjeli, na primjer kod bacanja novia: bacimo novi 100 puta,

i dobijemo 40 puta pismo i 60 puta glavu, a po sluaju je 50:50, pa usporeujemo te dvije

distribucije da vidimo postoji li statistiki znaajna razlika meu njima.

hipoteza postavljena na osnovi nekog poznatog odnosa u populaciji, npr. od ukupnog

broja oboljelih od raka 25% se odnosi na rak dojke, a mi elimo usporediti da li se naih

63 sluajeva raka dojke od ukupno 250 na klinici za tumore razlikuje od poznatog udjela.

hipoteza o normalnoj raspodjeli, npr. esta kada promatramo sposobnosti: da li je neka

sposobnost normalno raspodijeljena meu ispitanicima u naem uzorku.

2. 2 moemo testirati i DVA ILI VIE NEZAVISNIH UZORKA i elimo ustanoviti razlikuju li se

uzorci u opaenim svojstvima. Npr. postoji li statistiki znaajna razlika u udjelu studenata i

studentica na studiju fizioterapije i sanitarnih inenjera.

3. Postoji i hi2 za zavisne uzorke. Kad imamo frekvenciju DVAJU ZAVISNIH UZORAKA (1

grupa) koji imaju dihotomna svojstva. Usporeuju se rezultati jedne te iste grupe prije i

poslije tj. ispituje se je li dolo do promjene. Naziva se jo McNemarov test.

2 test ima i odreena ogranienja pri uporabi:

- test nije dobro koristiti ako su oekivane frekvencije premale. Svaka oekivana frekvencija

trebala bi iznositi barem 5.0

- najmanji broj rezultata na kojem se moe primijeniti 2 mora iznositi barem 20.

2 na jednom uzorku: - usporedba sa sluajnom distribucijom

1) U 100 bacanja novia dobili smo 44 puta glavu i 56 puta pismo. Utvrdite postoji li statistiki

znaajna razlika izmeu dobivene distribucije i distribucije po sluaju.


3

Tablica za hi-kvadrat test trebala bi izgledati poput ove nie. U prvi stupac upisujemo

opaene frekvencije, dakle, one podatke koje smo dobili u istraivanju, podatke s terena. U ovom

zadatku teoretska distribucija je sluajna, to znai da su sve ft meusobno jednake, a njihovu

vrijednost dobit emo tako da sumu frekvencija podijelimo s brojem kategorija (100 : 2). Potom

utvrdimo razliku opaenih i teoretskih frekvencija. Tu razliku prije kvadriranja moramo umanjiti za

0.5 kad god radimo s jednim stupnjem slobode, i to njezinu apsolutnu vrijednost, dakle,

zanemarujui predznak. To je tzv. Yatesova korekcija za kontinuitet. Kada smo kvadrirali umanjene

razlike, potrebno je svaku pojedinu podijeliti s pripadajuom teoretskom frekvencijom, te zadnji

stupac na koncu zbrojiti. Dobiveni zbroj je hi-kvadrat test. Naime, formula nam slui kako bi nas

vodila kroz postupak, pa jo jednom naglaavam da dobiveni zbroj zadnjeg stupca ne treba

uvrtavati u formulu.

fo

ft

fo - ft

fo - ftKorig

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

44

56

50

50

-6

6

5.5

5.5

30.25

30.25

0.605

0.605

100 100 1.21

Hi2 =2= 1.21

Sada je potrebno, kao i kod t-testa, utvrditi je li dobiveni hi-kvadrat znaajan ili nije. Za to nam

trebaju stupnjevi slobode (df). Za hi kvadrat test na jednom uzorku, stupnjevi slobode odreuju se

tako da broj kategorija umanjimo za 1. Ovdje imamo dvije kategorije, glavu i pismo, pa stoga

imamo 1 stupanj slobode.

df = N kategorija - 1

Oitamo granine vrijednosti uz odgovarajui stupanj slobode iz tablice za hi-kvadrat, te na hi-

kvadrat usporedimo s graninim vrijednostima po istom principu koji smo svladali za t-test.

Kako je dobiveni hi-kvadrat manji od granine vrijednosti uz

5% rizika, zakljuujemo da ne postoji statistiki znaajna

razlika izmeu nae distribucije i distribucije po sluaju.

Dobiveni 2= 1.21 df = broj kategorija-1 = 2-1 = 1

Granini 2 (5%) = 3.84

Granini 2 (1%) = 6.63

P>0.05


4

2) U 120 bacanja kocke jedinicu smo dobili 25 puta, dvojku 17 puta, trojku 15, etvorku 23, peticu

24 puta i esticu 16 puta. Razlikuju li se dobiveni rezultati statistiki znaajno od oekivanog po

sluaju?

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

1

2

3

4

5

6

25

17

15

23

24

16

20

20

20

20

20

20

5

-3

-5

3

4

-4

25

9

25

9

16

16

1.25

0.45

1.25

0.45

0.80

0.80

120 120 5.00

Ne postoji statistiki znaajna razlika izmeu nae distribucije

i distribucije po sluaju.

3) Pitali smo 91-og pacijenta koja im je terapija bila najuinkovitija od tri vrste terapije koju su

proli. 26 pacijenata navelo je elektroterapiju, 23 masau, a preostali su se odluili za plivanje.

Zanima nas postoji li statistiki znaajna razlika izmeu nae distribucije i sluajne kako bi utvrdili

preferiraju li pacijenti statistiki znaajno jednu vrstu terapije u odnosu na drugu.

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

26

23

42

30.33

30.33

30.33

-4.33

-7.33

11.67

18.748

53.73

136.189

0.618

1.77

4.49

91 91 6.88

Razlika je statistiki znaajna. Pacijenti znaajno vie biraju

plivanje kao najuinkovitiju terapiju, nego elektroterapiju ili

masau.

Dobiveni 2= 5 df = broj kategorija-1 = 6-1 = 5

Granini 2 (5%) = 11.070

Granini 2 (1%) = 15.086

P>0.05


Granini 2 (5%) = 5.991

Granini 2 (1%) = 9.210 P


5

2 na jednom uzorku: - usporedba s poznatim udjelom

Poznati udio ili zadani udio u populaciji odnosi se na ve utvrenu vrijednost (frekvenciju ili

postotak) u populaciji s kojom elimo usporediti na uzorak. Slijede primjeri:

4) Od ukupnog broja oboljelih od raka, 18% odnosi se na rak dojke. Zanima nas razlikuje li se ta

distribucija u populaciji od one koju smo dobili na naem uzorku: od 250 sluajeva tumora

registriranih u klinici za tumore u posljednjih 6 mjeseci, 63 je pacijentica s rakom dojke.

Pri postavljanju ovog zadatka, moramo voditi rauna da je ovih 250 sluajeva ukupan broj

opaenih frekvencija, od ega 63 otpada na tumor dojke, a preostali na druge tumore. Dakle, imamo

dvije kategorije. S obzirom da u tablicu za hi-kvadrat ne smijemo stavljati postotke, ovih 18%

moramo pretvoriti u teoretsku frekvenciju pomou postotnog rauna. Trebamo dobiti koliko je 18%

od 250, te onda dobiveni broj oduzeti od 250 kako bi dobili drugu teoretsku frekvenciju. Dalje

postupak slijedi kao i u prethodnoj vrsti hi-kvadrat testa.

45=100

25018=

100

SVE%=f t

fo

ft

fo - ft

fo - ftKorig

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

63

187

45

205

18

-18

17.5

17.5

306.25

306.25

6.81

1.49

250 250 8.30

Hi2 =2= 8.30

U naem istraivanju je statistiki znaajno vei udio tumora

dojke u odnosu na situaciju u cijeloj Hrvatskoj.

5) Udio osoba starijih od 60 godina u opoj populaciji Hrvatske iznosi 21.6%. U naem uzorku, od

2530 osoba, bilo je 598 osoba starijih od 60 godina. Utvrdite razlikuje li se znaajno udio starijih

osoba u naem uzorku, od onog u opoj populaciji.


Granini 2 (5%) = 3.84

Granini 2 (1%) = 6.63

P


6

48.546=100

25306.21=

100

SVE%=f t

fo

ft

fo - ft

fo - ftKorig

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

598

1932

546,48

1983,52

-51,52

51,52

51,02

51,02

2603.04

2603.04

4.76

1,31

2530 2530.00 6.07

Hi2 =2= 6,07

U naem istraivanju je statistiki znaajno vei udio osoba

starijih od 60 godina u odnosu na opu populaciju u Hrvatskoj.

6) U gradu Zagrebu je u oujku 2010. bilo 11,7% nezaposlenih, to ukupno iznosi 37.327 ljudi. U

naem istraivanju sudjelovalo je 1053 subjekata s podruja grada Zagreba, od ega je 98

nezaposlenih. Utvrdite razlikuje li se broj nezaposlenih u naem istraivanju od onog u populaciji

grada Zagreba.

fo

ft

fo - ft

fo - ftKorig

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

98

955

123,2

929,8

-25,2

25,2

24,7

24,7

610.09

610.09

4.952

0,656

1053 1053.00 5.608

Razlika je statistiki znaajna uz rizik manji od 5%: u naem

uzorku udio nezaposlenih je znaajno manji nego u gradu

Zagrebu.


Granini 2 (5%) = 3.84

Granini 2 (1%) = 6.63 P


7

2 na 2 i vie nezavisnih uzoraka

7) Od ukupno 73 studenta na I godini studija sanitarnih inenjera, 21 ih je enskog spola, dok je na

studiju fizioterapije I godine upisano 50 studentica od ukupno 96 studenata. Utvrdite postoji li

statistiki znaajna razlika u udjelu studenata i studentica na studiju fizioterapije i sanitarnih

inenjera.

Kako bi rijeili ovaj zadatak, potrebno je prvo napraviti tablicu koja e nam biti osnova za

izraunavanje teoretskih frekvencija. U tablicu treba unijeti obje varijable, i spol i studij. Koja e

varijabla biti po redovima, a koja po stupcima, sasvim je svejedno, no, treba unijeti ne samo

subjekte s promatranim obiljejem, ve i one koji nemaju promatrano obiljeje, a to su u ovom

sluaju mukarci. U tablici treba naznaiti sume po stupcima i po redovima iji ukupan zbroj mora

biti jednak.

STUDENTICE STUDENTI Ukupno

FT

SAN

50

21

46

52

96

73

71 98 169

etiri frekvencije koje se nalaze u sredinjem dijelu tablice predstavljaju opaene

frekvencije. Teoretske frekvencije ft dobijemo tako da za svaku kuicu POMNOIMO SUMU

REDA SA SUMOM STUPCA I PODIJELIMO S TOTALNOM SUMOM FREKVENCIJA:

Ukupno FT 71 x 96 /169=

40,33

98 x 96 /169=

55,67

96

SAN 71 x 73 /169=

30,67

98 x 73 /169 =

42,33

73

Ukupno 71 98 169

Suma oekivanih/teoretskih frekvencija mora biti jednaka sumi opaenih frekvencija i to

nam slui za kontrolu da li smo dobro izraunali ft. Toleriraju se samo mala odstupanja vezana uz

zaokruivanje decimalnih brojeva.


8

fo

ft

fo - ft

korigirano

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

50

21

46

52

40.33

30.67

55.67

42.33

9.67

9.67

9.67

9.67

9.17

9.17

9.17

9.17

84.09

84.09

84.09

84.09

2.085

2.742

1.511

1.987

169 169.00 8.325

df = (broj redova -1) x (broj stupaca -1) rauna se samo broj kategorija

Postoji statistiki znaajna razlika u omjeru studenata i studentica na I

godini studija fizioterapije i sanitarnih inenjera: na studiju

fizioterapije je znaajno vei udio studentica nego na studiju

sanitarnih inenjera.

8) Za dvije skupine bolesnika, od kojih je jedna koristila serum (grupa A), a druga nije (grupa B)

elimo utvrditi razlikuju li se znaajno po broju osoba koje su se oporavile. Uestalost oporavka u

skupini koja je dobila serum jest 75 oporavljenih osoba, od ukupno 100 koliko ih je primilo serum.

U skupini bez seruma bilo je takoer 100 osoba, od kojih se oporavilo 65 osoba.

Sami napravite 2 x 2 tablicu za hi-kvadrat, izraunajte hi-kvadrat i odredite je li razlika u

broju oboljelih statistiki znaajna ili nije.

oporavili se nisu se oporavili

A

B

75

65

25

35

100

100

140 60 200

Dobiveni 2= 8.325 df = 1 x 1 = 1

Granini 2 (5%) = 3.84

Granini 2 (1%) = 6.63 P


9

fo

ft

fo - ft

korigirano

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

75

25

65

35

70

30

70

30

5

5

5

5

4.5

4.5

4.5

4.5

20.25

20.25

20.25

20.25

0.289

0.675

0.289

0.675

200 200 1.928

Ne postoji statistiki znaajna razlika u broju osoba koje su se

oporavile izmeu skupine koja je primila serum (A) i skupine koja nije

primila serum (B).

9) Ispitajte postoji li statistiki znaajna razlika u uestalosti raka plua izmeu puaa i nepuaa.

U promatranoj skupini puaa od 488 osoba, njih 13 oboljelo je od raka plua, dok je u skupini od

660 nepuaa oboljelo 5 osoba.

Puai Nepuai

S rakom plua

Bez raka plua

13

475

5

655

18

1130

488 660 1148

fo

ft

fo - ft

korigirano

fo - ft

(fo - ft)2

( )

t

2

to

f

f-f

13

5

475

655

7.65

10.35

480.35

649.65

5.35

-5.35

-5.35

5.35

4,85

4,85

4,85

4,85

23,52

23,52

23,52

23,52

3.07

2.27

0.049

0.036

1148 1148.00 5.425

Dobiveni 2= 1.928 df = 1 x 1 = 1

Granini 2 (5%) = 3.84

Granini 2 (1%) = 6.63 P>0.05


10

Postoji statistiki znaajna razlika u udjelu oboljelih od raka plua

izmeu puaa i nepuaa: u skupini puaa ima znaajno vie

oboljelih od raka plua.

10) Studenti su podijeljeni u 3 grupe i zadano im je gradivo koje moraju nauiti pomou 3 razliite

metode (A, B i C). Na provjeri znanja, od 55 ljudi koji su uili metodom A, 50 studenata je

zadovoljilo za prolaz, od 61 osobe koja je uila metodom B, prolo je 47 osoba, dok je u skupini

studenata koji su uili metodom C palo 8 od ukupno 64 studenta. Utvrdite postoji li statistiki

znaajna razlika u prolaznosti studenata s obzirom na razliitu metodu kojom su uili.

A B C

Zadovoljio

Nije zadovoljio

50

5

47

14

56

8

153

27

55 61 64 180

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

t

2to

f

ff

50

47

56

46.75

51.85

54.40

3.25

-4.85

1.60

10.56

23.52

2.56

0.226

0.454

0.047

5

14

8

8.25

9.15

9.60

-3.25

4.85

-1.60

10.56

23.52

2.56

1.280

2.572

0.267

180 180.00 4.846

Ne postoji statistiki znaajna razlika u uspjenosti studenata izmeu

skupina koje su uile pomou tri razliite metode.

Dobiveni 2= 5.425 df = 1 x 1 = 1

Granini 2 (5%) = 3.84

Granini 2 (1%) = 6.63 P0.05


11

11) Istraivaa je zanimalo koja srednja kola najbolje priprema uenike za prijamni ispit.

Promatrani su maturanti iz tri srednje kole (I, II i III gimnazija), te je utvreno da od 89 uenika I

gimnazije koji su se prijavili na prijamni ispit, njih 69 ga je i poloilo; od 123 uenika II gimnazije,

94 je poloilo prijamni ispit, te iz III gimnazije je 47 uenika poloilo prijamni od ukupno njih 62

koji su se prijavili na fakultete.

POLOILI NISU POLOILI

I

II

III

69

94

47

20

29

15

89

123

62

210 64 274

fo

ft

fo - ft

(fo - ft)2

( )

t

2

to

f

f-f

69

94

47

68.21

94.27

47.52

0.79

-0.27

-0.52

0.6241

0.0729

0.2704

0.0091

0.0007

0.0057

20

29

15

20.79

28.73

14.48

-0.79

0.27

0.52

0.6241

0.0729

0.2704

0.0300

0.0025

0.0187

274 274.00 0.0667

ako se rauna na dvije decimale 0.04

Ne postoji statistiki znaajna razlika izmeu maturanata triju srednjih

kola u uspjenosti upisa na fakultete.

PONOVIMO:

2 test spada u neparametrijsku statistiku za njegovo koritenje nije vano da rezultati budu normalno distribuirani.

Moe se koristiti i na nominalnoj mjernoj skali.

Dobiveni 2= 0.067 df = 1 x 2 = 2

Granini 2 (5%) = 5.99

Granini 2 (1%) = 9.21 P>0.05


12

Razlikujemo opaene i teoretske frekvencije. Opaene f dobijemo u istraivanju, a teoretske moramo izraunati sami.

Vrste hi-kvadrat testa koje smo koristili su 2 na jednom uzorku, te 2 na 2 i vie nezavisnih uzoraka. Od 2 na jednom uzorku radili smo usporedbu sa sluajnom distribucijom, te sa zadanim udjelom u populaciji.

Kad je df=1, radimo korekciju: umanjujemo razliku opaene i teoretske frekvencije za 0.5 (bez minusa!).

Nacrtajte mentalnu mapu na temu 2 testa kako biste si lake uobliili i organizirali gradivo.

LITERATURA:

1. Dyer, C. (1995) Beginning research in psychology. Oxford: Blackwell Publishers Inc.

2. Howell, D.C. (1989) Fundamental Statistics for the Behavioral Sciences. Boston: PWS Kent Publishing Company.

3. Petz, B. (1997) Osnovne statistike metode za nematematiare. Jastrebarsko: Naklada Slap.

4. http://www.enviroliteracy.org/pdf/materials/1210.pdf Preuzeto 19.05.2010.

NAPOMENE:

Svi podaci u ovim zadacima izmiljeni su za potrebe vjebi studenata i ne predstavljaju stvarno stanje u navedenim populacijama.

U zadacima toni rezultati mogu biti i oni koji donekle odstupaju od navedenih rezultata, uslijed rada s drukijim brojem decimalnih vrijednosti.

Zadnja promjena 13.05.2014.

8 Hi-kvadrat Vježbe

Documents